sesion 4.01

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMCUARTA UNIDADESTABILIDAD DE COLUMNASDESARROLLO DE LOS TPICOS DE:Introduccin, pandeo, estabilidad elstica, columnas articuladas. Teora de Euler.Columnas sometidas a carga centrada, columnas sometidas a carga excntrica.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMESTABILIDAD DE COLUMNASOBJETIVO: Se analizar el comportamiento de las columnas y se indicarn algunos de los mtodos que se emplean para disearlas. El captulo comienza con un estudio general del pandeo, seguido de una determinacin de Ia carga axial necesaria para pandear una columna que se denomina ideal. Despus se aborda un anlisis mas realista, que toma en cuenta cualquier flexin de Ia columna.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMCARGA CRTICACada vez que se disea un elemento, es necesario que cumpla con requisitos especficos de resistencia, deflexin y estabilidad. En los captulos anteriores se han analizado algunos de los mtodos que se usan para determinar Ia resistencia y Ia deflexin de un elemento, en los que siempre se supone que el elemento se encuentra en equilibrio estable. Sin embargo, algunos elementos pueden estar sometidos a cargas de compresin y si dichos elementos son largos y delgados, la carga puede ser lo suficientemente grande para hacer que el elemento experimente deflexin lateral o se ladee.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEn especifico, los elementos largos y delgados que se someten a una fuerza de compresin axial se denominan columnas, y la deflexin lateral que se produce se llama pandeo. Con mucha frecuencia, el pandeo de una columna puede llevar a una falla repentina y dramtica de una estructura o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atencin especial al diseo de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHM

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMLa carga axial mxima que puede soportar una columna cuando esta al borde del pandeo se llama carga crtica, Pcr . Cualquier carga adicional har que la columna se pandee y, por lo tanto, sufra una deflexin lateral como se muestra en la figura. Con el fin de comprender mejor Ia naturaleza de estabilidad, consideremos un mecanismo de dos barras consistente en barras rgidas sin peso que se conectan mediante un pasador, como se muestra en Ia figura b. Cuando las barras estn en posicin vertical, el resorte, con una rigidez k, se encuentra sin estirar y se aplica una pequea fuerza vertical P en Ia parte superior de una de las barras. Esta posicin de equilibrio puede alterarse al desplazar el pasador en A una pequea distancia D, figura b.


Entonces el mecanismo se encuentra en equilibrio inestable. En otras palabras, si se aplica esta carga P y ocurre un ligero desplazamiento en A, el mecanismo tiende a moverse fuera del equilibrio y no se restaurar a su posicin original.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEl valor intermedio de P, que requiere kLQ/2 = 2PQ, es Ia carga crtica.

Esta carga representa un caso del mecanismo en equilibrio neutro. Como Pcr es independiente del (pequeo) desplazamiento Q de las barras, cualquier alteracin ligera del mecanismo no causar que se aleje del equilibrio, ni se restaurar a su posicin original. En cambio, las barras se mantendrn en Ia posicin con deflexin.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEl punto de transicin donde Ia carga es igual al valor critico P = Pcr se llama punto de bifurcacin. En este punto, el mecanismo se encuentra en equilibrio para cualquier valor pequeo de Q, medido ya sea a Ia derecha o a la izquierda de Ia vertical. Fsicamente, Pcr representa Ia carga con Ia que el mecanismo esta a punto de pandearse.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMSi se coloca una carga mayor en las barras, entonces el mecanismo puede tener que experimentar mas deflexin antes de que el resorte se comprima o alargue lo suficiente para mantener al mecanismo en equilibrio.Al igual que en el mecanismo de dos barras que se acaba de analizar, es posible obtener las cargas crticas de pandeo sobre columnas soportadas en diversas formas. Aunque en el diseo de ingeniera puede considerarse que la carga crtica es mayor a Ia carga que puede soportar Ia columna, debe observarse que, al igual que el mecanismo de dos barras en su posicin pandeada o con deflexin, una columna en realidad puede soportar una

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMcarga an mayor que Pcr (Desafortunadamente, esta carga suele requerir que Ia columna se someta a una gran deflexin, que en general no se tolera en las estructuras de ingeniera o maquinas. Por ejemplo, es posible que una regla para medir requiera slo de unos newtons de fuerza para pandearse, pero Ia carga adicional que puede soportar slo puede aplicarse despus de que Ia regla se somete a una deflexin lateral relativamente grande.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMCOLUMNA IDEAL CON SOPORTE DE PASADORLa columna que se va a considerar es una columna ideal, lo que significa que es perfectamente recta antes de la carga, est fabricada de un material homogneo y Ia carga se le aplica a travs del centroide de su seccin transversal. Adems, se supone que el material se comporta de forma elstico lineal y que Ia columna se pandea o se dobla en un slo plano. En Ia realidad, las condiciones de rectitud de la columna y aplicacin de Ia carga no se cumplen; sin embargo, el anlisis realizado sobre una columna ideal" es similar al usado para estudiar columnas inicialmente torcidas o aquellas en las que Ia carga se aplica en forma excntrica.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMComo una columna ideal es recta, en teora la carga axial P podra aumentarse hasta que se produjera una falla ya sea por fractura o por cedencia del material. Sin embargo, cuando se alcanza Ia carga crtica Pcr ,Ia columna estar a punto de volverse inestable, de modo que una pequea fuerza lateral F, har que Ia columna permanezca en la posicin con deflexin, cuando se retira F. Cualquier reduccin ligera de la carga axial P a partir de Pcr permitir que Ia columna se enderece y cualquier aumento ligero en P, por encima de Pcr ocasionar un aumento adicional de Ia deflexin lateral.El hecho de que una columna se mantenga estable o se vuelva inestable cuando se somete a una carga axial depender de su capacidad de restaurarse,


a cual se basa en su resistencia a Ia flexin. Por consiguiente, si se desea determinar Ia carga crtica y Ia forma pandeada de Ia columna, es necesario aplicar la ecuacin de la curva elstica, que relaciona al momento interno de Ia columna con su forma flexionada, es decir:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMRecuerde que esta ecuacin supone que la pendiente de Ia curva elstica es pequea y que las deflexiones ocurren slo por flexin. Cuando Ia columna est en una posicin flexionada, el momento interno de flexin puede determinarse mediante el mtodo de las secciones.Tanto Ia deflexin v como el momento interno M se muestran en la direccin positiva de acuerdo con la convencin de signos El momento de equilibrio requiere que M =-Pv.


(A)

Esta es una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden, con coeficientes constantes. Mediante el uso de los mtodos de ecuaciones diferenciales, o por sustitucin directa, puede demostrarse que Ia solucin general es:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMLas dos constantes de integracin se determinan a partir de las condiciones de frontera en los extremos de Ia columna. Como v = 0 en x = 0, entonces C2 = 0. Y puesto que v = 0 en x = L, entonces


El menor valor de P se obtiene cuando n = 1, por lo que Ia carga crtica para Ia columna es:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEsta carga se conoce como Ia carga de Euler, en honor del matemtico suizo Leonhard Euler, quien fue el primero en resolver este problema en 1757. La forma pandeada correspondiente se define mediante Ia ecuacin:

Aqui Ia constante C1 representa la deflexin mxima, vmax , que se produce en el punto medio de Ia columna. No es posible obtener valores especficos para C1 puesto que Ia forma exacta de Ia columna con deflexin no se conoce despus de que esta se pandea. Sin embargo, se supone que Ia deflexin es pequea.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMSe debe tener en cuenta que Ia carga crtica es independiente de Ia resistencia del material, ya que slo depende de las dimensiones de Ia columna (I y L) y de Ia rigidez del material o modulo de elasticidad E. Por esta razn, en relacin con el pandeo elstico, las columnas fabricadas, por ejemplo, con acero de alta resistencia no ofrecen ninguna ventaja sobre las de acero con menor resistencia, puesto que el mdulo de elasticidad para ambos es aproximadamente igual. Tambin considere que Ia capacidad de carga de una columna aumenta a medida que se incrementa el momento de inercia de Ia seccin transversal.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMPor lo tanto, las columnas eficientes se disean para que Ia mayor parte de rea transversal de la columna se ubique lo ms lejos posible de los ejes principales centroidales de Ia seccin. Esta es Ia razn por Ia que los perfiles huecos, como los tubos, son mas econmicos que las secciones salidas. Por otra parte, las secciones en I de ala ancha y las columnas que se "construyen" con canales, ngulos, placas, etctera, son mejores que las secciones slidas rectangulares.Tambin es importante darse cuenta de que una columna se pandear alrededor del eje principal de Ia seccin transversal que tiene el menor momento de inercia (el eje mas dbil).

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMPor ejemplo, una columna que tiene una seccin transversal rectangular, como Ia regla mostrada en Ia figura, se pandeara alrededor del eje a-a no del eje b-b. En consecuencia, casi siempre los ingenieros tratan de Iograr un equilibrio manteniendo los momentos de inercia iguales en todas direcciones. Por lo tanto, geomtricamente hablando los tubos circulares haran columnas excelentes. Asimismo se han seleccionado tubos cuadrados o formas que tienen Ix ~ Iy para formar columnas.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMResumiendo la discusin anterior, puede reescribirse la ecuacin de pandeo para una columna delgada y Iarga sostenida mediante pasadores, y los trminos se pueden definir de Ia siguiente manera:

(B)

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMLa relacin geomtrica L/r en Ia ecuacin anterior se conoce como Ia relacin de esbeltez y es una medida de Ia flexibilidad de Ia columna; y sirve para clasificar las columnas como largas, intermedias o cortas.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEJERCICIO N. 01El elemento W8X31 de acero A-36 que se muestra en Ia figura debe usarse como una columna conectada por pasadores. Determine Ia mayor carga axial que puede soportar antes de que comience a pandearse o antes de que el acero ceda.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMCOLUMNAS QUE TIENEN VARIOS TIPOS DE SOPORTESLa carga de Euler se obtuvo para una columna que esta conectada mediante un pasador o que puede girar libremente en sus extremos. Sin embargo, es comn que las columnas estn soportadas de alguna otra manera. Por ejemplo, considere el caso de una columna fija en su base y libre en Ia parte superior. A medida que Ia columna se pandea Ia carga se desplaza d y en x el desplazamiento es v, A partir del diagrama de cuerpo libre, el momento interno en Ia seccin arbitraria es M = P(d - v). En consecuencia, la ecuacin diferencial de Ia curva de deflexin es:


(C)

A diferencia de Ia ecuacin (A), esta ecuacin es no homognea debido al trmino distinto de cero en el lado derecho. La solucin consta de una solucin complementaria y una solucin particular, a saber,

Las constantes se determinan a partir de las condiciones de frontera. En X= 0, v = 0, de modo que C2 = -d, Por otra parte,

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEn comparacin con Ia ecuacin (B) se ve que una columna apoyada fijamente en su base y libre en su parte superior soportar slo un cuarto de Ia carga crtica que puede aplicarse a una columna soportada por pasadores en ambos extremos.Las columnas con otros tipos de soporte se analizan de manera similar, por lo que no se estudiarn a detalle aqu.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMLONGITUD EFECTIVAComo se mencion antes, Ia frmula de Euler, se desarroll para el caso de una columna que tiene extremos articulados o que giran libremente. En otras palabras, L en Ia ecuacin representa Ia distancia sin soporte entre los puntos de momento cero. Esta frmula puede usarse para determinar Ia carga crtica en las columnas que tienen otros tipos de soporte siempre que "L" represente la distancia entre los puntos de momento cero. Esta distancia se denomina longitud efectiva de Ia columna, Le. Como es obvio, para una columna con extremos articulados Le = L, Ver figura siguiente:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMPara Ia columna con un extremo fijo y otro libre se encontr que Ia curva de deflexin, es un medio de la curva para Ia columna conectada mediante pasadores y tiene una longitud de 2L,. Por lo tanto, la longitud efectiva entre los puntos de momento cero es Le = 2L. Tambin se muestran ejemplos de otras dos columnas con diferentes soportes en los extremos. La columna con extremos fijos, tiene puntos de inflexin o puntos de momento cero a L/4 de cada soporte. Entonces, Ia longitud efectiva est representada por un medio de su longitud, es decir, L, =0.5L.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMPor ltimo, la columna con un extremo articulado y otro fijo, tiene un punto de inflexin aproximadamente a 0.7L de su extremo articulado, por lo que Le = 0.7 L.En vez de especificar Ia longitud efectiva de Ia columna, muchos cdigos de diseo proporcionan frmulas que emplean un coeficiente sin unidades K llamado factor de longitud efectiva. Este factor se define as:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMPor lo tanto, con base en esta generalizacin puede escribirse Ia frmula de Euler como:

Aqu ( KL/r) es Ia relacin de esbeltez efectiva de la columna. Por ejemplo, si Ia columna esta fija en su base y libre en su extremo, se tiene K = 2.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEJERCICIO N. 02Una columna de acero W6X15 tiene 24 pies de largo est fija en sus extremos como se muestra en Ia figura. Su capacidad de carga se incrementa arriostrndola con un refuerzo alrededor del eje y-y (dbil), mediante puntales que se supone estn conectados por pasadores en su altura media. Determine Ia carga que puede soportar de modo que Ia columna no se pandee ni el material exceda el esfuerzo de cedencia. Considere Eac = 29(103) ksi y sy = 60 ksi.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMFRMULA DE LA SECANTELa frmula de Euler se obtuvo al suponer que Ia carga P se aplica siempre a travs del centroide del rea transversal de la columna y que Ia columna es perfectamente recta. En realidad esto es muy poco realista, ya que las columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni Ia aplicacin de la carga se conoce con gran exactitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean sbitamente, sino que empiezan a doblarse en forma ligera inmediatamente despus de la aplicacin de Ia carga. En consecuencia, el criterio real para la aplicacin de cargas debera estar limitado a una deflexin de la columna especificada o a no admitir que el esfuerzo mximo en Ia columna exceda el esfuerzo permisible.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMPara estudiar este efecto, se aplicar Ia carga P a Ia columna en una distancia excntrica corta e desde su centroide. Esta carga sobre la columna es estticamente equivalente a Ia carga axial P y al momento flexionante M'=Pe. Como se muestra en ambos casos, los extremos A y B estn soportados de modo que pueden girar con libertad (soporte de pasador). AI igual que antes, slo se considerarn pendientes y deflexiones pequeas, y un comportamiento elstico lineal del material. Adems el plano x-v es un plano de simetra para el rea de la seccin transversal.A partir del diagrama de cuerpo libre de la seccin arbitraria, el momento interno en Ia columna es M =-P(e+v). Por lo tanto, Ia ecuacin diferencial de Ia curva de deflexin


Esta ecuacin es similar a Ia ecuacin (c) y tiene una solucin general que consiste en las soluciones complementarias y particulares, a saber,


Deflexin mxima. Debido a Ia simetria de carga, tanto Ia deflexin mxima como el esfuerzo mximo se producen en el punto medio de Ia columna. Por lo tanto, cuando x= L/2, v =vmax, por lo que:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMLa frmula de Ia secante. El esfuerzo mximo en Ia columna puede determinarse al observar que es causado tanto por Ia carga axial como por el momento. El momento mximo se produce en el punto medio de Ia columna, y tendr una magnitud de:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEl esfuerzo mximo en Ia columna es de compresin, y tiene un valor de:

Como el radio de giro se define como r2 =I/A, Ia ecuacin anterior puede escribirse en una forma llamada Ia frmula de Ia secante:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEJERCICIO N. 03La columna W8X40 de acero A-36 que se muestra en Ia figura esta fija en su base y arriostrada en la parte superior de modo que se encuentre fija respecto al desplazamiento, pero libre de girar alrededor del eje y-y. Tambin puede ladearse en el plano y-z. Determine Ia carga excntrica mxima que puede soportar la columna antes de que comience a pandearse o de que el acero ceda.

RESISTENCIA DE MATERIALES 2GHMEJERCICIOS PARA EL T2 (Segunda Parte)Resolver los ejercicios: 13.1, 13.10, 13.8, 13.18, 13.21, 13.32, de las pginas 671 a 676.13.104, 13.102, 13.99, de la pgina 702.13.107, 13.120, de la pagina 708.Del libro Mecnica de materiales, octava edicin, Russell C. Hibbeler.

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