sequence1
TRANSCRIPT
1 ลาดบ
ลาดบ
จากด
และอนน
ต ชน
ดของลาดบ
• ลาดบ
เลขค
ณต
• ลาดบ
เรขาคณต
•
ลาดบ
ฮารโมน
ค
ตวกล
างขอ
งลาดบ
• ตว
กลางเลขค
ณต
• ตว
กลางเรข
าคณต
•
ตวกล
างฮารโมน
ค
ลาดบ
ลเขา-ล
ออก
อนกรม
อนกรมจ
ากดแ
ละอน
นต
สญลก
ษณแท
นการบว
ก
อนกรมเลข
คณต
อนกรมเรข
าคณต
อนกรมล
เขา-ล
ออก
โจทย
ปญหา
2
ลาดบและอนกรม
1.ลาดบ ฟงกชนทมโดเมนเปน {1, 2,3,..., }n เมอ n เปนจานวนเตมบวก และเรนจ เปนเซตของจานวนจรง ตวอยาง เชน
1) ( ) 3 2f n n= + เปนฟงกชนทเมอแทน
1 (1) 3(1) 2 52 (2) 3(2) 2 83 (3) 3(3) 2 11
n fn fn f
= ⇒ = + == ⇒ = + == ⇒ = + =
i i ii i ii i i
เรานาคาของฟงกชนมาเขยนเรยงกน ดงนคอ
(1), (2), (3),...5, 8 , 11,...
f f f
เราเรยกวา “ลาดบ” และบอกวา พจนท 1 มคาเทากบ 5 พจนท 2 มคาเทากบ 8 และพจนท 3 มคาเทากบ 11
3
2) จงเขยนลาดบ 2( )f n n= เมอ n I +∈ ทาการแทนคา n ดงน
2
2
2
1 (1) 1 12 (2) 2 43 (3) 3 9
n fn fn f
= ⇒ = =
= ⇒ = =
= ⇒ = =
i i ii i ii i i
21,4,9,...,n⇒ เปนลาดบทตองการ โดยมพจนท 1 เทากบ 1 , พจนท 2 เทากบ 4 ,
พจนท 3 เทากบ 9 และพจนท n เทากบ 2n
2.ลาดบจากดและลาดบอนนต 2.1 ลาดบจากด คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตจากด เชน {1, 2,3, 4}หรอ{1, 2,3,4,5,6}
หรอ {1,2,3,..., }n โดยทเราสามารถบอกไดวา n คอตวเลขอะไรทแนนอน ตวอยาง เชน 1) 1,3,5,7,9,11 เปนลาดบจากด เพราะวามโดเมนเปน{1, 2,3, 4,5,6} ซง
เปนเซตจากด เราสามารถบอกไดวา ลาดบนม 6 พจน โดยท พจนท 1 เทากบ 1 , พจนท 2 เทากบ 3 , พจนท 3 เทากบ 5 , พจนท 4 เทากบ 7 , พจนท 5 เทากบ 9 และพจนท 6 เทากบ 11
2) 1 1 1 11, , , ,...,2 3 4 100 เปนลาดบจากด เพราะวามโดเมนเปน{1,2,3,...,100}
ซงเปนเซตจากด เราสามารถบอกไดวา ลาดบนม 100 พจน โดยท พจนท 1 เทากบ 1 ,
พจนท 2 เทากบ 12 , พจนท 3 เทากบ
13 , พจนท 4 เทากบ
14 , … , และ พจน
ท 100 เทากบ 1
100
2.2 ลาดบอนนต คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตอนนต คอ {1, 2,3,...} ตวอยาง เชน
4
1) 2, 4,6,.... เปนลาดบอนนต เพราะวามโดเมนเปน {1, 2,3,...} ซงเปนเซตอนนต
และสามารถเขยนฟงกชนของลาดบไดคอ ( ) 2f n n=
2) 1 1 11, , , ,....4 9 16 เปนลาดบอนนต เพราะวามโดเมนเปน {1,2,3,...} ซงเปนเซต
อนนต และสามารถเขยนฟงกชนของลาดบไดคอ 2
1( )f nn
=
แบบฝกหด
1. จงหา 4 พจนแรกของลาดบดงตอไปน
1.1) 5 2na n= − 1.2) 2 5na n= + 1.3) ( 2)n
na = −
1.4) 2
1nnan
=+
5
1.5) 4 ( 1)nna = + −
1.6)
22na n= +
1.7) ( 1) ( )1
nn
nan
= −+
1.8) (2 2)(3 1)na n n= + −
1.9) ( 1)( 1) sin( )
2n
nna π+= −
1.10) 1 13 2n n na a a+ −= − 2. จงหาพจนถดไปอก 2 พจนของลาดบตอไปน 2.1) , , , ,...2 6 10 14
6
2.2) , , , ,...1 4 16 64 2.3) , , , ,...200 195 190 185 2.4) , , , ,...729 243 81 27
2.5) 1 1 1 1, , , ,...5 10 15 20
2.6) , , , ,...2 − 8 18 − 32
7
2.7) , , , ,...3 33 333 3333 3. จงหาพจนท n ของลาดบตอไปน 3.1) , , , ,...1⋅3 3⋅5 5 ⋅7 7 ⋅9 3.2) , , , ,...5 7 9 11
3.3) 1 1 1, , ,...2 4 8
3.4) , , , ,...1 3 7 15
3.5) 1 1 11 , , , ,...2 6 24
8
3.6) , , , ,...1 3 7 13
3.7) 3 4 5 6, , , ,...5 6 7 8
4. บอกลาดบทกาหนดใหวาเปนลาดบจากดหรอลาดบอนนต 4.1) , , , ,..., 4004 8 16 32 4.2) , , , ,..., 002 4 6 8 10 4.3) , , ,..., 10( ) ,...n10 20 30
4.4) 12n na = เมอ 1, 2,3,..., 200n =
4.5) 2 1n
na = −
4.6) 24 1
nnan
−=
9
5. ขอใดตอไปนเปนลาดบอนนต 5.1) , , , ,...3 6 9 12 5.2) , , , , 2 ,...10 8 6 4 5.3) 2 7na n= − เมอ {1, 2,3,...}n ∈ 5.4) 3 5na n= + เมอ {1, 2,3}n ∈
3.ชนดของลาดบ
3.1 ลาดบเลขคณต คอ ลาดบซงมผลตางของพจนท n กบ n-1 เปนคาคงท เมอ n I +∈ เราเรยกผลตางนวา “ผลตางรวม” แทนดวยสญลกษณ d
ชนดของลาดบ
ลาดบเลขคณต ลาดบเรขาคณต ลาดบฮารโมนค
10
2 1 3 2 4 3 1... n na a a a a a a a d−− = − = − = = − =
จากสตรหาพจนท n หมายความวา ในลาดบเลขคณต ถาเราทราบพจนแรกหรอพจนท 1 และทราบคา “ผลตางรวม” (d) ของลาดบเลขคณตแลว เราสามารถหาพจนท n ไมวา n จะเปนจานวนเตมบวกทมคาเทากบเทาไร……….. ไดนนเอง ตวอยาง เชน
1. ลาดบเลขคณตทมพจนแรก เทากบ 1 และม “ผลตางรวม” (d) เทากบ 2 จะมลกษณะดงน
ซงเราสามารถหาพจนท n ( )na ไดดงน
1 ( 1)1 ( 1)(2)1 (2 2)2 1
n
n
n
n
a a n da na na n
= + −= + −= + −= −
ลาดบเลขคณต 1 2 3 4 1, , , ,..., ,n na a a a a a−
ลาดบเลขคณต 1 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., ( 1)a a d a d a d a n d+ + + + −
สตรหาพจนท n 1 ( 1)na a n d= + −
1 , , 5 , 7 , 9 ,..., 2 1n 3 −
+2 +2 +2 +2
11
2. ลาดบเลขคณตทมพจนแรก เทากบ 2 และม “ผลตางรวม” (d) เทากบ -3 จะมลกษณะดงน
ซงเราสามารถหาพจนท n ( )na ไดดงน
1 ( 1)2 ( 1)( 3)2 ( 3 3)
3 5
n
n
n
n
a a n da na na n
= + −= + − −
= + − += − +
จากสตรหาพจนท n หมายความวา เราสามารถหาพจนท n เปนจานวนเทาไรกได เชน ถาตองการ
หาพจนท 20 เราเขยนสญลกษณวา 20a ซงสามารถหาไดดงน
แทนคา n=20………….
20
20
20
3 53(20) 560 5
55
na naa
a
= − += − +
= − +∴ = −
3. กาหนดลาดบเลขคณตดงน
จงหาพจนท 40 40( )a =?
, , , 7 , ,..., ( 3 5)n2 −1 − 4 − −10 − +
-3 -3-3 -3
, , , , ,...5 8 11 14 17
12
วธทา
1) หา 1 ?a = และ ?d =
จากโจทยพจนแรก ……… 1 5a = และ………………… 17 14 14 11 11 8 8 5 3d = − = − = − = − =
2) จากสตรพจนท n ……. 1 ( 1)na a n d= + −
5 ( 1)(3)5 (3 3)3 2
n
n
n
a na na n
= + −
= + −
= +
แทนคา n=40
40
40
40
3(40) 2120 2
122
aa
a
= +
= +
∴ =
4. จากลาดบทกาหนดใหขางลางน จงตรวจสอบวาเปนลาดบเลขคณตหรอไม
จากลาดบทโจทยใหมา
หา 1 ?a = และ ?d =
1 ( 1)na a n d= + −
40 ?a =
, , , , ,...4 4 4 4 4
13
วธทา
1) จากลาดบทโจทยใหมา…สามารถหาคา 1 4a = และ 4 4 0d = − = 2) ลาดบดงกลาวสามารถหาคา d ได………..เปนลาดบเลขคณต
5. ลาดบเลขคณตหนงม 3 10a = และ 10 59a = จงหา 80 ?a = วธทา
จากลาดบทโจทยใหมา
ตรวจสอบวาลาดบนสามารถหาผลตางของพจนท n กบ n-1 เทากนหรอไม หรอ สามารถหาคา “ผลตางรวม” (d) ไดหรอไม
ลาดบนเปน….ลาดบเลขคณต
1) ลาดบเลขคณต
3 10a = และ 10 59a =
2) หา 1a และ d จาก
3 1 2a a d= + และ
10 1 9a a d= + …….. ( )( )
1
1
10 2 ......... 1
59 9 ......... 2
a d
a d
= +
= +
3) 1 4a = − และ 7d =
4) 80 ?a =
1
80
80
80
( 1)( 4) (80 1)(7)( 4) (79)(7)549
na a n daaa
= + −
= − + −
= − +
=
14
6. จงหาพจนท n ของ ลาดบเลขคณต 10,000 , 9,700 , 9,400 , … วธทา
1) หา 1 ?a = และ ?d =
1 10,000a = และ 9,400 9,700 9,700 10,000 300d = − = − =
2) จากสตร………….. 1 ( 1)na a n d= + −
(10,000) ( 1)( 300)10,000 300 300
300 10,300
n
n
n
a na na n
= + − −
= − +
= − +
7. ถาผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกของลาดบเลขคณตทม d เปนผลตางรวมเทากบ 15
และ 80 ตามลาดบ แลว 2 ?d =
วธทา 1) เขยน 3 พจนแรกของลาดบเลขคณตน
2) ผลบวกของ 3 พจนแรกเขยนแทนดวย ……….. 3 15S =
3 2 2 2
3 2
2
2
( ) ( )3
15 35
S a d a a dS a
aa
∴ = − + + +
=
=∴ =
1 1 1, , 2a a d a d + +
2 2 2, ,a d a a d− +
แปลงเปน
15
3) ผลคณของ 3 พจนแรกเขยนแทนดวย ……….. 3 80A =
3 2 2 2
3 2 2 22 2
3 2 2
2 22 2
( )( )( )( )( )
( )
80 ( )
A a d a a da a d a d
a a d
a a d
∴ = − +
Α = − +
Α = −
= −
4) แทนคา 2 5a = ลงใน ……. 2 2
2 280 ( )a a d= −
2 2
2
2
2
2
2
80 5(5 )80 5(25 )80 125 55 125 805 45
9
ddd
ddd
= −
= −
= −
= −
=
∴ =
3.2 ลาดบเรขาคณต คอลาดบซงมอตราสวนของพจนท n และ พจนท n-1 เทากน ซงสามารถเขยนแทนลาดบไดวา
32
1 2 1
... n
n
a aa ra a a −
= = = =
เราเรยกอตราสวนทเทากน (r) นวา “อตราสวนรวม” ของลาดบเรขาคณต
ลาดบเรขาคณต 1 2 3 4 1, , , ,..., ,n na a a a a a−
ลาดบเรขาคณต 2 3 ( 1)1 1 1 1 1, , , ,..., na a r a r a r a r −
พจนท n ( )na ของลาดบเรขาคณต
16
หมายความวา …….. ในลาดบเรขาคณต ถาเราทราบคาพจนแรก 1( )a และคา “อตราสวนรวม” (r) ………เราสามารถหาพจนใดๆของลาดบเรขาคณตนไดเสมอ ตวอยาง เชน
1. ลาดบเรขาคณตตอไปน
จงหาพจนท 40 40( )a =? วธทา
สตรหาพจนท n ( 1)1
nna a r −=
, ,2 4 8 , 16 , ...
1) ลาดบเรขาคณตจากโจทย
2) หา 1 ?a = และ r=?
1 24 8 16 22 4 8
a
r
=
= = = =
3) หา 40 ?a =
( 1)1
(40 1)40 1
3940
4040
(2)(2)
2
nna a r
a a r
a
a
−
−
=
=
=
∴ =
17
2. พจารณาลาดบตอไปน
วาเปนลาดบเรขาคณตหรอไม? วธทา
1) จากลาดบทโจทยใหมา……..หาวาลาดบดงกลาวม “อตราสวนรวม” (r) หรอไม
32 4
1 2 3
2 2 2 422 2 2
2 2 2
2
aa ara a a
r
r
r
= = =
= = =
= = =
∴ =
2) แสดงวาลาดบดงกลาวเปน……… ลาดบเรขาคณตทม 1 2a = และ 2r = สามารถหาพจนท n ไดดงน
( 1)1
( 1)
( )2
( 2)( 2)
( 2)
2
nn
nn
nn
n
n
a a r
a
a
a
−
−
=
=
=
∴ =
3. ลาดบเรขาคณตตอไปน
จงหา 20 ?a =
2 , , 2 2 2 , 4 , ...
, ,5 25 125 , ...
18
วธทา
1) ลาดบเรขาคณตจากโจทย หา 1 ?a = และ ?r =
2) 1 5a = และ 5r =
3) หา 20 ?a =
( 1)1
( 1)
2020
(5)(5)
5
5
nn
nn
nn
a a r
a
a
a
−
−
=
=
=
∴ =
4. ลาดบเรขาคณต ทม 3 64a = และ 7 4a = จงหาวา 10 ?a =
วธทา
1) หา 1 ?a = และ ?r = จาก 2
3 1
67 1
,a a r
a a r
=
=
2) ( )2164 .......... 1a r=
6
14 ............(2)a r=
นา (2)/(1) 6
12
1
464
a ra r
=
, , 5 , ...5 25 12 (x5) (x5)
19
4
4 4
116
1( )212
r
r
r
=
=
∴ =
แทนคา 12
r = ใน (1) 2
1164 ( )2
a=
1
1
164 ( )4
256
a
a
=
∴ =
3) หา 10 ?a = จาก
( 1)
1
( 1)
8( 1)
(8 ( 1))
(9 )
(9 10)10
( 1)10
10
1(256)( )21(2 )( )
22
2
2
212
nn
nn
n n
nn
nn
a a r
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
− −
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
∴ =
5. กาหนดให 1 2 3, ,a a a เปนลาดบเรขาคณต จงหา 2a เมอ 1 316, 400a a= = วธทา
20
1) หา ?r = จาก 1 16a = และ 2
3 12
2
2
400 16( )40016
255
a a r
r
r
rr
=
=
=
=∴ =
2) หา 2 ?a = จาก
2 1
2
2
16(5)80
a a ra
a
==
∴ =
6. จงหาพจนท 7 ของลาดบเรขาคณตตอไปน
วธทา
1) หา 1 ?a = และ ?r = …… จากโจทย 1 27a =
32
1 2
18 1227 182 23 3
23
aara a
r
r
r
= =
= =
= =
∴ =
, ,27 18 12 , ...
21
2) จาก…………………. ( 1)1
nna a r −=
( 1)
3 ( 1)
( 1)
(3 ( 1)) ( 1)
(4 ) ( 1)
2(27)( )3
(3 )(2)(3)
(3) (2)
(3) (2)
nn
n
n n
n nn
n nn
a
a
a
a
−
−
−
− − −
− −
=
=
=
∴ =
3) หา 7 ?a = (4 ) ( 1)
(4 7) (7 1)7
( 3) 67
7
7
(3) (2)
(3) (2)
(3) (2)1( )(64)276427
n nna
a
a
a
a
− −
− −
−
=
=
=
=
∴ =
3.3 ลาดบฮารโมนค คอ ลาดบทแตละพจนเปนสวนกลบของลาดบเลขคณต ซงสามารถเขยนแทนลาดบฮารโมนคไดดงน
1 2 3
1 1 1 1, , ,...,na a a a
ลาดบ 1 2 3
1 1 1 1, , ,...,na a a a เปนลาดบฮารโมนค กตอเมอ 1 2 3, , ,..., na a a a เปน
ลาดบเลขคณต
+d +d
22
1 1 1 1
1 1 1 1, , ,...,2 ( 1)a a d a d a n d
+ + + −
ตวอยาง เชน
1. จงบอกวาลาดบ 1 1 1, , ,...,2 3 n
1 เปนลาดบฮารโมนคหรอไม
วธทา 1) เขยนลาดบเปนเศษสวนโดยใหตวเศษมคาเปน 1
1 1 1 1, , ,...,1 2 3 n
2) พจารณาตวสวน เปนลาดบเลขคณตม “ผลตางรวม” (d) เทากบ 1 3) ∴ ลาดบดงกลาวเปนลาดบฮารโมนค
2. ลาดบฮารโมนคชดหนง ม 3 10a = และ 1310101
a = จงหา 5 ?a =
วธทา
1) ลาดบฮารโมนค คอ สวนกลบของลาดบเลขคณต
2) ลาดบฮารโมนค 3 10a = 31
10a = ลาดบเลขคณต
ลาดบฮารโมนค 1310101
a = 1310110
a = ลาดบเลขคณต
3) แปลงโจทย ลาดบเลขคณต ม 31
10a = และ 13
10110
a = หา
5 ?a =
+1 +1
23
4) จาก 3 1 2a a d= +
11 2 .........(1)
10a d= +
และ
13 1
1
12101 12 .........(2)10
a a d
a d
= +
= +
5) หา 5a
5 1
5
5
5
419( ) 4(1)
1019 4
102110
a a d
a
a
a
= +−
= +
−= +
∴ =
6) 52110
a = ลาดบเลขคณต………….. 51021
a = ลาดบฮารโมนค
7) 51021
a∴ =
4.ตวกลางของลาดบ 4.1 ตวกลางของลาดบเลขคณต (Arithmetric Mean) 4.1.1 ตวกลางมพจนเดยว กรณน ลาดบม 3 พจน คอ
(2)-(1) ได d=1 และ
119
10a −
=
24
1 2 3, ,a a a เปนลาดบเลขคณต ตวอยาง เชน
1. จงหาตวกลางของลาดบเลขคณต ทมพจนแรก เทากบ 2 และพจนทาย เทากบ 20 วธทา
1) จากโจทย 1 2a = และ 3 20a =
2) 1 3
22 20 11
2 2a aa + +
= = =
3) ตวกลางนคอ 11
4.1.2 ตวกลางทมหลายพจน เชน ในกรณทตองการหาตวกลาง 3 พจน …..ลาดบนนจะม 5 พจน คอ
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a
2a คอ ตวกลางพจนเดยวของลาดบเลขคณต
1 32 2
a aa +=
ตวกลาง 3 พจนของลาดบเลขคณต
25
ในกรณทตองการหาตวกลาง 5 พจน …..ลาดบนนจะม 7 พจน คอ
1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,a a a a a a a ตวอยาง เชน
1. จงหาตวกลางลาดบเลขคณต จานวน 3 พจน ของลาดบเลขคณตตอไปน
2 3 4, , , ,a a a2 20
วธทา 1) เขยนลาดบ ระบตวกลาง 3 พจน
2 3 4, , , ,a a a2 20
2) หา d จาก ……….. 5 1 4a a d= +
20 2 418 4
184
92
dd
d
d
= +=
=
∴ =
3) หา 2 3 4, ,a a a
ตวกลาง 5 พจนของลาดบเลขคณต
ตวกลาง 3 พจนของลาดบเลขคณต
26
2 1
2
2
922
132
a a d
a
a
= +
= +
∴ =
3 1
3
3
292 2( )2
11
a a d
a
a
= +
= +
∴ =
4 1
4
4
392 3( )2
312
a a d
a
a
= +
= +
∴ =
4) ตวกลาง 3 พจน นคอ 13 31,11,2 2
2. จงหาตวกลางของลาดบเลขคณต จานวน 2 พจน ของลาดบเลขคณตตอไปน
2 3, , ,a a5 30 วธทา
1) เขยนลาดบ ระบตวกลาง 2 พจน
2 3, , ,a a6 30
2) หา d จาก ……….. 4 1 3a a d= +
30 6 324 3
8
dd
d
= +=
∴ =
3) หา 2 3,a a
ตวกลาง 2 พจนของลาดบเลขคณต
27
2 1
2
2
6 814
a a da
a
= += +
∴ =
3 1
3
3
26 2(8)
22
a a da
a
= +
= +∴ =
4) ตวกลาง 2 พจน นคอ 14, 22
4.2 ตวกลางของลาดบเรขาคณต (Geometric Mean) 4.2.1 ตวกลางพจนเดยว กรณน ลาดบเรขาคณต จะม 3 พจน คอ
1 2 3, ,a a a เปนลาดบเรขาคณต ตวอยาง เชน
1. จงหาตวกลางของลาดบเรขาคณต ทมพจนแรก เทากบ 3 และพจนทาย เทากบ 12 วธทา
1) เขยนลาดบเรขาคณตจากโจทย
2) 2 3(12) 36 6a = = =
3) ตวกลางของลาดบน คอ 6
2a คอ ตวกลางพจนเดยวของลาดบเรขาคณต
2 1 3a a a=
23 , , 12a
28
4.2.2 ตวกลางหลายพจน เชน ในกรณหาคากลางเรขาคณต 3 พจน ลาดบ จะม 5 พจน คอ
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ตวอยาง เชน
1. จงหาตวกลางเรขาคณต 3 พจน ของลาดบเรขาคณตทมพจนแรก เทากบ 2 และพจนทาย เทากบ 162
วธทา 1) เขยนลาดบเรขาคณตน
2 3 4, , , ,a a a2 162
2) หาคา r (อตราสวนรวมของลาดบเรขาคณต)
จาก ……………….4
5 1a a r=
4
4
4
162 (2)162
2813
r
r
rr
=
=
=∴ =
3) หา 2 3 4, ,a a a
ตวกลาง 3 พจนของลาดบเรขาคณต
ตวกลาง 3 พจนของลาดบเรขาคณต
29
2 1
2
2
2(3)6
a a ra
a
==
∴ =
23 1
23
3
2(3)18
a a r
aa
=
=
∴ =
34 1
34
4
2(3)54
a a r
aa
=
=∴ =
4) ตวกลาง 3 พจน ของลาดบน คอ 6, , 18 54 4.3 ตวกลางของลาดบฮารโมนค (Harmonic Mean) 4.3.1 ตวกลางพจนเดยว
1 2 3, ,a a a เปนลาดบฮารโมนค
ตวอยาง เชน
1. จงหาตวกลางฮารโมนค ของลาดบฮารโมนค 5 , , 10 วธทา
1) เขยนลาดบฮารโมนค
25 , ,a 10
2a คอ ตวกลางพจนเดยวของลาดบฮารโมนค
1 32
1 3
2a aaa a
=+
2a คอตวกลางพจนเดยวของลาดบฮารโมนค
30
2) หา 2a
จาก…………………1 3
21 3
2a aaa a
=+
2
2
2
2(5)(10)5 10
2(5)(10)15
203
a
a
a
=+
=
∴ =
4.3.2 ตวกลางหลายพจน เชนในกรณ ตวกลาง 3 พจน ของลาดบฮารโมนค
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a เปนลาดบฮารโมนค
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a เปนลาดบฮารโมนค
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1, , , ,a a a a a
เปนลาดบเลขคณต
ตวกลาง 3 พจนของลาดบฮารโมนค
หา 2 3 4
1 1 1, ,a a a
หา 2 3 4, ,a a a
31
ตวอยาง เชน 1. จงหาตวกลางฮารโมนค 2 พจน ของลาดบฮารโมนค 5 , , , 10
วธทา
1) แปลงลาดบฮารโมนค ลาดบเลขคณต
2 31 1, , ,5 10
a a
2) หา d (ผลตางรวมของลาดบเลขคณต)
จาก……………………. 4 1 3a a d= +
1 1 310 5
1 310
130
d
d
d
= +
−=
−∴ =
3) หา 2 3,a a
2 1
2
2
1 1( )5 30
16
a a d
a
a
= +−
= +
∴ =
3 1
3
3
21 12( )5 30
215
a a d
a
a
= +−
= +
∴ =
4) แปลงกลบจาก ลาดบเลขคณต ลาดบฮารโมนค
21 66
a = → 32 15
15 2a = →
5) ตวกลางฮารโมนค 2 พจน คอ 156,2
ลาดบเลขคณต
32
แบบฝกหด 1. จงหาพจนท n ของลาดบเลขคณตตอไปน
1.1) 2, 1, 4, 7, 10,...− − − −
1.2) 4,2,0, 2,...−
1.3) 1 30, ,1, , 2,...2 2
1.4) 17,10,3, 4, 11,...− −
33
1.5) 150,300, 450,... 2. จงหาพจนทกาหนดให ในแตละขอตอไปน
2.1) 9a เมอ 1 5a = − และ 2d =
2.2) 15a เมอ 143
a = และ 13
d =
34
2.3) 30a เมอ 1 4a = − และ 2d =
2.4) 20a เมอ 1 2a = และ 3d =
2.5) 10a เมอ 152
a = และ 3
2d −
=
35
3. ถา 3 พจนแรก ของลาดบเลขคณต คอ 20,16 และ 12 ตามลาดบ แลว -96 เปนพจนทเทาใดของลาดบน
4. จงหาคา x ททาใหลาดบ -1,x,7 เปนลาดบเลขคณต
36
5. ลาดบ 11,a,b,18.5 เปนลาดบเลขคณต จงหาคา a+b 6. จงหาคาตอบของคาถามตอไปน 6.1) มจานวนเตมกจานวนตงแต 1 ถง 200 ทหารดวย 4 ลงตว 6.2) มจานวนเตมกจานวนตงแต 1 ถง 200 ทหารดวย 6 ลงตว
37
6.3) มจานวนเตมกจานวนตงแต 1 ถง 200 ทหารดวย 4 และ 6 ลงตว 6.4) มจานวนเตมกจานวนตงแต 1 ถง 200 ทหารดวย 4 หรอ 6 ลงตว 6.5) มจานวนเตมกจานวนตงแต 1 ถง 200 ทหารดวย 4 ลงตว แตหารดวย 6 ไมลงตว
38
7. ถา 2 และ 26 เปนพจนสองพจนของลาดบเลขคณตทมพจนอกสามพจนเรยงอยระหวางพจนทงสองน จงหาพจนทง 3 พจนน
8. ถา p,5p,6p+9 เปน 3 พจนเรยงกนในลาดบเลขคณต จงหาคา p 9. ถาผลบวก 3 พจนแรกของลาดบเลขคณต คอ 12 และผลบวกของกาลงสามของแตละพจน
นนคอ 408 จงหาลาดบน
39
10. ถาจดแผนไมกองหนงซอนๆกน ใหชนลางมไมเรยงตามยางชดกนตลอด 52 แผน วางชนท 2 ใหแนวกงกลางของไมแตละแผนในชนนอยตรงรอยตอของไมแตละคในชนแรก ทาเชนนในชนตอๆไป จนชนบนสดมไม 7 แผน จงหาความสงของกองไมน ถาไมทกแผนเรยบ และหนา 3 เซนตเมตร เทากนทกแผน
11. ชายคนหนงจายเงนคางวดซอรถยนตเปนเวลา 5 ป โดยทแตละเดอนจะตองจาย 1 งวด ถา
งวดแรกจาย 12,000 บาท และเดอนถดไปเงนคางวดจะลดลงจากงวดทแลว 100 บาท งวดสดทายเขาตองจายเงนกบาท
40
12. จงตอบคาถามตอไปนตอไปน
12.1) จงหาพจนทวไปของลาดบเรขาคณตตอไปน 218,6,2, ,...3
12.2) จงหาพจนทวไปของลาดบเรขาคณตตอไปน 2 4 8 16, , , ,...3 3 3 3
12.3) จงหาพจนท 9 ของลาดบ 2, 4,8,16,...
41
12.4) จงหาพจนท 8 ของลาดบ 1 1 1 1, , , ,...2 6 18 54
12.5) พจนทเทาใดของลาดบเรขาคณต 5 5 5, , ,...
243 81 27 มคาเทากบ 135
12.6) กาหนดลาดบเรขาคณตทมพจนท 3 เทากบ 18 และพจนท 7 เทากบ
1128 จงหาพจน
ท 9
42
13. จงหาลาดบเรขาคณตทมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน -3 และ 8 ตามลาดบ 14. ผลบวกของจานวน 3 จานวนเรยงกนทเปนลาดบเรขาคณตมคาเทากบ 31 และผลคณของ
3 จานวนนเปน 125 จงหาจานวนทมคานอยทสด 15. จงหาคา x ททาใหลาดบ 5,x,20 เปนลาดบเรขาคณต
43
16. ลาดบ 27 8, , ,8 27
m n เปนลาดบเรขาคณต จงหาคา m n⋅
17. นาย ก , ข และ ค มอาย 5,13 และ 29 ป ตามลาดบ อกกป อายของ นาย ก , ข และ ค
จะมลกษณะเรยงเปนลาดบเรขาคณต
44
18. ปลอยลกบอลจากทสง 10 เมตร ในแตะละครงทลกบอลกระดอนขนจะกระดอนขนมา
สงเปนระยะ 7
10 ของครงกอนเสมอ จงหาวาหลงจากทลกบอลกระทบพนครงท 5 ลกบอล
จะกระดอนขนมาสงสดเทาใด [กาหนด 5(0.7) 0.17≈ ]
19. ถาลาดบ 1 1 11, , ,
2 3 2b a b a b− − เปนลาดบ ฮารโมนคแลว จงหาพจนท 100
45
5.ลาดบลเขา-ลออก
กาหนดลาดบ 1 2 3, , ,...a a a เปนลาดบอนนต ถาลาดบอนนตนน พจนทเปนอนนต มคาเขาใกลหรอเทากบ L โดยท L R∈ เราเรยกลาดบนนวา “ลาดบลเขา” (Convergent Sequence) แตในกรณทไมสามารถหาคา L ได เราเรยกลาดบนวา “ลาดบลออก” (Divergent Sequence) กาหนดลาดบ 1 2 3, , ,...a a a เปนลาดบอนนต ซงม na เปนพจนท n ของลาดบ และ
L R∈ ถา lim nna L
→∞= “ลาดบลเขา”
ถา lim nna
→∞ หาคาไมได “ลาดบลออก” คณสมบตเกยวกบลมต
กาหนด ,n na b เปนลาดบอนนต ทม lim , limn nn na A b B
→∞ →∞= = และ
,c R n I +∈ ∈
1) limnc c
→∞=
2) lim( )nnca cA
→∞=
3) lim( ) lim limn n n nn n na b a b A B
→∞ →∞ →∞± = ± = ±
4) lim( ) lim limn n n nn n na b a b A B
→∞ →∞ →∞⋅ = ⋅ = ⋅
5)
limlim( ) , 0
limnn n
nn nn
aa A Bb b B
→∞
→∞→∞
= = ≠
46
ตวอยาง เชน
1. ลาดบ 1 1 11, , , ,...2 3 4 เปนลาดบลเขาหรอลาดบลออก
วธทา
1) พจารณา 1
nan
=
2) 1lim lim 0nn n
an→∞ →∞
= =
3) lim nna
→∞ สามารถหาคาได ลาดบนเปนลาดบลเขา
2. ลาดบ 3 5 7 91, , , , ,...2 3 4 5 เปนลาดบลเขาหรอลาดบลออก
วธทา 1) หา na
1 3 5 7 9, , , , ,...1 2 3 4 5
2 1 2 1 12nn nan n n n−
∴ = = − = −
2) 1 1lim lim ) lim(2) lim( ) 2 0 2nn n n n
an n→∞ →∞ →∞ →∞
= (2 − = − = − =
3) lim nna
→∞ สามารถหาคาได ลาดบนเปนลาดบลเขา
3. ลาดบ 2,4,6,8,... เปนลาดบลเขาหรอลาดบลออก วธทา
1) หา na 2 , 4 , 6 , 8 ,...
พจนท n =(2n-1)
พจนท n =n
2(1) 2(2) 2(3) 2(4)
47
2na n∴ =
2) lim lim(2 )nn na n
→∞ →∞= = ∞
3) lim nna
→∞ ไมสามารถหาคาได ลาดบนเปนลาดบลออก
4) ลาดบ 2, 2, 2, 2,...− − เปนลาดบลเขาหรอลาดบลออก วธทา
1) หา na
( 1)( 1) (2)n
na += −
2) ( 1)lim lim( 1) (2)n
nn na +
→∞ →∞= −
3) lim nn
a→∞ ไมสามารถหาคาได ลาดบนเปนลาดบลออก
6.สญลกษณแทนการบวก ( )∑
ความหมายของการใช ∑ แทนสญลกษณแทนการบวก ตวอยาง เชน
1) 1 2 31
...n
i ni
a a a a a=
= + + + +∑
2) 1 2 31
...ii
a a a a∞
=
= + + +∑
3) 5
1 2 3 4 51
ii
a a a a a a=
= + + + +∑
4) 7
3 4 5 6 73
ii
a a a a a a=
= + + + +∑ ………….เปนตน
สมบตทสาคญของ ∑ เมอ , ,n i I k R+∈ ∈
2 เมอ n เปนเลขค
-2 เมอ n เปนเลขค
48
1) 1 1 1
( )n n n
i i i ii i i
a b a b= = =
± = ± ∑ ∑ ∑
2) 1 1
( )n n
i ii i
ka k a= =
=∑ ∑
3) 1
n
ik kn
=
=∑
ตวอยาง เชน
1. กาหนดให 10
140i
ia
=
=∑ และ 10
132i
ib
=
=∑ จงหาคาของ 10
1(5 4)i i
ia b
=
+ +∑
วธทา
10 10 10 10
1 1 1 110 10 10 10
1 1 1 110
110
1
(5 4) (5 ) 4
(5 4) 5 4
(5 4) 5(40) 32 4(10)
(5 4) 272
i i i ii i i i
i i i ii i i i
i ii
i ii
a b a b
a b a b
a b
a b
= = = =
= = = =
=
=
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
∴ + + =
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
7.อนกรม
กาหนดให ……………………. 1 2 3, , , ... , na a a a เปนลาดบ เราเรยก 1 2 3 ... na a a a+ + + + วา อนกรมของลาดบนน เรามกใชสญลกษณ nS แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม
1 2 31
...n
n n ni
S a a a a a=
= = + + + +∑
มความหมาย คอ
1 1
2 1 2
S aS a a
== +
49
3 1 2 3S a a a= + + …………………….. เปนตน สตรอนกรมสาคญทควรร
1) 1
( 1)1 2 3 ...2
n
i
n nn i=
++ + + + = =∑
2) 2 2 2 2 2
1
( 1)(2 1)1 2 3 ...6
n
i
n n nn i=
+ ++ + + + = =∑
3) 2
3 3 3 3 3
1
( 1)1 2 3 ...2
n
i
n nn i=
+⎡ ⎤+ + + + = = ⎢ ⎥⎣ ⎦∑
ตวอยาง เชน
1. จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนกรม 1 3 3 5 5 7 7 9 ...⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + วธทา
1) หาพจนท n ของลาดบน 1 3,3 5,5 7,7 9,..., (2 1)(2 1)n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +
2) หา nS 1
(2 1)(2 1)n
ni
S i i=
= − +∑
2
1(4 1)
n
ni
S i=
= −∑
2
1 1
2
1 1
(4 ) 1
4 1
( 1)(2 1)4 (1)( )6
2 ( 1)(2 1)3
n n
ni i
n n
ni i
n
n
S i
S i
n n nS n
n n nS n
= =
= =
= −
= −
+ +⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦+ +
∴ = −
∑ ∑
∑ ∑
3) ผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมคอ 20S
50
จาก……………….2 ( 1)(2 1)
3nn n nS n+ +
= −
20
20
20
20
2(20)(20 1)(2(20) 1) 203
2(20)(21)(41) 203
11480 2011460
S
S
SS
+ += −
= −
= −
∴ =
หมายเหต
อนกรมทมาจากลาดบจากด เรารยกวา อนกรมจากด อนกรมทมาจากลาดบอนนต เรารยกวา อนกรมอนนต
8.อนกรมเลขคณต อนกรมเลขคณต เปนอนกรมทเกดจาก ลาดบเลขคณต
1 1 1 1, , , , ( 1)a a d a d a n d + + 2 ... + −
1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ... ( ( 1) )nS a a d a d a d a n d= + + + + + + + + + −
[ ] [ ][ ]
[ ]
1 1 1
1
1
1
1
... 2 3 ... ( 1)
1 2 3 ... ( 1)( 1)( 1 1)
2( 1)
2
2 ( 1)2
n
n
n
n
n
S a a a d d d n d
S na n dn nS na d
n nS na d
nS a n d
= + + + + + + + + −
= + + + + + −
− − += +
−= +
∴ = + −
n ตว
51
[ ]
[ ]
1 1
1
[ ( 1) ]2
2
n
n n
nS a a n d
nS a a
= + + −
= +
ตวอยาง เชน
1. ใหอนกรม A คอ 7 93 4 5 ...2 2
+ + + + + จงหาผลบวก 10 พจนแรกของ
อนกรม A วธทา
1) พจารณาลาดบ
เปนลาดบเลขคณต ม 1 3a = และ 12
d =
2) หา 10S จาก
[ ]1
10
10
10
10
10
2 ( 1)210 12(3) (10 1)( )2 2
95 62
(5)(21)2
1052
1522
nnS a n d
S
S
S
S
S
= + −
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦
=
=
∴ =
7 9, , 4 , , ...2 2
3 5 ,
12
+ 12
+ 12
+ 12
+
52
2. จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนกรม 2 4 6 8 ...+ + + + วธทา
1) พจารณาลาดบ
เปนลาดบเลขคณต ม 1 2a = และ 2d = 2) หา 20S จาก
[ ]
[ ]
[ ]
1
20
20
20
20
2 ( 1)220 2(2) (20 1)(2)2
10 4 (19)(2)(10)(42)
420
nnS a n d
S
SS
S
= + −
= + −
= +
=∴ =
9.อนกรมเรขาคณต อนกรมเรขาคณต เปนอนกรมทเกดจากลาดบเรขาคณต
กาหนด 2 1
1 1 1 1, , , , na a r a r a r − ... เปนลาดบเรขาคณต เ มอ 1,a r R∈
และ 1,r n I +≠ ∈
2 3 ( 1)1 1 1 1 1... ...........(1)n
nS a a r a r a r a r −= + + + + +
(1) r× 2 3 ( 1)1 1 1 1 1... ......(2)n n
nrS a r a r a r a r a r−= + + + + +
(1) (2)− 1 1................ nn nS rS a a r− = −
1
1
(1 ) (1 )
(1 )(1 )
nn
n
n
S r a r
a rSr
− = −
−=
−
, 4 , 6 , 8 , ...2
2+ 2+ 2+
53
ตวอยาง เชน
1. จงหาผลบวก 20 พจนแรกของ 1 1 1 11 ...2 4 8 16
+ + + + +
วธทา 1) พจารณาลาดบ
เปนลาดบเรขาคณต ทม 1 1a = และม 12
r =
2) หา 20S จาก 1(1 )..........(1 )
n
na rS
r−
=−
20
20
20
20
20 20
20 19
1(1)(1 )21(1 )2
112
12
12 1212
2
S
S
S
S
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠=
−
−=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
∴ = −
ขอสงเกต
จาก 1(1 )(1 )
n
na rS
r−
=−
1 1 1 1, , , , ...2 4 8 16
1 ,
12
× 12
× 12
× 12
×
54
กรณ 1(1 )1 lim lim1
n
nn n
a rr Sr→∞ →∞
−< ⇒ =
−
[ ]
1
1
1
1
lim lim(1 )1
lim 1 lim1
lim 1 01
lim1
nnn n
nnn n
nn
nn
aS rr
aS rr
aSr
aSr
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞
→∞
= −−
⎡ ⎤= −⎣ ⎦−
= −−
=−
หมายความวา อนกรมเรขาคณตทม 1r < จะสามารถหาผลบวกของอนกรมอนนตนน
ไดและผลบวกของอนกรมอนนตของลาดบเรขาคณตนน มคาเปน 1
1a
r−
10.อนกรมลเขา-ลออก
ลาดบอนนตใด มอนกรมของลาดบนนทสามารถหาคาได เราเรยกอนกรมนนวาเปน “อนกรมลเขา” (Convergent Series) สวนลาดบอนนตใด มอนกรมของลาดบนน ทไมสามารถหาคาได หรอหาคาไดไมแนนอน เราเรยกอนกรมนนวาเปน “อนกรมลออก” (Divergent Series) อนกรมลเขา lim ,nn
S L L R→∞
= ∈ อนกรมลออก lim nn
S→∞
หาคาไมได ขอสงเกต
55
1) อนกรมเลขคณตเปนอนกรมลออก ยกเวน กรณ 1 0a = และ 0d = คอ อนกรม 0 0 0 ...+ + + เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 0
2) อนกรมเรขาคณตเปนไดทงอนกรมลเขาและอนกรมลออก โดยมเงอนไขดงน
2.1) กรณ 1r > อนกรมเรขาคณตนนจะเปนอนกรมลออก หาผลบวกของอนกรมอนนตไมได
2.2) กรณ 1r < อนกรมเรขาคณตนนจะเปนอนกรมลเขา หาผลบวกอนกรมอนนต( S∞ )
นนได มคาเทากบ 1
1aS
r∞ =−
ตวอยาง เชน 1. อนกรมตอไปนอนกรมใดเปนอนกรมลออก
ก) 1 1 1 1... ...2 4 8 2n+ + + + +
ข) 1 1 1 1 1... ...2 6 12 20 ( 1)n n
+ + + + ++
ค) 1 1 1 1... ...
10 100 1000 10n+ + + + +
ง) 2 4 6 8 ... 2 ...n+ + + + + + วธทา
1.1) 1 1 1 1... ...2 4 8 2n+ + + + + เปนอนกรมเรขาคณตทม 1
12
a = และ 12
r =
คา 1r < …………..แสดงวาอนกรมนเปนอนกรมลเขา หาผลบวกของอนกรมไดดงน
1
1 12 2 11 11 1
2 2
aSr∞ = = = =
− −
1.2) 1 1 1 1 1... ...2 6 12 20 ( 1)n n
+ + + + ++ เราสงเกตวา
1 1 1 12 1 2 1 2
= = −⋅
56
1 1 1 16 2 3 2 3
= = −⋅
1 1 1 112 3 4 3 4
= = −⋅
1 1 1 120 4 5 4 5
= = −⋅
i i ii i i
1 1 1( 1) 1n n n n
= −+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ...2 6 12 20 ( 1) 1 2 2 3 3 4 4 5 1
111
n n n n n
n
∴ + + + + = − + − + − + − + − + −+ +
= −+
1lim lim(1 )1
11 lim( )1
nn n
n
Sn
n
→∞ →∞
→∞
∴ = −+
= −+
=1− 0 =1
∴ อนกรมนสามารถหาผลบวกทอนกรมอนนตได อนกรมนจงเปนอนกรมลเขา
1.3) 1 1 1 1... ...
10 100 1000 10n+ + + + + เปนอนกรมเรขาคณตทม 11
10a =
และ 1
10r = จะได 1r < ………อนกรมนจงเปนอนกรมลเขา ทสามารถหา
คาผลบวกของอนกรมไดดงน
1
1 1110 10
1 91 9110 10
aSr∞ = = = =
− −
1.4) 2 4 6 8 ... 2 ...n+ + + + + + เปนอนกรมเลขคณตทม 1 2a = และ
2d = สามารถหาคาผลบวกของพจนท n ไดดงน
57
[ ]
[ ]
[ ]
12 ( 1)2
2(2) ( 1)(2)2
2 22( 1)
n
n
n
n
nS a n d
nS n
nS n
S n n
= + −
= + −
= +
= +
2 2lim lim ( 1) lim( ) lim limnn n n n nS n n n n n n
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞= + = + = + = ∞ + ∞ = ∞
อนกรมนไมสามารถหาคาได ∴อนกรมนเปนอนกรมลออก ตอบขอ 1.4)
2. อนกรม 2 1 22 1 ...
2 2 4+ + + + + เปนอนกรมลเขาหรอลออก
วธทา 1) พจารณาลาดบ
เปนลาดบเรขาคณต ทม 1 2a = และม 2 0.707
2r = ≈
เพราะวา อนกรมนม 1r < …….อนกรมนจงลเขา สามารถหาผลบวกไดดงน
1
22
2 2 2 21 2 2 2 2 21
2 2(2 2)(2 2) (2 2)(2 2) (2 2)(2 2) 2 2 2
2(2 2)(2 2) 2 2
aSr∞ = = = =
− − −−
+ + + = = = = +
− + −
2 1 22 , 1 , , ,2 2 4
,
22
× 22
× 22
× 22
×
58
3. อนกรม 5 5 5 5 5... ...
1 2 2 3 3 4 4 5 ( 1)n n+ + + + + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + เปนอนกรมล
เขาหรอลออก วธทา
5 5 5 5 5...1 2 2 3 3 4 4 5 ( 1)
1 1 1 1 15 ...1 2 2 3 3 4 4 5 ( 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 ...1 2 2 3 3 4 4 5 1
15 11
n
n
n
n
Sn n
Sn n
Sn n n
Sn
= + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + − + − + − + − + −⎢ ⎥+⎣ ⎦⎡ ⎤= −⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 1lim lim 5 1 5 lim(1 )1 1
15 1 lim( ) 5[1 0] 51
nn n n
n
Sn n
n
→∞ →∞ →∞
→∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ = − = − =⎢ ⎥+⎣ ⎦
∴อนกรมนเปนอนกรมลออก และมผลบวกเทากบ 5
59
แบบฝกหด
1. กาหนดพจนท n ( )na ของลาดบตอไปน จงหาวาเปนลาดบลเขาหรอลออก
1.1) 1
nan
=
1.2) 2n
na = 1.3) ( 1)n
na = −
60
1.4) 2
2
2 16 1nn na
n− −
=+
1.5) 2
2
3 2 19 5n
n nan− −
=+
1.6) 2
2 11n
nan
−=
+
61
1.7) 25
6 1nn nan
−=
+
1.8) 5 4 3
2
2 2 4 16 1n
n n n nan
− + + −=
+
1.9) 5 4 3
5 4 3
3 2 12 2 4 1nn n n nan n n n
− + + +=
− + + −
62
1.10) ( 1)
( 2) ( 1)
3 23 2
n n
n n na−
+ −
+=
+
1.11) 2 (2 1)
2
2 32 5
n n
n n na+−
=+
63
1.12) ( 1)
2 ( 1)
7 25 2
n n
n n na−
−
−=
+
1.13) 2 24 2 1na n n n= + + − +
64
1.14) ( 1 1)na n n n= + − −
1.15) 2
2 4 6 ... 2n
nan
+ + + +=
65
1.16) 7 3 7 23 1 3 1nn nan n
+ − −=
+ − −
1.17) 3cos( )5n na =
66
1.18) 7 12
( 3)n nan
= + −−
1.19) ( 1) 1( 1) n
nan
+ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
67
1.20) 2 15n n
na +=
2. จงหาผลบวก 15 พจนแรกของอนกรมตอไปน
2.1) 2 2 2 21 3 5 7 ...+ + + +
68
2.2) 2 2 2 21 3 2 5 3 7 4 9 ...⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + 2.3) 1 3 7 13 21 ...+ + + + +
69
2.4) 22 3 1na n n= − +
3. จงหาผลบวก 75 พจนแรกของอนกรมเลขคณต 5 2 ( 1) ( 4) ( 7) ...+ + − + − + − +
70
4. จงหาผลบวกของจานวนเตมคบวกตงแต 17 ถง 379 5. จงหาผลบวกของจานวนเตมทหารดวย 5 ลงตว ซงอยระหวาง 32 และ 395
71
6. จงหาผลบวกของจานวนทเปนพหคณของ 11 ทอยระหวาง 100 ถง 200 7. อนกรมเลขคณต 2+7+12+17+… มผลบวกเปน 801 อนกรมนมกพจน
72
8. อนกรมเลขคณตชดหนงมผลบวก 4 พจนแรกเทากบ 68 และมผลบวก 6 พจนแรกเปน 78 จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรม
9. อนกรมเลขคณตชดหนงมพจนท n เปน 33 ผลบวก n พจนเทากบ 195 และผลตางรวม
เทากบ 3 จงหาพจนแรกของอนกรม และจงหาวาอนกรมนมกพจน
73
10. ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเลขคณตอนกรมหนงเทากบ 430 ถาพจนท 10 ถาพจนท 10 ของอนกรมนคอ 79 แลวผลบวก 3 พจนแรกมคาเทาใด
11. ผลบวก 40 พจนแรก และ 60 พจนแรกของอนกรมเลขคณตชดหนง มคาเทากบ 430
และ 945 ตามลาดบ จงหาผลบวก 80 พจนแรกของอนกรมน
74
12. นายวรต นาเงนไปฝากออมสนโดยฝากเดอนแรก 100 บาท เดอนถดไปเพมเดอนละ 25 บาท ทกเดอน ครบ 10 ป นายวรตนาเงนไปฝากธนาคารเทาใด
13. ตอนทนงในสนามกฬาแหงหนงมแถวทนงทงหมด 20 แถว ใน 10 แถวแรก ไดจดทนง
โดยใหม 30 ทนงในแถวแรก 32 ทนงในแถวสอง 34 ทนงในแถวสาม เปนดงนเรอยๆไปจนถงแถวท 10 สวนอก 10 แถวทเหลอจดใหมทนงแถวละ 50 ทนง จงหาจานวนทนงทงหมดในสนามกฬาแหงน
75
14. จงหาผลบวก 6 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 2 4 8 ...3 9 27
+ + +
15. จงหาผลบวกของพจนทกพจนของอนกรมเรขาคณต 2 ( 6) 18 ... 162+ − + + +
76
16. อนกรมเรขาคณตอนกรมหนง มพจนท 2 เทากบ 4 และมผลบวกของอนกรมเทากบ 16 ผลบวก 3 พจนแรกของอนกรมนเทากบเทาใด
17. อนกรมเรขาคณตชดหนง มผลบวก 4 พจนแรกเปน 60 และพจนท 4 มคาเปน 4 เทาของ
พจนท 2 จงหาผลบวก 6 พจนแรกของอนกรมน
77
18. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม 8+88+888+8888+… 19. ถาพจนท n ของอนกรมชดหนงเปน 22 2nn + จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมน
78
20. จงหาผลบวกของอนกรมจากด 1 40 3 38 5 36 ... 39 2⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 21. แบคทเรยกลมหนงขยายพนธโดยเพมขน 20% ในแตละชวโมง ถาเดมมแบคทเรย 1,000
ตว จงหาสตรทใชในการหาจานวนแบคทเรยในเวลา t ชวโมง และเมอเวลาผานไป 10 ชวโมง จะมแบคทเรยทงหมดกตว
79
22. ถงใบหนงมนาอย 20 ลตร เมอตกนาออกจากถงครงหนง แลวแทนดวยของเหลวชนดหนง จากนนกจะตกนาทมสวนผสมของของเหลวออกมาครงถงแลวเตมดวยของเหลวชนดเดมเขาไปแทน ถาทาเชนนไปเรอยๆเมอครบ 8 ครง จะมนาในถงเทาใด
23. จานวนเซลลแบคทเรยในการเพาะเชอจลนทรยทเวลา t ชวโมงมสตรเปน
( ) 600 ktn t e= เมอ k คอคาคงท ถาเวลาผานไป 2 ชวโมงมจานวนแบคทเรย 1,800 เซลล แลวเมอเวลาผานไป 4 ชวโมง จะมจานวนแบคทเรยกเซลล
80
24. จงหาผลบวกของอนกรมอนนต 1 1 12 ...2 8 32
+ + + +
25. จงเขยนทศนยม 0.4567 ใหอยในรปของเศษสวน
81
26. ลกปงปองตกจากโตะสง 4 ฟต ถาทกครงทลกปงปองตกกระทบพนจะกระดอนขนเปน
ระยะทาง 34เทาของความสงทตกลงมา ระยะทางทงหมดทลกปงปองเคลอนทในแนวดงเปน
กฟต 27. จงหาผลบวกของอนกรมอนนต 1 4 7 10 ...
3 9 27 81+ + + +
82
28. จงหาคาของ 1 1 1 13 9 27 813 9 27 81 ...⋅ ⋅ ⋅ ⋅
29. จงหาผลบวกของอนกรมอนนต
ก) 1 1 1 1 ...1 3 5 3 5 7 5 7 9 7 9 11
+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ข) 1 1 11 ...1 2 1 2 3 1 2 3 4
+ + + ++ + + + + +
83
30. อนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาลเขาจงหาผลบวก
30.1) ( 1)8 32 128 42 ... 2 ...
5 25 125 5
n−⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
30.2) 16 9 2 5 12 ... (7 23) ...n− − − + + + + − +
84
30.3) 1 1 1 1... ...
2 1 3 2 4 3 1n n+ + + + +
+ + + + +
30.4) 1
5( 1)4
kk
k
∞
=
−∑
85
30.5) 21
19 3 2k k k
∞
= + −∑
30.6) 3
1(4 3)(4 1)k k k
∞
= − +∑
86
31. จงหาคา x ทงหมดททาใหอนกรมลเขา และจงหาผลบวก
31.1) 2 3 4 5 6
1 2 4 8 16 ...x x x x x
+ + + + +
31.2) 2 3 41 1 1sin sin sin sin ...
2 4 4x x x x− + − +