Series

Definicin

Dada una sucesin an es posible formar una nueva sucesin Sn del siguiente modo:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

S4 = a1 + a2 + a3 + a4

...

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an

La sucesin Sn se llama serie y se denota por

+inf

n=1 an o simplemente an

Los elementos a1, a2, a3, ..., an, ... de la sucesin original son los trminos de la serie y

S1, S2, S3, ..., Sn, ... se denominan las sumas parciales de la serie.

Una serie es una sucesin de sumas parciales.

Clasificacin de una serie

Si la sucesin Sn tiene lmite finito S, la serie es convergente (converge a S). A S

se le llama suma de la serie.

Si lim Sn = +inf o -inf se dice que la serie es divergente.

Si Sn no tiene lmite, se dice que la serie es oscilante.

Nota: Sn es la sucesin de sumas parciales, no la sucesin an.

Propiedades de las series

Propiedad asociativa

En toda serie se pueden sustituir varios trminos por su suma efectuada, sin que vare el

caracter ni la suma de la serie.

Nota:

a. La propiedad asociativa no es vlida en series oscilantes. b. La propiedad disociativa no es vlida para series convergentes o divergentes.

Propiedad distributiva

H) an converge y su suma es S T) kan converge y su suma es kS

Demostracin:

Sn = an Tn = kan

lim Sn = lim a0 + a1 + ... + an = S

lim Tn = lim ka0 + ka1 + ... + kan = lim k(a0 + a1 + ... + an) = kS

=> kan converge y su suma es kS.

De manera anloga:

Si an diverge, kan tambin diverge. Si an es oscilante, kan tambin es oscilante.

Propiedad aditiva

H) Sean Sn = an y Tn = bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente. T) La serie an+bn es convergente y su suma es S + T.

Demostracin:

El trmino n-simo de la serie an+bn es Sn + Tn

lim Sn + Tn = lim Sn + lim Tn = S + T (por lmite de una suma de sucesiones)

=> an+bn converge a S+T

Propiedad de linealidad

H) Sean Sn = an y Tn = bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente, y sean h y k dos constantes.

T) La serie kan+hbn es convergente y su suma es kS + hT.

Demostracin:

an converge a S => por la propiedad distributiva, kan converge a kS bn converge a T => por la propiedad distributiva, hbn converge a hT

=> por la propiedad aditiva kan+hbn converge a kS + hT

Teorema

Condicin necesaria para la convergencia

Es condicin necesaria para que la serie an sea convergente, que lim an = 0.

H) Sn = an convergente T) lim an = 0

Demostracin:

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an

Sn-1 = a1 + a2 + ... + an-1

an = Sn - Sn-1

Sn es convergente => lim Sn = lim Sn-1 = S

lim an = lim Sn - Sn-1 = S - S = 0

Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el trmino n-simo

tiende a 0, no se puede afirmar que la serie sea convergente.

Contraejemplo: 1/n es divergente aunque lim an=0

Definicin

Serie geomtrica

Aquella cuyos trminos forman una progresin geomtrica. (Cada trmino es igual al

anterior multiplicado por una constante).

Si llamamos a al primer trmino y k a la constante,

Sn = a + ak + ak2 + ak

3 + ... + ak

n-1 = akn-1

Multipliquemos ambos miembros por k:

kSn = ak +ak2 + ak

3 + ak

4 + ... + ak

n = akn

Restamos ambas ecuaciones:

Sn - kSn = a - akn

(a-akn)

Sn = -------

(1-k)

a akn

Sn = --- - ---

1-k 1-k

Para |k| < 1 lim Sn = a/(1-k) pues kn -> 0, la serie geomtrica converge.

Para |k| > 1 la serie diverge pues kn -> inf.

Para k = 1 la serie diverge pues Sn = na.

Para k = -1 la serie es oscilante.

D Osc C D D

------|------|------

-1 1

Definicin

Serie telescpica

Serie tal que cada trmino se expresa como una diferencia de la forma an = bn - bn+1.

Teorema

Suma de una serie telescpica

Sean an y bn dos sucesiones tales que an = bn - bn+1.

La serie telescpica an converge si y slo si la sucesin bn converge y se cumple que an = b1 - L donde L = lim bn+1.

Demostracin:

Sn = an = (bn - bn+1) = (b1 - b2) + (b2 - b3) + ... + (bn - bn+1) = b1 - bn+1

lim Sn = lim b1 - lim bn+1

Por lo tanto an converge si y slo si bn converge, y en ese caso su suma es b1 - L, donde L = lim bn+1. (Si bn diverge, an tambin).

Ejemplo: Sn = 1/(n2 + n)

an = 1/(n2 + n) = 1/n - 1/n+1

bn = 1/n converge a 0

=> 1/(n2 + n) converge a 1 - lim 1/n+1 = 1

Series de trminos positivos

Definicin

Serie de trminos positivos (STP)

Es una serie an tal que an>=0 para todo n. (La serie es siempre una sucesin creciente).

Ejemplo: 1/2n

Criterios de convergencia para STP

Teorema previo

Una serie de trminos positivos an converge si y slo si la sucesin de sus sumas parciales est acotada superiormente.

Demostracin:

Directo:

an converge => lim Sn = S => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n>N S - < Sn < S + => Sn est acotada superiormente.

Recproco:

an es montona creciente por ser de trminos positivos.

Sn < M para todo n

Toda sucesin montona y acotada converge (ver teorema) => Sn converge

Ejemplo: 1/n!

1/n! =1 pues n! >= 2n-1

ya que n! es el producto de (n-1) factores

mayores o iguales que 2.

Por lo tanto 1/n! 0 tal que an Sn an es convergente pues la sucesin de sus sumas parciales est acotada superiormente (teorema).

Nota: El teorema tambin es valido si an = N.

Sean an y bn dos series de trminos positivos. Si existe una constante c > 0 tal que an >= cbn para todo n, entonces si bn diverge, an tambin diverge.

Demostracin:

Sn = an Tn = bn

bn diverge => lim Tn = +inf => lim cTn = c.lim Tn = +inf

Sn >= cTn => lim Sn = +inf => an diverge.

Ampliacin del criterio

Sean an y cn dos series de trminos positivos. an y cnan convergen o divergen simultneamente.

Criterio de comparacin por paso al lmite

Sean an y bn dos series de trminos positivos. Si lim an/bn = k > 0, entonces an converge si y slo si bn converge. ( an y bn son de la misma clase).

Demostracin:

lim an/bn = k > 0 => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N |an/bn - k| < o sea k - < an/bn < k +

Directo:

bn < (1/(k-))an

=> por el criterio anterior, si an converge, bn converge .

Recproco:

an < (k+)bn

=> por el criterio anterior, si bn converge, an converge.

Si an y bn son sucesiones equivalentes (lim an/bn = 1) => por el teorema anterior, an y bn son de la misma clase. Por lo tanto, para clasificar una serie de trminos positivos an, se puede sustituir an por su equivalente bn.

Ejemplo:

1

-----

n(n+1)

1 1

----- es equiv. a ---

n(n+1) n2

1 1

=> ----- converge pues --- converge

n(n+1) n2

Criterio de D'Alembert

H) Sea an una serie de trminos positivos. an+1/an = N

T) an converge.

Demostracin:

an+1 = ... >= aN > 0

an es creciente

an >= 0 para todo n

=> an no tiende a 0 => (por Condicin necesaria para la convergencia) an diverge.

Corolario de D'Alembert

H) Sea an una serie de trminos positivos. lim an+1/an = L < 1

T) an converge.

Demostracin:

lim an+1/an = L => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N |an+1/an - L| < o sea L - < an+1/an < L +

Para que L + < 1 basta elegir < 1 - L

Para todo n>N an+1/an < L+ < 1 => por el teorema anterior an converge.

H) Sea an una serie de trminos positivos. lim an+1/an = L > 1

T) an diverge.

Demostracin:

lim an+1/an = L => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N |an+1/an - L| < o sea L - < an+1/an < L +

Para que L - > 1 basta elegir < L - 1

Para todo n>N an+1/an > 1 => por el teorema anterior an diverge.

Cuando el lim an+1/an = 1+ la serie an diverge.

lim an+1/an = 1+ => an+1 >= an => el trmino general an no tiende a 0 => an diverge.

Cuando lim an+1/an = 1- D'Alembert no se aplica.

1/n

lim an+1/an = lim (1/n+1)/(1/n) = lim n/n+1 = 1- y 1/n diverge.

1/n2

lim an+1/an = lim (1/(n+1)2)/(1/n

2) = lim n

2/(n+1)

2 = 1

- y 1/n2 converge.

Criterio de Cauchy

H) Sea an una serie de trminos positivos. n __

\|an = N

T) an converge.

Demostracin:

n __

\|an an por el criterio de comparacin an converge.

H) Sea an una serie de trminos positivos. n __

\|an > 1 para todo n >= N

T) an diverge.

Demostracin:

n __

\|an > 1 =>

an > 1 => an no tiende a 0 => an diverge.

Cauchy por paso al lmite

H) Sea an una serie de trminos positivos. n __

lim \|an = L < 1

T) an converge. n __

lim \|an = L => (por def. de lmite finito de una sucesin)

n __

para todo > 0 existe N / para todo n > N |\|an - L| < o sea

n __

L - < \|an < L +

Para que L + < 1 basta elegir < 1 - L

n __

\|an < L + < 1

=> por el teorema anterior an converge.

H) Sea an una serie de trminos positivos. n __

lim \|an = L > 1

T) an converge. n __

lim \|an = L => (por def. de lmite finito de una sucesin)

n __

para todo > 0 existe N / para todo n > N |\|an - L| < o sea

n __

L - < \|an < L +

Para que L - > 1 basta elegir < L - 1

n __

\|an > L - > 1

=> por el teorema anterior an diverge.

Raabe

H) Sea an una serie de trminos positivos. n(1 - an+1/an) >= 1+k para todo n >= N, k perteneciente a R

+

T) an converge.

Demostracin:

Escribamos la desigualdad como: nan - nan+1 >= an + kan

Pasemos an para el lado izquierdo: (n-1)an - nan+1 >= kan

La desigualdad se cumple para todo n>=N:

(N-1)aN - NaN+1 >= kaN

NaN+1 - (N+1)aN+2 >= kaN+1

...

(n-1)an - nan+1 >= kan

Sumamos: (N-1)aN - nan+1 >= k(aN + aN+1 + ... + an) = k(Sn - H)

(donde H es la suma de los trminos anteriores a aN)

k(Sn - H) = (n-2)an-1 >= ... >= (N-1)aN

nan+1 >= (N-1)aN

an+1 >= H.1/n donde H = (N-1)aN

1/n diverge => por distributiva H.1/n diverge => por el criterio de comparacin an diverge.

Generalizacin por paso al lmite

H) Sea an una serie de trminos positivos. lim n(1 - an+1/an) = L > 1

T) an converge.

Demostracin:

lim n(1 - an+1/an) = L => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N L - < n(1 - an+1/an) < L +

Para que L - > 1 basta elegir < L - 1

Para todo n > N n(1 - an+1/an) > L - > 1 => por el teorema anterior an converge.

H) Sea an una serie de trminos positivos. lim n(1 - an+1/an) = L < 1

T) an diverge.

Demostracin:

lim n(1 - an+1/an) = L => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo > 0 existe N / para todo n > N L - < n(1 - an+1/an) < L +

Para que L + < 1 basta elegir < 1 - L

Para todo n > N n(1 - an+1/an) < L + < 1 => por el teorema anterior an diverge.

Cuando lim n(1 - an+1/an) = 1- la serie an tambin diverge.

Definicin

Sucesin contenida o subsucesin

ain est contenida en an si in es natural y lim in = +inf

Ejemplo: an = n

1,2,3,4,5,6,...

Ejemplos de sucesiones contenidas:

a2n: 2,4,6,...

a2n-1: 1,3,5,...

a10n: 10,20,30,...

Teorema

H) ain y ai'n son sucesiones contenidas en an

lim ain = lim ai'n = p

{in} U {i'n} = {n/n > q}

T) lim an = p

Series alternadas

Definicin

Son series de la forma: (-1)n+1.an donde an > 0 Sus trminos son alternadamente positivos y negativos:

(-1)n+1.an = a1 - a2 + a3 - a4 + ... + (-1)n-1

.an

Criterio de Leibnitz

H) (-1)n+1.an, an>0 an -> 0

an montona decreciente

T) (-1)n+1.an converge.

Demostracin:

Consideremos las sumas parciales pares S2n por un lado y las sumas parciales impares

S2n-1 por otro.

S2n+2 - S2n = a1 - a2 + ... - a2n + a2n+1 - a2n+2 - (a1 - a2 + ... - a2n)

= a2n+1 - a2n+2 > 0 => S2n es creciente (1)

S2n+1 - S2n-1 = a1 - a2 + ... - a2n + a2n+1 - (a1 - a2 + ... + a2n-1)

a2n+1 - a2n < 0 => S2n-1 es decreciente (2)

(3) Para todo n S2n < S2n-1 pues S2n-1 - S2n = a2n > 0

lim a2n = 0 => lim S2n - S2n-1 = 0 => (por def. de lmite finito de una sucesin) para todo

> 0 existe N / para todo n > N |S2n-1 - S2n - 0| < (4)

De 1), 2), 3) y 4) por definicin de PSMC, (S2n,S2n-1) es un PSMC

=> por la propiedad de que todo PSMC tiene frontera, existe c perteneciente a R+ / lim

S2n = lim S2n-1 = c

S2n y S2n-1 son sucesiones contenidas en Sn

Por el teorema anterior, lim Sn = c => (-1)n+1

.an converge

Definicin

Convergencia absoluta

Una serie an es absolutamente convergente si |an| converge.

Teorema

H) an es absolutamente convergente. T) an converge.

Demostracin:

|an| converge por hiptesis

Consideremos bn = (|an| + an)/2

Si an > 0 bn = |an|

Si an < 0 bn = 0

Como an es una serie alternada (sus trminos son alternadamente positivos y negativos), bn valdr 0 o |an|.

Por lo tanto, 0 como bn y |an| convergen, por la propiedad de linealidad an converge.

Una serie convergente que no es absolutamente convergente se denomina

condicionalmente convergente.

Ejemplo: (-1)n+11/n converge pero |(-1)n+11/n| diverge.

(-1)n+11/n cumple con el criterio de Leibnitz.

|(-1)n+11/n| = 1/n que ya hemos visto que diverge.

Serie de potencias

Es una serie de la forma anxn.

Se puede demostrar que converge en un entorno simtrico de 0.

Determinacin del radio de convergencia R

Para hallar el radio de convergencia podemos utilizar cualquiera de las siguientes

frmulas:

D'Alembert:

L = lim |an+1/an|

Cauchy:

n __

L = \|an

L distinto de 0 => R = 1/L

L = +inf => R = 0

L = 0 => R = +inf

D ? C ? D

-----|-----|-----

-R R

La serie se debe clasificar en x=R y x=-R.