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Semana 15 [1/23]
Series de potencias
November 10, 2007
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [2/23]
Definiciones
Serie de potenciasUna serie de potencias es una serie en donde el término general es de laforma ak (x − α)k .
Nos concentraremos en el caso α = 0.
Ejemplo: ∑xk .
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [3/23]
Definiciones
Serie de potenciasUna serie de potencias es una serie en donde el término general es de laforma ak (x − α)k .
Nos concentraremos en el caso α = 0.
Ejemplo: ∑xk .
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [4/23]
Definiciones
Serie de potenciasUna serie de potencias es una serie en donde el término general es de laforma ak (x − α)k .
Nos concentraremos en el caso α = 0.
Ejemplo: ∑xk .
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [5/23]
Definiciones
ProposiciónSi la serie
∑akxk
0 converge, se tiene que para cada a ∈ (0, |x0|) y para todox ∈ [−a, a] la serie
∑akxk converge absolutamente.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [6/23]
Radio e intervalo de convergencia
Radio de convergenciaAl valor
R = sup{
x0 :∑
akxk0 < +∞
},
lo llamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias∑
akxk .
Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie∑
akxk diverge yvale +∞ en otro caso.
Una forma de calcular R:1R
= lim |an|1n .
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [7/23]
Radio e intervalo de convergencia
Radio de convergenciaAl valor
R = sup{
x0 :∑
akxk0 < +∞
},
lo llamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias∑
akxk .
Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie∑
akxk diverge yvale +∞ en otro caso.
Una forma de calcular R:1R
= lim |an|1n .
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [8/23]
Radio e intervalo de convergencia
Radio de convergenciaAl valor
R = sup{
x0 :∑
akxk0 < +∞
},
lo llamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias∑
akxk .
Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie∑
akxk diverge yvale +∞ en otro caso.
Una forma de calcular R:1R
= lim |an|1n .
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [9/23]
Radio e intervalo de convergencia
Intervalo de convergenciaLlamamos intervalo de convergencia I al conjunto de reales x para loscuales la serie
∑akxk converge. Tenemos que (−R, R) ⊆ I ⊆ [−R, R].
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [10/23]
Integración y derivación
Dada una serie de potencias∑
akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:
f : I −→ R
x 7−→ f (x) =∑
akxk = limn→∞
n∑k=0
akxk .
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que
cero.
La función f asociada es continua en int(Dom f ).
Con esto, f es integrable.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [11/23]
Integración y derivación
Dada una serie de potencias∑
akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:
f : I −→ R
x 7−→ f (x) =∑
akxk = limn→∞
n∑k=0
akxk .
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que
cero.
La función f asociada es continua en int(Dom f ).
Con esto, f es integrable.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [12/23]
Integración y derivación
Dada una serie de potencias∑
akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:
f : I −→ R
x 7−→ f (x) =∑
akxk = limn→∞
n∑k=0
akxk .
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que
cero.
La función f asociada es continua en int(Dom f ).
Con esto, f es integrable.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [13/23]
Integración y derivación
Dada una serie de potencias∑
akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:
f : I −→ R
x 7−→ f (x) =∑
akxk = limn→∞
n∑k=0
akxk .
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que
cero.
La función f asociada es continua en int(Dom f ).
Con esto, f es integrable.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [14/23]
Integración y derivación
Dada una serie de potencias∑
akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:
f : I −→ R
x 7−→ f (x) =∑
akxk = limn→∞
n∑k=0
akxk .
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que
cero.
La función f asociada es continua en int(Dom f ).
Con esto, f es integrable.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [15/23]
Integración y derivación
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias de radio de convergencia R > 0.
Entonces para todo p ∈ Z, la serie∑kpakxk
tiene radio de convergencia R.
ObservaciónGracias a este último resultado, si
∑akxk tiene radio de convergencia
R > 0, entonces ∑ akxk+1
k + 1tiene también radio de convergencia R > 0.
Lo mismo sucede para la serie de potencias∑
k≥1 kakxk−1.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [16/23]
Integración y derivación
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias de radio de convergencia R > 0.
Entonces para todo p ∈ Z, la serie∑kpakxk
tiene radio de convergencia R.
ObservaciónGracias a este último resultado, si
∑akxk tiene radio de convergencia
R > 0, entonces ∑ akxk+1
k + 1tiene también radio de convergencia R > 0.
Lo mismo sucede para la serie de potencias∑
k≥1 kakxk−1.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [17/23]
Integración y derivación
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias de radio de convergencia R > 0.
Entonces para todo p ∈ Z, la serie∑kpakxk
tiene radio de convergencia R.
ObservaciónGracias a este último resultado, si
∑akxk tiene radio de convergencia
R > 0, entonces ∑ akxk+1
k + 1tiene también radio de convergencia R > 0.
Lo mismo sucede para la serie de potencias∑
k≥1 kakxk−1.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [18/23]
Integración y derivación
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias de radio de convergencia R > 0.
Entonces para todo p ∈ Z, la serie∑kpakxk
tiene radio de convergencia R.
ObservaciónGracias a este último resultado, si
∑akxk tiene radio de convergencia
R > 0, entonces ∑ akxk+1
k + 1tiene también radio de convergencia R > 0.
Lo mismo sucede para la serie de potencias∑
k≥1 kakxk−1.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [19/23]
Integración y derivación
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0.
La función f es integrable en (−R, R) y
∀x ∈ (−R, R),
∫ x
0f (t)dt =
∫ x
0(∑
ak tk)dt =∑ akxk+1
k + 1.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [20/23]
Integración y derivación
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0.
La función f es integrable en (−R, R) y
∀x ∈ (−R, R),
∫ x
0f (t)dt =
∫ x
0(∑
ak tk)dt =∑ akxk+1
k + 1.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [21/23]
Integración y derivación
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0.
La función f es derivable en (−R, R) y
∀x ∈ (−R, R), f ′(x) =∑k≥1
kakxk−1.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [22/23]
Integración y derivación
TeoremaSea
∑akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0.
La función f es derivable en (−R, R) y
∀x ∈ (−R, R), f ′(x) =∑k≥1
kakxk−1.
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [23/23]
Álgebra de series de potencias
TeoremaDadas dos series de potencias
∑akxk y
∑bkxk convergentes para x0.
Entonces la serie∑
(ak + bk) xk converge para todo x ∈ (− |x0| , |x0|) y setiene que ∑
(ak + bk) xk =∑
akxk +∑
bkxk .
Además, si ck =∑k ajbk−j la serie
∑ckxk converge para todo
x ∈ (− |x0| , |x0|) y se tiene que∑ckxk =
(∑akxk
) (∑bkxk
).
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [24/23]
Álgebra de series de potencias
TeoremaDadas dos series de potencias
∑akxk y
∑bkxk convergentes para x0.
Entonces la serie∑
(ak + bk) xk converge para todo x ∈ (− |x0| , |x0|) y setiene que ∑
(ak + bk) xk =∑
akxk +∑
bkxk .
Además, si ck =∑k ajbk−j la serie
∑ckxk converge para todo
x ∈ (− |x0| , |x0|) y se tiene que∑ckxk =
(∑akxk
) (∑bkxk
).
Series de potencias
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Series numéricas Semana 15 [25/23]
Álgebra de series de potencias
TeoremaDadas dos series de potencias
∑akxk y
∑bkxk convergentes para x0.
Entonces la serie∑
(ak + bk) xk converge para todo x ∈ (− |x0| , |x0|) y setiene que ∑
(ak + bk) xk =∑
akxk +∑
bkxk .
Además, si ck =∑k ajbk−j la serie
∑ckxk converge para todo
x ∈ (− |x0| , |x0|) y se tiene que∑ckxk =
(∑akxk
) (∑bkxk
).
Series de potencias