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TRANSCRIPT
Klett und Balmer Verlag
Mathematik in eigenen Worten
Sieglinde Waasmaier
Lernumgebungen für die Sekundarstufe I
Mathematik in eigenen Worten
Von den praktischen Erfahrungen der Autorin profitieren
Sieglinde Waasmaier unterrichtet an einer bayerischen Mit-
telschule Jugendliche der Sekundarstufe I. In den vergan-
genen Jahren hat sie mit zahlreichen Lernumgebungen ge-
arbeitet – darunter auch einigen aus dem « mathbu.ch » –,
diese weiter entwickelt und an das Begabungsspektrum
ihrer Schülerinnen und Schüler angepasst. Die Aufgaben
sind natürlich differenzierend. Ihre Erfahrungen möchte
die Autorin in diesem Buch mit allen Lehrpersonen teilen,
die ihren Schülerinnen und Schülern nicht nur helfen, son-
dern auch etwas zutrauen wollen.
Auch für schwächere Schülerinnen und Schüler
Neben der neuen Arbeitsweise, die Lernumgebungen mit
sich bringen, gewöhnten sich die Schülerinnen und Schüler
auch daran, ihre Lern- und Denkwege schriftlich zu doku-
mentieren. Die Autorin zeigt und kommentiert zahlreiche
solche Dokumente. Sie belegt, dass durch das Protokollie-
ren nicht nur starke, sondern gerade auch schwächere Ler-
nende mathematische Einsichten gewinnen und ihr Selbst-
vertrauen stärken. Für die Lehrpersonen sind die notierten
Gedanken der Lernenden ebenfalls nützlich und informa-
tiv, denn sie enthalten ein grosses Diagnosepotenzial. Diese
Erkenntnis findet übrigens auch im neuen « mathbuch » Ein-
gang, indem die Lernenden angeregt werden, im « Merkheft »
regelmässig « Arbeitsrückschau » zu halten.
Sieglinde Waasmaier ermuntert Lehrpersonen, sich auf
diese erfolgversprechende Unterrichtsart einzulassen. Sie
zeigt Wege auf, wie Schwierigkeiten beim Protokollieren im
Mathematikunterricht überwunden werden können.
Informativer einführender Teil
Der einführende, theoretische Teil bietet Kapitel zu :
• Definition, Konzeption von Lernumgebungen
• Aufbau von Unterrichtseinheiten
• Arbeit mit Lerntagebüchern
• Bedeutung von Lernumgebungen für die Lernenden
und die Lehrpersonen
• Anforderungen an Lehrpersonen
• Lernumgebungen und Bildungsstandards
Umfangreicher praktischer Teil
Der Hauptteil des Buches ist den praktischen Beispielen
gewidmet. Er enthält 31 Lernumgebungen zu Arithmetik,
Geometrie und Sachrechnen.
Schülerinnen und Schüler schreiben ihre Lern- und Denkwege auf :
Sieglinde Waasmaier zeigt in ihrem Buch, wie sehr es sich für das mathe-
matische Verständnis lohnt, diesen Weg zu gehen. « Mathematik in eige-
nen Worten » bietet praxiserprobte Lernumgebungen, aufschlussreiche
Schüler dokumente sowie Arbeitsblätter und Kopiervorlagen als Download.
Eines der zahlreichen Schülerdokumente
aus « Mathematik in eigenen Worten »
90 | Wurzeln
Dokumente aus der Erprobung
Schülerinnen und Schüler lösen Aufgabe 1,
indem sie ihr Vorwissen einbringen.
Arbeitsblatt11,Aufgabe1
DieSchülerinbestimmtdieSeitenlängederQuadrate
undverwendetbeiihrenErklärungenbereitsden
BegriffderWurzel.BeiderFlächenangabeverwendet
siefälschlicherweisecmalsEinheitanstattcm².
DieseSchülerinbeziehtsichaufeinealsHausaufgabe
durchgeführteAufgabe.InihrerErklärungdesWurzel-
begriffsverwendetsiedenBegriffdesVerdoppelns,
ergänztdannaber«dieselbeZahl».UmihreVorstellung
zuveranschaulichen,nenntsiezweiBeispiele.
Mathematik in eigenen Worten © Klett und Balmer AG, 2013; als Kopiervorlage freigegeben
11Wurzeln
DerSatzvonPythagoraszeigt,wiesichzweibeliebigeQuadrateineingrossesQuadratver-wandelnlassen.DasgrosseQuadrathatdiegleicheFlächewiediebeidenkleinerenzusammen.OftbestehtdasProblemdarin,dieSeitenlängedesgrossenQuadrateszuberechnen.DazubrauchtesWurzeln.TreffenderistderBegriffderQuadratwurzeln.DiesesteheninengerBeziehungzuQuadratzahlen.
1 BeiQuadraten,derenFlächeeineQuadratzahlist,lässtsichdieSeitenlängeeinfachbestimmen.BestimmedieSeitenlängendereinzelnenQuadrate.
2 BeiQuadraten,derenFlächenzahlAkeineQuadratzahlist,bezeichnetmandieSeitenlängemit A.Sprich:«WurzelausA».
A WiegrosssinddiefolgendenWurzelnungefähr?SchreibedeineÜberlegungenauf.10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100
B QuadrieredeinegeschätztenWerteausAufgabeAmitdemTaschenrechner.SchreibedeineErgebnisseauf.Wasstellstdufest?
C VerwendenundieWurzeltasteaufdeinemTaschenrechnerundbestimmediefolgendenWurzeln: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100.
3 DasBerechnenvonWurzelnbrauchtmanbeiAnwendungendesSatzesdesPythagoras.
A BerechnedieSeitena,b,c,d,eundf.SchreibedeineÜber-legungenauf.
B ZeichnediefolgendenLängen:13; 18; 26; 29; 32; 34.Wasüberlegstdudirdabei?
C ZeichnedieWurzelnandererZahlen,schätzeundberechnesie.
Aus:Affolter,W.u.a.(2003):mathbu.ch8,S.30
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Phase tätigkeiten der Schülerinnen und Schüler / Lehrperson materialien
Kopfrechnen SuSgestaltendieKopfrechenphase. Folie
Inszenierung LPteiltdieArbeitsblätteraus. Arbeitsblatt11
Eigentätigkeit SuSlesenselbstständigInformationenzurWurzelundbringen
Vorerfahrungenein.
Austausch SuSberichtenübergewonneneErkenntnisseundErfahrungen
mitdemneuenThema.
SuS-Dokumente
reflexion SuSschreibenüberdenInhaltderLerneinheit,übersichtbargewordene
VerbindungenzuanderenThemenbereichenundüberdeneigenen
Lernzuwachs.
SuS-Dokumente
hausaufgabe SuSbearbeitenweiterführendeAufgabenzurWurzel. Arbeitsblatt11
Worum geht es?
Das Berechnen von Wurzeln beschäftigte schon die alten Grie
chen. Sie glaubten noch, dass alle Wurzeln sich auch als Brü
che bzw. als Quotienten zweier natürlicher Zahlen darstellen
liessen. Diese klassische mathematische Problemstellung ist
nicht Gegenstand dieser Lernumgebung. Der Taschenrechner
gibt für 2 einen Wert an, der sich von rationalen Zahlen op
tisch nicht unterscheidet. Ausserdem lässt sich die Wurzel ex
akt konstruieren.
In der Lernumgebung setzen sich die Schülerinnen und
Schüler mit Wurzeln auseinander, sammeln erste Erfahrun
gen und vertiefen geometrische Deutungen. Sie berechnen
Längen von Dreiecks und Quadratseiten und stellen sie dar.
Durch meist strukturierte Übungen bauen sie ein Verständnis
für den Wurzelbegriff auf.
mögliches Vorgehen
Die Schülerinnen und Schüler setzen sich zunächst in Einzel
arbeit mit den Aufgaben auf dem Arbeitsblatt auseinander. Sie
knüpfen mit den ersten Aufgaben an das Vorwissen an, bestim
men durch Schätzen näherungsweise die Wurzeln und wen
den diese Ergebnisse bei der Berechnung von Seitenlängen von
Quadraten in Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras an.
Nach der Einzelarbeit tauschen sie ihre Erfahrungen und
Erkenntnisse im Klassenverband aus und schreiben eine Refle
xion über gewonnene Erkenntnisse, Erfahrungen und Schwie
rigkeiten. Weitere Aufgaben enthalten strukturierte Aufgaben
zur Berechnung der Wurzel. Dabei kann den Schülerinnen und
Schülern bewusst werden, wie sich aus bekannten Ergebnissen
die Ergebnisse anderer Wurzeln ableiten lassen.
In einer Reflexionsphase am Lektionsende halten die Schü
lerinnen und Schüler Rückschau auf die Unterrichtsstunde
und schreiben diese auf. Als Hausaufgabe ist die Weiterfüh
rung strukturierter Übungen zu Wurzeln möglich.
In einer weiteren Lektion bearbeiten die Schülerinnen und
Schüler Aufgaben, in denen sie Wurzeln am Zahlenstrahl dar
stellen und Vorstellungen bezüglich der Wurzeln weiterent
wickeln. Das Berechnen von Seitenlängen in Rechtecken und
Quadraten üben sie mithilfe des Satzes des Pythagoras und der
daraus resultierenden Wurzelberechnung.
Wurzeln
Stufe 9.Schuljahr
Dauer 2Lektionen
Download Arbeitsblatt11
material –
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In den Rubriken « Worum geht es ? »
und « Mögliches Vorgehen » findet
die Lehr person eine kurze Beschreibung
der Lernumgebung mit den Zielen
sowie Vorschläge zum Vorgehen. Anschliessend folgt eine Tabelle,
die die einzelnen Phasen der
Lern umgebung und die Tätigkeiten
der Schülerinnen und Schüler
beschreibt.
Eine Übersichtsbox zu Beginn
jeder Lernumgebung gibt Auskunft über :
• Stufe bzw. Schuljahr
• Anzahl benötigter Lektionen
• Arbeitsblatt oder Kopiervorlage,
die dazu als Download angeboten wird
• zusätzlich benötigtes Material
Die verkleinerten Abbildungen von
Arbeitsblättern oder Kopiervorlagen
stellen den Bezug zu den Aufgaben
rasch und verständlich her.
Klarer Aufbau der Lernumgebungen
91
Schülerinnen und Schüler bestimmen Wurzeln
durch Schätzen und anschliessendes Quadrieren.
Arbeitsblatt11,Aufgabe2
WiesiedieWurzelvorgegebenerZehnerzahlen
bestimmt,beschreibtdieseSchülerinsehrgenau.
DieSchülerinbestimmtdieWurzelndervorgegebenen
ZehnerzahlenzumTeilaufzweiDezimalstellen.
BeiderÜberprüfungdurchQuadrierenstelltsiefest,
dasssiedieWurzelnrechtgenaubestimmenkonnte.
Schülerinnen und Schüler beschreiben die Ergebnisse
aus Aufgabe 3.
Arbeitsblatt11,Aufgabe3
DieSchülerinskizziertdieFigurenaufdemArbeits-
blattundnotiertihrenRechenwegzurBestimmung
derfehlendenSeitenlänge.
AufdemArbeitsblattzeichnetdieSchülerindierech-
tenWinkelsowiedieKatheten-unddasHypotenusen-
quadratmitunterschiedlichenFarbenein.
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Schülerinnen und Schüler schreiben
in der reflexionsphase.
DerSchülerformuliertseineErkenntnisse.Wurzeln
unddenSatzdesPythagoraserkennteralsnotwendig
undhilfreich.ErstelltfürsicheinenLernerfolgund
denSpassanMathematikfest.
EineVerbindungzwischenzweimathematischen
ThemenbereichenstelltdieserSchülerher.Ererkennt
damitderenBedeutsamkeit.
DieseSchülerinformuliertihrenLernzuwachs
bezüglichdesBegriffsderWurzelalsSeitenlänge
einesQuadrats.SiestelltdenSatzdesPythagoras
alsNotwendigkeitfürdenUmgangmitderWurzel
heraus.
11
Was war bei der Durchführung zu beobachten?
Die Schülerinnen und Schüler arbeiteten sehr selbstständig und motiviert. Da die Ler
nenden bereits früher beim Kopfrechnen eine Seite eines Quadrats oder den Radius eines
Kreises bei gegebenem Flächeninhalt berechneten, war ihnen der Rechenweg im Prinzip
bekannt. Sie wussten nur nicht, dass man dies als Wurzel bezeichnet und dass diese mit
dem Taschenrechner für jede beliebige Zahl berechnet werden kann.
Schwierigkeiten hatten einige Schülerinnen und Schüler anfangs bei Aufgabe 3. Ihnen
war nicht klar, dass das angegebene Quadrat jeweils die Summe aus zwei Quadraten ist.
Für sie war es zuerst schwierig, jeweils die zwei passenden Summanden zu finden und die
Quadrate (Kathetenquadrate) zum vorgegebenen Quadrat (Hypotenusenquadrat) zu zeich
nen. Nach einem kurzen individuellen Gespräch fanden sie dann eine Lösung.
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Von der Autorin kommentierte
Schülerdokumente aus
der Praxis bieten eine wertvolle
Unterstützung. Eine Schlussfolgerung in der Rubrik
« Was war bei der Durchführung
zu beobachten ? » rundet die Lern
umgebung ab.
Dokumente aus der Erprobung
Schülerinnen und Schüler aktivieren ihr Vorwissen.
Arbeitsblatt 22.1, Aufgabe 1
Die Schülerin findet Ähnlichkeiten zwischen Prismen
und Pyramiden. Sie weiss, dass es auch Pyramiden
gibt, die nicht aus Rechtecken/Quadraten und vier
Dreiecken aufgebaut sind.
Zeichnung des fehlenden Schrägbildes.
Arbeitsblatt 22.1, Aufgabe 3 B
Der Schüler beschreibt, wie er zum fehlenden Schräg-
bild kommt. Zunächst trifft er die Unterscheidung
Pyramide – Dreieckssäule. Anschliessend ordnet er
die Flächen entsprechend zu.
Schülerinnen und Schüler wenden das neu erworbene
Wissen selbstständig an.
Arbeitsblatt 22.2, Aufgabe 4
Die Schülerin wendet die neu gewonnene
Erkenntnis an.
Schülerinnen und Schüler formulieren
in der Reflexionsphase.
Der Schüler beschreibt das intensive Arbeiten,
die Bedeutung der Gruppenarbeit und den Lernerfolg
dieser Arbeitsweisen.
Mathematik in eigenen Worten © Klett und Balmer AG, 2013; als Kopiervorlage freigegeben
Pyramiden 1
ÄgyptischePharaonenliessenvormehrals4500JahrenihreGräbermitPyramidenüberbauen.DiemächtigstePyramideistdieCheops-PyramideinGiseh.Sieentstandetwaum2500v.Chr.undzähltzudensiebenWeltwundern.IhreursprünglicheHöhebetrug146,6m.Heuteistsienurnoch138,75mhoch.DieLängeeinerKanteamBodenmisst230,37m.DieCheops-Pyramidebestehtausetwa2,3MillionenSteinblöckenmitjeeinemDurchschnittsgewichtvon2,5t.
1 WasweisstduüberPyramiden?Wokommensievor?Schreibeauf.
2 Schrägbilder
I II III IV
BeschreibedievierimSchrägbilddargestelltenKörper.
22.1
3 Schnittbogen
a) a=10cm,b= 10²+10²= 200≈14,1cm
b) a=10cm,b= 10²+10²= 200≈14,1cm
c) a=10cm
d) a=10cm,h=7,1cm
e) a=10cmDerSchnittbogenistunvollständig.EinTeilfehlt.
a a a
b b
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0,5·a
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0,5·a
a
A OrdnedievierSchrägbilderausAufgabe2denSchnittbogenzu.BegründedeineZuordnunggenau.
B EinSchrägbildfehlt.Zeichnees.C StelledieKörperausdenSchnittbogen(abise)her.
Aus:Affolter,W.u.a.(2004):mathbu.ch9,S.14;Foto:iStockphoto/sculpies
Ausschnitte aus dem Buch
P 264 - 1513 ( 08/2013 )
Klett und Balmer AG, Verlag, Grabenstrasse 17, Postfach 1464, 6341 BaarTelefon 041 726 28 00, Telefax 041 726 28 01, [email protected]
Mathematik in eigenen Worten
Aus der Reihe « Spektrum Schule »
Buch mit 54 Kopiervorlagen | 208 Seiten
978-3-264-84039-1 | Fr. 54.00
Spektrum Schule Beiträge zur Unterrichtspraxis
Lernumgebungen für die Sekundarstufe I
Mit Schülerbeispielen und Kopiervorlagen
Mathematik in eigenen Worten
Sieglinde Waasmaier
Klett und Balmer Verlag
Zur Autorin
Dr. Sieglinde Waasmaier ist Lehrerin und Konrektorin an der Mittelschule
Frontenhausen ( Niederbayern ) sowie Lehrbeauftragte am Mathematischen
Institut der Universität München. Inspiriert vom « Zahlenbuch 5/6 »,
vom « mathbu.ch » sowie vom Dialogischen Lernen hat sie in den Jahren 2005
bis 2008 ein Konzept zur mathematischen Förderung durch aktiv-
entdeckendes und metakognitives Lernen entwickelt und durchgeführt.
Dafür wurde sie mit dem 1. Preis des Mathe-Könner-Wettbewerbs 2011
in der Kategorie « Förderkonzepte einzelner Lehrkräfte » ausgezeichnet.
Der aufgeführte Preis beinhaltet die Mehrwertsteuer und gilt für den Direktkauf bei Klett und Balmer. Änderungen vorbehalten, Preisstand 1. 9. 2013.