series y sumatorias

TRILCE

109

Captulo

SERIES Y SUMATORIAS10DEFINICIN :Una serie es la adicin indicada de los trminos de una sucesin numrica y al resultado de dicha adicin se le llama sumao valor de la serie.De acuerdo con esto, si la sucesin numrica es :

n321 a ; ...... ; a ; a ; a

Entonces la serie numrica asociada a ella ser :

n321 a......aaa

SERIE ARITMTICALa serie aritmtica es la adicin indicada de los trminos de una sucesin aritmtica de razn constante (Esta clase desucesiones son llamadas progresiones aritmticas (P. A.)).

n321 a......aaa

r r Razn AritmticaConstante

EJEMPLO

... El profesor de RM le pidi al nio TRILCITO que sumar las notas obtenidas por sus 20 compaeros en el ltimosimulacro. Las notas son :

16 ;19 ; 22 ; 25 ; ...... ; 73

El profesor se qued admirado de TRILCITO porque lo resolvi por 4 mtodos diferentes.Observa cmo lo hizo y cules son los mtodos que utiliz :1 mtodo

8989

89737067.....221916S

La suma de los trminosequidistantes siempre es la misma

Raz. Matemtico

110

Como son 20 trminos, se forman 10 parejas, luego :

890 10(89) S

2 mtodo : invierto el orden de los sumandos

898989....8989892S161922....677073S737067....221916S

20 trminos

Serie original :Serie escrita al revs :

2S = 20 (16 + 73)

S = (16 + 73)2

201 sumando ltimo sumando

Cantidad de sumandos

De esta ltima expresin podemos deducir que el valor de la serie se obtiene mediante la frmula :

n2

ttS n1

Donde : t : 1 sumando1 er

t : ltimo sumandon : cantidad de sumandos2

3 mtodoHall la ley de formacin de los trminos y los orden as :

13)20(373

13)3(32213)2(31913)1(316

=3[1+2+3+...+18+19+20]+260212121

S = 3(10 21)+260S = 890

)13(20)20...321(373...221916

S

En esta 1 columna estamos sumando 20 trminos; conocemos esta cantidad gracias a la sucesin que aparece en la 2 columna

Ntese en esta 2 columna la sucesin : 1 , 2 , 3 , ... , 20

TRILCE

111

4 mtodo :Utiliz el mtodo combinatorio

S = 16 + 19 + 22 + 25 + .... + 73

3 3 3

1 2 3 4 ....... 20

202

201 C3C16S

!2 !18

!2032016S

890S

Ejemplo (1)Calcular la suma de los 120 primeros trminos de :

1 ; 2 ; 3 ; - 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; - 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; - 12 ; ...

Resolucin :

Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos del siguiente arreglonumrico , si hay 30 filas :

477744774

47444

4

Resolucin :

Ejemplo (3)Calcular la suma de todos los nmeros desde la figura 1hasta la figura 20.

13

5(1)

59

7(2)

911

13(3)

Resolucin :

Ejemplo (4)Cuntas bolitas hay en la figura 20?

(1) (2) (3) (20)

?

Resolucin :

SERIE GEOMTRICAS

El Rey de la India, en reconocimiento al ingenioso inventorealizado por Lahur Sessa, decidi recompensarlo genero-samente, para lo cual mand llamarlo a Palacio.El invento constaba de un tablero cuadriculado con 8 casi-lleros por lado (es decir; 64 cuadrados en total) que simula-ba un campo de batalla y 32 piezas (16 para cada jugador)que representaban los ejrcitos en lucha. Pide lo que quie-ras dijo el rey. Solicito que se me de 1 grano de trigo porel primer casillero, y por cada casillero siguiente el doble dela cantidad anterior, hasta terminar con los 64 casilleros.El Rey orden que se cumpliese su deseo. Al cabo de untiempo los calculistas del palacio comunicaron al soberanoque tal pedido era imposible. Veamos :

Raz. Matemtico

112

6463

63

22....842S2

2....8421S

64......4321

1 = 18446744073709551615 granos de trigo2S 64

Casillero :

Una serie geomtrica es la adicin indicada de los trminosde una progresin geomtrica.

* Sea la serie geomtrica :

n321 a......aaa

r r Razn Geomtrica

* )r(aa1n

1n

*)1r(

)1r(aS

n1

n

En el problema de la historia de el Ajedrez, se tiene laserie.

S = 1 + 2 + 4 + 8 + .... + 2 63

2 2 2 Razn Geomtrica

En donde :

1a1

n = 64r = 2

)12()12(1S

64

12S 64

La Tierra, convertida de Norte a Sur en un sembrado conuna cosecha por ao, tardara 450 siglos en producir seme-jante cantidad de trigo.

Ejemplo (5)Calcular : S = 1 + 3 + 6 + 12 + ....... + 1536

Ejemplo (6)Cinzia le dijo a Alessandro : "Te voy ha pagar una suma dedinero por el primer cuadriltero que encuentres de la si-guiente figura, y luego te ir duplicadndo dicha suma porcada nuevo cuadriltero que encuentres".Si Cinzia le pag 12285 soles en total, cunto le pag por elcuarto cuadriltero?

Ejemplo (7)Calcular :

cifras 40

7......77...777777R

Resolucin :

SERIES NOTABLES

A) Suma de los "n" primeros nmeros naturalesconsecutivos.

2)1n(nn.......4321


R = 0,1 + 0,2 + 0,3 + ...... + 1,1

Resolucin :

TRILCE

113

Ejemplo (9)Hallar la suma total de todos los elementos del siguientearreglo :

10987654

32

112

34

20

Resolucin :

Ejemplo (10)Hallar "x" en la siguiente serie :

2 + 4 + 6 + 8 + ..... + x = 930

Resolucin :

B) Suma de los "n" primeros nmeros imparesconsecutivos.

1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n - 1) = n2

Ejemplo (11)Se sabe que :A = 1 + 3 + 5 + ...... + 19B = 5 + 7 + 9 + 11 + ...... + 21Hallar : B - A

Resolucin :


4 19,0...05,003,001,0)199...7531(S

Resolucin :

Ejemplo (13)Se tiene el siguiente arreglo numrico :

171513119753

1

Calcular la suma de todos los trminos que hay desde lafila 4 hasta la fila 10.

Resolucin :

C) Suma de cuadrados de los "n" primeros nmerosnaturales.

6)1n2)(1n(nn.....4321 22222


S = 2 + 3 + 10 + 15 + ...... + 99

Resolucin :

Raz. Matemtico

114

Ejemplo (15)Calcular el valor de "a", en la siguiente serie :

1 + 4 + 9 + 16 + ...... + a = 2870

Resolucin :

Ejemplo (16)Hallar el nmero total de tringulos que hay desde lafigura 1 hasta la figura 20.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Resolucin :

D) Suma de los cubos de los "n" primeros nmerosnaturales.

2

2)1n(nn...4321 33333

Ejemplo (17)Hallar la suma total del siguiente arreglo numrico :

2

22

222

2222

22222

10

10......4

10......43

10......432

10......4321

......

.....................

Resolucin :

Ejemplo (18)Si :

sumandos "n"

222n

......131415S

Calcular :

154321 S......SSSSS

Resolucin :


S = 1,001 + 1,008 + 1,027 + .... + 2

Resolucin :

E) Suma de los "n" primeros nmeros triangularesconsecutivos.

n.....43212

)1n(nn

4321104

32163

2132

111

TRILCE

115

6)2n)(1n(n

2)1n(n...1510631


trminos20

....

15141

1

1091

1

651

1

321

1N

Resolucin :

Ejemplo (21)Cuntas bolitas habr hasta la figura 20?

(1) (2) (3) (4) (20)

?

Resolucin :

SERIES ESPECIALES

A) Suma de productos compuestos por factores consecutivos :

Ejemplo (1)

4039......433221S

Resolucin :

Ejemplo (2)

403938......543432321S

Resolucin :

Ejemplo (3)Hallar la suma total en el siguiente esquema si hay 20 filas.

408642:F

8642:F642:F

42:F

2:F

20

4

3

2

1

Raz. Matemtico

116

Resolucin :

B) Suma de productos compuestos por factores cuya diferencia es constante.Ejemplo (1)

3230......534231S

Resolucin :

Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos en el siguiente esquema :

15...4321

15...4321

4321

4321432

434

15

15

14

...

...

...

...

... 1514

1414

Resolucin :C) Suma de productos compuestos por factores cuya suma es constante :

Ejemplo (1)

120......183192201S

Resolucin :

Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos en el siguiente esquema :

TRILCE

117

20...4321

4321

321

21

1

Resolucin :

D) Suma de las inversas de los productos compuestos por factores cuya diferencia es constante.

Ejemplo (1)

64611......

13101

1071

741S

Resolucin :

Ejemplo (2)

33601......

12181

9121

661S

Resolucin :

Raz. Matemtico

118

E) Serie geomtrica ilimitada :

r1

a.....aaaS 1321

Donde : 0 < |r| < 1

Ejemplo (1)

......6251

1251

251

51S

Resolucin :

Ejemplo (2)

......641

321

161

81

41

21S

Resolucin :

Ejemplo (3)

......74

73

72

71S 4321

Resolucin :

Ejemplo (4)

......716

79

74

71S 432

Resolucin :

TRILCE

119

SUMATORIAS

Consideremos la siguiente sucesin:

m3n2n1nn a ; ...... ; a ; a ; a ; a

La suma de los trminos de la sucesin ser :

m

niim3n2n1nn aa + ...... + a + a + a + a

La expresin en el lado derecho de la igualdad se denomina "sumatoria" y constituye una forma abreviada de escribir la seriedada.

Donde :

: Notacin Sigma. Nos representa la suma de los trminos de la forma " ia " de dicha sucesin.

ia : Nos representa uno de los trminos de la sucesin, dependiendo del valor de "i".

trmino generalaami

trmino3er.aa2ni

trmino2doaa1ni

trmino1er.aani

mi

2ni

1ni

ni

i : Toma valores desde n hasta m

Lmite superior de la sumatoriami

Lmite inferior de la sumatoriani

Ejemplo : Representar la siguiente sumatoria :1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 30

Resolucin :La sucesin est formada por todos los enteros positivos desde 1 hasta 30.Sea i un entero cualquiera cuyo valor mnimo es 1 (lmite inferior) y el valor mximo es 30. (lmite superior).

Por lo tanto la sucesin indicada la podemos representar como :

30

1ii

Ejemplo : Calcular :

5

3i)1i2(

Resolucin :

Cada trmino a sumar es de la forma "2i - 1" donde "i" toma valores 3 ; 4 y 5

91525i

71424i

51323i

Para Trmino

5

3i21975)1i2(

Raz. Matemtico

120

Ejemplo : Expresar las sumatorias en forma desarrollada ycalcular el valor de la suma :

a)

40

1ii

b)

10

1i

2i

c)

20

1i)3i2(

d)

3

0i

2 )3i(i

Ejemplo : Expresar las sumas usando sumatorias :

a) 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 10 =

b) 17 + 18 + 19 + ..... + 40 =

c) 2222 20......321

d) 11 + 17 + 23 + ...... + 191 =

PROPIEDADES

1. Nmero de trminos de la sumatoria :

m

niia # trminos = m n + 1

Ejemplo : Halle el nmero de trminos de la siguientesumatoria :

80

23iia # trminos = 80 23 + 1 = 58

2. Si k es un valor constante :

m

nii

m

nii akak

Ejemplo :

7

4i

7

4ii2i2

3. ai ; bi son trminos que dependen de la variable"i"

m

nii

m

nii

m

nii ba)bai(

Ejemplo :

4

1i

24

1i

4

1i

2 ii3)ii3(

4. Sumatoria de una constante. k = cte.

k (#trminos) = k (m n + 1)

m

nik

Ejemplo :

50)148(10108

4i

5. Desdoblando la sumatoria :i = n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3 ; ....... ; n + p ; n + p + 1 ; ......m

m

1pni

pn

ni

m

niaiaiai

TRILCE

121

En cada caso resolver las siguientes sumatorias :

a)

10

1i)1i5(

b)

10

1i

2 )20i(

c)

100

0i

22

100

0i

4100

0i

4

)1i)(1i(

)2i2()1i(

d)

26

7i 101

40

9i

40

1iii

e)

20

2i)3i4(

f)

80

5i

480

2i

4 i)1i(

g)

30

2i

23 )1i3i3i(

Raz. Matemtico

122

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. La suma de 20 nmeros enteros consecutivos es 430.Cul es la suma de los 20 siguientes?

a) 830 b) 720 c) 630d) 820 e) 900

02. Al sumar 61 nmeros naturales consecutivos elresultado da 2745.Hallar el mayor de los sumandos.

a) 75 b) 74 c) 73d) 76 e) 77

03. La suma de todos los nmeros naturales desde "n"hasta "5n" es 1230.Calcular el valor de "n" y dar como respuesta el productode sus cifras.

a) 0 b) 24 c) 12d) 32 e) 40

04. Si :

630m3...963

990n...321

Hallar : nm

a) 10 b) 12 c) 7d) 8 e) 6

05. Calcular el valor de :J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + ...... + 7

a) 2002 b) 2004 c) 2006d) 1200 e) 802

06. Determinar el valor de la siguiente suma :S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ...... + 18,81

a) 90,28 b) 92,85 c) 98,25d) 92,28 e) 93,23

07. Calcular el valor de los 100 primeros trminos de :1 , 2 , 3 , -4 , 5 , 6 , 7 , - 8 , 9 , 10 , 11 , - 12

a) 2640 b) 2650 c) 2660d) 2670 e) 2680

08. Disponga los nmeros naturales en forma adjunta y deenseguida el ltimo trmino de la fila nmero 30.

1514131211

10987

654

32

1

a) 465 b) 850 c) 890d) 910 e) 999

09. Hallar la suma total si hay 20 filas :

55555

4444333

22

1

a) 2870 b) 2780 c) 2875d) 2872 e) 2880

10. Se arreglan nmeros en forma de "diamante", comose muestra en el diagrama

1221

3332214444333221

333221221

1

Cul es la suma de los nmeros en el ensimodiamante?

a) 3

)1n2(n 2 b) 3

)1n(n 2

c) 3

)2n(n 2 d) 2

)3n(n 2

e) 3

)2n(n 2

11. Dos hermanas : Patty y Paola iniciaron ante laproximidad del verano un rgimen de dieta. Patty lolleva a cabo comiendo 13 duraznos cada da, mientrasque Paola la lleva a cabo comiendo 1 durazno el primerda, 2 en el segundo, 3 en el tercero y as sucesivamente,la dieta termin cuando ambas haban comido lamisma cantidad de duraznos. Si la dieta se inici el 15de noviembre.Qu da termin?

a) 10 de diciembre.b) 11 de diciembre.c) 8 de diciembre.d) 9 de diciembre.e) 12 de diciembre.

12. En una reunin todos los asistentes se saludaron conun apretn de manos, si en total hubo 28 apretones demanos.Cuntos asistieron a la reunin?

TRILCE

123

a) 8 b) 6 c) 9d) 7 e) 5

13. Por motivos de una fiesta infantil se repartieron un totalde 1600 juguetes entre 25 nios, dndole a cada uno2 juguetes ms que al anterior.Cuntos juguetes se les dio a los 15 primeros?

a) 800 b) 820 c) 290d) 810 e) 560

14. Un abuelo tiene 20 nietos y reparti cierta cantidad decaramelos de la siguiente forma: El primero le dio 10,al segundo 12, tercero 14 y as sucesivamente.Cuntas bolsas de caramelo ha tenido que comprar elabuelo, si cada bolsa trae 20 caramelos?

a) 30 b) 29 c) 31d) 28 e) 32

15. Hallar la siguiente suma (dar la suma de cifras delresultado)

2 + 3 + 10 + 15 + 26 + ... + 1295

a) 14 b) 15 c) 20d) 16 e) 17

16. Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurrael ciclo, l gastaba mayor nmero de tizas por semana.As la primera semana gast 11 tizas, la segunda 13tizas, la tercera 15 tizas y as sucesivamente. Si el ciclodur 38 semanas; y cada caja de tizas traa 15 tizas.Cuntas cajas abri el profesor durante el ciclo paracompletar su dictado?

a) 121 b) 120 c) 122d) 119 e) 123

17. Dos hermanas : Karen y Melina, compran cada una elmismo lbum de figuritas. Karen pega en el suyo 1figurita el primer da, 2 en el segundo da, 3 en el terceroy as sucesivamente y Melina pega 10 figuritas cadada. Si ambas compraron su lbum el mismo da yMelina lo llena el da 16.Cuntas figuritas le faltarn a Karen ese da paracompletar el suyo?

a) 18 b) 24 c) 20d) 36 e) 56

18. Calcular :

11 1...3,02,01,0)19...7531(

a) 10 b) 10 c) 100

d) 1 e) 1000

19. Hallar el valor de : 3 x ; si :

1 + 3 + 5 + ..... + (2x + 5) = 900

a) 2 b) 4 c) 6d) 3 e) 5

20. Cuntas bolitas blancas hay en la figura 20?

(1) (2) (3)

a) 211 b) 210 c) 209d) 214 e) 221

21. Hallar las sumas de las reas de los infinitos crculos asformados, tomando como dimetro el radio de lacircunferencia anterior.

12

a) 144 b) 160 c) 180d) 192 e) 200

22. Una persona debe recorrer 3275 m y los hace de lasiguiente manera, en el primer minuto recorre "a"metros, en el segundo minuto recorre "2a" metros yretrocede 10m, en el tercer minuto recorre "3a"m yretrocede 10m, en el cuarto minuto recorre "4a"m, yretrocede 10m, y as sucesivamente, llegando a la metaen 21 minutos exactamente.Hallar "2a".

a)15 b) 20 c) 24d) 30 e) 32

23. Hallar la suma total en el siguiente arreglo triangular :

86549

6327

415

23

1 F1F2F3F4F5

F20

a) 15486 b) 15480 c) 15470d) 15342 e) 15398

24. Cuntos hexgonos regulares se formarn al unir loscentros de las circunferencias, tal que en el interior decada hexgono haya solamente una circunferencia?

Raz. Matemtico

124

30 circunferencias

a) 370 b) 380 c) 378d) 365 e) 392

25. Luis todos los das visita a uno de sus familiares enorden ms cercano. Si la casa del ms cercano est a10m de la casa de Luis y a partir de all todos seencuentran a 10m de distancia.Cunto habr caminado Luis en total despus de habervisitado al ltimo de sus familiares, sabiendo que luegode visitar a un familiar siempre retorna a su casa y quesus familiares son 90?

a) 920 b) 915 c) 850d) 900 e) 870

26. Gilder y Lincoln leen una novela de 300 pginas, Gilderlee 100 pginas diarias y Lincoln 10 pginas el primerda, 20 pginas el segundo da, 30 el tercero y assucesivamente.Despus de haber ledo cuntas pginas, coincidirn?

a) 1950 b) 2000 c) 1900d) 1850 e) 2100

27. En una huerta hay 30 caballones, cada uno de ellostiene 16m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riegoel hortelano lleva los cubos de agua desde el pozosituado a 14m del extremo de la huerta y da la vuelta elcaballn por el surco, el agua que carga cada vez lesirve para pegar un solo caballn.Cul es la longitud de camino que recorre el hortelanopara regar toda la huerta?Nota :El camino comienza y termina junto al pozo.

a) 4 225 m b) 4 325 mc) 4 125 m d) 4 025 me) 4 200 m

28. Calcular el valor de "S". Si :

trminos40

...131111997755331S

a) - 3300 b) - 3280 c) 3080d) - 3380 e) - 3240

29. Una pelota de Ping pong es dejada caer de 24m dealtura, y cada vez que rebota se eleva una altura igual ala mitad de la altura anterior.Cuntos metros recorri la pelota hasta que quedtericamente esttica?

a) 48 m b) 96 m c) 72 md) 24 m e) 108 m

30. Hallar la suma total del siguiente arreglo numrico :

3725232119

131197

975

53

1

a) 1 065 b) 1 045 c) 1 035d) 1 095 e) 1 075

31. Calcular : A + B

11B...531

A...115113111

trminosx

trminosx

a) 156 b) 150 c) 155d) 160 e) 152

32. Sabiendo que :

n....54321Sn

Hallar :

121617181920 SS...SSSSSS

a) 1 640 b) 121 c) 110d) 90 e) 131

33. Hallar la suma total del siguiente arreglo numrico :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2 2 2

2 + 3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2 2

3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2

4 + 5 + ........... + 202 2 2

202

a) 44100 b) 42400 c) 44400d) 4300 e) 4540

34. Hallar la suma de :

sumandos "n"

).........7x()5x()3x()1x(R

Para : x = (n - 2)

TRILCE

125

a) n(2n 1) b) 2n(n 1)c) 2n(2n 2) d) n(2n 3)

e) nn2

35. Un micro parte con 10 pasajeros, en el primer paraderosuben 4 y bajan 2, en el siguiente suben 8 y bajan 3, enel siguiente suben 12 y bajan 4 y as sucesivamente.Cuntos bajaron en el paradero central de su recorrido,si finaliza con 561 a bordo?

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

36. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguientearreglo numrico.

1 F13 5 F2

7 9 11 F313 15 17 19 F4

a) 3225 b) 2525 c) 3025

d) 1515 e) 4225

37. Hallar la suma total del siguiente arreglo, si tiene 10filas :

365433323

31333

3

a) 723 b) 726 c) 710d) 720 e) 724

38. El primer da de trabajo gan S/. 3; el segundo da ganS/. 7; el tercer da gan S/. 13; el cuarto da gan S/. 21y as sucesivamente. Si trabaj 20 das, cunto gan elltimo da?

a) 441 b) 421 c) 560d) 380 e) 420

39. Calcular la suma de los infinitos trminos dados :

...72

71

72

71

72

71

65432

a) 161

b) 169

c) 167

d) 163

e) 165

40. Si x > 3; calcular el valor de la siguiente serie :

.....x1

x1

x1R 32

a) 4x

x2

b) 7x

x2

c) 1x

x2

d) xx

x2

e) 3x

x2

41. Calcular la suma de todos los trminos del siguientearreglo :

11111

27272727282828

2929

30

a) 4 960 b) 4 980 c) 4 900d) 4 700 e) 4 500

42. Calcular el valor de "E".Si :

]n.....321[n11....

411

311

211

E2222

a) n1

b) 2n1

c) n2

d) n3

e) 2n2

43. La suma de la ltima fila del arreglo :

7654543

321

Es igual a 2380, cuntas filas tiene el arreglo?

a) 35 b) 38 c) 39d) 40 e) 41

44. Hallar el valor de la siguiente serie :

1410...736251E

a) 610 b) 609 c) 605d) 606 e) 607

45.Calcular :

....21635

3613

652S

a) 3,8 b) 4,5 c) 3,5d) 2,5 e) 2,6

Raz. Matemtico

126

46. Calcular R en :

204321 10......10101010R

a) 9

)110(10 2 b)

9)110(10 20

c) 9

)110(10 21 d)

9)310(10 20

e) 3

)110(10 20

47. Calcular el valor de :

...15123

11292

1961

1M

3633101

a) 271665

b) 217665

c) 241665

d) 257665

e) 237665

48. Hallar el rea del tringulo, si todos los cortes sonhomogneos.

A

B

C1 2 3 4 17 18 19 20

2cm2

a) 2cm172 b) 2cm192 c) 2cm190

d) 2cm180 e) 2cm380

49. Calcular : S

119...173182191S

a) 1 290 b) 1 330 c) 1 020d) 1 390 e) 1 225

50. Anita una esforzada atleta realiza su entrenamiento elcual se encuentra en el punto A y se dirige hacia el

punto B, recorriendo 54

de la distancia que la separa

de B y marca ah el punto C. Luego se dirige hacia A,

recorriendo 54

de la distancia que la separa de A, y

marca el punto D. Despus se dirige hacia C recorriendo

54

de la distancia que la separa de C y marca el punto

E y as sucesivamente. A qu distancia de B se

encontrar al cabo de "x" aos?

V=1m/s

360 mA

B

a) 250m b) 140m c) 240md) 160m e) 200m

51. Reducir :

100001

1.....251

1161

191

141

1N

a) 100101

b) 100202

c) 200101

d) 2 e) 20099

52. Un atleta se dispone de entrenar en el circuito mostradoempleando 10 segundos para ir de un crculo a otro(en sentido horario), pero cada vez que completa mediavuelta descansa un tiempo mayor en 10 segundos alque viene empleando para ir de un crculo a otro. Luegocontina y para ir de un crculo a otro emplea el tiempoque descansa. Cunto tiempo habr transcurrido hastaterminar un descanso que dur 410 segundos?

a) 41400 seg b) 41000 segc) 42600 seg d) 43500 sege) 461000 seg

53. Calcular la suma de todos los trminos unidos por lalnea demarcada hasta la fila 20.

1615201561 6 Fila15101051 5 Fila

146414 Fila1331 3 Fila

121 2Fila1 1 Fila

a) 1540 b) 1620 c) 1520d) 1740 e) 1850

54. Calcular : S

...34

33

32

31S 432

TRILCE

127

a) 814

b) 163

c) 43

d) 34

e) 94

55. Si :

2662f242f

22f2f

)4(

)3(

)2(

)1(

Calcular :

)20()3()2()1( f....fff

a) 1221 b) 2221 c) 3221 d) 4221

e) 6221

56. Dados :

2120...131212111110S1

2120...433221S2

Hallar : 12 SS

a) 7584

b) 7542

c) 2542

d) 8584

e) 8483

57. Calcular el valor de la siguiente serie :

trminos30

.....837261S

a) 13780 b) 11780 c) 12780d) 14790 e) 15780

58. Hallar "S"

....1280

7232036

8018

209S

a) 0,1 b) 0,7 c) 0,6d) 1,9 e) 0,9

59. En el siguiente arreglo tringulo calcular la suma de los

trminos de 20F

20Fila

4 Fila1008164493 Fila362516 2Fila941 Fila1

a) 804470 b) 804670 c) 846470d) 805070 e) 804600

60. Calcular "S"

1051001...

20151

15101

1051S

a) 10021

b) 1058

c) 1057

d) 214

e) 1054

Raz. Matemtico

128

Claves Claves

a

a

a

d

a

b

b

a

a

a

a

a

d

b

b

c

b

b

d

a

d

d

a

c

d

c

e

d

c

b

e

c

a

b

c

c

a

b

d

d

a

b

d

c

c

b

e

c

b

e

c

a

a

c

b

a

b

e

b

e

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

series y sumatorias

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