sequências - aulas particulares para todas as séries e...
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Sequências
1. (Uem 2013) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica
definida por 1
n 1 n 1
a ra a a
e assinale o que for correto.
01) A soma dos 50 primeiros termos da sequência 1 2 3 4 5(a , a , a , a , a , ) é 2500r.
02) A sequência 1 2 4 8 16(a , a , a , a , a , ) é uma progressão geométrica.
04) A sequência 1 3 5 7 9(a , a , a , a , a , ) é uma progressão aritmética.
08) O vigésimo termo da sequência 1 2 4 8 16(a , a , a , a , a , ) é 202 r.
16) A soma dos 30 primeiros termos da sequência 2 4 6 8 10(a , a , a , a , a , ) é 930r.
2. (Unesp 2013) A sequência dos números 1 2 3 in , n , n , , n , está definida por
1
ii 1
i
n 3
,n 1n
n 2
para cada inteiro positivo i.
Determine o valor de 2013n .
3. (Espm 2012) Seja 1 2 3 nS a , a , a , ..., a , ... a sequência definida por
1 n 1 na 5 e a a para n 1. O produto dos infinitos termos dessa sequência é igual a:
a) 1
b) 10
c) 20 d) 25 e) 5 4. (Uftm 2011) Em uma sequência, o termo geral é dado por na 2n k, (n *), sendo k
uma constante. Determine: a) O valor do primeiro termo dessa sequência, sabendo-se que o quinto termo é igual a 21. b) A soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência.
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5. (Uel 2011) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma
triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas.
Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores triangulares com as respectivas quantidades de barras de mesmo comprimento.
Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares, qual é o número N de barras para n setores triangulares?
a) n 1N 3 2 para n 1
b) N 3n para n 1
c) 2N 3n 2n para n 1
d) 2N 3 2(n 1) para n 1
e) N 1 2n para n 1
6. (Espm 2011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela
expressão 2nS 8n 1.
Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a: a) 128 b) 132 c) 146 d) 150 e) 152 7. (Mackenzie 2011) Em uma sequência numérica, a soma dos n primeiros termos é 3n
2 + 2,
com n natural não nulo. O oitavo termo da sequência é a) 36 b) 39 c) 41 d) 43 e) 45
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8. (G1 - cftmg 2011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência e dada pela fórmula
3nS 3n 2n . Desse modo, a diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa
sequencia e igual a a) 5. b) 18. c) 23. d) 33. 9. (Fgv 2011) Seja 1 2 3a ,a ,a ,... uma sequência com as seguintes propriedades:
I. 1a 1 .
II. 2n na n a , para qualquer n inteiro positivo.
III. 2n 1a 2 , para qualquer n inteiro positivo.
a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule o valor de 250a .
10. (Fgv 2011) a) Determine o quarto termo da sequência 1 2 3 n(a , a , a , , a , ) dada por:
n n 1a 2a 1 e 1a 1, com n 1.
b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três
hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras:
1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez. 2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferi-
la é 3.
Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número
possível de movimentos.
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c) O menor número de movimentos na para transferir uma torre de n anéis, n 1, , satisfaz a
relação: n n 1a 1 2(a 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para
transferir uma torre com 6 anéis? 11. (Uem 2011) Considerando a seguinte equação de recorrência de números inteiros,
nn 1 nx x 5 , em que n é um número inteiro positivo e 1x 1 , assinale o que for correto.
01) nn
1x 5 1
4 para todo inteiro n >1.
02) nx é um número composto para todo n 2.
04) n n 1x x é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n 2.
08) nx 781 para algum inteiro positivo n, n 2.
16) A sequência 1 2 3 nx ,x ,x ,...,x ,... é uma progressão aritmética.
12. (Uftm 2011) O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência
n
na 3 , com n *, é
a) 1
.27
b) 1
.81
c) 1
.243
d) 1
.27
e) 1
.81
13. (G1 - cp2 2010) Qual é o próximo número da sequência abaixo?
18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____
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14. (Ufba 2010) Considerando-se as sequências (an) e (bn) definidas por
12n
n 2n 1 n,
b 1n
a 1 e n 2b bn 1
n 1
01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (an) é um número negativo. 02) Para qualquer n, tem-se −1 < an < 1. 04) A sequência (bn) é crescente.
08) Existe n tal que an = 1
2.
16) A sequência (bn) é uma progressão aritmética. 32) A sequência (an) é uma progressão geométrica de razão negativa. 15. (Ufrgs 2010) Na sequência 1, 3, 7,15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido
adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é
a) 211
-1. b) 2
11+1.
c) 212
-1. d) 2
12+1.
e) 213
-1. 16. (Fgv 2007) Considere a sequência cujo termo geral é an = (-1)
n (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, ...
.
a) Escreva os seis primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule a soma dos 2007 primeiros termos dessa sequência.
17. (Fgv 2007) Duas sequências: (x1, x2, x3, ..., xn,...) e (y1, y2, y3, ..., yn, ...) são tais que:
1 2
n n n
1 2 3 n
y 1; y 4
x y / y 1
A sequência x , x , x ,..., x , ... é uma progressão geométrica de razão 2.
Escreva os 6 primeiros termos da sequência (y1, y2, y3, ..., yn, ...).
18. (Fuvest 2005) Uma sequência de números reais a1, a2, a3, ... satisfaz à lei de formação
an+1 = 6an , se n é ímpar
an+1 = (1
3) an, se n é par.
Sabendo-se que a1 = 2 ,
a) escreva os oito primeiros termos da sequência.
b) determine a37 e a38.
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19. (Pucsp 2004) Na sequência de termo geral an = 5n + sen (n . ð/2), com n ∈ N*, a soma dos
20 primeiros termos de ordem ímpar é igual a
a) 1800 b) 1874 c) 1896 d) 2000 e) 2024 20. (Unifesp 2003) A soma dos termos que são números primos da sequência cujo termo geral
é dado por an=3n+2, para n natural, variando de 1 a 5, é
a) 10. b) 16. c) 28. d) 33. e) 36.
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Gabarito: Resposta da questão 1: 02 + 04 + 16 = 22. [01] Incorreto. Temos
1 2 3 50a a a a r 2r 3r 50r
r 50r50
2
1275r
2500r.
[02] Correto. De acordo com a lei de formação, vem
1 2 4 8 16(a , a , a , a , a , ) (r, 2r, 4r, 8r,16r, ),
ou seja, a sequência 1 2 4 8 16(a , a , a , a , a , ) é uma progressão geométrica com primeiro
termo igual a r e razão 2r
2.r
[04] Correto. De fato,
1 3 5 7 9(a , a , a , a , a , ) (r, 3r, 5r, 7r, 9r, )
é uma progressão aritmética com primeiro termo igual a r e razão 3r r 2r.
[08] Incorreto. Conforme [02], vem 20 1 19 2020a r 2 2 r 2 r.
[16] Correto. Com efeito,
2 4 6 60a a a a 2r 4r 6r 60r
2r 60r30
2
930r.
Resposta da questão 2:
Temos 6k 1n 3, 6k 22
n ,5
6k 31
n ,4
6k 45
n ,7
6k 54
n3
e 6k 67
n ,2
para todo
k natural. Portanto, 2013 6 335 31
n n .4
Resposta da questão 3: [E]
Sabendo que
1
21a 5 5 e
1
2n 1 n n 1 na a a a , temos que a sequência S é igual a
11 1
82 4(5 , 5 , 5 , ).
Portanto, o produto dos infinitos termos de S é dado por
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1
21 1 1 11 1 1
18 2 4 82 4 25 5 5 5 5 5.
Resposta da questão 4:
a) Sabendo que o quinto termo é igual a 21, temos:
5a 21 21 2 5 k k 10.
Logo, o primeiro termo é:
1a 2 1 10 12.
b) Como n 1 na a 2(n 1) k (2n k) 2, para todo n natural positivo, temos que a
sequência é uma progressão aritmética de razão igual a 2. Desse modo,
50a 2 50 10 110
e, portanto, a soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência é dada por
1 5050
a aS 50 (12 110) 25 3050.
2
Resposta da questão 5:
[E] Observa-se que cada figura tem duas barras a mais que a anterior, temos então uma P.A de razão 2: (3, 5, 7, ..) Portanto, a figura n, terá número de barras igual a:
N 3 2 n 1
N 2n 1 para n 1
Resposta da questão 6:
[E]
Seja 10a o décimo termo da sequência. Como a soma dos dez primeiros termos é igual à soma
do décimo termo com a soma dos nove primeiros termos, temos que, 2 2
10 9 10 10 10a S S a 8 9 1 8 10 1 a 800 648 152 .
Resposta da questão 7:
[E]
2 28 8 7a S S 3.8 2 (3.7 2) 45
Resposta da questão 8: [B]
31 1
31 2 2
a S 3 1 2 1 5
a a S 3 2 2 2 28
Portanto, 2 25 a 28 a 23
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Resposta da questão 9: a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que:
1
2 21 1
3
4 2 2 2
5
6 2 3 3
7
8 2 4 4
9
10 2 5 5
11
12 2 6 6
13
14 2 7 7
15
16 2 8 8
a 1
a a 1 a 1 1 1
a 2
a a 2 a 2 1 2
a 2
a a 3 a 3 2 6
a 2
a a 4 a 4 2 8
a 2
a a 5 a 5 2 10
a 2
a a 6 a 6 6 36
a 2
a a 7 a 7 2 14
a 2
a a 8 a 8 8 64
Portanto, a sequência pedida é:
(1,1, 2, 2, 2, 6, 2, 8, 2,10, 2, 36, 2,14, 2, 64).
b) Observando que:
n1 2 (n 1)
2a 2 ,
com n , vem
50
(1 49)49
1 2 49 122522
a 2 2 2 .
Resposta da questão 10:
a)
4 3
2
1
1
1
a 2a 1
2(2a 1) 1
2(2(2a 1) 1) 1
2(4a 2 1) 1
8a 7.
Como 1a 1, segue que 4a 8 1 7 15.
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b)
c) Queremos calcular 6a .
n n 1 n n 1a 1 2(a 1) a 2a 1.
Do item (a) sabemos que 4a 15. Logo,
6 5
4
a 2a 1
2(2a 1) 1
2(2 15 1) 1
63.
Resposta da questão 11:
01 + 04 + 08 = 13. 01) Correto. Temos que
12 1
23 2
n 2n 1 n 2
n 1n n 1
n 1 nn
n 1 n
x x 5
x x 5
x x 5
x x 5
5 1 5 5 4 1x x 5 x (5 1).
5 1 4 4
02) Incorreto. Para n 3, segue que 3
31 124
x (5 1) 31.4 4
Mas 31 é primo.
04) Correto. Reescrevendo a diferença obtida em (01), obtemos n 1
n n 15 5
x x .5
Portanto,
n n 1x x é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n 2.
08) Correto. Sabendo que n
n1
x (5 1),4
vem que
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n n1(5 1) 781 5 3125 n 5.
4
16) Incorreto. De (01), temos que 3 2 2 1x x x x . Portanto, a sequência
1 2 3 nx , x , x , , x , não é uma progressão aritmética.
Resposta da questão 12: [B]
a4 = (-3)-4
=4
1 1
81( 3)
Resposta da questão 13:
48 Dividindo a sequência dada em duas outras sequências, temos: 18, 30, 42, 54.... (P.A de razão 12) e 15, 26, 37, ... (P.A de razão 11) Logo O termo pedido será 37 + 11 = 48 Resposta da questão 14: 01 + 02 + 04 + 16 = 23
Sequência A 1 4 9
, , ,... 2 5 10
sequencia B 3 5
1, , 2, ,... 2 2
01) Verdadeira (-1)n será positivo se n for par e negativo se n for ímpar.
02) Verdadeiro o módulo do numerador será sempre menor que o denominador. 04) Verdadeiro. 08) Falsa. 16) Verdade 32) Falsa. Resposta da questão 15:
[E]
O termo geral da sequência é an = 2n – 1
Logo a13 = 213
-1 Resposta da questão 16:
a) -5, 8, -11, 14, -17, 20
b) S = - 3014 Resposta da questão 17:
(1, 4, 8, 8, 4, 1) Resposta da questão 18:
a) 2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 , 4 2 , 24 2 , 8 2 e 48 2 .
b) a37 = 218
. 2 e a38= 219
. 3 2
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Resposta da questão 19:
[D] Resposta da questão 20:
[D]