shortest path algorithm.pdf

8/10/2019 SHORTEST PATH ALGORITHM.pdf

1/78

SHORTEST PATH ALGORITHM

(Dijkstra, Bellman-Ford)


2/78


3/78

Masalah Shortest Path

3

Terdapat sebuah graph berbobot (weighted graph) dandua vertices u dan v, kita ingin menemukan sebuah pathdengan bobot minimum antara u dan v.

panjang path adalah penjumlahan dari bobot sisi-sisinya(edges).

Contoh : Shortest path antara jakarta surabayaAplikasi

Internet packet routing Flight reservations Driving directions


4/78

Pengertian Shortest Path

4

Misalkan sebuah directed graph EVG ,

kvvvp ,....,, 10

adalah

Bobot dari sebuah path

k

i

ii vvwpw1

1,

Bobot shotest path dari u ke v adalah


5/78

Shortest Path Properties

Jika G tidak memiliki bobot, maka shortest pathnya diperoleh dari panjang path

yang paling minimal (jumlah edge-nya paling sedikit).

Jika G merupakan graph dengan bobot tertentu

Bobot dari p adalah

pvu

vuwpw,

,

5


6/78

Shortest Path Properties

6

Property 1:

Sebuah subpath dari sebuah shortest path adalah sebuah shortest

path

Property 2: Terdapat sebuah tree dari shortest paths dari start vertex ke seluruh

vertex lainnya


7/78

Syarat

7

Syarat yang harus dipenuhi oleh sebuah shortest path:

Shortest path tidak memiliki cycle.

Sebuah shortest path memiliki

1V edge.


8/78

Single Source Shortest Path

8

Contoh shortest path dari vertex 1 ke 5


9/78

algoritma single source shortest path

9

Ada 2 macam algoritma yang digunakan dalammemecahkan masalah single source shortest path, yaitu:

Algoritma Bellman Ford ialah algoritma yang digunakan

untuk memecahkan masalah single shortest path yang memilikiedge dengan bobot negatif.

Algoritma Djikstra ialah algoritma yang digunakan untukmemecahkan masalah single shortest path yang memiliki edgedengan bobot positif.


10/78

DIJKSTRA

10

EdsgerWybe Dijkstra lahir di Rotterdam 11 May 1930.ibunya seorang ahli metematika dan ayahnya seorangahli kimia .

th 1956 Dijkstra lulus dari Universitas Leiden dalambidang mathematika dan teori fisika

Th 1959 Dijkstra menerima PhD UniversitasAmsterdam untuk thesisnya yg berjudul

Communication with an Automatic Computer,


11/78

algoritma DIJKSTRA

11

Algoritma dijkstra adalah salah satu algoritma untukmemecahkan masalah single source shortest path

Pada algoritma dijkstra pemecahan masalahdiperuntukkan untuk sebuah Graph G=(V,E) yang

berbobot non negatif.

Diasumsikan w(i,j) 0 untuk masing-masing edge (i,j)

E


12/78


13/78

13

3. e adalah edge untuk T yang mempunyai nilai P terkecil Jika i adalah endpoint dari e yang sudah diberi label dan j adalah endpoint yang

belum diberi label maka tambahkan e dan vertex j ke tree T

d(j)=P(ij)

Beri label d(j) pada vertex j

4. Kembali ke no 2

Metode algoritma DIJKSTRA


14/78

Metode algoritma DIJKSTRA menggunakan metode

relaksasi

14

Relaksasi (i,j,w)

Jika d(j)>d(i)+w(i,j)

Maka d(j) adalah d(i) + w(i,j)

Beri label d(j) pada j

Metode dijkstra


15/78

Metode algoritma DIJKSTRA

15

Output algoritma dijkstra adalah spanning tree T, dimanapath dari vertex s (sumber) ke masing-masing vertex vadalah sebuah shortest path dari s ke v dalam sebuah graphG.

Label pada sebuah vertex adalah jarak dari s ke masing-masing vertex


16/78

Contoh 1

16

Tentukan shortest path dari A ke setiap v pada graph Gberikut:

A

DC

E

7

10

6

48

5

2

15

9

B


17/78

Contoh 1(cont)

17

Spanning tree T kosong1. Inisialisai s (sumber)

pilih vertex A sebagai sumber.

S=A, maka d(A)=0. beri label 0 pada A

2. Untuk semua edge E, i adalah endpoint yg sudah di label , i = A

j adalah endpoint yg belum dilabel j= B,C,D,E P(AB)=10, P(AC)=7, P(AE)=15

A

DC

E

7

10

6

48

5

2

15

9

B

d(A)=0


18/78


19/78

Contoh 1(cont)

19

4. Kembali ke no 2 P(AB)=10,P(AE)=15,

P(CB)=22,P(CD)=9,P(CE)=15

CD yg mempunyai nilai P terkecil, sehingga Dditambahkan ke T

Beri label d(D)=9

A

DC

E

7

10

6

48

5

2

15

9

B

d(A)=0

d(C)=7

d(D)=9


20/78

20

Contoh 1(cont)

5. Kembali ke no 2 P(AB)=10,P(AE)=15,

P(CB)=22,P(CE)=15,P(DB)=15,P(DE)=13

AB yg mempunyai nilai terkecil,sehingga Bditambahkan ke T

Beri label d(B) =10

A

DC

E

7

10

6

48

5

2

15

9

B

d(A)=0

d(C)=7

d(D)=9

d(B)=10


21/78

Contoh 1(cont)

21

5. Kembali ke no 2 P(AE)=15,

P(CB)=22,P(CE)=15,P(DB)=15,P(DE)=13, P(BE)=18

DE yg mempunyai nilaiterkecil,sehingga E ditambahkan ke T

Beri label d(E) =13

6. Semua vertex sudah diberi label7. selesai

A

DC

E

7

10

6

48

5

2

15

9

B

d(A)=0

d(C)=7

d(B)=10

d(D)=9

d(E)=13


22/78

soal

22

Tentukan shortest path dari A ke D graph berikut :


23/78

23


24/78

24


25/78

25


26/78

26


27/78

27


28/78

28


29/78


30/78

30


31/78

31


32/78

32


33/78

33


34/78

Aplikasi dijkstra

34

Dijkstra's algorithm determines the distances (costs) between agiven vertex and all other vertices in a graph.This may be usefulto determine alternatives in decision making.

For example, a telephone company may forgo the decision toinstall a new telephone cable in a rural area when presented withthe option of installing the same cable in a city, reaching twice thepeople at half the cost.

Routing Algorithms Link State Routing for internet
http://www.cs.usask.ca/resources/tutorials/csconcepts/1999_8/tutorial/definitions.htmlhttp://www.cs.usask.ca/resources/tutorials/csconcepts/1999_8/tutorial/definitions.htmlhttp://www.cs.usask.ca/resources/tutorials/csconcepts/1999_8/tutorial/definitions.htmlhttp://www.cs.usask.ca/resources/tutorials/csconcepts/1999_8/tutorial/definitions.htmlhttp://www.cs.usask.ca/resources/tutorials/csconcepts/1999_8/tutorial/definitions.htmlhttp://www.cs.usask.ca/resources/tutorials/csconcepts/1999_8/tutorial/definitions.htmlhttp://www.cs.usask.ca/resources/tutorials/csconcepts/1999_8/tutorial/definitions.htmlhttp://www.cs.usask.ca/resources/tutorials/csconcepts/1999_8/tutorial/definitions.html


35/78


36/78

contoh

36


37/78


38/78

contoh

38


39/78

contoh

39


40/78

contoh

40


41/78

contoh

41


42/78

BELLMAN FORD

42

Algoritma ini merupakan pengembangan dari algoritma Djikstra,Algoritma Bellman Fordakan benar jika dan hanya jika graph tidak

terdapat cycle dengan bobot negatif yang dicapai dari sumber s.

No cycleDiasumsikan shortestpaths tidak mempunyaicycles.

shortest path maksimummempunyai |V|-1 edge


43/78

Ciri ciri Algoritma Bellman-Ford :

43

Bekerja walaupun terdapat edge dengan bobot negative. Harus directed edge (jika tidak graph akan memiliki cycle dengan bobot

negatif) Iterasi i menemukan seluruh shortest path dengan menggunakan i edge.

Dapat mendeteksi cycle dengan bobot negatif jika ada.


44/78

Contoh algoritma bellman ford

44

BF(G,w,s) // G = Graph, w = weight, s=sourceDetermine Single Source(G,s);set Distance(s) = 0; Predecessor(s) = nil;for each vertex v in G other than s,

set Distance(v) = infinity, Predecessor(v) = nil;for i Distance(u) + w(u,v) then

set Distance(v) = Distance(u) + w(u,v), Predecessor(v) = u;for each edge (u,r) in G do

if Distance(r) > Distance(u) + w(u,r);

return false; //This means that the graph contains a cycle of negative weight//and the shortest paths are not well defined

return true; //Lengths of shortest paths are in Distance array


45/78

Algoritma :

45

Bellman-Ford(G,w,s)Inisialisasi single source(G,s)

for i=1 to |V[G]|-1do for each edge (u,v) E[G]

do RELAX(u,v)foreach edge (u,v) E[G] ;untuk mencek apakah ada atau tidak cycle dgn bobot negatif

do ifd[v] > d[u] +w ((u,v)) ;jika hasil algoritma yang diinginkan belum didapat

then return FALSEreturn TRUE;


46/78

Teknik relaksasi

46

Untuk setiap vertexv V, d (v) adalahbobot upper boundsebuah shortest

path dari s ke v,

d(v) disebutestimasishortest-path


47/78

relaksasi

47

1. pada algorithm Dijkstra dan algoritma shortest-paths untukdirected acyclic graphs (DAG), setiap edge direlaksasi sekali.

2. pada algoritma Bellman-Ford, setiap edge direlaksasi beberapa kali.

T i l I lit


48/78

Triangle Inequality

48

Lemma 1Untuk stiap edge (u; v) E, mempunyai (s;v) (s;u)+w(u;v)

U b d P t


49/78

Upper-bound Property

49

Lemma 2 Kita selalu mempunyai d[v] (s;v) untuk seluruh vertices vV dan satu d[v]

achieves the value (s;v), yang tidak pernah berubah

Corollary 1

Jika tidak terdapat path dari s ke v, maka kita selalu mempunyai d[v] =(s;v) = .

C P t


50/78

Convergence Property

50

Lemma 3 If s u v is a shortest path in

G for some u; v V and if d[u] = (s;u) atany time prior to relaxing edge (u;v), then

d[v] = (s;v) at all times afterward.

P th l ti P t


51/78

Path-relaxation Property

51


52/78

pplications in routing

52

A distributed variant of Bellman-Ford algorithm is used in theRouting Information Protocol (RIP). The algorithm isdistributed because it involves a number of nodes (routers)within an Autonomous system, a collection of IP networkstypically owned by an ISP. It consists of the following steps:

Each node calculates the distances between itself and all othernodes within the AS and stores this information as a table.

Each node sends its table to all neighbouring nodes. When a node receives distance tables from its neighbours, it

calculates the shortest routes to all other nodes and updatesits own table to reflect any changes.
http://en.wikipedia.org/wiki/Routing_Information_Protocolhttp://en.wikipedia.org/wiki/Autonomous_system_(Internet)http://en.wikipedia.org/wiki/Autonomous_system_(Internet)http://en.wikipedia.org/wiki/Routing_Information_Protocol


53/78

pplications in routing

53

The main disadvantages of Bellman-Ford algorithm in thissetting are

Does not scale well

Changes in network topology are not reflected quickly since

updates are spread node-by-node. Counting to infinity
http://en.wikipedia.org/wiki/Network_topologyhttp://en.wikipedia.org/wiki/Infinityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Infinityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Network_topology


54/78

algoritma Bellman Ford

54

algoritma Bellman Ford menggunakan suatu label D[u] yang selalubekerja pada jarak d(v,u) dari v ke u.

Bellman Fordmerupakan suatu algoritma yang bekerja pada graphdengan bobot edge negative tetapi tidak memiliki negative cycle.


55/78

algoritma Bellman Ford

55

Ada dua hal yang harus menjadi catatan pada algoritmaBellman-Ford, yaitu :

Shortest path tidak akan terdiri lebih dari V-1 edge dari graph yang

bersangkutan, dengan asumsi tidak ada negative cycle.Jika terdapatlebih dari V-1 edge pada shortest path, maka ada node yang dilewatilebih dari satu kali.Hal tersebut akan mengakibatkan shortest pathtidak optimal.

Pada tiap iterasi, harus dipertimbangkan edge mana yang akandigunakan terlebih dahulu.


56/78

contoh

56

develop algorithm using the following working example

use a table to show changes inestimates of distances andpredecessors initialize table nopredecessors


57/78

contoh

57

Revise estimates of distances Ulangi sebanyak v-1 kali

Untuk masing-masing edge (u, v) dalam graph, set d(v) =

min[d(v), d(u) + w(u, v)]

Jika jarak direvisi, tentukan vertex predecessor baru edges dapat diambil dengan berbagai cara misalnya sesuai

dengan urutan abjad: (a, b), (a,c), (a, d), (b, a), (c, b), . . . , (s,

b)


58/78

contoh

58

show how we can use predecessor information to tracepaths from source


59/78


60/78

Check for negative loops

60

at end, for each edge (u, v) , check to see if d(v) d(u) >w(u, v)

if so, we have a problem try to convince them with anexample:

show diagram when d(u) = 3, d(v) = 6, w(u, v) = 2 in such a case, algorithm returns the value false


61/78

contoh

61


62/78

contoh

62


63/78

contoh

63


64/78

contoh

64

Iterasi ke 1


65/78

65

Iterasi ke 2


66/78

contoh

66

Iterasi ke 3


67/78

67

Iterasi ke 4


68/78

contoh

68

Iterasi ke 5


69/78

69

Iterasi ke 6


70/78

contoh

70

Iterasi ke 7


71/78

contoh

71

Iterasi ke 8


72/78

72


73/78

73


74/78

74


75/78

75


76/78

76


77/78

77


78/78

shortest path algorithm.pdf

Documents