EPFL 27 novembre 2006Algèbre linéaire1ère année2006-2007

Série 6

L’exercice 6 est à rendre le 4 décembre au début de la séance d’exercices.

Exercice 1 Montrer que les vecteurs x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 1) et x3 = (1, 1, 0) forment unebase de R3. Trouver dans cette base les composantes du vecteur x = (1, 1, 1).

Exercice 2 Déterminer une base de {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}.

Exercice 3 Soient ~v1 = (1, 2, 3, 4), ~v2 = (2, 2, 2, 6), ~v3 = (0, 2, 4, 4), ~v4 = (1, 0,−1, 2), et~v5 = (2, 3, 0, 1) dans R4. Soient F = Span{~v1, ~v2, ~v3} et G = Span{~v4, ~v5}. Déterminer unebase des sous-espaces F ∩G, F, G et F + G.

Exercice 4 Dans l’espace vectoriel P5(F) des polynômes de degré inférieur ou égal à 5, ondéfinit les ensembles :E1 = {P ∈ P5(F) | P (0) = 0}E2 = {P ∈ P5(F) | x2 + 1 divise P}

1. Montrer que E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de P5(F).2. Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels E1, E2 et E1 ∩ E2.

Exercice 5 Déterminer une base du sous-espace vectoriel de F(] − 1, 1[, R) engendré par lesvecteurs f1, f2, f3 et f4 où, pour tout x de ]− 1, 1[ :

f1(x) =

√1− x

1 + x; f2(x) =

√1 + x

1− x; f3(x) =

1√1− x2

; f4(x) =x√

1− x2.

Exercice 6 On munit E = R∗+ × R de l’addition + : (a, b) + (a′, b′) = (aa′, b + b′), et de la

multiplication par un réel suivante : (∀λ ∈ R) ∀(a, b) ∈ E λ.(a, b) = (aλ, λb).1. Vérifier que (E, +, .) est un R-espace vectoriel.2. Les ensembles suivants forment-ils des listes de vecteurs linéairement indépendants ?

{(1, 0), (1, 1)}? {(2, 1), (8, 3)}? {(2, 1), (6, 3)}?

3. Vérifier que l’ensemble b = {(2, 0), (2, 1)} est une base de E et déterminer les composantesdu vecteur v = (x, y) ∈ E par rapport à la base b.