sequential uniform design
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Sequential Uniform Design. 序贯均勻設計. 脚本：王 柱 制作：王莉丽. 前言. 通常我们在做完均匀设计的一 论 分析之后，往往要补做一些试验，以求弥补、修改、验证我们的做法和想法。 既然如此，我们何不从开始就考虑安排两批试验来完成我们的设计，亦即考虑用 “ 序贯均匀设计 ” 也就是 方开泰 教授和 王元 院士 在 “ 数轮方法在统计中的应用 ” 一书中提出的 SNTO 法。. 2. 参考文献. [1]方开泰,王 元. 数论方法在统计中的应用. 北京：科学出版社, 1996年. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
脚本：王 柱 制作：王莉丽
通常我们在做完均匀设计的一论分析之后，往往要补做一些试验，以求弥补、修改、验证我们的做法和想法。
既然如此，我们何不从开始就考虑安排两批试验来完成我们的设计，亦即考虑用“序贯均匀设计”
也就是方开泰教授和王元院士在“数轮方法在统计中的应用”一书中提出的 SNTO 法。
前言
2
[1] 方开泰 , 王 元 . 数论方法在统计中的应用.
北京：科学出版社 , 1996年 .
参考文献参考文献
3
[2] 方开泰 , 马长兴 . 正交与均匀设计 . 北京：科学出版社 , 2002年 . [3] 方开泰 . 均匀设计与均匀设计表 .
北京：科学出版社 , 1994年 .
诸如最佳生产状态的寻找、最高得率的条
件摸索等一些寻找极值的试验设计，在一定条
件下采用“序贯均匀设计”会更好，可以达到
既减少试验次数，又提高试验精度的目的。
4
对 来说，一次 n1 个试验的精度为 。
5
)( sn nU
s
1
s11
nk
这时在分析数据结果的基础上，我们在” ” “ ”较好点 的 邻域 内再安排一批 n2 个试验点，注意这时已缩小了范围。 因此，两批试验的最后精度为
s
1
s11
nk
s
2
s22
nk*
我们可以适当安排使得 ，
6
和
s
1
s11
nk
s
2
s22
nk*
nnn 21
s
s
nk
其实，对于固定的 s 来说，
取 k1=k2 ,
7
21
n2n3n 1
3n 2
这时就很容易找到满足两个条件的 n1 和 n2 了。
以此类推，可以在一定范围内做到批数多精
度高，而试验次数又少。
可真正做起来却不太容易。
依据 依据 方开泰方开泰 ,, 马长兴 马长兴 “正交与均匀设计”“正交与均匀设计”
的附表，我们有的附表，我们有两个建议两个建议。。
究竟怎么运作，对一个固定的究竟怎么运作，对一个固定的 ss 、、 nn 来说，来说，
分几批好，又选什么样的表呢？分几批好，又选什么样的表呢？
8
(x[1],y[2]) ； (x[2],y[5]) ；(x[3],y[3]) ；
(x[4],y[1]) ； (x[5],y[4])
第一个，第一个， s=2s=2 。。 将邻域划分为 x 和 y 各 5 个水平共 25个小区域。
9
用 安排的 5 个试验点为)( 25 5U
10
二维序贯均匀设计
45
14
33
52
21
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
请记住如下数对：
)( 25 5U
这是均匀设计的表：
11
1j1i5
50j50i4
ji3
50j50i2
1j1i1
..
..
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
如果最大值在
数对： i j 处
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
旧点为
新点为
最大值在（ 5 4 ）处
除第一次安排 5 点外，以后各批均
在剩下的四分之一的区域内安排新的 4 点
（ 1个中心点为前次的）。
12
作 k 批试验的点数为 k41mk
13
k 批试验点后精度为
1k1
210*
1k2
210**
一直做下去，可以寻找出在各维中
心两边各 0.8 倍的范围内的一个极大值。
(x[1],y[6],z[3]) ；(x[2],y[2],z[8]) ；
(x[3],y[9],z[6]) ；(x[4],y[3],z[1]) ；
(x[5],y[5],z[5]) ；(x[6],y[7],z[9]) ；
(x[7],y[1],z[4]) ；(x[8],y[8],z[2]) ；
(x[9],y[4],z[7]) 。
第二第二个个，， s=3s=3 。。 将邻域划分为 x 、 y 、 z 各 9 个水平共 729 个小区域。
14
用 安排的 9 个试验点为)( 39 9U
除第一次安排 9 点外，以后各批均
在剩下的四分之一的区域内安排新的 8 点
（ 1 个中心点为前次的）。
15
则当
时分 k 批作试验。
记 k81mk
1kk mnm
16
随着所选批次 k 的增加，试验点数按算术极数增加
两个建议的共同特点：
k81mk k41mk
随着所选批次 k 的增加，而试验区域按等比极数缩小
kk )(D
4
1
kk )(D
8
1
模拟实验模拟实验 ::
设定义在单位立方体上的函数为
17
222 870z3650y2330x10f ).().().(
求极值及极值点。
使用做法（做法（ 11 ））
x 、 y 、 z 分的 25 个水平为：
18
)( 325 25U
0.02 ， 0.06, 0.10, 0.14, 0.18, 0.22, 0.26, 0.30, 0.34, 0.38, 0.42 ， 0.46, 0.50, 0.54, 0.58, 0.62, 0.66, 0.70, 0.74, 0.78, 0.82 ，0.86, 0.90, 0.94, 0.98
使用
19
)( 325 25U
(x[1],y[14],z[16]);(x[2],y[6],z[5]);(x[3],y[22],z[23]);
(x[4],y[11],z[12]);(x[5],y[18],z[2]);(x[6],y[3],z[21]);
(x[7],y[20],z[10]);(x[8],y[9],z[19]);(x[9],y[24],z[7]);
(x[10],y[5],z[14]);(x[11],y[16],z[25]);(x[12],y[2],z[3]);
(x[13],y[13],z[8]);(x[14],y[25],z[18]);(x[15],y[8],z[11]);
(x[16],y[12],z[22]);(x[17],y[21],z[4]);(x[18],y[1],z[17]);
(x[19],y[17],z[15]);(x[20],y[10],z[1]);(x[21],y[23],z[13]);
(x[22],y[7],z[24]);(x[23],y[15],z[6]);(x[24],y[4],z[9]);
(x[25],y[19],z[20]) 。
安排的试验点为：
20
9.6922 8.1290 9.8562 9.3538 8.0042 9.3754 9.2410 9.7562
8.7154 9.2290 9.9538 7.5082 8.9514 9.6514 9.0850 9.8434
8.2346 8.9370 9.5794 7.4842 9.2242 9.4002 8.3978 8.2650
9.5370
结果如下：
极值为 9.9538 ，
极值点为 [11 16 25]
=( 0.42 0.62 0.98 ) 。
使用两次序贯均匀设计法，先用 做法（做法（ 22 ））
x 、 y 、 z 分的 16 个水平为：
21
0.03125 0.09375 0.15625 0.21875 0.28125 0.34375 0.40625 0.46875 0.53125 0.59375 0.65625 0.71875 0.78125 0.84375 0.90625 0.96875
)( 316 16U
使用
22
(x[1],y[12],z[7]); (x[2],y[6],z[12]);
(x[3],y[4],z[4]); (x[4],y[14],z[15]);
(x[5],y[9],z[1]) ; (x[6],y[1],z[10]);
(x[7],y[16],z[5]); (x[8],y[8],z[16]);
(x[9],y[5],z[8]); (x[10],y[11],z[13]); (x[11],y[2],z[2]); (x[12],y[15],z[11]);
(x[13],y[7],z[6]); (x[14],y[13],z[3]);
(x[15],y[3],z[14]);(x[16],y[10],z[9]) 。
安排的试验点为： )( 316 16U
23
9.256103 9.687978 8.325478 9.908603 7.858916 9.005166
8.751103 9.885791 9.204541 9.906728 7.467041 9.580478
8.846728 8.173291 9.178291 9.241416
结果如下：
极值为 9.908603 ，
极值点为 [4 14 15]
=(0.21875 0.84375 0.90625 ) 。
在其邻域重新划分 ，
y 新分的 9 个水平为 : （ 0.71875 0.75000 0.78125 0.81250 0.84375 0.87500 0.90625 0.93750 0.96875 ）
24
x 新分的 9 个水平为 : （ 0.09375 0.12500 0.15625 0.18750 0.21875 0.25000 0.28125 0.31250 0.34375 ）
z 新分的 9 个水平为 : （ 0.78125 0.81250 0.84375 0.87500 0.90625 0.93750 0.96875 1.00000 1.03125 ）
使用
25
(x[1],y[6],z[3]) ； (x[2],y[2],z[8]) ；
(x[3],y[9],z[6]) ； (x[4],y[3],z[1]) ；
(x[5],y[5],z[5]) ； (x[6],y[7],z[9]) ；
(x[7],y[1],z[4]) ； (x[8],y[8],z[2]) ；
(x[9],y[4],z[7]) 。
安排的试验点为： )( 3
9 9U
26
9.840869 9.887275 9.752939 9.921611 9.908603
9.784267 9.988095 9.824462 9.917744
结果如下：
极值为 9.988095 ，
极值点为 [7 1 4 ]
=( 0.28125 0.71875 0.87500 ) 。
27
综合比较，先后两次总共作了 24 个试验
（一个重复），无论极值，还是极值点，都比
一次 25 点法更接近真值：极值为 10.0 ，
极值点 ( 0.33 0.65 0.87) 。
使用三次序贯均匀设计法，先用 做法（做法（ 33 ））
x、 y、 z 分的 9 个水平为：
28
（ 1/18 3/18 5/18 7/18 9/18
11/18 13/18 15/18 17/18 ）
)( 39 9U
使用
29
((x[1],y[6],z[3]) ； (x[2],y[2],z[8]) ；
(x[3],y[9],z[6]) ； (x[4],y[3],z[1]) ；
(x[5],y[5],z[5]) ； (x[6],y[7],z[9]) ；
(x[7],y[1],z[4]) ； (x[8],y[8],z[2]) ；
(x[9],y[4],z[7]) 。
安排的试验点为： )( 39 9U
30
8.869474 9.502067 9.622807 7.729474 9.515400
9.893919 8.445030 8.195400 9.420585
结果如下：
极值为 9.893919 ，
极值点为 [6 7 9 ]
=(11/18 13/18 17/18 )
=(0.61111111 0.72222222 0.94444444)。
在其邻域重新划分 ，
y 新分的 9 个水平为 : (9/18,10/18,11/18, 12/18,13/18,14/18,15/18,16/18,17/18)
31
x 新分的 9 个水平为 : (7/18, 8/18, 9/18, 10/18,11/18,12/18,13/18,14/18,15/18)
z 新分的 9 个水平为 : (13/18,14/18,15/18, 16/18,17/18,18/18,19/18,20/18,21/18)
使用
32
((x[1],y[6],z[3]) ； (x[2],y[2],z[8]) ；
(x[3],y[9],z[6]) ； (x[4],y[3],z[1]) ；
(x[5],y[5],z[5]) ； (x[6],y[7],z[9]) ；
(x[7],y[1],z[4]) ； (x[8],y[8],z[2]) ；
(x[9],y[4],z[7]) 。
安排的试验点仍然为： )( 39 9U
33
9.959844 9.794659 9.747005 9.880585 9.893919
9.555400 9.800091 9.659844 9.642807
结果如下：
极值为 9.959844 ，
极值点为 [1 6 3 ] =(7/18 14/18 15/18 ) =(0.38888889 0.77777778 0.83333333)。
在其邻域重新划分 ，
y 新分的 9 个水平为 : (12/18,25/36,13/18,27/36,14/18,29/36,15/18,31/36,16/18)
34
x 新分的 9 个水平为 :(10/36,11/36,12/36, 13/36,7/18,15/36,8/18,17/36,9/18)
z 新分的 9 个水平为 : (13/18,27/36,14/18,29/36,15/18,31/36,16/18,33/36,17/18)
使用
35
((x[1],y[6],z[3]) ； (x[2],y[2],z[8]) ；
(x[3],y[9],z[6]) ； (x[4],y[3],z[1]) ；
(x[5],y[5],z[5]) ； (x[6],y[7],z[9]) ；
(x[7],y[1],z[4]) ； (x[8],y[8],z[2]) ；
(x[9],y[4],z[7]) 。
安排的试验点仍为新的： )( 39 9U
36
9.923363 9.988919 9.885616 9.923085 9.959844
9.908641 9.973888 9.847437 9.950030
结果如下：
极值为 9.988919 ，
极值点为 [2 2 8 ] =(11/36 25/36 33/36 ) =(0.3055556 0.6944444 0.9166667 ) 。
37
极值为 c b a t 9.9538 9.988095 9.988919 10.000
综合三次结果及真值：
极值点为 c(0.42 0.62 0.98 )
b(0.28125 0.71875 0.87500 ) a(0.3055556 0.6944444 0.9166667)真极值点 t(0.33 0.65 0.87 )
38
综合比较，先后三次总共作的 25 个试验
（ 2 个重复点），无论极值，还是极值点，
都比二次 24 点法、更比一次 25 点法接近真值。
事实上： sum(abs(a-t)) 0.1155555 sum(abs(b-t)) 0.1225 sum(abs(c-t)) 0.23
sum((a-t)^2) 0.004750614 sum((b-t)^2) 0.007128125 sum((c-t)^2) 0.0211
39
随着所选批次 k 的增加，试验点数按算术极数增加
最后再次指出：两个建议的共同特点是：
k81mk k41mk
随着所选批次 k 的增加，而试验区域按等比极数缩小
kk )(D
4
1 k
k )(D8
1
类似于一维的 “黄金分割法”。
40
谢谢！