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Sesión Contenidos:
8
↘Concepto de par ordenado. ↘El Plano cartesiano.↘Conceptos de Relación &
Función.↘Dominio y Recorrido.
Profesor: Víctor Manuel Reyes F.Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011)
Primer Semestre 2012
Aprendizajes esperados:~ Graficar puntos en los cuatro cuadrantes del plano
cartesiano.~ Determinar dominio, recorrido e inversa de relaciones por
extensión.~ Transformar relaciones por comprensión en relaciones por
extensión.~ Diferenciar relaciones de funciones.~ Determinar dominio, recorrido e inversa en funciones
expresadas en notación funcional (implícita o Explícita).~ Graficar funciones lineales y racionales simples en el
plano cartesiano.
La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva.
Por ejemplo, la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores.
Concepto de Función
Concepto de Función
Cigarros/diario
Capróstata
Capulmón
Cariñón
5 3 14 37 5 21 38 4 25 69 5 24 7
11 6 26 3
Por 100000 habitantes
Una función se puede presentar mediante una tabla.Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses).
¿Dónde se usan las Funciones?
Edad (meses)
Longitud (cm)
2 43 84 156 297 348 389 42
A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada.(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm.(6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm
Representación Función
La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
2346789
48
1529343842
Representación Función
La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
2346789
48
1529343842
¿Son funciones?
Ejemplo de funcionesEdad / agilidad
Edad / altura
Temperatura / presión gas
Sesiones / % recuperación
Partículas / infección respiratoria
Edad / cantidad palabras
Hora estudio/ rendimientoacadémico
Altitud / 02 disuelto
$ / ……………..
Profundidad / presión
Asma extrínseca / Cap.vital
Antioxidantes / cáncer
Colesterol / infarto
Trat. láser de He-Ne / recidivas
Plano Cartesiano
y f x
x
;P x f x
Variable Independiente:
x
VariableDependiente:
y = f(x)f(x) es la imagen de x
x es la preimagen de f(x)
Representación Función
Edad(meses)
Longitud(Cms)
2346789
48
1529343842
Edad
Long
itud
Representación Función
2346789
48
1529343842
El dominio de una o función es el conjunto de las primeras componentes (abscisas) de los pares ordenados de la relación.
Es el conjunto de las preimágenes, es la parte que tomo del conjunto de partida.
Dominio de una función
Y lo denotaremos por Dom (f)
Ejemplos:
1) (2,3), (5,7), (1, 1), (3,4)
2,5,1,3
2) ( , ), ( , ), ( , )
, ,
R
DomR
S José María Sebastián Elena Romeo Julieta
DomS José Sebastián Romeo
El recorrido de una función es el conjunto de las segundas componentes (ordenadas) de los pares ordenados de la relación.
Es el conjunto de las imágenes, es la parte que tomo del conjunto de llegada.
Recorrido de una función
Y lo denotaremos por Rec (f)
Ejemplos:
1) (2,3), (5,7), (1, 1), (3, 4)
Re 3,7, 1,4
2) ( , ), ( , ), ( , )
Re , ,
R
cR
S José María Sebastián Elena Romeo Julieta
cS María Elena Julieta
Dominio y recorrido de una función
Las entradas para los partidos de Chile, por las clasificatorias para el mundial de fútbol Brasil 2014, son las siguientes:
Representación Función
Si una entrada tiene un valor de $ 8500, para dos entradas el valor es de $ 17 000, ¿cuánto tendríamos que cancelar por 4 entradas?, ¿y 7 entradas?, y ¿12 entradas?
Tabla de Evaluación
¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?
4 2f x x
¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?
4 2f x x
Dominio Recorrido
2 0x 2x
2;Dom f
4 2y x
24 2y x
4 2y x
24 2y x
Re 4;c f
xBuscar condiciones para la variable
yBuscar condiciones para la variable
Propiedades de las funcionesEs si los elementos del conjunto B (imagen) le corresponde un solo elemento del conjunto A (pre-imagen). Esta función es llamada inyectiva o 1 a 1.
Función Inyectiva (1-1)
fDombababfaf ,
Función Epiyectiva (sobre) Una función es Epiyectiva (exhaustiva, o suprayectiva, o suryectiva, o sobreyectiva) cuando todo elemento del conjunto de llegada (B) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio o A).
Bfc Re
Propiedades de las funciones
Propiedades de las funcionesFunción Biyectiva
Sea f una función biyectiva de A en B, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez, es decir que todos los elementos del conjunto inicial (A) tengan una imagen distinta en el conjunto de llegada (B) (inyectiva), y que ademas el recorrido sea igual al conjunto de llegada (epiyectiva)
Función InversaSea :f A B una función biyectiva, entonces la función inversa
de
1f
f es una función biyectiva tal que
y1 :f B A 1f y x y f x
Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:
1f
f
Ejemplo Función Inversa Hallar la inversa y grafica de la siguiente función 2 1f x x
Solución
Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable x
12 xxf
Ejemplo Función Inversa
1
2
xf x