si 300 k rx // · diffusion diffuse thermique si 300 k rx // rx // expérience simulation m....
TRANSCRIPT
Diffusion diffusethermique
Si 300 K
RX // <111>
RX // <100>
Expérience Simulation
M. Holt, Phys. Rev. Lett 83, 3317 (1999)
Fausses couleurs,Échelle log.
ThermalDiffuseScattering
��� � = 1���(�) Φ�∗Φ��� ����∙�
�
Calcul de la TDS-1
Un atome par maille
Théorie harmonique :
Au premier ordre,
corrélations déplacement-déplacement
Φ�∗Φ��� = ��∗���� − � �
Φ�∗Φ��� = �� ����∙(�������) − ����
����∙(�������) = ���/� (�∙(�������)) = ����� (�∙����)(�∙��)
Φ�∗Φ��� = ������ (� ∙ ����)(� ∙ ��)
Calcul de la TDS -2
Développement sur les modes propres
Expression générale :
�!"�!#"$ ≠ &()"$ = −";+ = +′
��� �= �������-(.�) � (� ∙ �!")(� ∙ �!#"$)
//$!!$����(/∙.����/$∙�)���0∙.�
�� =1-1�2!"3!"45"⋅�
!"=��!"45"⋅�
!"
��� � = �������-1 �(� ∙ 2!")� 3!"3!"
/!��(�)���(0�/)∙.��
��� � = ������-1 �(� ∙ 2!")� 3!"3!"
/!� Σ(� − " − 89:;) �
��9:;
Σ(0) � = ��
Calcul de la TDS-3
+k-k
Qhkl Qhklq
~1/k2
• ~- : diffusion diffuse• >?@ : diffusion thermique• (� ∙ 2)2: facteur géométrique, (grands B)• Tous les modes α contribuent aux mêmes k
��� � = 89:; + " = -������>D@�(� ∙ 2!")�1E!�(")!
���~(� ∙ �!")�
Exemple de TDS
Comparaison X (traits)-neutrons(ο)
M. Holt, Phys. Rev. Lett 83, 3317 (1999)
Théorie harmonique :Modèle Born-von Karmanconstantes de forcesjusqu’au 6e voisin
Si 300 K
���(�) = -������>D@�(� ∙ 2!")�1E!�(")!
Désordre de substitution
Alliage AxB1-x
Pas d’information sur les corrélations
• Cas d’un désordre total
Diffusion de Laue :
� = F�G + (1 − F)�D��(�) = -� F�G + 1 − F �D �
��� � = - ΦH � = - �� − � �
��� � = -F(1 − F) �G − �D �
� � = -F(1 − F)(�G−�D)��(1 − IG JF )����∙�
�
Corrélations
IK(J) A
B
Ordre à courte distance :
Probabilités conditionnellesIK(J) : probabilité d’avoir un atome A à J de BI?(J): probabilité d’avoir un atome B à J de A
Paires AB = Paire BA
Paramètres de Warren-Cowley
⟹ FID J = (1 − F)IG(J)
AA ∶ F 1 − ID J → �G�AB ∶ FID J →�G�DAB ∶ (1 − F)IG J →�D�GBB ∶ (1 − F) 1 − IG J → �D�
��∗���� =F 1 − ID J �G� + FID J �G�D + 1 − F IG J �D�G + (1 − F) 1 − IG J �D�
Exemple
Ordre local tel que les paires AB favoriséespA(m) A
B
h0 1 2 3
1
1/2
S(q)
Tendance àdoubler la période
� � = -F(1 − F)(�G−�D)� 1 + 2(1 − IG 1F ) cos(2Tℎ)
IG 1 > F
Conclusion
• Désordre de substitution :
�WW~(�K − �D)2
• Visible aux petits angles• Seules les variations de contraste apparaissent aux petits angles
• Désordre de déplacement
�WW~(�. �)2• Invisible aux petits angles
• θ θ θ θ trop faible pour qu’une interférence se construise
Transitions de phases structurales Définition
du paramètre d’ordre
• : paramètre d’ordre• "Y : vecteur d’onde critique
appartient à la 1ère ZdB
Displacives Ordre-désordre
Paramètre d’ordreZ"[:Amplitude de déplacement
Paramètre d’ordre :
Probabilité d’occupationSpin d’Ising
\� = \"[ cos("] ∙ � + ^)
\"[��_
`� = 2"[Z"[ cos("] ∙ � + ^)
@a
ExemplesTransition displacives :
Ordre-désordre : • Alliage A0.5B0.5
TC
Vecteur d’onde critique (1/4,0)
• FerroélectriqueCentre de Zone
Pas un point remarquable
• Modulation displacive (Peierls)
ab
Bord de Zone
@a
"b = 0 "b =c∗2 + d∗
2
`� = 2"[Z"[ cos("] ∙ � + ^)2"[ = c
e� = e"[ cos("] ∙ � + ^)"b =
c∗4
Transition displacive
Fluctuation du paramètre d’ordre
Susceptibilité associée au paramètre d’ordre
: composante principale
χ(χ(χ(χ(kc)))) diverge à la température de transition
��� � = 89:; + " = -������(� ∙ 2")� g"g�"
Fluctuation-dissipation
Exemple des phonons :
Par le théorème d’équipartition de l’énergie
�"��" − �" ��" = >D@h(")
121E
�(") g" � = 12 >D@
h " = 11E�(")
Calcul de l’intensité diffuséeFluctuation dissipation
@ > @Y
@ < @Y
�� � = 89:; + " = -������(� ∙ 2")�(>D@h " − g" g�" )
��� � = -������(� ∙ 2")�>D@h "g" = 0
��� � = -������(� ∙ 2")�>D@h "+-�������(� ∙ 2")� Z"[
�jk(" = ±"])
g"m = -Z"[
Qhkl
Ornstein-Zernike Forme Lorentzienne
ξ : ξ : ξ : ξ : longueur de corrélation
T>Tc
Qhkl
+kc-kc
T<TcRéflexionssatellites
Exposants critiques
Mesure du comportement :
T<Tc• Du paramètre d’ordre \~(@Y − @)n
T=Tc• Des corrélations h > − >Y ~(> − >Y)���o
T>Tc• De la susceptibilité associée h(>Y)~ @ −@] �p• Des longueurs de corrélations q~ @ −@] �r OCD
QOGD
OGD
Exemple : Transition dans AuAgZn2
T< 351.1°C T> 351.1°C
Au/Ag
Zn
CubiqueCubique faces centrées
F. Livet et al. Phys. Rev. B 66, 134108 (2002) Transition du 2e ordre
"b =c∗2 + d∗
2 + s∗2
CorrélationsDiffusion diffuse en (1/2,1/2,1/2)
Ising 3Dγ =1,24γ =1,24γ =1,24γ =1,24ν = 0,63ν = 0,63ν = 0,63ν = 0,63η = 0,04η = 0,04η = 0,04η = 0,04
η = 0,03η = 0,03η = 0,03η = 0,03
χχχχ(q)~ q−−−−2+η2+η2+η2+η
χ∼χ∼χ∼χ∼(T-Tc)−−−−γγγγ
χχχχ−−−−1/γ 1/γ 1/γ 1/γ ∼∼∼∼(T-Tc)
γ =1,242γ =1,242γ =1,242γ =1,242
ξ ∼ξ ∼ξ ∼ξ ∼(T-Tc)−−−−νννν
ξξξξ−−−−1/ ν1/ ν1/ ν1/ ν∼∼∼∼(T-Tc)
ν = 0,709ν = 0,709ν = 0,709ν = 0,709
TC+4°C TC+0,13°C
TC+4°C
TC+0,08°C
Exemple:Bronze bleu K0.3MoO3
b
Octaèdres MoO6
Potassium
(Rubidium)
E. Bervas, thèse (1984)
Tp=183 K
c
a
Bronze bleu
XY 3Dγ =1,316γ =1,316γ =1,316γ =1,316ν = 0,669ν = 0,669ν = 0,669ν = 0,669β = 0,346β = 0,346β = 0,346β = 0,346
À T=183 K : apparition de réflexions satellites au vecteur d’onde critique :
χ∼χ∼χ∼χ∼(T-Tc)−−−−γγγγ
γ =1,33(4)γ =1,33(4)γ =1,33(4)γ =1,33(4)
ξ ∼ξ ∼ξ ∼ξ ∼(T-Tc)−−−−νννν
ν = 0,68(5)ν = 0,68(5)ν = 0,68(5)ν = 0,68(5)
Ι ∼ ∼ ∼ ∼ (Tc -T)ββββ
β =0,31(5)β =0,31(5)β =0,31(5)β =0,31(5)
"b = 0,748d∗ + 0,5s∗
Détermination de potentiels d’interaction
Ex : Modèle d’Ising
En champ moyen,la susceptibilité vaut :
Permet d’obtenir les potentiels d’interactions
x = −� y�z�z{�{z
h(") = n1 + ny(")
Avec,y " = 2y| cos " ∙ c + 2y} cos " ∙ d + 2y] cos " ∙ s
Exemple Bragg
Diffusion diffuse
IsotropeJi=Jj
Anisotrope (1D)100xJi=Jj
Ordre local
Difficile à distinguer
dans l’espace réel
Diffusion aux petits anglesDéterminer • la forme• La taille• L’organisation
De petits objets(particules, macromolécules, précipités, bulles)
Nano(micro)métrique (20–1000 Å)
Applications :
• Science des polymères, colloïdes, matière molle• Métallurgie, Sciences de la terre• Biologie
Diffusion aux petits angles
Aux petits angles f 2=Z2
Ensemble de petits objets de densité ρρρρe, dans un milieu de densité ρρρρ0
ρρρρe
ρρρρ0
Intensité diffusée par objet :
Loi de Guinier-1
La courbure à l’origine de |Σ(Σ(Σ(Σ(q)|)|)|)|2222
ne dépend pas de la forme de l’objetmais de son rayon de gyration RG
Loi de Guinier :
L6
2π/L
0.88π/L
Loi de Guinier-2
Exemple d’une sphère
RG/a ~ 0.77
0 1 2 3 4 50,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Sphère Guinier
I(q
)/V
f 2
q (nm-1)
Loi de PorodEnsemble de particules, de surface totale S
Déviation au régime de Porod :Rugosité des interfaces...
0,1 1 10 100
10-9
10-6
10-3
100
I(q
)/V
f 2
Sphère Guinier Porod
q(nm-1)
Fractales
Vérification sur 3 ordres de grandeur en q
SANS sur une roche pétrolière
g(r) ~ rD-d
Mesure de la dimension Fractale D