sesion 2-la integral doble e iterada

7/21/2019 Sesion 2-La Integral Doble e Iterada

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Escuela de IngeMat

La integral doble e iterada

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano

Isaac Newton (

Lic. Montes Ob



SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:

Hallar el volumen del tetraedro de la siguiente figura.



¿Qué necesitamos recordar?

•Gráfica de regiones.

• Cálculo de integrales simples



Sea : ⊂ ℝ → ℝ

= *(, ) ∈ ℝℝ / ≤ ≤ , ≤ ≤

El conjunto = * , , … , ⋅ constituye una partición de la región ; donde , = 1 ,rectángulo en ; , -, ∀ = 1 , … , es la partición , ; , -, ∀ = 1 , … , es la partic

cada k-ésimo rectángulo esta dado por:

∆ = ∆∆ = ( − )( − ). La suma de R

: ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición está dada por: (∗, ∗)∆∆<< , entonces la ien se define por:

, = → (∗, ∗)∆∆

<

<

Donde: (∗, ∗) es el valor de la imagen de la función para cualquier (∗, ∗) ∈ , - ×

= ∆ , = 1 , ⋅ llamada la norma de la partición de la región D.

INTEGRALES DOBLES SOBRERECTÁNGULOS I

a b

c

d



Sea : ⊂ ℝ → ℝ

= *(, ) ∈ ℝℝ / ≤ ≤ , ≤ ≤

El conjunto = * , , … , ⋅ constituye una partición de la región ; donde , = 1 ,rectángulo en ; , -, ∀ = 1 , … , es la partición , ; , -, ∀ = 1 , … , es la partic

cada k-ésimo rectángulo esta dado por:

∆ = ∆∆ = ( − )( − ). La suma de R

: ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición está dada por: ( , )∆∆<< , entonces la ien se define por:

, = →∞ (, )∆∆

<

<

Donde: ( , ) es el valor de la función para ( , ) esquina superior derecha en , - ×

∆ =

,

∆ =

INTEGRALES DOBLES SOBRERECTÁNGULOS II

a b

c

d



Geométricamente la integral doble es el volumen del sólido definido por la superficie =región cerrada como base.

http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=Sm4YV0GukLGCJM&tbnid=5WBQKIRwNkkGcM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/255doub/255doub.html&ei=dsg9U_TyKcbmsATy7IGgAg&bvm=bv.64125504,d.dmQ&psig=AFQjCNH8AyEprjbebfomLeyPgOfrAjqkgQ&ust=1396644270085054



INTEGRALES DOBLES SOBREREGIONES GENERALES

Sea : ⊂ ℝ → ℝ

El conjunto = * , , … constituye una partición de la región cerrada , y desechamos las

están completamente en R, donde , = 1 , es el i-ésimo rectángulo en . El área de cada i-ésdado por: = ∆∆

La suma de Rieman de la función : ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición está dada por: <entonces la integral doble de en se define por:

, =

, = → (∗, ∗)∆∆

<

R



Ejemplo: Determinar aproximadamente (2 −3) , con una partición de

*, , … , y (∗, ∗) el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈ ℝℝ / ≥Solución:



Sea : ⊂ ℝ → ℝ una función continua sobre el rectángulo = * , ≤ ≤

CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES POR INTEGRALES ITERADAS(TEOREMA DE FUBINI, 1879-1943)

1° CASO

Las integrales iteradas de sobre son:

, = ,

, = ,

Ejemplo 1:

a b

c

d

X

Y

Calcular , donde , = 4 + 8 + 6 y = * ( , ) ∈ ℝ/0 ≤ ≤ 1, 0



Ejemplo 2:

Calcular la integral doble , donde , = y = * ( , ) ∈ ℝ/ 0 ≤ ≤ 1 , 0

2° CASO

Sea

: ⊂ ℝ

→ ℝ una función continua sobre

= * , ∈ ℝ

/ ≤ ≤ ()

b

=

=

a

La in tegral iterada de sobre es:

, = ,

Ejemplo 3:

Calcular ( + ) en el cuadrilatero del plano xy que tiene

0,0 , 1, −1 , 2,1 , (1,3).

, : , → ℝ son funciones con ≤ , ∀ ∈



Ejemplo 4:

Calcular (+) donde es la región limitada por las curvas: = 2, = 4 − , =

3° CASO

Sea

: ⊂ ℝ

→ ℝ una función continua sobre

= * , ∈ ℝ

/ ≤ ≤ ()

c

d

x= x=

, : , → ℝ son funciones continuas tal ≤ , ∀ ∈ , -

La integral iterada de sobre es:

, = ,

Ejemplo 5:

Calcular

donde

= * ( , ) ∈ ℝ

/0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 4 −



Sea : ⊂ ℝ → ℝ una función continua y definida por , = 1 , sea la región R de las form

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

Entonces; definimos el área de la región por:

= =

= =

Ejemplo 6:

Hallar el área de la región R limitada por las curvas: = , = 4 − .

b

=

=

ac

d

x= x=



Ejercicios: Determinar aproximadamente (3−2+1) , con una partición de la

*, , … , y (∗, ∗) el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈− 2 ≤ ≤ 0 .

Determinar aproximadamente (4 − 9 − ) , con una partición d = * , , … , y (∗, ∗) el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈0 ≤ ≤ 2 4 − .

Demuestre que:

, =

,

Demuestre que:

, ± , - =

, ±

,



Ejercicios:Calcular la integral sobre , si la región D es

0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ .

Calcular la integral doble , donde R está limitado po

= + 1.Calcular si R es el dominio limitado por las curvas = 1, Calcular la integral doble (+2) , donde R está limitad

= − , = 0 , = 4

Calcular la integral doble (2−) , donde R está limitado po

= 4 − .

Se diseña canales con la forma típica de una parábola de una pranchura a. Se desea conocer una fórmula para calcular el área de la seprofundidad d.

Ó Ó Á



SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:

Hallar el volumen del tetraedro de la siguiente figura.

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