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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
MATEMÁTICA IPROF. ROSARIO CORTEZ
CENTENO
SEMANA 1SESIÓN 1
FUNCIÓNDEFINICIÓN.DOMINIO Y RANGOFUNCIÓN INYECTIVA
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Por ejemplo, si la regla que define a f es f(x)=x-1, tenemos
(Entrada)f(x)fx
(Salida)
IDEA INTUITIVA DE FUNCION
f(2)=1f1
Resulta útil concebir una función como una máquina de hacer cálculos. Si x esta en el dominio de la función f, entonces x entra a la maquina, se acepta como una entrada y la maquina produce una salida de acuerdo con la regla de la función.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una regla que asigna a cada elemento de
un conjunto D, exactamente un elemento, llamado , de un conjunto E.
Gráficamente
El rango f es el subconjunto de E que consiste en todos los valores posibles de f(x). conforme x varíe en todo el dominio D
El conjunto D se llama dominio de la función. El número f(x). es el valor de f en x , y se lee “efe de equis”.
De ahora en adelante, solo trabajaremos con funciones para las cuales los conjuntos son subconjuntos de R ; a estas funciones se les llamara funciones reales de variable real.
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Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente.
A ( r ) = r 2
Variableindependient
e
Variabledependient
e
Por ejemplo:
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN SE DESCRIBE UNA FUNCIÓN POR MEDIO DE UNA FÓRMULA QUE SE ESPECIFICA CÓMO SE CALCULA EL NÚMERO F(X) EN TÉRMINOS DE X.
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EJEMPLO 1
1. f(-1) , f(0) y f(t)2. f(a+b)3. El dominio de f4. Rango de f
Dada la función f definida por la regla Hallar.
2( )f x x
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GRAFICA DE UNA FUNCIÓNLa grafica de f también nos permite tener una imagen del dominio y del rango de f sobre el eje x y el eje y respectivamente.
x
y
f (1)f (2)
f (x)
(x,f (x))
1 2 x0 x
y
y = f (x)
rango
0dominio
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En la figura se muestra la grafica de una función f.
x
y1. Encuentre los valores de f(1)
y f(0)2. Hallar los valores de x para
los que f(x)=03. Hallar los valores de x para
los que f(x)<04. ¿Cuál es el dominio y rango
de f?
EJEMPLO 2.
x0
PRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICAL
y = x2
-1
1
3
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Una curva en el plano xy es la grafica de una función en la variable x si ninguna recta vertical corta a la curva mas de una vez
x2 + y2 = 4
Es función No es función
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DOMINIO NO ESPECIFICADO
Si una función se define como en el ejemplo 1, y no se especifica el dominio , entonces se considera que el dom(f) es la totalidad de los números reales tales que f(x) es real, a veces se le llama dominio implícito de f.
EJEMPLO 3
2( ) ( ) 1b g x x
2
1( ) ( )
4c h x
x
1( ) ( )
5d F x
x
( ) ( ) 1a f x x
Determine el dominio de las siguientes funciones:
CALCULO DEL RANGO DE UNA FUNCIÓN
Caso 1: Cuando el dominio esta implícito en la regla de correspondencia que define a la función. En este caso se despeja x en términos de y, luego se analiza para que valores de y, x es real.Ejemplos: Hallar el rango de las siguientes funciones:
( ) ( ) 1a f x x 2( ) ( ) 1b g x x
2
1( ) ( )
4c h x
x
Ax
Caso 2: Cuando el dominio esta escrito explícitamente junto con la formula que define a la función. Es decir, si
entonces Ran(f)=f(A) donde f(A) el conjunto de imágenes de x tal que Ejemplo : Sea la funcion
.
BAf :
6,2,24)(/, 2 xxxxfyxf
Hallar su rango.
Función inyectiva
Si todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. Esto es:
Ejemplos: f(x) = x+5 es una función Inyectiva
ABCD
12345
fDombababfaf ,
Sea una función de A en B (f:A→B). Si f(A)=B, es decir, si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, se dice entonces que f es una función sobreyectiva.
Sea una función de A en B (f:A→B). Si f(A)=B, es decir, si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, se dice entonces que f es una función sobreyectiva.
AA BBff
Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4AA BBff
ff: : AA → → BB
ff(a(a11) ) ff(a(a22) entonces a) entonces a11 a a22
ff((AA) = ) = BB; luego; luego f f es biyectivaes biyectiva
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Sean f y g funciones. Entonces las funciones suma f+g, diferencia f-g, producto f.g y cociente f/g se definen por:
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g=Df Dg
b. (f – g)(x) = f(x) – g(x); Df-g=Df Dg
c. (f · g)(x) = f(x) · g(x);Df.g=Df Dg
d. (f / g)(x) = f(x) / g(x); Df/g=Df Dgx/g(x)=0
Operaciones con Funciones
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Ejemplo 1
19
Ejemplo 2
20
Ejemplo 3