serie mate 2

Universidad Nacional de Ingeniera

Facultad de Ingeniera Civil

Matemtica II

Apuntes de Clase

Parte II

Autor:

Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

2012, UNI, Per

ndice general

Portada i

1. Series 1

1.1. Serie de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Bibliografa 17

Matemticas 2

Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

i

1Series

Denicin 1. Una serie numrica en K es un par de sucesiones panqn P N ; pSnqn P Nrelacionadas por la frmula Sn a1 an. Una serie de este tipo se representaabreviadamente mediante

8

n1

an

1. an se le llama trmino general de la serie.

2. Sn se llama suma parcial n-sima.

3. La serie numrica (o simplemente serie) se dice convergente si existe limnSn :S P K.

4. S recibe el nombre de suma de la serie y se escribe8

n1

an S.

5. Cuando an P R y limnSn 8 la serie se dice divergente a 8

Teorema 1.0.1. (Condicin necesaria de convergencia)

Si la serie

8

n1

an converge entonces existe limnan y vale 0.

((((((((( expression

Teorema 1.0.2. (Condicin de Cauchy para la convergencia de una serie)

La serie numrica

8

n1

an

es convergente si y solo si para cada 0 existe n0 P N tal que verica

|ap ap1 aq| ,

siempre que los naturales p, q cumplan n0 p q.

Ejemplo 1. Veamos algunos ejemplos

Matemticas 2


1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL SERIES

La serie

8

n0

rn

con |r| 1 es una serie convergente con suma

1

1 r

Si |r| 1 la serie es divergente.

La serie

8

n1

1

n2

es convergente ya que la sucesin pSnqn es montona creciente y acotada

la serie

8

n1

1

n

es divergente, ya que no satisface el criterio de Cauchy

proposicin 1.0.1. La convergencia de una serie no se altera modicando un nmero

nito de trminos de la misma.

proposicin 1.0.2. Sean

8

n1

an y8

n1

bn dos series convergentes con sumas A y B

respectivamente. Entonces para cada , P K, la serie

8

n1

pan bnq

es convergente y tiene suma A B

Denicin 2. Sea f : ra,8y R tal que su restriccin a ra, bs es integrable Riemannpara cada a b 8 (una tal funcin se llama localmente integrable).

1. Se dice que f es integrable en sentido impropio en ra,8y (o que la integral im-propia es convergente) si existe lm

x8

x

afptqdt P R

2. Dicho lmite recibe el nombre de integral impropia de f en ra,8y y se denota con

8

afptqdt.

Teorema 1.0.3. (Condicin de Cauchy para la convergencia de una integral impropia)

La integral impropia

b

a

fptqdt,

donde f : ra, by R es localmente integrable y b 8, es convergente si y solo sipara cada 0 existe c P xa, by tal que si c y z b entonces

z

y

fptqdt

.

Matemticas 2


2



Corolario 1.0.1. La integral impropia

8

af converge si, y solo si, lo hace la integral

impropia

8

af para algn a b P R.

Ejemplo 2. La integral impropia

8

1

1

tdt

es convergente para cada 1 y divergente para los otros valores de ya quepara cada x 1 se tiene x

1

1

tdt

x

1

tdt 1

1 px1 1q

Y por tanto, para 1 se tiene

8

1

1

tdt lm

b8

1

1 px1 1q

mientras que para 1 es

8

1

1

tdt 8.

proposicin 1.0.3. Sean f, g : ra, by R conb 8, tales que las integrales impropiasb

af yb

ag son convergentes. Entonces para cada , P R, la integral impropiab

apf

gq es convergente siendo

b

a

pf gq

b

a

f

b

a

g.

Para series en general, existen una serie de criterios de convergencia:

1. Primer criterio de comparacin.- Si panq y pbnq son dos sucesiones de numerosreales tales que Dm P N , tal que 0 an bn para todo natural n m. Entonces:

a) si la serie

8

i1 bi es convergente, la serie8

i1

ai es convergente.

b) si la serie

8

i1

ai es divergente, la serie8

i1

bi es divergente.

2. Segundo criterio de comparacin.- Si panq y pbnq son dos sucesiones de nu-meros reales tal que an 0 y bn 0 para todo n P N y supongamos quelimn

anbn L P R. Entonces:

a) si L 0, las series8

i1

ai es convergente si y solo si8

i1

bi es convergente.

b) si L 0, la serie8

i1

bi es convergente, entonces la serie8

i1

ai es convergente.

c) si L 8, la serie8

i1

ai es convergente, entonces la serie8

i1

bi es convergente.

Matemticas 2


3



3. Criterio de la integral.- Si f : r1,8y R es una funcin decreciente ypositiva, y si para cada n P N , se cumple que an fpnq. Entonces, la serie8

i1

ai es convergente si y solo si la integral impropia

r1,8yfpxqdx existe , y es

divergente si lmb8

b

1fpxqdx 8 .

4. Criterio del cociente.- Si panq es una sucesin de numeros reales, y L

limn

an1an

. Entonces,

si L 1 la serie8

i1

ai converge.

si L 1 la serie8

i1

ai diverge.

5. Criterio de Raabe.- Si panq es una sucesin de numeros reales y sea L

limnn

1 an1an

Entonces:

si L 1 la serie8

i1

ai converge.

si L 1 la serie8

i1

ai diverge.

6. Criterio de la raz.- Si panq es una sucesin de numeros reales no negativos ysea L limn n?

an . Entonces:

si L 1 la serie8

i1

ai converge.

si L 1 la serie8

i1

ai diverge.

nota: Si Dlimn

an1an

limn n?

an. Adems, limn

an1an

limn n?

an. Este cri-

terio se puede utilizar para hallar limn n?

an hallando el limn

an1an

7. Criterio de Lebniz para la serie alternante.- Dada la serie

8

n1

p1qnan, con

an 0,

si an es decreciente an1 an

si limnan 0

entonces la serie

8

n1

p1q1an converge.

Denicin 3. Una serie

8

n1

an se dice que es convergente absolutamente si la serie

8

n1

| an | es convergente

Matemticas 2


4



Demostracin. Para cada criterio

1. Si an bn para todo n m, entonces las sumas parciales ensimas verican:

An Bn para todo natural n. Luego, si la serien

i1

bi es convergente lo es tambin

la sucesin pBnq, y estar acotada superiormente, luego tambin lo estar pAnq,y teniendo en cuenta que pAnq es montona creciente y acotada, Sera:

pAnq una sucesin convergente la serien

i1

bi es convergente

Y si la serie

n

i1

ai es divergente lo sera tambin la sucesin pAnq, que por ser mo-

ntona creciente, no esta acotada superiormente, luego por tanto, tampoco estar

acotada superiormente la sucesin pBnq, y teniendo en cuenta que es montonacreciente y no acotada, sera:

pBnq una sucesin divergente la serien

i1

bi es divergente

2. Si L 0, Dm P N tal que para todo n m se verica:

L

2

anbn 3

L

2

y por tanto

Lbn2 an

3Lbn2

adems; si la sucesin de sumas parciales ensimas Bn converge, se cumpleLbn2

y

3Lbn2tambin converge, lo que implica que la serie de sumas parciales ensimas

An tambin converge. Luego la serien

i1

ai es convergente.

Y si la la serie

n

i1

ai es divergente, como la sucesin An diverge, entonces, las

sucesiones

Lbn2y

3Lbn2tambin divergen, lo que implica que Bn tambin diverge.

Luego la serie.

n

i1

bi es divergente

Luego resulta que las tres series,

8

i1

Lbn2,8

i1

3Lbn2y

8

i1

ai

tienen el mismo carcter de convergencia. Y por tanto las series

8

i1

ai y8

i1

bi

tiene tambin el mismo carcter.

Si L 0, D, un m P N tal que para todo n m se verica anbn 1 y, por tanto,

an bn y el resultado se sigue tambin del primer criterio de comparacin.

Matemticas 2


5



3. Por ser f decreciente, sera para cada k P N :

fpk 1q

xk1

xk

fpxqdx fpkq.

Es decir:

ak1

xk1

xk

fpxqdx ak

Y sumando desde k 1 hasta k n, obtenemos:

Ak1 a1

xk1

xk

fpxqdx An

Y tomando limites a ambos miembros de la desigualdad, se obtiene el resultado

pedido.

4. Supongamos que L limn

an1an

1. Entonces, a partir de un cierto natural

n0. Se cumplir quean1an 1. Es decir an1 an 0 para n n0. Luego sera

limnan 0. Y la serie no cumplir el criterio necesario de convergencia, por lo

que

8

i1

ai sera divergente.

Supongamos que L limn

an1an

1 y sea x un nmero real tal que 0 x 1.

Entonces existe un m P N tal que:

an1an

para n m.

es decir

an1an anx para n m.

Y en particular

am1 amx

am2 am1x amx2.

amk amk1x amxk.

Luego se verica:

8

im

ai 8

im

aixi am

x

1 x 8.

Ahora bien teniendo en cuenta, que la suma de una serie nita de trminos nitos

es n

8

im

ai 8

im

aixi

8

im

ai amx

1 x 8.

Matemticas 2


6



5. Supongamos que L 1 y sea x un numero real tal que L x 1. Entonces,Dm P N tal que para todo m P N y para todo n m se verica:

n

1an1an

x

Es decir:

npan an1q xan.

Y por tanto:

mpamam1qpm1qpam1am2q npanan1q xpamam1am2 anq.

Luego:

mam am1 an nan1 xpam am1 anq.

Y de aqu resulta:

am1 an pm xqam nan1

x 1

pm xqamx 1

Con lo que:

a1 an a1 am pm xqamx 1

Y la serie

8

i1

es convergente, por que la sucesin de sumas parciales est acotada.

Supongamos ahora que L 1. Entonces, existe un m P N tal que para todon m se verica:

n

1an1an

Es decir

pn 1qan nan1.

Y por tanto:

mam1 pm 1qam2 pn 1qan

Luego:

am mam1n 1

Y como la serie n 1 es divergente, por el primer criterio de comparacin resulta

que la serie

8

i1

ai es divergente.

6. Supongamos que L 1 y sea x un numero real tal que L x 1. Entonces,Dm P

N tal que an xnpara todo n m. Y la convergencia la serie8

i1

ai se sigue del

primer criterio de comparacin, pues por ser 0 x 1, la serie8

i1

xi converge.

Supongamos ahora que L 1. Entonces, an 1 para innitos valores de n yn0 se cumple, la condicin necesaria de que limnan 0, para que se cumpla la

convergencia de la serie

8

i1

ai

Matemticas 2


7



Observaciones y ejemplos:

1. ww

En el caso del segundo criterio de comparacin, si L 0 y la serie8

i1

bi

diverge, no se puede armar nada sobre la serie

8

i1

ai.

Por ejemplo, si an 0 y bn 1, sera L 0, y la serie8

i1

ai converge.

Mientras, que si an 1ny bn 1, sera L 0, y la serie8

i1

ai diverge

La serie

8

i1

1ipes convergente si p 1, y divergente si p 1. Puesto que la

integral indenida

8

1ixpes convergente si p 1, y divergente si p 1.

Del primer criterio de comparacin, se sigue que la serie

8

n1

sen2xn3es con-

vergente, puesto que 0 sen2x

n2

1n3para todo n P N . Y la serie8

i1

1i3es

convergente.

Por el segundo criterio la serie

8

n1

npn1qpn2qpn3q. Es convergente, ya que

lmn n2 npn1qpn2qpn3q 1. Y la serie8

i1

1i2es convergente.

En el criterio del cociente, no se puede armar nada si L 1, ya que

por ejemplo, para las series

8

i1

1i1y

8

i1

1i2es L 1, y la primera serie es

divergente, mientras que la segunda convergente.

En el criterio de la raz, no se puede armar nada si L 1, ya que por ejem-

plo, para las series

8

i1

1i1y

8

i1

1i2es L 1, y la primera serie es divergente,

mientras que la segunda convergente.

La serie

8

i1

1i!, es convergente, ya que:

limn

1pn1q!

1n!

limn1

n 1 0

Ejemplos

1. Use el criterio de la integral para determinar si la serie

8

n1

1pln6qnconverge o

diverge.

Matemticas 2


8



Solucin. Sea

fpxq 1

pln6qx pln6qx lny lnpln6qx lny xlnpln6q

derivando respecto de x

1

yDxy lnpln6q Dxy ylnpln6q

f 1pxq lnpln6qpln6qx

; f 1pxq 0@x 1; `por lo tanto, f es decreciente @x 1. Secumplen pues las hiptesis del criterio de la integral.

Veamos

8

1

1

pln6qxdx lm

b8

b

1

pln6qxdx lmb8

pln6qx

lnpln6q

b

1

lmb8

pln6qb

lnpln6q

pln6q1

lnpln6q

1

lnpln6q ln6

existe. De acuerdo con el criterio de la integral se ha demostrado que la serie

8

n1

1pln6qnes convergente

2. Considere la funcin

fpxq

"

1 si x P Z0 si x R Z

La funcin f es positiva pero no continua ni decreciente. La integral

8

1fpxqdx

converge porque

b

1fpxqdx 0 para cualquier b 1, as que lm

b8

b

1fpxqdx 0.

Pero la serie

8

n1

fpnq diverge porque sus sumas parciales son Sn n

k1

fpkq n

para cualquier n P N , as que lmn8

Sn 8

Usando la misma funcin f anterior, ahora la funcin gpxq 1 fpxq tiene una

integral divergente porque

b

1gpxqdx b 1 para cualquier b 1, pero su serie

converge porque

n

k1

gpkq 0 para cualquier n.

La razn por la que la convergencia de la serie no es equivalente a la convergencia

de la integral para las dos funciones anteriores no es que ellas sean discontinuas,

sino que no son montonas.

3. Un ejemplo con una funcin que no es toda positiva puede ser hpxq cosp2pixqx,

para x 1 (vea el grco abajo). Esta funcin cambia de signo y tiende a cerode una manera tal que su integral impropia converge, pero hpnq 1

npara cada

n P N , de modo que la serie8

n1

hpnq diverge.

Matemticas 2


9



4. La siguiente serie es divergente

8

n1

ln|n|nEn efecto

f 1pxq 1 lnx

x2 0

es decreciente, aplicando el criterio de la integral

8

1

ln|x|

xdx lm

b8

b

1

ln|x|

xdx lm

b8

pln|x|q2

2

b

1

lmb8

pln|b|q2

2

pln1q2

2

8 0

8

n1

ln|n|ndiverge

5. Usando el criterio de comparacin la serie

8

n1

p2n3q3

pn31q2es convergente. En efecto

6. La serie

8

n1

2cosn3

2nnes convergente, en efecto:

se conoce que

0 2 cosn3

2n n

3

2n 3

1

2

n

Sean an 2cosn3

2nny bn 3

12

nentonces 0 an bn.

Como

8

n1

bn 8

n1

3p1

2q

n 8

porque la serie de la derecha es una serie geomtrica de razn

12 1. Es decir, la

serie

8

n1

bn converge. Por el criterio de comparacin, obtenemos8

n1

an 8.

es decir

8

n1

2cosn3

2nn 8

7. De la serie

8

n1

an se sabe que la sucesin de las sumas parciales tSnu viene3

denida por:

Sn 2n 3

n 4@n P N

Hallar

a) el trmino general de la serie.

b) el carcter de la suma de la serie.

Matemticas 2


10



Solucin. (a) El primer trmino de la serie a1 coincide con S1, i.e. a1 S1 1el resto de los trminos

an Sn Sn1 2n 3

n 4

2n 1

n 3

5

pn 3qpn 4q

en este caso el primer trmino no sigue la regla general as:

8

n1

an 18

n2

5

pn 3qpn 4q

Solucin. (b) La serie converge la suma es

S lmb8

Sn lmb8

2n 3

n 4 2

Ejercicio 1. Analizar la convergencia de las siguientes series

a)

8

n1

1np2n5q(Rpta. converge)

b)

8

n1

1

n 3?

ln|n|(Rpta. diverge)

c)

8

n1

n2en3(Rpta. converge)

d)

8

n1

1n21(Rpta. converge)

Ejercicio 2. Pruebe la convergencia o la divergencia de cada serie

a)

47

48

49

410

411

b)

8

n1

p1qn1 lnnn(Rpta.

c)

8

n1

p3qn

n3(Rpta.

d)

8

n1

p1qn1?

n(Rpta.

e)

8

n1

p1qn1nn4(Rpta. converge)

f)

8

n1

p1qn1 nn21(Rpta.

g)

8

n1

n2

3n(Rpta.

Matemticas 2


11



En el estudio de las funciones elementales por ejemplo las funciones trigonomtricas,

exponenciales, logartmicas, no se dieron mtodos para calcular sus valores cuando estos

no son exactas.

Ejemplo sen23, e expp1q, etc.

En este captulo estudiaremos la forma de aproximar estas funciones como un po-

linomio para luego ser evaluados con cierto error de aproximacin.

Para esto sea f una funcin, entonces f se puede aproximar a un polinomio degrado n con la propiedad que en x0 se cumpla:

Pp

xq n

i0

aipx x0qi Pnpx0q fpx0q

P 1p

xq n

i1

iaipx x0qi1 P 1npx0q f1

px0q

P 2npx0q f2

px0q.

.

.

P pnqn px0q fpnqpx0q

Formula de Taylor

Se dice que una funcin es una funcin polinomial de grado n si

fpxq a0 a1x a2x2 anx

n

donde cada an es un nmero real an 0, los exponentes son enteros positivos.

Imprimir pgina 94 del archivo series de calculo II

1.1. Serie de Potencias

Denicin 4. Se llama serie de potencias a la serie de funciones del tipo

8

n0

anxn a0 a1x a2x

2 anx

n

8

n0

anpx x0qn a0 a1px x0q a2px x0q

2 anpx x0q

n

donde los coecientes a0, a1, a2, . . . , an, . . . son constantes.

Teorema 1.1.1. Si la serie de potencias

8

n0

anxnes convergente para algn valor

particular de x x0 0, entonces es absolutamente convergente para todo valor x talque |x| |x0|.

Si la serie de potencias

8

n0

anxnes divergente para algn valor particular de x

x0 0, entonces es divergente para todo valor x tal que |x| |x0|.

Matemticas 2


12



Demostracin. Consideremos que:

8

n0

anxn0 conv lm

n8anx

n0 0 |anx

n0 | 1

|anxn|

anxn

xn0xn0

|anxn0 |

xn

xn0

1

xn

xn0

xn

xn0

rn

8

n0

|anxn|

8

n0

rn conv abs conv

r 1

xn

xn0

1 |x| |x0|

8

n0

anxn0 div para |x1| |x0| no puede ser8

n0

anxn1 converge, ya que sera abso-

lutamente convergente para |x| |x1|

Teorema 1.1.2 (convergencia de la serie de potencias). Par la convergencia de las

series de potencias

8

n0

anxnsolamente caben las tres posibilidades siguientes:

1. la serie converge nicamente en el punto x 0

2. la serie converge en toda la recta real p8,8q,

3. la serie converge en un intervalo centrado en el origen pR,Rq y diverge fuerade l. Pudiendo ser convergente o no en los extremos de dicho intervalo

Denicin 5. Al intervalo donde converge la serie se llama intervalo de convergencia

y a R radio de convergencia.

El intervalo de convergencia podr ser:

xR,Ry rR,Ry, xR,Rs, rR,Rs

Para hallar la convergencia en los extremos del intervalo habr que estudiar la conver-

gencia de las series numricas:

8

n0

anRn,8

n0

anpRqn

Teorema 1.1.3 (radio de convergencia). El radio de convergencia de una serie de

potencias puede calcularse por cualquiera de las frmulas siguientes:

R lmn8

|an|

|an1|R lm

n8

1na

|an|

Matemticas 2


13



Nota 1. Cuando el exponente de x es distinto de n, estas frmulas pueden no servlidas. En efecto, cuando el exponente de x es n, al aplicar el criterio del cocienteresulta

lmn8

tn1tn

|x|

L 1 |x| L R L lm

n8

anan1

Sin embargo, en los dems casos resulta

lmn8

tn1tn

|x|k

L 1 |x|k L R L lm

n8

anan1

Hemos llamado tn al trmino completo de la serie y an a la parte numrica. Cuandoel radio de convergencia es R 1, en la prctica, el error no se produce ya que |x|k 1 |x| 1.

Ejemplo 3. 1. El intervalo de convergencia de la serie

8

n0

xn

n!es todo R. En efecto

R lmn8

|an|

|an1| lm

n8

pn 1q!

n! lm

n8

pn 1qn!

n! lm

n8pn 1q 8

de manera que el intervalo de convergencia es x8,8y, es decir la serie con-verge en toda la recta real.

2. La serie

8

n0

nnxn converge solo para x 0

En efecto

lmn8

na

|an| lmn8

na

|nx|n lmn8|nx|

"

8 cuando x 00 cuando x 0

3. La serie

8

n0

2nxn

n!es convergente y converge en toda la recta real.

En efecto Aplicando el criterio del cociente

lmn8

|an1|

|an| lm

n8

|2n1xn1n!|

|pn 1q!2nxn| lm

n8

|2x|

|n 1| 0 1

la serie converge @x P R as el intervalo de convergencia es x8,8y

4. El intervalo de convergencia La serie

8

n1

xn

n4nes r4, 4y


lmn8

|an1|

|an| lm

n8

|xn1n4n|

|pn 1qxn4n1| lm

n8

|nx|

4|n 1|

1

4|x| 1

es cierto cuando |x| 4, veamos en los extremos:

x 48

n1

4n

n4n

8

n1

1n:diverge

x 48

n1

p4qn

n4n

8

n1

p1qn

n: converge

as el intervalo de convergencia es r4, 4y

Matemticas 2


14



5. El intervalo de convergencia de la serie

8

n1

p1qn px2qn

4n?

nes el intervalo x2, 6s.


lmn8

|an1|

|an| lm

n8

|px 2qn14n?

n|

|4n1?

n 1px 2qn| lm

n8

|px 2q?

n|

|4?

n 1|

|x 2|

4 1

es cierto cuando |x 2| 4, veamos en los extremos:

x 2 48

n1

p1qn 4n

4n?

n

8

n1

p1qn?

n:converge

x 2 48

n1

p1qn 4n

4n?

n

8

n1

1?

n: diverge

as el intervalo de convergencia es x2, 6s

6. La serie geomtrica

8

n1

rn es converge si |r| 1 y la suma converge a8

n1

rn 11r

Ejercicio 3. 1. Analizar la convergencia de las series:

a)

8

n1

p1qn1

n4npx 2qn

b)

8

n1

p1qn

nnpx 1qn

2. Desarrollar en series de potencias, indicando el intervalo de convergencia,de:

a) fpxq 11r

b) fpxq 11x

c) fpxq 53x

d) fpxq 53x

Analizar la convergencia de:

1.

8

n1

p

n?

n 1qn

2.

8

n1

p

n1nq

n

2nn1

n

3.

8

n1

p

n22n1

3nq

n

4.

8

n1

n?

pn1q!

p11qp1?

2qp1?

nq

5.

8

n1

147....p3n2q369...3n

2

Matemticas 2


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1.2. Serie de Taylor

Ciertas funciones fpxq no pueden ser determinadas o calculadas exactamente enalgunos puntos x0 de su dominio, solo pueden ser determinadas de manera aproximada.Supongamos que la funcin y fpxq tiene derivadas hasta de orden n 1 inclusive, encierto intervalo que contiene al punto x0 as para determinar de este valor aproximadode la funcin en dicho punto aproximamos fpxq a un polinomio Pnpxq de grado n donden depender del grado de aproximacin que se desea determinar.

Si Pnpxq nk0 akpx x0q

kdonde los coecientes ak

f pkqpx0q

k!

Una expresin para calcular el error que se comete cuando se aproxima fpxq por elpolinomio Pnpxq esta dado por:

Teorema 1.2.1. Sea f una funcin que tiene derivadas continuas hasta de orden n1inclusive en cierto intervalo I que contiene al punto x0, entonces para todo x P I:

fpxq n

k0

f pkqpx0q

k!px x0q

kRnpx x0q

donde:

Rnpx;x0q 1

n!

x

x0

f pn1qptqpx tqndt

se llama residuo

Usando el teorema del valor medio para integrales, se obtiene la expresin para el

residuo

Rnpx;x0q f pn1qpcq

pn 1q!px tqn1

donde x0 c x x c x0, a esta forma del residuo se le conoce como la Formulade Lagrange para el residuo.

As para aquellos valores de x en el que el residuo Rnpxq es pequeo, el polinomioPnpxq da un valor aproximado de la funcin fpxq.

Ejemplo 4. Calcular, con precisin de hasta 0, 001

1{2

0

1 cosx

x2dx

Matemticas 2


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Bibliografa

[1] Hasser y Lasalle Anlisis Matemtico Vol-I, Vol-2. Editorial Trillas 1

o

edicin

Mxico 1979

[2] Luis Leithold. El Clculo. Oxford University Press Mxico S.A. de C.V.

[3] Marsden J. y A. Tromba. Clculo Vectorial Editorial Pearson Educacin

[4] Claudio Pita Ruiz. Clculo Vectorial, Edicin Prentice (1995).

[5] Sherman K. Stein. Clculo con Geometra Analtica, Edicin Prentice (1992).

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serie mate 2

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