shpërndarja normale dhe shpërndrja standarde normale...1 shpërndarja normale dhe shpërndrja...

1

Shpërndarja normale dhe shpërndrja standarde normale

Ligjërata e gjashtë

2

Qëllimet e mësimit

• Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në

gjendje që të :

Dini kakrakteristikat e distribucionit normal dhe

distribucionit standard normal të probabilitietit.

Definoni dhe kalkuloni vlerën e t, gjegjësisht Z.

Përcaktoni probabilitetin se një vrojtim gjindet në mes të

dy pikave duke shfrytëzuar distribucionin normal

standard (variablën e standardizuar ose devijimin e

normalizuar)

Përcaktoni probabilitetin që një vrojtim do të jetë mbi ose

nën një vlerë të dhënë duke shfrytëzuar distribucionin

normal standard.

3

Variablat e rastësishme kontinuale -Shembuj

Experimenti Variabla rastesishme

Vlerat e

mundshme

Pesha e100 Njerëzve Pesha 45.1, 78, ...

Jetëgjatësia e baterive Orë 900, 875.9, ...

Shpenzimet për ushqim shpenzimet 54.12, 42, ...

Matja e kohës në Mes te dy arritjeve

Koha e arritjes

0, 1.3, 2.78, ...

4

Probabiliteti i variablave të rastësishme të vazhdueshme

Probabiliteti është

sipërfaqja nën

lakore

© 1984-1994 T/Maker Co.

P c x d ( )

f(x)

X c d

5

Kurdo që shohim një lakore normale, mundemi që të imagjinojmë një Bar-diagram brenda saj.

•

•13 •15 •14 •16 •12 •17 •21 •20 •19 •18 •22

6

Shembull: Rezultatet e një kuizi shkollor të 51 studentëve

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15 •14 •16

•

8 •

7 •

6

•

9

•12 •17 •21 •20 •19 •18 •22 •Rezultatet e kuizit

•Nr

stu

den

tve

7

Mesatarja

12+13+13+14+14+14+14+15+15+15+15+15+15+16+16+16+16+16+16+16+16+17+17+17+17+17+17+17+17+17+18+18+18+18+18+18+18+18+19+19+19+19+19+20+20+20+20+20+21+21+22=867

867/51=17

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15 •14 •16

•

8 •

7 •

6

•

9

•12 •17 •21 •20 •19 •18 •22 •Rezultatet e kuizit

•Nr

studentv

e

8

Moda

12

13 13

14 14 14 14

15 15 15 15 15 15

16 16 16 16 16 16 16 16

17 17 17 17 17 17 17 17 17

18 18 18 18 18 18 18 18

19 19 19 19 19 19

20 20 20 20

2 121

22

•Rezultatet e kuizit

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15 •14 •16

•

8 •

7 •

6

•

9

•12 •17 •21 •20 •19 •18 •22

9

Mediana 12,13,13,14,14,14,14,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,16,16,16,16,17,17,17,17,17,17,17,17,17,18,18,18,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,1

9,20,20,20,20,21,21,22

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15 •14 •16

•

8 •

7 •

6

•

9

•12 •17 •21 •20 •19 •18 •22


•Nr

studentv

e

10

•Nr

stu

de

ntv

e

• Nga ky shembull mund të përfundojmë se mesatarja, moda dhe

mediana do të bien në të njëjtën vlerë në shpërndarjen normale

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15 •14 •16

•

8 •

7 •

6

•

9

•12 •17 •21 •20 •19 •18 •22


11

Shpërndarja normale

Shpërndarja normale është njëra prej

shpërndarjeve të shumta të

probabiliteteve që mund të ketë

variabla e rastësishme e

vazhdueshme.

Shpërndarja normale është më e e

rëndësishmja dhe më së shumti e

shfrytëzuar nga të gjitha shpërndarjet

probabilitare.

12

Shpërndarja normale

Shumë dukuri në botën reale ose janë të shpërndarna

në këtë formë ose i përafrohen shpërndarjes normale.

Për variablat e rastësishme të cilat paraqesin

gjatësinë dhe peshën e njerëzve, rezultatet në

provim, peshën e paketimit të produkteve,

qëndrueshmërinë në vjet të ndonjë objekti ( poqet

elektrike, aparatet televizive), koha që është e

nevojshme për të kryer ndonjë punë, konsiderohet se

kanë shpërndarje (përafërsisht ) normale.

13

Karakteristikat e Shpërndarjes normale

1. ‘Në formë të ziles &

Simetrike

2. Mesatarja , mediana

dhe moda janë të

barabarta

3. ‘Sipërfaqja nën lakoren

e shpërndarjes

normale është e

barabartë me 1

4. Variabla e rastësishme

ka infinit vlera

Mesatarja

Mediana

Moda

X

f(X)

14


Mesatarja aritmetike e saj shënohet me

µ, kurse devijimi standard me σ.

Variabla e rastësishme e vazhdueshme

X, që ka shpërndarje normale quhet

variabël e rastësishme normale.

15


16


• Sipërfaqja nën

lakoren normale

është e

barabartë me 1

ose 100 ashtu

siç është e

prezantuar në

figurën vijuese:

17


Lakorja e shpërndarjes normale është

simetrike në raport me mesataren

aritmetike, ashtu siç është e prezantuar në

figurën vijuese.

Kjo do të thotë se 50% e sipërfaqes së

tërësishme nën lakoren normale gjindet në

anën e majtë të mesatares aritmetike, e

50% në anën e djathtë të mesatares

aritmetike.

18


19


• Mesatarja aritmetike µ dhe devijimi

standard σ janë dy parametrat e

shpërndarjes normale.

• Kur janë të dhënë këta dy parametra,

mund të përcaktojmë sipërfaqen nën

lakoren normale për cilindo qoftë

interval.

20


Nuk ka vetëm një shpërndarje normale ,

por ekzistojnë familje e tërë e

shpërndarjeve normale të cilat janë të

përcaktuara nga prametrat µ, σ.

Nga lëvizja e tyre merr formën edhe

shpërndarja normale .

Vlera e µ përcakton qendrën e lakores

së shpërndarjes normale në boshtin

horizontal, kurse vlera e σ tregon

shpërndarjen e shpërndarjes normale.

21


• Tri lakore të

shpërndarjes

normale me

mesatare të

njetjë por me

devijim

standard të

ndryshëm.

22


• Tri lakore të

shpërndarjes

normale me

mesatare të

ndryshme e

me devijim

standard të

njejtë.

23

Funksioni i probabiliteit-formula matematikore

2

2

1

e2

1)(

x

xf

x = Vlera e variablës së rastësishme (- < x < )

= Devijimi standard i popullimit

= 3.14159

e = 2.71828

= Mesatarja e variablës së rastësishme x

Mos e mbani në mend këtë formulë!

24

Shënimi i shpërndarjes normale

X është N (μ, σ)

Variabla e rastësishme X ka shpërndarje

normale (N) me mesatare μ dhe devijim

standard σ.

X është N(40,1)

X është N(10,5)

X është N(50,3)

25

Tri Sipërfaqe të rëndësishme nën lakoren normale - Rregulla empirike/normale:

Për çdo shpërndarje normale/simetrike/ në formë

kambane/,

Përafërsisht 68% e vrojtimeve gjendet në mes

mesatares aritmetike dhe

Përafërsisht 95% e vrojtimeve gjendet në mes të

mesatares aritmetike dhe

Përafërsisht 99.7% gjendet në mes të mesatares

aritmetike dhe

1

3

•4-15

2

26

•Rregulla empirike

•Ose rregulla

• 68%; 95%; 99.7%

27

Sipërfaqet nën lakore normale sipas rregullës empirike

X

µ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σµ - 1σµ - 2σµ - 3σ

68. 26%

95.44%

99.74%

28

SHEMBULL praktik

• Të ardhurat mujore të posa diplomuarve në

një korporatë të madhe kanë shpërndarje

normale me mesatare aritmetike prej µ=

$2000 dhe devijim standard prej σ= $200.

1. Rreth 68% e të punësuarëve marrin pagë në mes të cilave vlera?

2. Rreth 95% e të punësuarëve marrin pagë në mes të cilave vlera?

3. Gati të gjithë gjithë të punësuarit marrin paga në mes të cilave vlera?

•

29

Zgjidhje

1. 68% 1800$ 2200$

1 2000$ 1(200$)

2. 95% 1600$ 2400$

2 2000$ 2(200$)

3. 99,7% 1400$ 2600$

3 2000$ 3(200$)

Rreth jane ne mes te dhe

X


X


X

30

Probabiliteti i shpërndarjes normale

c dx

f(x)

Probabiliteti

është nën

lakoren

normale!

( ) ( ) ?d

cP c x d f x dx

31

X

f(X)

Numër i pafundëm i tabelave

Shpërndarjet normale

dallohen nga mesatarja dhe

devijimi standard.

Secila shpërndarje do

të kërkonte tabelën e

vet.

Që është numër i pafundëm i tabelave!

32

Numër i pafundëm i tabelave

Për fat të mirë ekziston mundësia për

shfrytëzimin e një shpërndarje normale

të veçantë e cila na shërben si mjet i

ndërmjetëm për zgjidhjen e problemeve

praktike dhe largimin e integraleve.

Një shpërndarje e tillë normale quhet

shpërndarja normale e standardizuar,

kurse procedura që duhet të aplikohet

patjetër quhet standardizim.

33

Shpërndarja Normale Standarde

• Ideja qëndron në atë që për këtë

shpërndarje është konstruktuar tabela e

shpërndarjes normale standarde, ashtu

që për çfarëdo shpërndarje normale reale,

përmes procedurave të standardizimit

shndërrohen në shpërndarje standarde dhe

zgjedhja e problemit, gjegjësisht

probabilitetet gjinden përmes tabelave.

34

Shpërndarja normale standarde

• Shpërndarja normale standarde:

Shpërndarja normale me mesatare

aritmetike µ=0 dhe devijim standard

σ=1 quhet shpërndarje normale

standarde.

35


• Shpërndarja

standarde normale

është e prezantuar me

figurën vijuese e cila

shënohet me z. Me

fjalë të tjera, njësitë

për lakoren e

shpërndarjes

standarde normale

janë të shënuara me z

dhe quhen vlerat e z

ose rezultati i z.

36

Vlera e z ose rezultati i Z: Njësitë e

shënuara në boshtin horizontal të lakores

së shpërndarjes standarde normale me

shenjën Z quhen vlera të z ose

rezultatet e z .

Vlera specifike e Z jep distancën në mes

të mesatares dhe pikës të prezantuar

me z në kuptimin e devijimit standard.


37

Gjetja e sipërfaqes nën lakore standarde normale

Si shembull të parë , supozojmë se dëshirojmë të gjejmë

sipërfaqen nën lakoren e shpërndarjes standarde normale

në mes të 0 dhe 1. P(0≤ z ≤1)

38

39

Gjetja e sipërfaqes nen lakore standarde normale

• P(-1≤ z ≤+1)= 0.3413+0.3413= 0.6826

40

Sipërfaqja nën lakore normale

• P(0≤ z ≤2)= 0.4772

• P(-2≤ z ≤2)= 0.4772 +0.4772=0.9544

Z

0

0.4772

2

-2

0.4772

20

0.4772

Z

41


a. P(0≤ z ≤3)= 0.4987

b. P(-3≤ z ≤3)= 0.4987+0.4987=0.9974

42


• P(0≤ z ≤1.96) = 0.4750)

43

Sipërfaqja nën lakoren normale standarde në të majtë të një vlere pozitive të Z:

• P( Z≤1) = 0.5+0.3413= 0.8413

44

Sipërfaqja nën lakore normale në të djathtë

të një vlere pozitive të Z

• P(Z≥1)= 0.5-0.3413=0.1587

45

Sipërfaqja nën lakore normale në të majtë të një vlere

negative të Z

• P(Z≤-1)=0.5-0.3413=0.1587

46

Sipërfaqja nën lakore normale në mes të dy vlerave pozitive të Z dhe dy vlerave negative të Z

a. P(1≤ z ≤2)=0.4772-0.3413=0.1359

b. P(-2≤ z ≤-) =0.4772-0.3413=0.1359

47


Në botën reale, variabla e rastësishme e

vazhdueshme mund të ketë (gjithmonë )

shpërndarje normale me vlera të

mesatares aritmetike dhe të devijimit

standard të ndryshme nga 0 dhe 1.

Në këto raste hapi i parë që duhet të

ndërmerret është shndërrimi

shpërndarjes së dhënë normale në

shpërndarje standarde normale

48

STANDARDIZIMI I SHPËRNDARJES NORMALE

Kjo procedurë siç kemi cekur edhe më

lartë quhet standardizim i

shpërndarjes normale. Njësitë e

shpërndarjes normale ( që nuk është

shpërndarje standarde) janë të

shënuara me x.

Ne e dimë gjithashtu se variabla e

rastësishme e shpërndarjes standarde

normale është e shënuar me z.

49

STANDARDIZIMI I SHPËRNDARJES NORMALE

• Shndërrimi i Vlerës X në vlerën Z:

Për variablën e rastësishme x, një

vlerë e caktuar e x mund të

shndërrohet në vlerat korresponduese

të z duke përdorur formulën vijuese:

50

Shndërrimi i shpërndarjes normale në shpërndarje standarde normale

• Shndërrimi i

Vlerës X në vlerën

Z: Për variablën e

rastësishme x, një

vlerë e caktuar e x

mund të

shndërrohet në

vlerat

korresponduese të

z duke përdorur

formulën vijuese:

ZX

Ku: x- ë shtë vlerë e çfarëdo vrojtimi të veçantë µ- mesatarja e shpërndarjes

normale

σ- devijimi standard i shpërndarjes normale

51

Standardizimi i shperndarjes normale

Shembull: Supozojme se rezultatet e testit standard

te intelegjencës (IQ) për nxënësit e një shkolle të

mesme kanë shpërnadarje normale me mesatare

aritmetike µ =110 dhe devijim standard σ =20.

Nëse rezultatet e testit te intelegjences ( të shprehura

ne X) i transformojmë në shpërndarje normale

standarde (në vlera të Z) do të shohim se të dy

shpërndarjet do të përputhen me njëra tjetrën.

52


170150130110907050 X

Shperndarja Normale, Mesatarja=110, DevSt=20

0 1 2 3-1-2-3 Z

130 1101

20

xZ

70 1102

20

xZ

53

Standardizimii shperndarjes normale

• Shembull. Duke u bazuar në rezultatet

e IQ testit me mesatare µ =110 dhe

devijim standard σ =20 sa është

probabiliteti që një nxënës i zgjedhur

rastësisht të ketë rezultete të IQ në

mes të:

• 140 dhe 110. dhe b) 75 dhe 110; c)

75 dhe 140

54


• Zgjidhje:

a. Për x=140, vlera korresponduese e z

bëhet sipas formulës së variablës së

standardizuar

140 110

1.520

xZ

55


a. P (110 < x <140) = P (0 < x < 1.5) = 0.4332

X µ=110

0.4332

140

µ=0Z

1.5

56

b. Për x=75, vlera korresponduese e z

është :

75 1101.75

20

xZ

X75

0.4599

µ=110

µ=0-1.75 Z

•P ( 75 <x <110) = P ( -1.75 < x < 0) = 0.4559

57


• 75 dhe 140

• P (75 <x <140) = P (-1.75 < x < 1.5) = 0.4559+0.4332=0.8931

X75

0.8931

140µ=110

-1.75 1.5 Zµ=0

0.43320.4599

P ( 75 <x <140) = P ( -1.75 < x < 1.5) = 0.4559+0.4332=0.8931

58


• Shembull: Duke ju referuar shembullit

me koeficient te intelegjences se

nxenesve te nje shkole , ashtu që

µ=110 dhe σ=20 të gjindet probabiliteti

që një nxënës i zgjedhur rastësisht të

ketë rezultate:

• Mbi 140; b) Nën 75; c) Në mes të 120

dhe 155; d)

59


• Zgjidhje: • Nëse dëshirojmë të gjemë probabilitetin se rezultatet e nxënësit janë

më të mëdha se 140, gjegjësisht P(x>140),atëherë probabiliteti

është nën sipërfaqen e lakores normale në të djathtë të vlerës së x

prej 140. Nga shembulli i mëhershëm e dimë se sipërfaqja nën

lakore nprmale për x=140 është 0.4332, gjithashtu e dimë se

sipërfaqja e përgjithshme nën lakore normale për anën e djathët

është 0.5 (e njejtë edhe për anën e majtë), atëherë probabiliteti se

rezultati i nxënësit do të jetë më i madh se 140 e gjejmë kur prej 0.5

zbresim siprfaqen 0.4332, gjegjësisht:

60

Standardizimi i shpërndarjes normale

•Prej këtu mund të themi që probabiliteti që një nxënës i zgjedhur

rastësisht ka rezultatet në IQ më të mëdha se 140 është 0.06681.

61

c. Në mes të 120 dhe 155

• Nëse dëshirojmë të gjejmë probabilitetin se rezultatet e

nxënësve janë në mes të 120 dhe 150, gjegjësisht

P(120<x<155):

• Së pari, gjejmë vlerën korresponduese të z për x=120

në bazë të formulës së variablës së standardizuar që

është z=0.5.

120 1100.5

20

xZ

•Për z=0.5, sipërfaqja nën lakoren normale është e barabartë me

0.1915 që e gjejmë nga Tabela e Shperndarjes normale standarde.

62

Së dyti, gjejmë vlerën korresponduese të z për x=155 që është

Për z=2.25, sipërfaqja nën lakoren normale është

barabartë me 0.4878

Së treti, për të gjetur P(120<x<155), sipërfaqes nën lakore normale

më të madhe (për z=2.25 që është 0.4878) ia zbresim

sipërfaqen më të vogël (për z=0.5 që është 0.1915) dhe kemi:

• P (120<x<155)= P (0.5<z<2.25)= 0.4878 - 0.1915 = 0.2963

155 1102.25

20

xZ

63

•Prej këtu mund të themi se probabiliteti se nxënësit do të kenë rezultatet e IQ tesit

në mes të 120 dhe 155 është i barabartë me 0.2963.

64


b. Nëse dëshirojmë të gjemë probabilitetin se rezultatet e nxënësit

janë më të vogla se 75, gjegjësisht P(x<75),atëherë

probabiliteti është nën sipërfaqen e lakores normale në të

majtë të vlerës së x prej 75 për faktin se rezultatet janë më të

vogla se mesatarja aritmetike. Nga shembulli i mëhershëm e

dimë se sipërfaqja nën lakore normale për x=75 është 0.4599,

gjithashtu e dimë se sipërfaqja e përgjithshme nën lakore

normale për anën e majtë është 0.5 (e njejtë edhe për anën e

djathtë), atëherë probabilitetin se rezultati i nxënësit do të jetë

më i vogël se 75 e gjejmë kur prej 0.5 zbresim sipërfaqen

0.4599, gjegjësisht:

• P(x<75) = 0.5 - 0.4599=0.046006

65


•Prej këtu mund të themi se probabiliteti që një nxënës të ketë rezultate në IQ test më të vogla se 75 është 0.046006.

66

• Rezultatet e testit në mes të 77 dhe

95. P(77<x<95):

Për të gjetur P(77<x<95), sipërfaqes nën lakore normale më të

madhe (për z=-1.65 që është 0.4505) ia zbresim sipërfaqen

më të vogël (për z=-0.75 që është 0.2734) dhe kemi:

• P (77<x<95)= 0.4505 - 0.2734 = 0.1771

77 1101.65

20

xZ

95 1100.75

20

xZ


67

•Prej këtu mund të konkludojmë që probabiliteti se nxënësit do të kenë rezultate në mes të 77 dhe 95 është 0,1772, gjegjësisht 17.72% e nxënësve kanë rezultatin në mes 77 dhe

95.

68

Përcaktimi i vlerës së z dhe x kur dihet sipërfaqja nën lakore normale

• Në shembujt e deritashëm gjetëm përqindjen e

vrojtimeve në mes të dy vlerave ose përqindjet,

gjegjësisht probabilitetin e vrojtimeve mbi apo

nën një vlerë të vrojtuar të x. Aplikimi i

mëtutjeshëm i shpërndarjes normale përfshin

gjetjen e vlerave të vrojtimeve x kur përqindja

mbi ose nën një vlerë të caktuar është e dhënë.

69


• Shembull

• Drejtoria e një vetëshërbimi të madh dëshiron që të filloj me

politika promovuese që përfshin dhurata falas për çdo

konsumator që shpenzon më shumë se një shumë e caktuar

për një blerje në këtë vetëshërbim. Pritjet e drejtorisë janë që

pas reklamimit për këtë politikë promovuese, shpenzimet e të

gjithë konsumatorëve do të kenë shpërndarje përafërsisht

normale me mesatare aritmetike 90 € dhe me devijim

standard 20€. Nëse drejtoria dëshiron që dhurata falas të

marrin më së shumti 5% e blerësve, sa do të jetë shuma e

harxhuar mbi të cilën konsumatori do të marr dhuratë.

70

• Zgjiidhje

• Në këtë shembull ne kemi të njohur mesataren aritmetike

µ=90€ dhe devijimin standard σ=20 €. Duhet të gjejmë vlerën

e x që paraqet shumën e parave mbi të cilën konsumatorët

duhet të harxhojnë për të marrë dhuratë falas nga

menaxhmenti i firmës. Për të gjetur këtë vlerë ne së pari

zëvendësojmë këto të dhëna në formulën e variablës së

standardizuar do të kemi:

90

20

x xZ

•Për të gjetur x, ne së pari gjemë vlerën z dhe mandej caktojmë vlerën e x-it.


71

Ne e dimë se sipërfaqja nën lakore normale në anën e djathtë të

mesatares µ është e barabartë me 0.500. Sipërfaqja në mes të x dhe

µ është e barabartë me 0.4500 , që kemi gjetur kur prej 0,500 kemi

zbritur 0.05, gjegjësisht: 0.500-0,0500=0.4500.

Nëse shikojmë tabelën e shpërndarjes normale standarde sipërfaqes prej

0.4500 i përgjigjet vlera e z = 1.645 (Sipërfaqja nën lakore normale

është 0.4495 dhe 0.4505, për ketë marrim të dyja) Meqenëse vlera e

z është në të djathtë të mesatares aritmetike për këtë arsye është

pozitive. Mënyra e gjetjes së sipërfaqes është e ilustruar me tabelën

vijuese.


72


73

• Duke ditur se dallimi në mes të µ dhe x është e barabartë me

1.645 ne tani mund të zgjedhim vlerën e x-it ( që paraqet

shumën e parave mbi të cilën duhet të harxhojnë për një

blerje për të marrë dhuratë).

90

20

901.645

20

1.645(20) 90

32.9 90

32.9 90 122.9

122.9

x xz

x

x

x

x

x

•Prej kësaj mund të shohim se

drejtoria e supermarketit do tu jap dhuratë falas konsumatorëve që në një blerje shpenzojnë 122.9 € e më shumë që realisht paraqet 5% të konsumatorëve të supermarketit.


74

•Edhe nga figura shihet që shuma mbi të cilën konsumatorët mund të blejnë në një blerje për të marrë dhuratë është 122.9€


75

• Në vazhdim do të shohim rastin se si e gjejmë

mesataren aritmetike kur është e dhenë sipërfaqja nën

lakore normale.

• Shembull: Një studim ka treguar se 20% e librave

universitar kushtojnë mbi 50€. Është e ditur se devijimi

standard i çmimeve të të gjithë librave universitar

është 5.5€. Supozojmë që çmimi i të gjithë librave

universitar kanë shpërndarje normale. Sa është çmimi

mesatar i të gjithë librave universitar.


76

• Zgjidhje

• Në këtë rast kemi të ditur sipërfaqen nën lakore normale që është

20% ose 0,2000, vlerën e X që është 50 € si dhe vlerën e devijimit

standard që është 5.5€. Nuk e kemi të njohur mesataren aritmetike

µ. Nëse këto të dhëna i zëvendësojmë në formulën e variablës së

standardizuar do të shohim se kemi të panjohura mesataren dhe

vlerën e z.

50

5.5

xZ


77

• Për të gjetur çmimin mesatar të të gjithë librave universitar së pari

gjejmë vlerën e z për sipërfaqen e dhënë nën lakore normale që

është 20% ose 0,2000.

• Meqenëse është fjala për mesataren e të gjithë librave universitar,

atëherë ne duhet të gjemë vlerën e z për të dy anët e lakores

normale. Ne e dimë se për njërën anë sipërfaqja do të jetë 10% ose

0.1000 (20%/2=10%). Gjithashtu e dimë se njëra anë e sipërfaqes

është 0.5000. Kur prej 0.5 zbresim 0.1000 do të fitojmë 0.4000.

• Nëse shikojmë sipërfaqen nën lakore normale standarde për 0.400

do të shohim se vlera korresponduese e z është e barabartë me

1.28, z=1.28


78

• Nëse zëvendësojmë vlerën e z në formulën e

mësipërme do të kemi:

50

5.5

501.28

5.5

1.28(5.5) 50

7.04 50

50 7.04 42.96

42.96€

xZ

Prej këtu mund të shohim se çmimi

mesatar për të gjithë librat universitar është 42.96€, përafërsisht 43€.


79

Rëndësia e distribucionit normal

• Në përgjithësi, nëse numër i madh i

faktorëve kanë ndikim të vazhdueshëm,

dhe ndikimi i çdo njërit prej tyre është

shumë i vogël, mund të pritet që

dukuria të ketë shpërndarje normale.

80


Shpërndarja normale paraqet shpërndarjen teorike

të probabiliteteve më të rëndësishme për këto

arsye:

1. Një numër i madh i fenomeneve në natyrë dhe

shoqëri kanë përafërsisht shpërndarje normale.

Shembuj tipik janë: gjatësia, pesha, tensioni i

gjakut, rezultatet në testet e intelegjencës,

gabimet gjatë matjeve, etj.

81


2. Shpërndarja normale mund të shërbejë si

zëvendësues i shkëlqyeshëm i

shpërndarjeve teorike diskrete, sidomos atij

të Poison-it dhe Binomial, për ato vlera të

parametrave që nuk janë të dhënë në

tabelën e probabiliteteve. Me fjalë të tjera,

shumë shpërndarje teorike diskrete, në

kushte të caktuara, tentojnë kah shpërndarja

normale.

82


3. Nga shpërndarja normale janë

formuar edhe shumë shpërndarje të

tjera të vazhdueshme, që gjithashtu

kanë rëndësi shumë të madhe në

analizën statistikore siç janë ai i

Studenti-it, Shpërndarja hi në

katror, Fisherit, etj.

83


4. Shpërndarja normale paraqet bazën për

nxjerrjen e konkluzioneve për parametra të

populacionit për shkak të :

a) lidhjes së saj me Teoremën Qendrore

Kufitare dhe

b) për arsye se metodat parametrike kanë

supozimin e përbashkët që tërësia prej nga

merret mostra ka shpërndarje normale.

shpërndarja normale dhe shpërndrja standarde normale...1 shpërndarja normale dhe shpërndrja...

Documents