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1

SEPARATA

CARRERA PROFESIONAL:

INGENIERIA CIVIL

Asignatura : Estadística General

Tema : Medidas de Posición

2015

Docente: Jose Rafael Ocupa Ruiz



2

Contenido

MEDIDAS DE POSICIÓN 3

1.1 Cuartiles 3

1.2 Deciles 7

1.3 Percentiles o Centiles 10

Cuestionario y ejercicios propuestos 14

Medidas de Posición



3

En el Capitulo anterior, vimos lo referente a las medidas de tendencia central, las

cuales, a su vez, son también medidas de posición ya que, de todas maneras

ocupan un lugar dentro de la información.

Nos ocuparemos ahora de ciertos parámetros posicionales muy útiles en la

interpretación porcentual de la información que dividen a una distribución defrecuencia en cuatro, diez o cien partes iguales.

1.1 CUARTILES: Qr

Los Cuartiles son estadígrafos de posición que dividen al total de las

observaciones, debidamente ordenados o tabulados, en cuatro partes de igual

tamaño. Esto significa que entre dos cuartiles consecutivos se encuentran no más

del 25% del total de las “n” observaciones.

Gráficamente:

Q1 Q2=Me Q3

0% 25% 50% 75% 100%

O También:

Información

25%

50%

75%

100%

TOTAL 100%

Si se estudia el 25% de las observaciones se dice que está analizando el Cuartil 1

Q1 que se interpreta como el límite máximo del 25% de las observaciones

inferiores; o como el límite mínimo del 75% de las observaciones superiores.

Q1

Q2

Q3



4

Si se estudia el 50% de las observaciones se dice que está analizando el Cuartil 2

Q2 que se interpreta como límite máximo del 50% de las observaciones inferiores; o

como el límite mínimo del 50% de las observaciones superiores (Q2 = Me).

Si se estudia el 75% de las observaciones se dice que está analizando el Cuartil 3Q3 que se interpreta como límite máximo del 75% de las observaciones inferiores; o

como el límite mínimo del 25% de las observaciones superiores.

7.1.2 FORMAS DE CÁLCULO

a) Para datos no agrupadosEl procedimiento que se emplea para calcular los cuartiles es similar seguido por la

mediana, con la diferencia que en vez de considerar se reemplaza por:

para el Q1

para el Q3

Ejemplo 7.1:

Al examinar los registros de facturación mensual de una empresa de servicios conventas a crédito, el auditor toma una muestra de 11 facturas no canceladas. Las

suman que se adeudan a la empresa en soles son:

1200

2500

900

1500

2000

1800

1000

1700

1000

800

1900

Calcule e intérprete Q1, Q2, Q3

Solución

Ordenando los datos en forma ascendente

800

900

1000

1000

1200

1500

1700

1800

1900

2000

2500

Ubicando el lugar en donde se encuentra el Q1, Q2, Q3

Para Q1

=

= 3

Para Q2

=

= 6



5

Para Q3

=

= 9

Entonces:

Q1 = 1000 Q2 = 1500 Q3 = 1900

Interpretación:

Q1: El 25% de las facturas tienen una deuda máxima de S/. 1000



b) Para datos agrupadosPara calcular los cuartiles cuando la variable esta agrupada en una tabla de

frecuencia se utiliza la formula siguiente:

Cuart i l infer ior Q 1 n = Número total de datos

N j = Frecuencia acumulada superior a

Q1 = Li + Ci(

) N j-1= Frecuencia acumulada anterior o igual a

Li = Limite inferior del intervalo en donde se

encuentra el Q1 Ci = Amplitud del intervalo en donde se encuentra

el Q1

IQ1 = Intervalo Q1, que corresponde a N j

Cuart il su per ior Q 3 n = Número total de datos

N j= Frecuencia acumulada superior a

Q3 = Li + Ci N j-1= Frecuencia acumulada anterior o igual a

Li = Limite inferior del intervalo en donde se

encuentra el Q3

Ci = Amplitud del intervalo en donde se encuentra

el Q3

IQ3 = Intervalo Q3, que corresponde a N j

Ejemplo 1.2:

Calcular e interpretar el Q1 y Q3 de los datos de la tabla Nº08



6

Gasto semanal en dólares

(L i – L s ]

Nº de Tu ris tas

f i = n i

Nº Acum ulad o de

Turistas

F i =N i

400 – 520 2 2

520 – 640 3 5

640 – 760 8 13760 – 880 4 17

880 - 1000 3 20

Total 20 -

Calculo de Q 1

1º) Calcular y determinar los valores de N j y N j-1

Tenemos que n = 20 = 5 N j = 13 y N j-1= 5

2º) Ubicar el intervalo cuartil-uno (IQ1)

Es el intervalo que corresponde a N j = 13, es decir IQ1= (640 – 760)

Por lo tanto Li = 640 y C = 120

3º) Reemplazando los valores en la formula de Q1

Q1 = Li + C( ) Q1 = 640 + 120

Q1 = 640 dólares

Interpretación:

Significa que el 25% de los turistas que arribaron a la ciudad del Cuzo gastaron

semanalmente como máximo 640 dólares, y los restantes es decir el 75%, sus

gastos fueron superiores a 640 dólares.

Calculo de Q 3


Tenemos que n = 20 = 15 N j = 17 y N j-1= 13

2º) Ubicar el intervalo cuartil-tres (IQ3)Es el intervalo que corresponde a N j = 17, es decir IQ1= (760 – 880)

Por lo tanto Li = 760 y C = 120



7

3º) Reemplazando los valores en la formula de Q1

Q1 = Li + Ci

Q1 = 760 + 120

Q1 = 820 dólares

Interpretación:

Significa que el 75% de los turistas que arribaron a la ciudad del Cuzo gastaron


gastos fueron superiores a 820 dolares.

1.2 DECILES: Dr Los Deciles son estadígrafos de Posición que dividen al total de las observaciones

en 10 partes iguales, cada uno de ellos incluye el 10% del total de observaciones.

Si se estudia el 10% de las observaciones inferiores, se dice que está

analizando el Decil 1(D1)

Si se estudia el 20% de las observaciones inferiores, se dice que está

analizando el Decil 2 (D2); y así sucesivamente se puede estudiar hasta el 90%

de las observaciones inferiores y se estaría analizando el Decil 9 (D9).

D1 se interpreta como el límite máximo del 10% de las observaciones inferiores

o como el límite mínimo del 90% de las observaciones superiores.


o como el límite mínimo del 80% de las observaciones superiores.


o como el límite mínimo del 10% de las observaciones.

En total hay nueves deciles: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9

Gráficamente:



8

D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Información

10%

D1

10%

D2

10%

..

.

10%

D9

10%

TOTAL 100%

1.2.1 FORMAS DE CÁLCULO

a) Para datos no agrupadosSe ordenan los datos en forma ascendente o descendente y se localiza la posición

del valor correspondiente

de las observaciones ordenadas.

Si

es exacta; entonces Dr = * +

Si

no es exacta, Dr se obtendrá interpolando linealmente entre los dos

valores correspondientes a las dos observaciones entre las cuales se encuentra la

fracción.

Ejemplo 1.3:



9

Se tiene la serie de datos siguiente:

25 28 19 30 25 35 31 33 28 29 20 36 21 29 18 27

Calcule e interprete el D2, D7

Solución

Ordenando los datos en forma ascendente

18 19 20 21 25 25 27 28 28 29 29 30 31 33 35 36

Ubicando el lugar en donde se encuentra el D1, D5, D7

Para D2

=

= 3.4

Para D7

=

= 11.9

Interpolando:

= D2 = 20.4 D7 = 29.9

b) Para datos agrupados

Para calcular los cuartiles cuando la variable esta agrupada en una tabla defrecuencia se utiliza la formula siguiente:

Dr = Li + Ci(

) Con r = ̅

Ejemplo:

Calcular e interpretar el D6 de los datos de la Tabla N03

Calculo de D 6


Tenemos que n = 20

= 12 N j = 13 y N j-1= 5

2º) Ubicar el intervalo Decil-uno (ID6)

Es el intervalo que corresponde a N j = 13, es decir ID6= (640 – 760)Por lo tanto L3 = 640 y C3 = 120



10

3º) Reemplazando los valores en la formula de D6

D6 = L3 + C3( ) D6 = 640 + 120

D6 = 745 dólares

Interpretación:

Significa que el 60% de los turistas que arribaron a la ciudad del Cuzco gastaron


gastos fueron superiores a 745 dólares.

1.3 PERCENTILES O CENTILES: Pr

Los Percentiles son estadígrafos de posición que dividen a la totalidad de la

distribución en 100 partes iguales, donde cada uno de ellos incluye el 1% de las

observaciones. Los percentiles se aplican cuando existen numerosos valores de la

variable con una alta frecuencia total.

Si se estudia el 1% de las observaciones inferiores, se dice que se está analizando

el Percentil 1 (P1)

Si se estudia el 2% de las observaciones inferiores, se dice que se está analizandoel Percentil 2 (P2); y así sucesivamente se puede estudiar hasta el 99% de las

observaciones inferiores donde se dice que está analizando el Percentil 99 (P99).

P1 se interpreta como el límite máximo del 1% de las observaciones inferiores o


P15 se interpreta como el límite máximo del 15% de las observaciones inferiores; o


P99 se interpreta como el límite máximo del 99% de las observaciones inferiores; ocomo el límite mínimo del 1% de las observaciones superiores.

Gráficamente se tiene:



11

Información

1%

P1

1%P2

1%

.

.

.

.

.

1%

P99

1%

TOTAL 100%

Existen 99 percentiles, cuyo cálculo se realiza de igual manera que la mediana,

cuartiles, quintiles o deciles, etc.

La fórmula de cálculo es la siguiente:

Pr = Li + Ci(

)

Se debe cumplir la siguiente relación:

N j-1 ≤ < N j

“j” Determina el intervalo en donde se

encuentra el Pr

Ejemplo 1.4:Calcular e interpretar el P25 para la población del Departamento de Lambayeque

según grupos de edades para el año 2007.



12

TABLA N° 01

POBLACIÓN DEL DEPARTAMENTO DE LAMBAYEQUESEGÚN GRUPOS DE EDAD, 2007

Grupos deEdades

Poblaciónf i = n i

Población

AcumuladaF i = N i

0 – 4 110 026 110 026

5 – 9 107 494 217 520

10 – 14 122 775 340 295

15 – 19 114 907 455 202

20 – 24 99 394 554 596

25 – 29 86 715 641 311

30 – 34 81 145 722 456

35 – 39 74 977 797 433

40 – 44 66 793 864 226

45 – 49 57 748 921 974

50 – 54 49 441 971 415

55 – 59 37 163 1 008 578

60 – 64 30 686 1 039 264

65 – 69 23 243 1 062 507

70 – 74 19 288 1 081 795

75 – 79 14 267 1 096 06280 y más 16 806 1 112 868

TOTAL 1 112 868 ---

Fuente: INEI, Censo de Población y Vivienda 2007

Solución:

P25=

=

=278217

Entonces: N j-1 = N2 = 217520

N j = N3 = 340295

j = 3, el P25 se encuentra en el 3º intervalo

Reemplazando los valores en la formula:



13

Pr = Li + Ci(

) P25 = 10 + 5

P25 = 12.47 años

Interpretación:La cuarta parte de la población del Departamento de Lambayeque es menor que 13

años o también el 25% de la población del Departamento de Lambayeque tiene como

máximo 12.47 años; mientras que el restante es decir el 75% supera los 12.47 años.

CUESTIONARIO Y EJERCICIOS PROPUESTOS



14

1. ¿Para qué se utilizan los percentiles?

2. ¿En cuántas partes se divide la información con:

2.1 Los cuartiles

2.2 Los quintiles

2.3 Los deciles

2.4 Los percentiles

3. La siguiente tabla corresponde a las calificaciones de 30 alumnos en el curso de

Muestreo Complejo.

Cali f icaciones Nº de alumno sf i

[05 – 08) 3

[08 – 11) 6

[11 – 14) 12

[14 – 17) 6

[17 – 20) 3

Total 30

Se pide:a) Calcular e interpretar la media, la mediana y la moda

b) Calcular e interpretar Q1, Q2, y Q3

4. Se conoce la siguiente distribución en base a las calificaciones de 50 niños:

Calificaciones f i

[7 ; 9> 4

[9;11> 5

[11;13> 11[13;15> 20

[15;17> 6

[17;19> 4

Encuentre las medidas de tendencia central y D1, D5 y D7

separata 4

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