si tratta di una forzante sinusoidale

funzione di e quindi di

caratteristiche della forzante: caratteristiche dell’oscillatore:

se ! è trascurabileAF è massima quando:

qualunque sia t

potenza dissipata dallo smorzamento:

potenza fornita dalla forzante:

a tempi lunghi, quando t >> !"

questa consegue dalla struttura dell’equazione differenziale:

Premessa

in 1 dimensione c’è un solo percorso possibile!

purché costituiscano un CAMPO di FORZE

Fx dx

funzione pari -> simmetrica rispetto all’asse delle ordinate

a parità di spostamento,l’energia potenziale crescepiù rapidamente nel casorosso

sostituendo x(t) e x’(t) si trova che cost=

si ricordi che

ESSENDO IL CAMPO CONSERVATIVO, L’ENERGIA MECCANICA TOTALE SI CONSERVA

idem in x = -C

siccome la costante è tale ad ogni tempo, in alternativa posso calcolarel’energia totale in uno dei punti di massima elongazione (punto di inversione), in cui l’energia cinetica è nulla

MAX

in alternativa si poteva anche calcolare l’energia totale nel centro di oscillazionedove l’energia è tutta cinetica

OSCILLATORE ARMONICO BIDIMESIONALE

sistema di due equazioni differenziali del secondo ordine disaccoppiate (possono essere risolte indipendentemente l’una dall’altra)

!10 !5 5 10x

!10

!5

5

10y

5 10 15 20

!4

!2

0

2

4

x!t"

5 10 15 20

!2!1012

y!t"

x(t)

!10 !5 5 10x

!10

!5

5

10y

5 10 15

!4

!2

2

4

x!t"x(t)

5 10 15

!2!1

12

y!t"danno le fasi iniziali che abbiamo scritto 2 slides fa

danno la stessa traiettoria ma con un diverso punto di partenza e un diverso senso di percorrenza

!10 !5 5 10x

!10

!5

5

10y

5 10 15!4!2

24

y!t"

5 10 15

!6

!4

!2

2

4

6

x!t"x(t)

fino ad ora abbiamo ipotizzato che x e y, prese singolarmente, oscillano con la stessa pulsazione ω (quindi con lo stesso periodo).

Vediamo ora che cosa succede se le due pulsazioni sono diverse.In altre parole, supponiamo che le molle lungo y abbiano una costante elastica diversada quella delle molle lungo x.

le due equazioni sono ancora disaccoppiate

la differenza rispetto a prima è che le due oscillazioni (quella lungo x e quella lungo y)avvengono con pulsazioni/frequenze diverse (e quindi diversi periodi)

si noti anche che:

!10 !5 5 10x

!10

!5

5

10y

5 10 15!4!2

24

y!t"

5 10 15

!6

!4

!2

2

4

6

x!t"x(t)

in questo esempio l’oscillazione più rapida è quella lungo y

la traiettoria è chiusa, prima o poisi ripassa per il punto di partenza

riempie il rettangolo

!10 !5 5 10x

!10

!5

5

10y

90 95 100 105 110

y!t"

90 95 100 105 110

x!t"x(t)

se

se

la possiamo scrivere anche in componenti:

i termini sottolineatisono quelli che causanol’accoppiamento delle 2 equazioni

se sommo le due equazioni ottengo:

quindi la posizione del centro di massa soddisfa una nuova equazione differenziale DISACCOPPIATAesattamente come se fosse una massa 2m legata a due molle aventi ciascuna costante elastica k

oppure anche:

si tratta di un’oscillazione del centro di massa con pulsazione:

le 2 masse oscillano in fase

ora invece sottraggo le due equazioni:

y= posizione della massa 2 rispetto alla posizione della massa 1

la soluzione è un’oscillazione con pulsazione:

le 2 masse oscillano in controfase

ATTENZIONE: l’equazione differenziale deve essere LINEARE e a COEFFICIENTI COSTANTI(come è quella che decrive un sistema di masse e di molle) altrimenti non questo non vale.

ODE= equazione differenziale

Ad ogni “modo normale” è associata una sua frequenza (in casi particolari, più modi normali possono avere la stessa frequenza)

Questo discorso può essere generalizzato a sistemi continui

gradi di libertà modi normali