EPFL 20 novembre 2006Algèbre linéaire1ère année2006-2007

Série 5

L’exercice 7 est à rendre le 27 novembre au début de la séance d’exercices.

Exercice 1 1. Donner, dans R3, un exemple de liste de vecteurs linéairement indépendantsqui n’est pas une liste génératrice.

2. Donner, dans R3, un exemple de liste de vecteurs générateurs qui n’est pas une liste devecteurs linéairement indépendants.

Exercice 2 L’ensemble suivant est-il une famille de vecteurs linéairement indépendants de R5 ?

{(1, 2, 1, 2, 1), (2, 1, 2, 1, 2), (1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 1)}

Est-ce une famille génératrice de R5 ?

Exercice 3 L’ensemble suivant est-il une famille de vecteurs linéairement indépendants deP3(F) ?

{1, 1−X, X −X2, X2 −X3}

Exercice 4 Soit E = F({x1, x2, . . . , xn}, F) l’espace vectoriel des fonctions de {x1, x2, . . . , xn},dans F. Trouver une liste de vecteurs de E qui soit, à la fois, génératrice et linéairementindépendante.

Exercice 5 On considère dans Rn une liste de quatre vecteurs linéairement indépendants :(~e1, ~e2, ~e3, ~e4). Les listes suivantes forment-elles des listes de vecteurs linéairement indépen-dants ?(~e1, 2~e2, ~e3)? (~e1, ~e3)? (~e1, 2~e1 + ~e4, ~e4)? (3~e1 + ~e3, ~e3, ~e2 + ~e3)? (2~e1 + ~e2, ~e1 − 3~e2, ~e4, ~e2 − ~e1)?

Exercice 6 Dans F(R, R), les trois fonctions x 7→ sin x, x 7→ sin 2x, x 7→ sin 3x, sont-elleslinéairement indépendantes ?

Exercice 7 Montrer que l’ensemble {1, 1 + X, 1 + X + X2, 1 + X + X2 + X3} engendre P3(F).Cet ensemble forme t’il une famille de vecteurs linéairement indépendants ?

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