EPFL 4 décembre 2006Algèbre linéaire1ère année2006-2007

Série 7

L’exercice 6 est à rendre le 11 décembre au début de la séance d’exercices.

Exercice 1 Soient U et V des sous-espaces vectoriels de F6 tels que dim(U) = 2, dim(V ) = 4et U + V = F6. Montrer que U ∩ V = {0}.

Exercice 2 Soit E un F-espace vectoriel, A et B deux sous-espaces vectoriels de E, C unespace en somme directe avec A ∩B dans B. Montrer que A + B = A⊕ C.

Exercice 3 Soient E un F-espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel deE tel que F 6= {0} et F 6= E. Montrer l’existence de deux espaces vectoriels différents G1 et G2

tels que F ⊕G1 = F ⊕G2 = E.

Exercice 4 Soit B = (P0, P1, ..., Pn) un système de (n + 1) polynômes de Pn(R) tels que, ∀k,0 ≤ k ≤ n, degPk = k. Montrer que B est une base de E.

Exercice 5 Dans un espace vectoriel de dimension finie n, on appelle hyperplan tout sous-espace vectoriel de dimension n− 1.

1. Qu’est ce qu’un hyperplan dans R3 ?2. Quelle est la dimension d’un espace qui est en somme directe avec un hyperplan ?3. Soient H1 et H2 deux hyperplans d’un espace vectoriel E de dimension n. Montrer que :

dim(H1 ∩H2) ≥ n− 2.

Exercice 6 Soient E et F deux ensembles, on appelle produit cartésien de E et F l’ensemblesuivant :

E × F = {(x, y) | x ∈ E, y ∈ F}.

1. Si E et F sont deux F-espaces vectoriels, montrer que E × F est un F-espace vectoriel.2. Si E et F sont deux F-espaces vectoriels de dimension finie, montrer que E × F est de

dimension finie et : dim(E × F ) = dim(E) + dim(F ).3. Si E et F sont deux F-espaces vectoriels, montrer que, si E × F est de dimension finie.

alors E et F sont de dimension finie.

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