serie segmentos proporcionais
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Segmentos proporcionais
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
Razão e proporção........................................................................................................... 1
Propriedades das proporções.................................................................................... 2
Propriedade fundamental ...................................................................................... 2
Propriedade da soma............................................................................................. 2
Propriedade da diferença ...................................................................................... 2
Razão de dois segmentos ................................................................................................ 3
Segmentos proporcionais ................................................................................................ 5
Feixe de retas paralelas ................................................................................................... 6
Propriedades de um feixe de retas paralelas............................................................. 6
Teorema de Tales............................................................................................................ 8
Aplicações do teorema de Tales ................................................................................... 10
Teorema da bissetriz interna de um triângulo ........................................................ 11
Referências bibliográficas............................................................................................. 14
1
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Razão e proporção
A razão de dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente do primeiro pelo
segundo: ba : ou b
a.
Por exemplo:
1) A razão entre 8 e 6 é 6:8 ou 34
68 = .
2) A razão entre 20 e 15 é 15:20 ou 34
1520 = .
Nos exemplos acima, verificamos que as razões 68
e 1520
são iguais:
34
1520
34
68
=
= ⇒⇒⇒⇒
1520
68 =
Dizemos, então, que as razões 68
e 1520
formam uma proporção ou, ainda, que os
números 8, 6, 20 e 15 são, nessa ordem, proporcionais.
Então:
Proporção é a igualdade entre duas razões.
Quatro números a, b, c e d (com b e d diferentes de zero) são, nessa ordem, proporcionais quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos.
d
c
b
a =
2
Em toda proporção d
c
b
a = , temos:
a e d � extremos
b e c � meios
Propriedades das proporções
Vamos ver algumas propriedades que são válidas para as proporções:
Propriedade fundamental
{ {
meios dos produto
extremos dosproduto
cbdad
c
b
a ⋅=⋅⇒=
Propriedade da soma
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a +=++=+⇒= ou
Propriedade da diferença
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a −=−−=−⇒= ou
3
EXERCÍCIOS A
(1) Em uma classe há 15 meninos e 20 meninas, num total de 35 alunos. A razão entre o número de meninos e o número total de alunos da classe é indicada por
15:35 ou por 3515
. Seu valor na forma de fração irredutível é 73
. Calcule em seu
caderno:
a) a razão entre o número de meninas e o total de alunos da classe;
b) a razão entre o número de meninos e o número de meninas;
c) a razão entre o número de meninas e o número de meninos.
(2) Use os números 18, 9, 4 e 8 e forme com eles uma proporção.
(3) Comprove as propriedades das proporções usando a proporção: 15
10
6
4 = .
Razão de dois segmentos
Chamamos razão de dois segmentos a razão ou quociente entre os números que exprimem as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade.
Exemplos:
a) Determinar a razão entre os segmentos AB e CD , sendo AB = 6 cm e CD = 12 cm. (Lembre-se: AB representa a medida do segmento AB .)
21
126
CDAB ==
A razão é 21
.
b) Dados MN e PQ , cujas medidas são, repectivamente, 2 cm e 5 cm,
determinar a razão ente MN e PQ .
52
PQMN =
A razão é 52
.
4
c) Qual a razão entre os segmentos AB e DE , sabendo-se que AB = 2 m e DE = 60 cm?
Nesse caso, precisamos, inicialmente, transformar as duas medidas para a mesma unidade:
AB = 2 m = 200 cm
DE = 60 cm
310
60200
DEAB ==
A razão é 3
10.
Você pode perceber, pelos exemplos, que a razão entre dois segmentos é sempre um número real positivo.
Sendo um número real, a razão pode ser:
• um número racional →→→→ neste caso dizemos que os segmentos são comensuráveis.
{
racionalnúmero
61
CDAB = →→→→ AB e CD são segmentos comensuráveis
{
racionalnúmero
310
DEAB = →→→→ AB e DE são segmentos comensuráveis
• um número irracional →→→→ neste caso dizemos que os segmentos são incomensuráveis.
{
irracionalnúmero
52
PQMN = →→→→ MN e PQ são segmentos incomensuráveis
5
Segmentos proporcionais
Pelas definições de proporção e razão de segmentos, podemos dizer que quatro segmentos, AB , CD , EF e GH , nessa ordem, são proporcionais, quando a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja:
AB , CD , EF, GH são, nessa ordem, proporcionais, quando GHEF
CDAB = .
Lembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade pra formar a proporção.
Exemplos:
a) Os segmentos AB = 4 cm, CD = 6 cm, EF = 8 cm e GH = 12 cm formam, nessa ordem, uma proporção, pois:
6
4
12
8
GH
EF6
4
CD
AB
==
= ⇒⇒⇒⇒
GH
EF
CD
AB =
b) Quatro segmentos AB , MN , PQ e XY , nessa ordem, são proporcionais.
Se AB = 5 cm, MN = 15 cm e PQ = 4 cm, qual a medida de XY ?
Como AB , MN , PQ e XY são proporcionais ⇒⇒⇒⇒ XY
PQ
MN
AB =
Mas 3
1
15
5
MN
AB == .
Então:
cm12XY3
1
XY
43
1
XY
PQ
=
=
=
6
EXERCÍCIOS B
(1) Os segmentos da reta AB de 6 cm, MN de 15 cm, EF de 10 cm e PQ ,
nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de PQ .
(2) AB , CD, CD e EF, nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de CD sabendo que AB = 9 cm e EF = 40 mm.
Feixe de retas paralelas
Você já sabe que duas retas de um plano são paralelas quando não possuem pontos em comum, ou seja:
{ s//rparalelas
{ =∩ srointersecçã
∅
Se tomarmos três ou mais retas paralelas entre si, obteremos um feixe de retas paralelas, que denominaremos simplesmente feixe de paralelas.
Uma reta que corta um feixe de paralelas é denominada reta transversal.
feixe de retas paralelas:
r // s // m // u // v
t: transversal
Propriedades de um feixe de retas paralelas
Vamos considerar um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal t. Assim, na transversal ficam determinados os segmentos AB , BC, CD e DE , como mostra a figura seguinte.
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Medindo os segmentos com uma régua, vamos obter:
AB = BC = CD = DE = 1 cm ⇒ AB ≅ BC ≅ CD ≅ DE
≅ (Congruente)
Vamos, agora, traçar uma reta m, transversal ao feixe de paralelas, determinando os segmentos MN , NP, PQ e QR .
Medindo os segmentos,vamos obter:
MN = NP = PQ = QR = 1,5 cm ⇒ MN ≅ NP ≅ PQ ≅ QR
Podemos repetir esse procedimento traçando outras transversais ao feixe de paralelas e verificaremos que os segmentos determinados em cada transversal serão congruentes entre si.
Dizemos então:
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra
transversal.
8
Teorema de Tales
Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra.
a // b // c ⇒ NP
MN
BC
AB =
OBS.: Podemos considerar ainda outras proporções a partir do teorema de Tales, tais como:
• MP
MN
AC
AB = MP
NP
AC
BC = NP
BC
MN
AB =
Exemplos:
a) Na figura r // s // t, determinar a medida x indicada.
Pelo teorema de Tales, temos:
6,110
16
1610
8210
8
2
10
=
=
=⋅=
=
x
x
x
xx
9
b) Na figura a // b // c, determinar as medidas x e y indicadas.
Pelo teorema de Tales, temos:
y
x=9
5
Aplicando as propriedades da soma nas proporções:
1014
140
14014
28514
28
5
145
95
=
=
=⋅=
=
+=+
x
x
x
xx
x
yx
Como:
18
1028
2810
28
=−==+
=+
y
y
y
yx
EXERCÍCIOS C
(1) Nas figuras, a // b // c, determine os valores de x.
a)
d)
b)
e)
c)
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Aplicações do teorema de Tales
Consideremos o ∆ABC (Figura 1).
Vamos traçar uma reta r, paralela ao lado BC, que irá interceptar os lados AB e AC nos pontos M e P, respectivamente (Figura 2).
Se traçarmos pelo ponto A uma reta s, paralela a r, obteremos três retas paralelas
(BC, r e s) e duas transversais (AB e AC).
r // s // BC
Pelo teorema de Tales:
PC
AP
MB
AM =
Podemos enunciar, então:
Toda paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos que são
proporcionais.
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Exemplo:
a) Na figura abaixo, RS // BC. Determinar a medida de x.
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos:
2
02ou0
0)2(
02
0422
)4()1(21
42
2
22
==−=
=−=−
=−−++=+
++=
x
xx
xx
xx
xxxx
xxxxx
x
x
x
Como x = 0 não serve, então x = 2.
Teorema da bissetriz interna de um triângulo
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o
ângulo considerado.
Se AS é bissetriz do ângulo Â, então:
SC
BS
AC
AB = ou SC
AC
BS
AB =
12
Exemplo:
a) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado
NP os segmentos NC e CP cuja razão é 3
2
CP
NC = . Sabendo-se que M = 12 cm,
determinar a medida do lado MP.
Pelo enunciado do problema, temos a figura ao lado, onde x é a medida do ladoMP.
Pelo teorema da bissetriz interna:
CP
NC
MP
MN =
CP
NC12 =x
Mas, 3
2
CP
NC =
182
36
362
31223
212
=
=
=⋅=
=
x
x
x
xx
Então, MP = 18 cm.
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EXERCÍCIOS D
(1) Nos triângulos abaixo, determine a medida x indicada.
a) BC//MN
c) BC//DE
b) AB//PQ
d) MP//AB
(2) Nas figuras seguintes, determine o valor de x.
a) AD é a bissetriz do ângulo A
c) BP é a bissetriz do ângulo B
b) CM é a bissetriz do ângulo C
d) AD é a bissetriz do ângulo A
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Referências bibliográficas
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.