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Dr. Eberardo Osorio RojasDr. Eberardo Osorio Rojas

Semana 2_teóricaSemana 2_teórica

FISICA IFISICA I

GraficasGraficas

I. OBJETIVOS– Analiza los diferentes tipos de funciones de un

proceso físico experimentado con los datos evaluados

– Realizar gráficas con papel milimetrado, logarítmico y semilogaritmico

– Utilizar el método de mínimos cuadrados en ajustes de curvas

II. FUNDAMENTO TEÓRICOII. FUNDAMENTO TEÓRICOEn el estudio de los fenómenos encontrados muchas variables que interactúan en dicho proceso lo cual es muy complejo. Al analizar simultáneamente elegimos dos de estas variables, el comportamiento de datos, se organizan en una tabla. Para luego graficar y establecer la función que mejor se ajuste al conjunto de valores medidos, estos pueden ser lineales, exponenciales, logarítmicos, etc.Ejemplo: de Ecuaciones con funciones. •FUNCIÓN LINEAL

•FUNCIÓN PARABÓLICA

2.1 Ajuste de curvas

Consiste en determinar la relación matemática que mejor se aproxime a los resultados del

fenómeno medido

Al realizar el ajuste, primera elegimos la función a la que aproxime la distribución de puntos

graficados.

Principales funciones respectivamente formuladas

a) F. Lineal : y = a + bx

b) F. Parabólica o cuadrática : y = a + bx + cx2

c) F. Cúbica : y = a + bx + cx2 + dx3

d) F. Hiperbólica : x2/a2 – y 2/b2 = 1

e) F. Exponencial : y = ABx

f) F. Potencial : y = AXB

2.3.1 Método geométrico

o Función lineal que relaciona X con Y se representan como:

Y = a + b x

a y b = constante

Pendiente: b = X

Y

= Tg

Y Y2

Y Y1

X X1 X2

2.3.1 Recta Mínima Cuadrática

La recta mínima cuadrática que ajusta el conjunto de puntos (X1,Y1)(X2,Y2), . . . ., (Xn)(Yn)

tiene por ecuación:

F (x) = Y = a + b X

Donde las constantes a y b se determinen resolviendo las dos siguientes ecuaciones, llamadas

ecuaciones normales

XbaNY1 2111 XbXaYX

22

2

ii

iiiii

XXN

YXXYXa ;

22ii

iiii

XXN

YXYXNb

Ejemplo: Dado los siguientes de datos, realice el ajuste por el método de términos cuadrados

(1,2); (2,3); (5,5)(6,5); (7,6); (8,7); (12,9) Y (14,12)

Solución: Construyamos la siguiente tabla de datos:

Tabla N°1

Xi Yi Xi Yi 21X

1 2

2 3

5 5

6 5

7 6

8 7

12 9

14 12

2.3 AJUSTE A UNA CURVA NO LI NEAL.

2.3.1 Parábola mínima cuadrática.- para este el ajuste se hará a una función parabólica.

F(x) = Y = a + bX + cX2

2iii XcXbaNY 6

32iiiii XcXbXaYX 7

4322iiiii XcXbXaYX 8

Las constantes a,b,c se obtiene resolviendo las ecuaciones

Σ

Ejemplo: Para la función parabólica, los siguientes datos experimentales hagan el ajuste a una

parábola mínimo cuadrático:

(1,5, 3.00); (3,49 , 7,1); (4,8 , 9,5); (6 , 12); (7,14 , 11,8); (8,2 , 10,8); (9,1 , 10,3) los

cálculos necesarios para expresar las ecuaciones normales se disponen en la siguiente tabla:

Tabla N°2

X Y

1,50 3,00

3,49 7,10

4,80 9,50

6,00 12,00

7,14 11,80

8,20 10,80

9,10 10,30

DINAMICA DINAMICA EN EN

EQUIPOEQUIPO

2.4.2. Función Potencial:

Función potencial es de la forma:

Y = AXB

Para finalizar se aplica logaritmos y se obtiene:

22 loglog

loglogloglog

xxN

yxyxNb

N

yb

N

xA

loglog

log

Tabla N°2

X Y

1,50 3,00

3,49 7,10

4,80 9,50

6,00 12,00

7,14 11,80

8,20 10,80

9,10 10,30

Realice la función potencialRealice la función potencial

Ejemplos

675)( 2 xxxf

Sean las funciones:

710 xdxdf

1651034)( 256 xxxxxf

5201524 45 xxxdxdf

42

1

43

8)( xxxf

Deriva las siguientes funciones:

52

1

)4(43

21

)8(

xx

dxdf

xxxf 103)( 4

xxdxdf 512

5

5

34xxdx

df

df/dx = 12x^-5 + 10 (1/2)x ^(-1/2)

Consideremos el siguiente cociente de funciones

2354

)(xx

xf

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones

223

)3)(54()23)(4(

x

xxdxdf

2)(

)(

xhdxdh

gxhdxdg

dxdf

Sea11

)( 3

3

xx

xf

23

2332

)1()3)(1()1(3

xxxxx

dxdf

23

2525

)1(3333

xxxxx

23

2

)1(6

xx