SERIES DE TIEMPOMODELOS AR MAARMA

De todas las macromagnitudes la ms importante es el producto bruto interno o PBI, ya que este indicador representa el resultado final de la actividad productora; es decir, resume toda la actividad econmica, motivo por el que se utiliza para estudiar la evolucin de la economa. El producto bruto interno (PBI) es el valor de todos los bienes y servicios finales producidos por las unidades residentes en un pas en un determinado periodo de tiempo.

DATOS ORIGINALESALBERUE PARA VACACIONISTAS 1988 - 1992 mes/ao ENERO FEBRERO 1988 80 78 1989 84 80 1990 78 79 1991 90 85 1992 104 99

MARZOABRIL MAYO JUNIO JULIO

7985 90 89 94

8483 86 88 84

8687 88 93 89

96100 104 103 100

107107 119 113 110

AGOSTO SEPTIEMBREOCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

85 8486 83 83

81 8185 84 89

91 8990 91 95

100 100100 104 110

109 104107 109 110

OBJETIVOSDos son los objetivos principales de esta prctica. En primer lugar, simular o generar procesos AR, MA y ARMA a partir de la programacin directa que permite Eviews y observar que caractersticas tienen dichos procesos.

En segundo lugar, mostrar cmo aplicar la metodologa Box-Jenkins a los procesos generados, y as poder analizar cules son las potencialidades y las limitaciones de dicha metodologa.

Metodologa de Box-Jenkins1) Recoleccin de datos.(Disponer de 50 o mas datos)

2) Representacin grfica de la serie. (Para decidir sobre la estacionariedad y estacionalidad) 3) Transformacin previa de la serie y eliminacin de la tendencia. (Transformacin logartmica)4) Identificacin del Modelo. 5) Estimacin de los coeficientes del Modelo. (Estimacin de los parmetros). 6) Contraste de validez conjunta del modelo. Utilizacin de diversos procedimientos: contraste de significacin de parmetros, covarianzas entre estimadores, etc.).

7) Anlisis detallado de los errores. Se deber comprobarse un comportamiento no sistemtico de ,los mismos, as como analizar la posible existencia de errores significativos).8) Construccin del modelo y prediccin.

1.Recoleccin de Datos.Como ver se trata de una serie mensual de 60 observaciones que van desde 1988M01 a 1992M012 (es decir, Enero de 1988 a Diciembre de 1992).

2.Representacin Grfica de la Serie

Para llegar a la fase de identificacin de la serie, debemos realizar, tal cual las fases planteadas en el inicio, dos pasos previos: la representacin grfica y la eliminacin de la tendencia. La representacin grfica de la serie es de utilidad para decidir sobre la estacionariedad y estacionalidad. Suelen utilizarse medias y desviaciones tpicas por subperodo para juzgar sobre la estacionariedad de la serie.

Siguiendo con nuestro ejemplo, realizamos una representacin grfica de la serie yt , indicando la serie a graficar en SERIES LIST para obtener la representacin de la misma. Se observa a simple vista que el grfico presenta variaciones estacionales mensuales. Sin embargo este hecho hay que comprobarlo formalmente.

Para probar la estacionalidad podemos utilizar el grfico vertical de la serie que se obtiene:

El grfico de las subseries estacionales que se obtiene eligiendo , es el siguiente

Por ltimo, el grfico de las sub series anuales .

Todos los grficos anteriores muestran la presencia de estacionalidad mensual. El grfico de las subseries anuales presenta evoluciones paralelas de los datos en los distintos meses de todos los aos. El grfico de las subseries estacionales muestra claramente las secciones similares de las estaciones.

Para nuestro ejemplo, con la finalidad de estimar estas funciones y estudiar la estacionalidad y estacionariedad, elegimos en el WORKFILE y elegimos la serie en niveles con 28 retardos:

Se obtienen las funciones de autocorrelacin y de autocorrelacin parcial estimadas. La FAC muestra valores altos en los retardos mltiplos del perodo estacional 12, 24 y 36.

3.Transformacin de la SerieCuando una serie no es estacionaria hay que proceder a su transformacin. En el ejemplo, la transformacin nos lleva a tomar logaritmos sobre la serie original. Esto en esencia significa generar una nueva variable, la que denominaremos LY = log(y) . En Eviews esto se logra por medio del comando GENR.

Calculando el correlograma de la serie transformada en logaritmo vemos que el problema an no se ha solucionado ya que las funciones de autocorrelacin y autocorrelacin parcial siguen mostrando un comportamiento similar al detectado, con esas mismas funciones, en la serie original. Se puede decir que con la transformacin logartmica se ha solucionado la estacionariedad en varianza, pero la serie sigue mostrando una tendencia lineal.

Se observa que al diferenciar slo la parte regular de la serie en logaritmos, las funciones de autocorrelacin y autocorrelacin parcial estimadas no superan el problema de la falta de estacionariedad ya que AC la no decae rpidamente. Pero al diferenciar slo una vez la parte estacional de la serie en logaritmos, las funciones de autocorrelacin y de autocorrelacin parcial estimadas ya superan el problema de la no estacionariedad. Asimismo, estas dos funciones cumplen las condiciones para que haya estacionalidad porque los coeficientes de la AC para retardos mltiplos de perodo estacional de la serie son significativamente distintos de cero. Adems, para una cantidad grande de retardos, la AC se configura en forma de abanico que completa su ciclo girando sobre el eje de abscisas para una cantidad de retardos igual al perodo estacional.

Luego el problema de la estacionalidad y estacionariedad en media y varianza se ha arreglado aplicando logaritmos, diferenciando una vez la parte estacional y no diferenciando la parte regular. Luego la parte regular de la serie en logaritmos es integrada de orden cero I(0) y la parte estacional es integrada de orden uno I(1) .

4.Identificacin del ModeloEn la serie que estamos tratando habamos identificado previamente, a partir de anlisis de las funciones de autocorrelacin y de autocorrelacin parcial y de sus respectivos correlogramas, luego de la transformacin logartmica que el proceso estocstico que la generaba era integrado de orden uno en la parte estacional y no integrado en la parte regular de la serie.

Si repetimos estos pasos para DLYTS, o sea al diferenciar una vez la parte estacional de la serie en logaritmos se observa que la misma tambin presenta estacionariedad. Por lo tanto se comprueba que la serie regular en logaritmo es integrada de orden cero y la serie estacional es integrada de orden uno, ya que es necesario tomar las primeras diferencias para que la misma sea estacionaria. Se comprueba, entonces, todo lo realizado a partir de las funciones de autocorrelacin y autocorrelacin parcial y del anlisis del respectivo correlograma.

Resta por identificar el orden de los procesos AR y MA. Para la obtencin del orden (p, q) se realiza una comparacin entre las caractersticas que 2 importantes funciones estadsticas presentan para los distintos modelos ARMA tericos y las caractersticas que tales funciones, pero muestrales, presentan en la serie objeto de estudio. Tales funciones estadsticas son la AC y la ACP , que son los dos instrumentos bsicos en la fase de identificacin del ARMAVER CORRELOGRAMA DLYTS

Ya tenemos identificada completamente la serie original como un modelo ARMA (1, 0,1)(0, 5.Estimacin de los coeficientes del Modelo de una serie .1,1) . Es decir, ya hemos realizado el trabajo ms importante en la modelizacin temporal mediante la metodologa Box Jenkins. Ahora, realizaremos su estimacin. Se obtienen los siguientes resultados:12

6.Contraste de validez conjunta del modelo A la hora de realizar la etapa de validacin (o contraste) del modelo podemos recurrir a diversos criterios y contrastes estadsticos. Todos los programas de ordenador recogen estos test. El modelo para la serie YT presenta buena significatividad individual y conjunta de los parmetros estimados, altos coeficientes de determinacin y un estadstico de Durbin y Watson mayor a 2. Luego la diagnosis del ajuste es correcta.

7.Anlisises un buen los errores detallado de Tambininstrumento de diagnosis el correlograma residual obtenido. Se observa que tanto la funcin de autocorrelacin y la funcin de autocorrelacin parcial no tienen retardos claramente significativos y adems las probabilidades asociadas al estadstico Q son todas mayores que 0.05, lo que indica que los residuos del modelo estimado se comportan como un ruido blanco.

Adems, para validar el modelo podemos estudiar el grfico de los residuos, que nos proporciona una visin de conjunto de la cuanta de los errores, sesgos sistemticos y puntos de errores excepcionales (llamados outliers) que deben ser analizados con especial atencin.

8.Seleccin del modelo ya prediccin Seleccionado el modelo, puede pasarse la etapa de la prediccin.

La verdadera prediccin ser la realizada a partir del ltimo dato del perodo muestral, aunque tambin puede resultar til analizar cmo se habra comportado el modelo si hubiera tenido que hacer una prediccin dentro del perodo histrico ya conocido, y que ha servido de base a su estimacin y contraste. Para ello disponemos de dos alternativas: la esttica y la dinmica.

En la prediccin esttica se utilizan los valores verdaderos de las variables desplazadas.Para predecir utilizamos la instruccin FORECAST del men de la ventana de ecuacin, inmediatamente despus de la estimacin, porque sta quedar residente en memoria slo hasta la siguiente estimacin que realicemos. Por ejemplo, si hemos estimado un modelo ARMA(1, 1) tal como

Conclusin Las conclusiones que podemos extraer del ejercicio realizado es que las sucesivas etapas de esta metodologa conducen al analista hacia el modelo correctamente especificado, si bien, su aplicacin a datos reales implica en la mayora de los casos una identificacin "tentativa". Sugerimos que se aplique la metodologa Box-Jenkins a los datos de otras series de tiempo para tratar de encontrar que modelo ARMA ajusta mejor dichas series.