sesión 3. modelos y esquemas numéricos en...

Modelos físicos en OpenFOAMEsquemas numéricos en OpenFOAM

Sesión 3. Modelos y esquemas numéricos enOpenFOAM

E. Martín1, M. Meis1,2, F. Varas1, V. Díaz3 y A. Gosset3

1Univ. de Vigo, 2Vicus Desarrollos Tecnológicos y 3Univ. da Coruña

Simulación en dinámica de fluidos con OpenFOAMVigo, 18 al 22 de Julio de 2011

E. Martín, M. Meis, F. Varas, V. Díaz y A. Gosset Sesión 3. Modelos y esquemas numéricos en OpenFOAM


Outline

1 Modelos físicos en OpenFOAMPrincipales grupos de modelosOtros grupos de modelos

2 Esquemas numéricos en OpenFOAMDiscretización espacial y temporalAlgoritmos numéricos de resoluciónResolución de sistemas lineales



Principales grupos de modelosOtros grupos de modelos

Plan






Modelos físicos en OpenFOAM

Principales grupos de modelos

modelos básicosflujos incompresiblesflujos compresiblesflujos multifásicosflujos reactivos




Modelos físicos en OpenFOAM (cont.)

Otros grupos de modelos

transporte de partículastransferencia de calorotras físicas:

electromagnetismo, sólidos, etc

Referenciashttp://www.openfoam.com/features

OpenFOAM User Guide (sección 3.5)




Plan






Modelos básicos

Modelos básicos en OpenFOAMFlujos potencialesEcuación de transporte

Archivo scalarTransportFoam.C

solve ( fvm::ddt(T) + fvm::div(phi,T) -fvm::laplacian(DT,T) );




Flujos incompresibles

Modelos incompresibles en OpenFOAMflujos laminaresflujos turbulentos

Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS):http://www.openfoam.com/features/RAS.phpLarge Eddy Simulation (LES):http://www.openfoam.com/features/LES.php




Flujos incompresibles (cont.)




Flujos compresibles

Modelos compresibles en OpenFOAMflujos laminaresflujos turbulentos (RANS)flujos transónicos/supersónicos




Flujos compresibles (cont.)




Flujos multifásicos

Modelos multifásicos en OpenFOAMflujos incompresibles de fluidos inmisciblesflujos compresibles de fluidos inmisciblesflujos bifásicos con fase dispersa




Flujos multifásicos




Flujos reactivos

Modelos reactivos en OpenFOAMflujos reactivos (genéricos)modelos de llamas premezcladasmodelos de llamas de difusióncombustión de sprays




Flujos reactivos




Plan






Transporte de partículas




Transferencia de calor




Otras físicas




Fuentes de información

OpenCFDTutoriales de OpenFOAMCódigo fuente de OpenFOAM

Comunidad de usuarioshttp://openfoamwiki.net

Curso de CFD basado en OpenFOAM en:http://www.tfd.chalmers.se/˜hani



Discretización espacial y temporalAlgoritmos numéricos de resoluciónResolución de sistemas lineales

Plan






Esquemas numéricos en OpenFOAM

Discretización numéricadiscretización espacial y temporal

discretización espacialtratamiento de términos convectivosdiscretización temporal

algoritmos globales de resoluciónSIMPLEPISO

resolución de sistemas lineales




Plan






Formulación de modelos

Ecuación de conservación genérica (forma diferencial)

∂

∂t(ρΦ)︸︷︷︸

acumulación

+ div(ρ~UΦ)︸︷︷︸convección

−div(ρΓΦ~∇Φ)︸︷︷︸

difusión

= S(Φ)︸︷︷︸fuente

Formulación integral: balance sobre volumen de control V

ddt

∫VρΦdV +

∫∂Vρ~UΦ · d~S −

∫∂VρΓΦ

~∇Φ · d~S =

∫V

S(Φ)dV




Discretización mediante volúmenes finitos

Formulación de balance sobre celda Ω

ddt

∫ΩρΦdV +

∫Γρ~UΦ · d~S −

∫ΓρΓΦ

~∇Φ · d~S =

∫Ω

S(Φ)dV




Discretización mediante volúmenes finitos

Aproximación mediante volúmenes finitosA partir de aproximaciones de Φ en P se debe obtener:

aproximación de∫

Ω F (Φ)dV

aproximación de∫

Γ~G(Φ) · d~S




Integración sobre celdas

Aproximación de integral sobre celda Ω

F (~x) = FP + (~∇F )P · (~x − ~xP) + O(||~x − ~xP ||2)∫Ω

FdΩ '∫

Ω(FP + (~∇F )P · (~x − ~xP))dΩ = FPVP




Integración sobre caras

Aproximación de integral sobre cara Γ

~G(~x) = ~Gf + (~∇~G)f (~x − ~xf ) + O(||~x − ~xf ||2)∫Γ

~G · d~S '∫

Γ(~Gf + (~∇~G)f (~x − ~xf )) · d~S = ~Gf · ~Sf




Aproximación de términos difusivos

Cálculo de flujo difusivo∫ΓρΓΦ

~∇Φ · d~S ' (ρΓΦ)f (~∇Φ)f · ~Sf

(~∇Φ)f · ~Sf ' |~Sf |ΦN − ΦP

|~d |




Aproximación de términos difusivos

Cálculo de flujo difusivo (malla general)∫ΓρΓΦ

~∇Φ · d~S ' (ρΓΦ)f (~∇Φ)f · ~Sf

(~∇Φ)f = fx (~∇Φ)P + (1− fx )(~∇Φ)N con (~∇Φ)P '1

VP

∑f

Φf~Sf




Aproximación de términos fuente

Cálculo de términos fuentetérminos lineales:∫

ΩS(Φ)dV ' (S(Φ))PVP = SpΦPVP

términos no lineales (linealización):∫Ω

S(Φ)dV ' (S(Φ))PVP ' S0PVP + S1PΦPVP




Aproximación de términos convectivosUn ejemplo elemental

Problema estacionario unidimensional sin fuentesddx

(ρUΦ)− ddx

(ρΓΦdΦ

dx) = 0

Φ(0) = Φ0 Φ(L) = 0

Forma adimensional (ρ, U y ΓΦ constantes)

dΦ

dx− 1

Ped2Φ

dx2 = 0

Φ(0) = 1 Φ(1) = 0

donde Pe = LUΓΦ





Solución analítica de problema modelo

Φ(x) =exp(Pe x)− exp(Pe)

1− exp(Pe)





Formulación de balances sobre celda i–ésima∫ xi+1/2

xi−1/2

dΦ

dxdx −

∫ xi+1/2

xi−1/2

1Pe

ddx

(dΦ

dx)dx = 0





Tratamiento de términos difusivos

−∫ xi+1/2

xi−1/2

1Pe

ddx

(dΦ

dx)dx =

1Pe

(dΦ

dx|xi+1/2 −

dΦ

dx|xi−1/2)

' 1Pe

(Φi+1 − Φi

∆x− Φi − Φi−1

∆x) =

1Pe

Φi+1 − 2Φi + Φi−1

∆x





Aproximación de términos convectivos∫ xi+1/2

xi−1/2

dΦ

dxdx = Φ|xi+1/2 − Φ|xi−1/2

' Φi+1 + Φi

2− Φi + Φi−1

2=

Φi+1 − Φi−1

2





Balance en primera celda (condición de contorno en x1/2)

Contribución de término difusivo

−∫ x3/2

x1/2

1Pe

ddx

(dΦ

dx)dx =

1Pe

(dΦ

dx|x3/2 −

dΦ

dx|x1/2)

' 1Pe

(Φ2 − Φ1

∆x− Φ1 − Φcc

12∆x

)





Balance en primera celda (condición de contorno en x1/2)

Contribución de término convectivo∫ x3/2

x1/2

dΦ

dxdx = Φ|x3/2 − Φ|x1/2 '

Φ1 + Φ2

2− Φcc





Una aproximación estable de términos convectivos∫ xi+1/2

xi−1/2

dΦ

dxdx = Φ|xi+1/2 − Φ|xi−1/2 ' Φi − Φ|i−1




Aproximación de flujos convectivos

Contribución de flujos convectivos

ddt

∫ΩρΦdV +

∫Γρ~UΦ · d~S︸︷︷︸−

∫ΓρΓΦ

~∇Φ · d~S =

∫Ω

S(Φ)dV

∫Γρ~UΦ · d~S ' (ρ~U)f Φf · ~Sf





Esquemas básicosaproximación centrada (central differencing)

Φf = (Φf )CD = fx ΦP + (1− fx )ΦN

aproximación descentrada (upwind differencing)Φf = (Φf )UD = ΦP

aproximación mixta (blended differencing)Φf = (1− γ)(Φ)UD + γ(Φ)CD





Otras aproximaciones de flujos convectivosdescentrado de orden superior:

linear upwindingQUICK

esquemas TVD y limitadores de flujo:van LeerSUPERBEEMINMODMUSCL




Control de discretización espacial en OpenFOAM

Tipos de esquemas de discretización espacialInterpolación general (obtiene valores sobre aristas/caras)interpolationSchemes

Discretización de términos convectivos:divSchemes

Discretización de términos difusivos:laplacianSchemes

Discretización de términos en gradiente:gradSchemes




Control de discretización espacial

Esquemas de interpolación sobre aristas/cara





Términos convectivos: divSchemes

Discretización de términos de forma div(ρ~U~U) mediante:div(phi,U) Gauss InterpScheme

donde phi corresponde a ~φ = ρ~UEsquemas (usuales) de interpolación:





Términos difusivos: laplacianSchemes

Discretización de términos de forma div(ν ~∇U) mediante:laplacian(nu,U) Gauss InterpScheme SnScheme

Esquema de interpolación según lista generalEsquemas de aproximación de normales:

Ejemplo:laplacian(nu,U) Gauss linear corrected





Términos en gradiente: gradSchemes

Más informaciónOpenFOAM User’s GuideOpenFOAM Programmer’s GuideOpenFOAM wiki en: http://openfoamwiki.net




Integración temporal

Formulación de balance sobre celda Ω

ddt

∫ΩρΦdV +

∫Γρ~UΦ · d~S −

∫ΓρΓΦ

~∇Φ · d~S =

∫Ω

S(Φ)dV





Formulación semidiscretizada en espacio

ρPVPdΦP

dt+∑

f

FΦf −∑

f

(ρΓ)f~S · (~∇Φ)f = S0VP + S1VPΦP

Esquemas de discretización temporalEuler implícitoEsquema BDF de orden 2Crank-Nicolson





Método de Euler implícito

ρPVPΦn

P − Φ0P

∆t+∑

f

FΦnf −

∑f

(ρΓ)f~S · (~∇Φ)n

f = S0VP +S1VPΦnP

Estabilidad del esquemaincondicionalmente establesobreamortiguamiento si CFL mucho mayor que 1





Método BDF de orden 2

ρPVP3/2Φn

P − 2Φ0P + 1/2Φ00

P∆t

+∑

f

FΦnf −

∑f

(ρΓ)f~S · (~∇Φ)n

f = S0VP + S1VPΦnP

Método de Crank–Nicolson

ρPVPΦn

P − ΦnP

∆t+

12

∑f

FΦnf −

12

∑f

(ρΓ)f~S · (~∇Φ)n

f

+12

∑f

FΦnf −

12

∑f

(ρΓ)f~S·(~∇Φ)n

f = S0VP+12

S1VPΦnP+

12

S1VPΦ0P




Plan






Dificultades en tratamiento de presión

Ecuaciones de Stokes

−µ∆~v + ~∇p = 0

div~v = 0

Formulación sobre celda (2D)

−∑

f

∫Γµ∂u∂n

dS +∑

f

∫Γ

pnx dS = 0

−∑

f

∫Γµ∂v∂n

dS +∑

f

∫Γ

pny dS = 0

∑f

∫Γ

~v · ~n dS = 0





Discretización de ecuación de Stokes

−µ(uE + uW + uN + uS − 4uP) + h(pE − pW ) = 0

−µ(vE + vW + vN + vS − 4vP) + h(pN − pS) = 0

vN − vS + uE − uW = 0





Ecuaciones de Stokes

−µ∆~v + ~∇p = 0

div~v = 0

Observación

Con balance nulo de fuerzas de viscosidad (µ∆~v = 0):p debe ser constante





−µ(uE + uW + uN + uS − 4uP) + h(pE − pW ) = 0

−µ(vE + vW + vN + vS − 4vP) + h(pN − pS) = 0





Alternativas de esquemas numéricos establesuso de mallas decaladas (staggered grids):

- presión y velocidad no se aproximan en los mismos puntos- ejemplo: MAC (Marker–and–Cell)

métodos de proyección (o segregados):- las ecuaciones se resuelven en varios pasos- se separa conservación de momentos e incompresibilidad- ejemplo: PISO y SIMPLE




Algoritmo SIMPLESemi–Implicit Method for Pressure–Linked Equations

Ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles

∂~u∂t

+ div(~u ⊗ ~u)− div(ν ~∇~u) + ~∇p = ~0

div~u = 0

Idea del algoritmo SIMPLE (para problema estacionario)

se itera en tiempo (linealizando en tiempo anterior)en capa paso de tiempo:

se descomponen los campos en predicción y correcciónse calcula una predicción de la velocidad(ec. de conservación de momentos con presión dada)se calculan las correcciones en presión y velocidad(ec. de conservación de momentos e incompresibilidad)




Algoritmo SIMPLE

Descomposición de campos (predicción + corrección)

~u = ~u∗ + ~u′ p = pn + p∗

Ecuación de conservación de momentos

Despreciando términos cuadráticos y viscosos en ~u′:∂~u∗

∂t+∂~u′

∂t+ div(~un ⊗ ~u∗)− div(ν ~∇~u∗) + ~∇pn + ~∇p∗ = ~0

Segregación de cálculos

∂~u∗

∂t+ div(~un ⊗ ~u∗)− div(ν ~∇~u∗) + ~∇pn = ~0

∂~u′

∂t+ ~∇p∗ = ~0




Algoritmo SIMPLE

Etapa de predicción

Se calcula ~u∗ solución de

∂~u∗

∂t+ div(~un ⊗ ~u∗)− div(ν ~∇~u∗) + ~∇pn = ~0

Etapa de corrección

Se calculan ~u′ y p′ solución de

∂~u′

∂t+ ~∇p′ = ~0

div(~u∗ + ~u′) = 0




Algoritmo SIMPLE

Resolución de Etapa de correcciónSe deduce un problema de Poisson para la presión(divergencia en ec. de conservación de momentos):

−∆p′ = − ∂

∂t(div~u∗)

con condiciones de contorno artificiales sobre p′

Con presión p′ se calcula corrección de velocidad ~u′:

∂~u′

∂t+ ~∇p′ = ~0




Algoritmo SIMPLE

Implementación del algoritmo SIMPLE

La etapa de predicción puede convertirse en explícita:se retiene sólo diagonal del operador de discretizaciónEl algoritmo itera en (pseudo–) tiempo hasta convergencia:justifica no considerar términos despreciadosEn cálculo de presión se itera para retener correccionesno–ortogonales (evita aumento de banda de matriz)Se emplea relajación para mejorar la convergencia




Algoritmo PISOPressure Implicit with Splitting of Operators

Adaptación de SIMPLE para problemas evolutivos

términos despreciados (en cálculo de predicción ~u∗) no secancelan en transitoriotérminos truncados se incluyen en la correcciónes preciso iterar en cálculo de correcciones

Esquema del algoritmo PISOEn cada paso de tiempo se resuelve:

Cálculo de predicción ~u∗ en tn+1

Bucle de cálculo de corrección (~u′,p′) en tn+1:cálculo de p′k+1 a partir de ~u∗ y ~u′kcorrección de velocidad ~u′k+1 a partir de p′k+1




Plan






Métodos (iterativos) de resoluciónmétodos de Krylov:

método de gradiente conjugadométodo de gradiente biconjugado

métodos multimalla:métodos multimalla geométricosmétodos multimalla algebraicos

Referenciashttp://www.openfoam.com/features

OpenFOAM User Guide (sección 4.5)




Métodos de Krylov

Métodos disponiblespara matrices simétricas y definidas positivas:

mét. de gradiente conjugado (precondicionado): PCGpara matrices generales:

mét. de gradiente biconjugado (precondicionado): PBiCG

Precondicionadoresfactorizaciones incompletas: Cholesky (DIC) y LU (DILU)precondicionador diagonal (Jacobi): diagonalmétodos multimalla (geométrico/algebraico): GAMG




Métodos multimalla

Métodos multimalla geométricos/algebraicos

usuario no necesita proporcionar jerarquía de mallasmalla grosera construida a partir de directrices en:nCoarsestCells, agglomeratorcontrol de suavizadores mediante:smoother

nPreSweeps, nPostSweeps, nFinestSweepscontrol de niveles de multimalla con:mergeLevels




Un ejemplo: uso de icoFoam

Solver icoFoamTransient solver for incompressible, laminar flow ofNewtonian fluidsdiscretización basada en PISOusado en Lid–driven cavity flow (tutorial en User’s Guide)

Código fuente de icoFoam

Para versión 1.7.1 instalada en /opt:/opt/openfoam171/applications/solvers/...

incompressible/icoFoam/icoFoam.C





Opciones en archivo fvSolution





Opciones en archivo fvSchemes


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