UdeTalca

Calculo II. Criterios convergencia de series

Condicion Resultado

Serie geometrica+n=1

arn1 |r| < 1 Converge a a1 r

|r| 1 DivergeSerie telescopica

+n=1

(bn bn+1) = lmn+

bn existe Converge a b1 lm

n+bn no existe Diverge

Serie p+n=1

1

npp 1 Divergep > 1 Converge

Criterio del+n=1

an

+n=1

an Converge lmn+

an = 0

termino general lmn+

an 6= 0 Divergelm

n+an = 0 El criterio no decide

Criterio de 0 an bn

bn C! =

an C!

comparacion

an D! =

bn D!

0 < < +

an C!

bn C!

Criterio de comparacion lmanbn

= 0 < < +

an D!

bn D!

por paso al lmite = +

an C! =

bn C!

= 0

bn C! =

an C!

0 < 1 an convergeCriterio del cuociente lm

an+1an = > 1 an diverge

(DAlembert) = 1 El criterio no decide0 < 1 an converge

Criterio de la raz lm n|an| = > 1

an diverge

(Cauchy) = 1 El criterio no decideCriterio de la integral f funcion asociada a (an)

para series positivas f(x) > 0 para x M +M

f(x) dx C!

an C!

(Cauchy) f no creciente para x MCriterio para an 0

series alternadas+n=1

(1)n+1an an decreciente Converge(Leibniz) lm an = 0

Instituto de Matematica y Fsica Universidad de Talca