UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA ELECTRNICA Y TELECOMUNICACIONES

SEALES Y SISTEMASREPRESENTACIN DE SEALES PERIDICAS EN SERIES DE FOURIEREJERCICIOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA REA DE LA ENERGA LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS NATURALES NO RENOVABLES ELECTRNICA Y TELECOMUNICACIONES

Nombre: Alcira Loaiza Macas Fecha: 07-mayo-2012

EJERCICIOS

1.

SUPONGA QUE SE NOS PROPORCIONA LA SIGUIENTE INFORMACIN ACERCA DE LA SEAL X[N]

| |

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ESPECIFIQUE DOS SEALES DE LA SERIE DE FOURIER QUE SATISFAGAN ESTAS CONDICIONES

La serie tiene solo tres valores diferentes de cero: punto. Por lo tanto:

segn el tercer

X(t) es real y par, por lo tanto los coeficientes de la serie de Fourier ak tambin sern reales y pares.

De la relacin de Parseval tenemos que: | | | | | | | | | |

Por lo tanto se tienen los siguientes coeficientes:

|

|

|

|

| En consecuencia:

|

)

( ( TRES

2. CONSIDERE LAS SIGUIENTES FUNDAMENTAL DE T=

)CONTINUAS CON PERODO

SEALES

a) Determinar los coeficientes de la serie de Fourier de x(t). Podemos expresar coswot como:

Comparando ambas ecuaciones vemos por, inspeccin, que:

b) Determine los coeficientes de la serie de Fourier de y(t) Podemos expresar senwot como:

De la misma forma por inspeccin tenemos que los coeficientes de la serie de Fourier son:

c) Utilice los resultados de las partes (a) y (b) junto con la propiedad de multiplicacin de la serie de Fourier para determinar los coeficientes dela serie de Fourier de z(t)=x(t)y(t)

[ [ ]

] [

[ ]

]

Por lo tanto los coeficientes de la serie de Fourier de z(t) son:

d) Determine los coeficientes de la serie de Fourier de z(t) mediante la expansin directa de z(t) en forma trigonomtrica, y compare su resultado con el de la parte (c).

Por lo tanto para encontrar los coeficientes de la serie de Fourier se puede escribir z(t) como: [ ]

Se tiene entonces que los coeficientes son:

3. SEA X(T) UNA SEAL PERIDICA CON PERODO FUNDAMENTAL T Y COEFICIENTES DE LA SERIE DE FOURIER AK. OBTENGA LOS COEFICIENTES DE LA SERIE DE FOURIER DE LAS SIGUIENTES SEALES EN TRMINOS DE AK.

a) Para este caso se podra descomponer a la seal en dos partes y encontrar coeficientes de Fourier por separado, es decir:

Luego:

Segn la tabla de propiedades:( )

(

)

Sumando ambos coeficientes podemos encontrar los coeficientes de la seal original( ) ( )

[

(

)

(

)

]

Luego se tiene que: ( b) { } )

Como es una seal par se puede volver a escribir como: { } { }

Podemos encontrar los coeficientes de x(t) y de x(-t) y luego sumarlos para poder encontrar los coeficientes de toda la seal. Tenemos entonces que x(t)=ak, y x(-t)=bk { }

(

)

(

)

Por lo tanto los coeficientes de la serie de Fourier son:

c)

{

}

Como se trata de una seal real se puede volver a escribir como: { } { }

Del mismo modo que en los casos anteriores podemos encontrar los coeficientes de x(t) y de x*(t) y luego sumarlos para poder encontrar los coeficientes de toda la seal. Tenemos entonces que x(t)=ak, y x*(t)=bk.

(

(

)

)

d)

[

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

Comparando las ecuaciones podemos deducir que los coeficientes de la serie de Fourier son:

e)

Por lo tanto los coeficientes de con perodo T/3

son como los coeficientes de x(t) pero

4. SEA X[N] UNA SECUENCIA PERIDICA CON PERODO N Y CON REPRESENTACIN EN SERIE DE FOURIER

[ ]

(

)

a) Suponga que N es par y que x[n] en la ecuacin (1) satisface [ ] [ ]

Demuestre que ak= 0 para cada valor entero de k. Los coeficientes de la serie de Fourier vienen dados por:( )

[ ]( )

[ ]

[ ]

(

)

[ ]

(

)

[

]

(

)

[ ]

(

)

[ ]

(

)

b) Suponga que N es divisible entre 4. Demuestre que si

[ ]

[

]

Entonces ak = 0 para cada valor de k que es mltiplo de 4 Siguiendo el mismo procedimiento del literal a encontramos que:

[ {

} [ ]

]

c) En forma general suponga que N es divisible entre un entero M. demuestre que si [ ]

Entonces ak = 0 para cada valor de k que es mltiplo de M Si N/M es un nmero entero, entonces se puede generalizar la parte del literal (a), entonces se tiene que [{ } [ ] ]

Donde B = N/M y r = k/m, de la ecuacin anterior es claro que

5. a)

Sea [ ] ( )

y [ ] Una seal peridica. Demuestre que [ ] [ ] Donde ( )

(

)

Tenemos que [ ] [ ] ( )

Suponiendo que l=k+l, entonces tenemos que [ ] [ ] ( )

Pero como todos los trminos dentro de la sumatoria son peridicos con perodo N, se puede volver a escribir como [ ] [ ] Despus: Intercambiando ak y bk tambin se puede obtener: ( )( )

[

]

(

)

b) Generalice el resultado de la parte (a) demostrando que

Puesto que ak y bk son peridicos con perodo N, las ecuaciones encontradas en el literal (a) pueden rescribirse como se muestra en la ecuacin anterior.

c) Usando el resultado de la parte (b) para encontrar la representacin en serie de Fourier de las siguientes seales, donde x[n] est dada por la ecuacin (1).

I.

X[n]cos(6n/N)

[ ]

[ [

]

[

]]

II.

[ ]

[

] [ ]

III. N=3

[ ] (

[

])

[

]

(

)

(

)

De modo que: [ ]

d) Determine la representacin en serie de Fourier para la seal x[n]y[n], donde [ ] ( ) | | | |

[ ]

{

Es peridica con perodo 12 La seal x[n] se puede expresar como [ ]

[ ]

Luego tenemos que los coeficientes de la serie de Fourier son [ [ [ ] ] [ [ ] ] ]

e) Use el resultado de la parte (b) para demostrar que

[ ] [ ]

Y de esta expresin, obtenga la relacin de Parseval para seales peridicas discretas.

Podemos decir que en esta ecuacin [ ]

[ ] [ ]

[ ]

En este caso particular los coeficientes de la serie de Fourier sern simtricos conjugados.

Entonces vemos que [ ] [ ]

Luego [ ] [ ]

Por los tanto podemos comprobar la relacin de Parseval | | | [ ]|