signals and systems - ariel.ac.il...תונרג לארא – תוכרעמו תותוא 4 (לנגיס)...

1 אראל גרנות –אותות ומערכות

Signals and Systems

אותות ומערכות

1.5גרסה . רשימות להרצאה

אראל גרנות: מרצה


אותות ומערכות

)דיסקרטים(רציפים ובדידים ) סיגנלים(אותות

:אותו בדידים ואותות רציפיםניתן לחלק את רוב מקורות האינפורמציה שלנו על העולם ל

:אנו צפויים לראות משהו הדומה ל, איזשהו כלי נגינהמאם נמדוד את גלי הקול הנפלטים , למשל

)continuous(אות רציף ל דוגמא

0 5 10 15 20 25 30 35-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

time (msec)

Cur

rent

(mA

)

)הסטודנט מתבקש לכתוב אותה ולהריץ במחשב(שניתן בקלות לייצרו בעזרת תוכנת מטלב t=[0:0.01:10*pi]; w1=2; w2=3.1; w3=0.87; x=sin(w1*t)+2*cos(w2*t)+0.3*sin(w3*t); plot(t,x) xlabel('time (msec)'); ylabel('Current (mA)');

שלא ניתן 0.01אבל נתנו לו להתקדם בקפיצות קטנות , tכשרשמנו את התוכנית יצרנו משתנה בדיד , למעשה

.לראותן בגרףבאופן ) לפחות לפי הגדרה( נוכל ליצור מתשנים רציפים אמיתיים Symbolic Toolboxאם יש לנו את ה

:הבאy=sym('sin(w1*x)+2*cos(w2*x)+0.3*sin(w3*x)') ; y1=subs(y,'w1',2); y2=subs(y1,'w2',3.1);


y3=subs(y2,'w3',0.87); ezplot(y3,[0 10*pi]) xlabel('time (msec)'); ylabel('Current (mA)');

וכן להשתמש בפקודת ה , כדי להציב ערכיםsubsשהיינו צריכים להשתמש בפונקצית ההצבה , שימו לבezplot) שימו לב שציינו רק ערכי התחלה וסיום (כדי לשרטט את הפונקציה הרציפה ) אין שום קשר לעזים

).ולא את הקפיצות

שם נראה . בברוסה100א "נוכל בנקל לחשוב על אותות לא רציפים כגון מדד ת, לעומת האותות הרציפים :משהו המזכיר

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

300

350

400

time(hours)

Inde

x (p

oint

s)

בעזרת התוכנית הקצרה

%% Discrete signals N=60; n=1:N; a=200+200*rand(1,N); stem(n,a); xlabel('time(hours)','fontname','times new roman'); ylabel('Index (points)','fontname','times new roman');

.stem ובפונקציה שמציגה סדרת נתונים בדידים randפה השתמשנו בפונקציה היוצרת מספרים אקראיים

).פונטים(ינו את הגופנים שינ, כמו כן): באופן הבא) tכגון זמן (אנו נסמן אותות רציפים כתלויים במשתנים רציפים )tx.

]: באופן הבא) nימים ' כגון מס(ולעומתם נסמן משתנים בדידים התלויים במשתנים בדידים ]nx.


)סיגנל(האנרגיה של אות

כלומר, מנגד שווה למכפלת המתח עליו בזרם העובר דרכו) באמצעות קרינה(ההספק הנפלט , כידוע

( ) ( ) ( ) ( )R

tVtItVtp2

==

.לריבוע המתח) פרופורציונאלי(הספק מתכונתי ה, כלומר )והמגנטי(ההספק של גל אלקטרומגנטי מתכונתי לריבוע השדה החשמלי , כמו כן

( ) ( ) 2tEtp ∝

המקרה (י יצירת כוח חיכוך המתכונתי למהירותו "כשגוף נע בתוך תווך המתנגד לתנועתו ע, באופן דומה) )הפשוט והנפוץ ביותר )tvf α= ,הרי ההספק הדרוש כדי להניע אותו הוא מתכונתי לריבוע המהירות

( ) ( ) ( )tvtfvtp 2α==

ונקווה שהן מהוות תמריץ מספק להגדיר את ההספק , ולכן נסתפק בדוגמאות אלו, ו אינו קורס בפיזיקהזה .ואת האנרגיה שלו כאינטגרל על הספק זה בזמן, של אות כריבוע שלו) הרגעי(

הרי האנרגיה הכללית שלו באינטרוול הזמן , כלשהו המשתנה בזמן רציףאם נתון לנו אות , כלומר21 ttt תוגדר ≥≥

( )∫=2

1

2t

t

txdtE

] משתנה בדיד אם נתון לנו, באופן דומה ]nxנגדיר את האנרגיה שלו באופן הבא :

[ ]∑=

=2

1

2n

nnnxE

י "נעשה זאת ע. האנרגיה הכללית של אות גם בתחום אינסופישניתן בקלות להגדיר את , מכאן גם נובע

: בסימן האינסוף אבל תמיד נזכור שהכוונה למעשה לגבול הבאהשימוש

( ) ( ) 22 lim txdttxdtET

TT ∫∫

−∞→

∞

∞−∞ ≡≡

ולאות בדיד

[ ] [ ]∑∑+

−=∞→

∞

−∞=∞ ≡≡

N

NnNnnxnxE 22 lim

אם ). כמובן(כאותות בעלי אנרגיה סופית , E∞>∞כלומר , נגדיר אותות שעבורם ביטויים אלו סופיים

.הרי האנרגיה של האותות היא אינסופית, לא מתכנסים) האינטגרל או הסכום(הביטויים הללו

:נוכל להגדיר את ההספק הממוצע בזמן של האותות, באופן דומה :לאות רציף

( ) 2

21lim txdtT

PT

TT ∫

−∞→∞ ≡


:ולבדיד

[ ]∑+

−=∞→∞ ≡

N

NnNnx

NP 2

21lim

כי, כדי שלאות תהיה אנרגיה כוללת סופית ההספק הממוצע שלו חייב להיות אפס, שימו לב

02

lim == ∞

∞→∞ TEP

T

ומכאן , משמע שבממוצע כל הזמן נכנסת אנרגיה למערכת, כי אם ההספק הממוצע אינו אפס, וזה הרי ברור

.ברור שהאנרגיה הכוללת לא יכולה להיות סופית

).רים לעיל במקnו t(על המשתנים הבלתי תלויים ) טרנספורמציות(העתקות

)למשל רציף , בהינתן איזשהו אות )tx, ניתן לבצע מספר טרנספורמציות לינאריות פשוטות אך חשובות על .tהמשתנה )האות ישתנה מ , בופן כללי )tx ל ( )β+αtx .הצורה של , מהצורה הזאת לכל טרנספורמציה, בכל מקרה

. )או להתרחב(היא פשוט יכולה לזוז להתהפך או להתכווץ , האות תישמר

) Time shift(לבצע הזזה בזמן כמובן הוא βתפקיד הפרמטר בעוד , )Time scaling( הוא כמובן לכווץ או להרחיב את האות αתפקיד הערך המוחלט של הפרמטר

).Time reversal(גורם להיפוך האות בזמן ) מחיובי לשלילי ולהיפך(ששינוי סימנו :ניתן לראות את שלוש הדוגמאות בגרפים הבאים

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

Time

f(T)

Original signal f(T)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

Time

f(-T)

Time reversal f(-T)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

Time

f(T-T

0)

Time shift f(T-T0)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

Time

f(AT)

Time scaling f(AT)

ראשית פותחים . כדי לכתוב את התוכנית שביצעה גרפים אלו רצוי ללמוד קודם כיצד יוצרים במטלב פונקציה

היא כידוע מציינת שמדובר בקבץ טקסט mהסיומת (f.mבמקרה שלנו , ויהקובץ חדש בשם הפונקציה הרצ ובתוכה נרשום את הפונקציה הרצויה) של מטלב


function out=f(t) out=(sin(t)+cos(t)).*exp(-0.5*t.^2);

נוכל לכתוב את , לאחר שיצרנו את הקובץ הזה. היא מילה שמורה ויש להתחיל עמה functionהמילה :subplotולשם כך נעזר בפונקציה שיוצרת תתי גרפים , העיקריתהתוכנית

%%% Linear transformations T=[-5:0.01:5]; subplot(2,2,1); plot(T,f(T)); xlabel('Time'); ylabel('f(T)'); title('Original signal f(T)'); subplot(2,2,2); plot(T,f(-T)); xlabel('Time'); ylabel('f(-T)'); title('Time reversal f(-T)'); subplot(2,2,3); T0=3; plot(T,f(T-T0)); xlabel('Time'); ylabel('f(T-T0)'); title('Time shift f(T-T0)'); subplot(2,2,4); A=2.5; plot(T,f(A*T)); xlabel('Time'); ylabel('f(AT)'); title('Time scaling f(AT)');

:ייםסיגנלים מחזור

) כלשהו כך ש Tאות רציף מוגדר כמחזורי כאשר קיים ) ( )txTtx =+ T במקרה זה הוא זמן המחזור

] כלשהו כך ש Nאות בדיד מוגדר כמחזורי כאשר קיים , באופן דומה ] [ ]nxNnx =+

:זוגיים-ואי) סימטריים(סיגנלים זוגיים

) מוגדר זוגי כאשר אות ) ( )txtx ] או =− ] [ ]nxnx =− )זוגי כאשר -אות מוגדר אי ) ( )txtx ] או =−− ] [ ]nxnx −=−

, כלומר. זוגי-שכל סיגנל ניתן לפרק לסכום של אות זוגי ואות אי, עובדה מעניינת היא

( ) ( ) ( )txtxtx OE )כאשר , לדוגמא. =+ ) ( ) ( )[ ] 2/txtxtxE ) ו =+− ) ( ) ( )[ ] 2/txtxtxO −−=.


:לדוגמא

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time

f1(t)

,f2(t)

Even functionOdd fuction

)legendשימו לב לשימוש במקרא (שבוצע בעזרת התוכנית

t=[-5:0.01:5]; f1=(t.^2+2).*exp(-t.^2); f2=t.^3.*exp(-t.^2); plot(t,f1,'r',t,f2,'b','linewidth',2); xlabel('Time'); ylabel('f1(t),f2(t)'); legend('Even function','Odd fuction');

)מעריכיים(אותות טריגונומטריים ואקספוננציאלים

היא הפונקציה ) על כך נדבר בהמשך(הפונקציה החשובה ביותר בכל דיון העוסק במערכות לינאריות ).complex(עם פרמטרים מרוכבים ) אקספוננציאלית(המעריכית

( ) atCetx =

הוא פרמטר ממשי שלילי aוכאשר , הוא פרמטר ממשי חיובי הפונקציה היא אקספוננט עולה aכאשר .הפונקציה היא אקספוננט דועך

)לא עולה ולא דועכת( הוא פרמטר מדומה הרי הפונקציה היא פונקציה מחזורית aכאשר במקרה זה נוכל לכתוב, למעשה

( ) tiCetx ω=

:ואז מתקיים( ) ( ) ( )TtxCeCetx Ttiti +=== +ωω


, דהיינו, π2וזה יקרה כמובן אם הארגומנט של האקספוננט הוא כפולה של מספר שלם ב . ωTie=1כאשר :זמן המחזור הקצר ביותר הוא

fT 12

≡ωπ

=

. היא התדירות הזוויתיתω ו היא התדירות של האותfכאשר

י שימוש בקשר של אוילר"היא ע, דרף אחרת לראות זאת

( ) ( )tite ti ω+ω=ω sincos

לשניהם יש אותו זמן מחזור ) הממשי והמדומה(והרי שני הרכיבים f

T 12≡

ωπ

=.

:יד אותו לרכיב הממשי והמדומהכדי לשרטט אותו נפר

( )te ti ω=ω cosRe ( )te ti ω=ω sinIm

-5 0 50

50

100

150f(t)=exp(at) a<0

-5 0 50

50

100

150f(t)=exp(at) a>0

-5 0 5-1

-0.5

0

0.5

1f(t)=Reexp(iat) a>0

-5 0 5-1

-0.5

0

0.5

1f(t)=Imexp(iat) a>0

בעזרת התוכנית

t=[-5:0.01:5]; subplot(2,2,1); plot(t,exp(-t)); title('f(t)=exp(at) a<0'); subplot(2,2,2);


plot(t,exp(t)); title('f(t)=exp(at) a>0'); subplot(2,2,3); plot(t,real(exp(i*t))); title('f(t)=Re\exp(iat)\ a>0'); subplot(2,2,4); plot(t,imag(exp(i*t))); title('f(t)=Im\exp(iat)\ a>0');

) סינוס וקוסינוס–ובכלל זה הרכיבים שלו (שימו לב כי לכל המקרים האלו של הפונקציות המעריכיות

.סופי רק אם המקדם הוא מדומה, לעומת זאת, מוצעק המההספ. האנרגיה הכללית היא אינסופית

אותות מערכיים עם מקדמים מרוכבים

)באופן כללי לאות המעריכי ) atCetx . יכולים המקדמים להיות מרוכבים= אם

θ= ieCC ו

ω+= ira הרי

( ) ( ) ( ) ( )[ ]θ+ω+θ+ω=== θ+ω+ titeCeCCetx rttirtat sincos

מסיטה את הסיגנל ) θ(והפזה שלו , )האמפליטודה( קובע את גודל המשרעת Cרך המוחלט של הע, כלומרות את התדירωהאקספוננציאלית של האות ואילו ) או גדילה( קובע את קצב הדעיכה rהמקדם . בפזה קבועה

)או גדילה(כלומר קיבלנו אות שמבצע תנודות תוך כדי דעיכה . הזוויתית של האות

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3C=|C|eiθ a=r+iω

Time

x(t)

Re[Ceat]Im[Ceat]

י התוכנית הפשוטה"שרטוט זה נוצר ע


t=[-0.2:0.01:2]; C=2*exp(i*0.2); a=-2+i*15; x=C*exp(a*t); plot(t,real(x),t,imag(x)); grid on legend('Re[Ceât]','Im[Ceât]'); title('C=|C|eî\theta a=r+i\omega') xlabel('Time'); ylabel('x[t]');

נוכל לרשום באופן דומה , במקרה של אות בדיד

[ ] nCenx β=

β≡αכ לסמן "שנהוג בדר, אלא e וכך לקבל [ ] nCnx α= .האקוויוולנט הבדיד של אות , כלומר

!הוא למעשה סדרה הנדסיתאקספוננציאלי רציף

=θ: והאות הכללי עבור מקדמים מרוכבים ieCC , ωα=α ie

[ ] ( ) ( ) ( )[ ]θ+ω+θ+ωα=α== θ+ωβ titCeCCenx ntinn sincos

נציגו בגרף מתאים

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

n

Re

x[n]

Rex[n]=|C|cos[i(θ+ωn)]|α |n

n=-5:45; C=2*exp(i*0.2); a=0.92*exp(i*0.35); x2=C*a.^n; stem(n,real(x2)) xlabel('n'); ylabel('Re\x[n]\'); title('Re\x[n]\=|C|cos[i(\theta+\omegan)]|\alpha|^n')


hold on x3=abs(C)*abs(a).^n; plot(n,x3,'r:',n,-x3,'r:');

)הקו המקווקוו האדום(בגרף הצגנו את הגרף הבדיד ואת המעטפת שהיא אקספוננט דועך , כפי שניתן לראות .hold onלשם כך השתמשנו בפקודה

מדרגה ופולס יחידה לאות בדידפונקצית

כתמוגדרבדידה מדרגה פונקצית

[ ]⎩⎨⎧

≥<

=0100

nn

nu

ואילו פולס יחידה

[ ]⎩⎨⎧

=≠

=δ0100

nn

n

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

n

u[n]

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

n

δ[n]

י"שנכתב ע

%% The unit impulse and unit step functions n=-6:6; subplot(2,1,1); stem(n,U(n)); axis([-6 6 0 2]);


xlabel('n'); ylabel('u[n]'); subplot(2,1,2); stem(n,DELTA(n)); axis([-6 6 0 2]); xlabel('n'); ylabel('\delta[n]');

:ובעזרת הפונקציות

function out=DELTA(n) out=(n==0);

function out=U(n) out=(n>=0);

)שנכתבו כמובן בשני קבצים שונים מהתוכנית הראשית(

יש (n==0ולכן ביטוי כמו , 0 או 1את העובדה שהתשובה לשאלה בוליאנית היא שימו לב כיצד ניצלנו כאן הוא אפס ויניב אפס בכל n אם הערך של 1יניב ) למשלa=5כדי להבדיל מפעולת ההצבה = צורך בשני . וזה בדיוק מה שאנו צריכים–מקרה אחר

י ביצוע "ונקצית היחידה מתקבלת עהוא שפ) מדרגההיחידה וה(כי הקשר בין שתי פונקציות אלו , שימו לב

:פעולת הפרשים על פונצית המדרגה[ ] [ ] [ ]1−−=δ nunun

)על כך בהמשך...שפעולה זו מזכירה פעולת נגזרת, שימו לב(

:י סכום רץ על פונקציות יחידה"את פונקצית המדרגה נקבל ע, ובאופן דומה

[ ] [ ]∑−∞=

δ=n

n

mnu

:ודמתזה נובע ישר ממשוואה ק

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]∞−δ+−δ+−δ+δ

=−+−δ+δ=−+δ=L21

211nnn

nunnnunnu

:באופן דומה ניתן לרשום

[ ] [ ]∑∞

=

−δ=0k

knnu

:ממצא מאוד חשוב על פונקצית היחידה הוא כי מתקיים הקשר עבור כל אות שהוא

[ ] [ ] [ ] [ ]nxnnx δ=δ 0 או


[ ] [ ] [ ] [ ]000 nnnxnnnx −δ=−δ

Dirac’s delta( הלם- ופולס יחידה) Heaviside function(פונקצית מדרגה function (לאות רציף

:באופן דומה ניתן להגדיר פונקצית מדרגה לאות רציף

( )⎩⎨⎧

≥<

=0100

tt

tu

.t=0בספרים שונים מוצאים הגדרות שונות למה שקורה בדיוק בנקודה : הערה

כי השקול . לגזור אותה–אלם הוא למעשה מה שצריך לעשות על מנת לקבל מפונקציה זו את פונקצית ה .הרציף לפעולת הפרשים היא פעולת גזירה

ולכן נגזרת פשוטה, אי רציפות0יש בעיה לגזור פונקציה זו מכיוון שיש בנקודה , מעשית

( ) ( )dt

tdut =δ

. אינה מוגדרת היטב

כלומר . י שיפוע חד"עית המדרגה אחת הדרכים להתמודד עם בעיה זו היא ליצור פונקציה שמקרבת את פונקצ. 1/∆) טנגנס הזווית(ולכן השיפוע הוא , )∆=2.0בשרטוט (∆במקום מדרגה חדה יש שיפוע באורך של

)נסמן פונקציה זו ב )tu∆.

-0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

t

u ∆(t)

-0.5 0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

t

δ ∆(t)

%% the functions u_Delta(t)


%% and delta_Delta(t) D=0.2; t=-0.5:0.01:2; uD=t/D.*(t>0).*(t<D)+1*(t>=D); subplot(2,1,1); plot(t,uD,'linewidth',2) axis([-0.5 2 0 1.5]); xlabel('t'); ylabel('u_\Delta(t)') subplot(2,1,2); dD=1/D.*(t>0).*(t<D); plot(t,dD,'linewidth',2) axis([-0.5 2 0 6]); xlabel('t'); ylabel('\delta_\Delta(t)')

:פונקצית יחידה שנראת ככה, קיבלנו לאחר גזירה, שימו לב

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∆>∆≤≤∆

<==δ ∆

∆

tt

t

dttdu

t0

0/100

:באופן מתמטי יש לרשום. נקבל פונקציה הקרובה יותר ויותר לפונקצית ההלם האמיתית∆ככל שנקטין את

( ) ( )tt ∆→∆

δ=δ0

lim

נקבל פונקציה שהיא ∆→0בגבול ). 1/∆כמו (טנה הערך שלה בסביבת האפס גדל ק∆שככל ש , אלא

.אפס בכל מקום אבל אינסוף בנקודה אפס . וליידו מספר המציין את השטח מתחת לפונקציה0משרטטים פונקציה זו כמו חץ הממוקם בנקודה

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

δ(t)

1


שלמרות שערכה בנקודת המקסימום הוא )פונקצית דלתא של דירק(ונקצית הלם זהו אופיין מאוד חשוב של פניתן להכפיל אותה בקבוע ואז , כמובן. 1הוא תמיד ) כלומר השטח מתחת לפונקציה(האינטגרל עליה , אינסוף

.לקבל שטח שונה

( )∫∞

∞−

=δ 1tdt ( )∫∞

∞−

=δ ktdtk

): מתקייםε<0לכל מספר , ולמעשה )∫ε

ε−

=δ 1tdt

:והקשר לפונקצית מדרגה

( ) ( )∫∞−

δ=t

tdttu ''

, 0 האינטגרל עליו הוא 0כל עוד לא כללנו באינטגרל את הנקודה : הרעיון מאחורי אינטגרל זה הוא פשוט

.זו הרי פונקצית מדרגה ו– 1נקבל תמיד ) כי שם נמצאת הפונקציה( באינטגרל 0וברגל שכללנו את הנקודה

:עוד קשר חשוב

( ) ( )∫∞

−δ=0

'' ttdttu

:וכמובן

)ציפה רלכל פונקציה )txמתקיים :

( ) ( ) ( ) ( )txttx δ=δ 0

( ) ( ) ( ) ( )000 tttxtttx −δ=−δ

נוספיםביםסינגולריים חשוסיגנלים

:את הפונקציות החשובות הבאותיש להזכיר בנוסף לפונקצית ההלם ופונקצית המדרגה גם

פונקצית ערך מוחלט

⎩⎨⎧

>−<

=00

tttt

t

:שימו לב כי הנגזרת שלו מקיימת


( ) ( )tutudt

td−−=

פונקצית המלבן

( )⎩⎨⎧

><

=2/02/1

rectatat

ta

:שנגזרתו מקיימת( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −δ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +δ=

22rect atat

dttd a

המשולש

( )⎩⎨⎧

><−

=2/02//21

trianatatat

ta

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

t

|t|

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

t

rect

2(t)

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

t

trian

2(t)

עזרת התוכניתנוצרו ב


%%% Special functions t=-3:0.01:3; y=abs(t); subplot(3,1,1) plot(t,y,'linewidth',2); axis([-3 3 0 3]); xlabel('t'); ylabel('|t|','fontsize',16); subplot(3,1,2) A=2; z=abs(t)<A/2; plot(t,z,'linewidth',2); axis([-3 3 0 3]); xlabel('t'); ylabel('rect_2(t)','fontsize',16); subplot(3,1,3) A=2; x=(abs(t)<A/2).*(1-abs(t)*2/A); plot(t,x,'linewidth',2); axis([-3 3 0 3]); xlabel('t'); ylabel('trian_2(t)','fontsize',16);

נורמות של אות י חישוב הנורמה שלו"את הכמות שבה אות סוטה מאפס ניתן להעריך ע

)אות יהי )txהנורמה הנפוצה ביותר היא הנורמה האוקלידית, אזי

( ) ( )22

2 ∫∞

∞−

= dttxtx

:או נורמת ערך המוחלט היא, הנורמה הלינארית

( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

== dttxdttxtx 11

1

:ושימושית גם נורמת המקסימום

( ) ( ) ( ) txdttxtx max== ∞

∞

∞−

∞

∞ ∫

אם האותות מחזוריים . סופיים רק עבור אותות סופייםהגבולות של האינטגרלים האלו הם אינ: חשוב :נורמה אוקלידית תראה, לדוגמא, אזי האינטגרל מתבצע רק על זמן מחזור–אינסופיים


( ) ( )22

2 ∫=T

dttxtx

מכפלות פנימיות ומציאת קירובים לפונקציות

כמו . וגריים אלכסונייםי ס"כ ע"מכפלה פנימית היא למעשה מעין מכפלה סקלרית והיא מסומנת בדר שלווקטור יש מכפלה סקלרית שמשמעותה

∑=

=++=⋅=n

jiinn BABABABABA

12211, LBA

:)לאותות ממשיים (כך ניתן להגדיר גם לאות רציף מכפלה פנימית

( ) ( ) ( ) ( )∫= dttytxtytx , י ואם הוא מחזור, אז הגבולות הם גבולות האות–אם האות סופי . גבולות האינטגרל יקבעו לפי צורת האות

.אינסופי אזי האינטגרל יתבצע על פני זמן מחזור בודד :ממש כמו במקרה הבדיד המכפלה הפנימית היא לינארית למרכיביה

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tytzBtytxAtytBztAx ,,, +=+

)לאותות ממשיים בלבד (וכמובן

( ) ( ) ( ) ( )txtytytx ,, =

ת בין שני יה סקלר ממש כמו מכפל–כאשר המכפלה הפנימית מתאפסת האותות נחשבים אורתוגונליים .ווקטורים ניצבים

)הפונקציות , כך ) ( )ttx 2rect2= ו ( ) ( )ttty 23 rect=הן אותות אורתוגונלים משום ש

( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ −===

1

1

3 02, dttdttytxtytx

:כאשר הסיגנל מרוכב יש להשתמש בהגדרה שונה במקצת של מכפלה פנימית

( ) ( ) ( ) ( )∫= dttytxtytx *, :ואז מתקיים

( ) ( ) ( ) ( ) *,, txtytytx =


קירוב אותות

)נאמר שאנו מעוניינים לקרב את האות )ty בעזרת קומבינציה לינארית של שני אותו אחרים ( )tx1 ו ( )tx2 .כיצד נעשה זאת?

)שהאינטגרל כך b ו aאנו רוצים לחפש שני פרמטרים , למעשה ) ( ) ( )[ ] dttytbxtaxe2

21∫ יהיה =+− אבל האינטגרל הוא בדיוק . כי אינטגרל זה מעריך את השגיאה, מינימלי

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tytytytxbtytxatxtxabtxtxbtxtxa

tytbxtaxtytbxtaxdttytbxtaxe

,,2,2,2,,

,

2121222

112

2121

2

21

+−−++

=−+−+=−+= ∫

כך יהיו לנו שתי משוואות . שתי המשוואות שנקבל ונאפס את b ו aנגזור לפי , כדי שזה יקבל ערך מינמלי

.ושני נעלמים

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,2,2,2

0,2,2,2

22122

12111

=−+=

=−+=

tytxtxtxatxtxbdbde

tytxtxtxbtxtxadade

:או את מערכת המשוואות הבאה

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

32

21

VV

ba

MMMM

כאשר 2232121112211 ,,,,,,,,, xxMxxMxxMyxVyxV =====

)על מנת לתאר את האות , לדוגמא ) ( ) ( )ttty 2rect2/cos π= באמצעות ( ) ( )tttx 2

22 rect= ו

( ) ( )ttx 21 rect= .נחשב:

( )π

=π⋅== ∫−

42/cos1,1

111 dttyxV

( ) ( ) 24119.0842/cos, 3

21

1

222 ≅

π−π

=π== ∫−

dtttyxV

∫−

===1

1111 21, dtxxM

32,

1

1

2212 ∫

−

=== dttxxM

52,

1

1

4223 === ∫

−

dttxxM


( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π−ππ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22 /8

125/13/13/11

ba

03.1,98.0הפיתרון −≅≅ ba 203.198.0 והקירוב הטוב ביותר הוא t− .מהשרטוט הבא ניתן , כןוא

.לראות שהקירוב הזה מצויין

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

cos(πt)approximation

בעזרת התוכנית

%% Approximations appr1.m M=[1 1/3; 1/3 1/5 ]; v=(2/pi)*[1 (pi^2-8)/pi^2]'; b=M\v; t=[-1:0.01:1]; plot(t,cos(pi*t/2),t,b(1)+b(2)*t.^2) legend('cos(\pit)','approximation'); xlabel('t')

).;b=M\v( לב כיצד רושמים מטריצות וכיצד פותרים משוואות בדרך מאוד נוחה שימו


אלא שהפעם יש לשים לב להשתמש במכפלה פנימית מתאימה , לאותות מרוכבים יש לפעול בדרך דומה מאוד( ) ( ) ( ) ( )∫= dttytxtytx *, .

)אם אנו מחפשים באופן כללי לקרב את הפונקציה )tyי הסכום הלינארי של הפונקציות הבאות " ע

( ) ( ) ( )txtxtx NK,, ): באופן הבא21 )∑=

N

nnn txa

1אלא שהפעם , נחשב את השגיאה הכללית באופן דומה.

. הערך המוחלטנדרוש מינימה של ריבוע

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

yyxyayxaxxaa

txatytxatydttxatye

N

mmm

N

nnnmn

N

n

N

mmn

N

nnn

N

nnn

N

nnn

,,,,

,

1

*

11 1

*

11

2

1

−−−

=−−=−=

∑∑∑∑

∑∑∫ ∑

=== =

===

*נגזור לפי

ma) שימו לב כי גזירה לפי naתניב פשוט את אותן המשוואות אך צמודות (

∑=

−=∂∂ N

nmmnn

m

xyxxaae

1* ,,

:נשווה לאפס ונקבל

∑=

=N

nmmnn xyxxa

1,,

:ניתן לרשום מערכת משוואות זו בצורה מטריצית

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

NNNNN

N

xy

xyxy

a

aa

xxxx

xxxxxxxxxx

,

,,

,,

,,,,,

2

1

2

1

1

2221

11211

MM

L

OM

M

L

)במערכת שבה הפונקציות ) ( ) ( )txtxtx NK,, כלומר . יות אורתוגונל21

( ) ( ) jifortxtx ji ≠= 0, נקבל

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

NNNN xy

xyxy

a

aa

xx

xxxx

,

,,

,0

,000,

2

1

2

1

22

11

MM

L

OM

M

L

ולכן הפיתרון הוא פשוט


NN

NN xx

xya

xxxy

axxxy

a,

,,

,,

,,,

22

22

11

11 === K

:דוגמא

)בעזרת שלוש הפונקציות ) ( ) ( ) 1,, 321 === π−π txetxetx titi יש לקרב את הפונקציה

( ) ( )∑∞

−∞=

−=n

ntty 2rect1

:פיתרון. בין כי הוא יכול להתקבל רק מסכום של פונקציות ממשיות וזוגיותישר ניתן לה, היות והסיגנל ממשי וזוגי) והפונקציה 1במקרה שלנו זה הקבוע )tπcos) שהיא כמובן הסכום של( ) tietx π=1 ו ( ) tietx π−=2( , ואז

אם לא רואים זאת מייד אפשר אך). ורק שתיים (אפשר להשתמש בשיטה הקודמת שלמדנו לפונציות ממשיות .לפתור בשיטה הישירה הבאה

:נחשב את אברי המטריצה. 1 עד −1 נבצע אינטגרלים על המחזור מ 2כיוון שהמחזור הוא

:2האיברים באלכסון שווים כולם ל

∫∫∫−−

π−π

−

====1

1

1

1

1

1

*1111 2, dtedtexdtxxx titi

∫∫∫−−

ππ−

−

====1

1

1

1

1

1

*2222 2, dtedtexdtxxx titi

∫∫−−

===1

1

1

1

*1133 2, dtxdtxxx

:לדוגמא). כי הפונקציות אורתוגונליות( ואילו האיברים האחרים מתאפסים כולם

∫∫∫−

π

−

ππ

−

====1

1

21

1

1

1

*2121 0, tititi dteedtexdtxxx

כמו כן

2

2/1

2/1

1

1

*11 ,2, xydtedtyxxy ti =

π=== ∫∫

−

π−

−

∫−

==2/1

2/13 1, dtxy

,לכן

21

,,

,1,,

,1,,

33

33

22

22

11

11 ==

π==

π==

xxxy

axxxy

axxxy

a

או

( )21cos2

211

+ππ

=++π

= π−π teey titi

t=[-1:0.01:1];


y=abs(t)<0.5; p=(2/pi)*cos(pi*t)+1/2; plot(t,y,t,p) xlabel('t'); ylabel('y(t)'); legend('y(t)','p(t)=(2/\pi)cos(\pit)+1/2');

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y(t)

y(t)p(t)=(2/π)cos(πt)+1/2

תכונות בסיסיות של מערכותמערכות המקבלת אות כקלט -הנדסית שתיתכן אפילו הבנויה מתת-יות כל מערכת פיזיקליתהמערכת יכולה ל

. ***יצרת אות כפלטומי

לי זיכרוןבמערכות עם ו

באותו ") קלט"ב(תלוי אך ורק בכניסה שלה ") פלט"ה(אם המוצא שלה " מערכת ללא זיכרון"מערכת נקראית המערכת הבדידה , למשל). בהווה(זמן

[ ] [ ] [ ]nxnxny 35 −=

והמוצא ) על הנגד( המתח עליו דוגמא למערכת רציפה חסרת זיכרון היא נגד שהכניסה שלה מוגדרת כמפל :לפי חוק אוהם, במקרה זה. שלה הוא הזרם דרכו

( ) ( ) Rtxty /=

:הרי דוגמאות למערכות עם זיכרון הן, בניגוד למערכות אלו]: דוגמא למערכת בדידה עם זיכרון ] [ ] [ ]nxnxny +−= או מערכת רציפה בעלת זיכרון יכולה להיות . 15

) :ח הוא הפלט והזרם הוא הקלט אך שהמתקבל ) ( )''1 txdtCtyt

∫∞−

−=


)inverse systems( ומערכות הפוכות )invertibility (הפיכות

כי הרי אם שני קלטים שונים יוצרים אותו פלט . מערכת נקראת הפיכה אם קלט שונה גורר בהכרח פלט שונה . לא ניתן יהיה ליצור מערכת הפוכה–

)המערכת , לדוגמא ) ( ) btaxty כיוון שניתן ליצור מערכת חדשה, היא מערכת הפיכה=+( ) ( )[ ] abtytw /−=

)ומתקבל ) ( )txtw =. )דוגמא למערכת לא הפיכה היא ) ( )txaty )היא לא הפיכה כי שני קלטים שונים . =+2 )tx ו ( )tx−

)) חלקית(המערכת ההפיכה . ובילו לאותה תוצאהי ) ( ) atytw ) תוביל בחזרה ל =− ) ( )txtw אך ורק =)לקלט חיובי ) 0>tx.

)causality(סיבתיות

אך שלה תלוי אך ורק בקלט שלה בזמן הווה או בזמן עבר ) output(המוצא מערכת נקראית סיבתית כאשר . את העתיד של הקלט" מנבא"המוצא לא , כלומר. לא בזמן עתיד

]: מערכת סיבתית יכולה להיראות ] [ ] [ ]23 −−= nxnxny , אבל לא להיראות כמו המערכת הלא סיבתית): הבאה ) ( ) 23.0 ++= txty.

(stability)יציבות .טן אינו מתבדרשלה לקלט ק) הפלט(ניתן להגדיר מערכת כיציבה כאשר התגובה

.אך כדור בקערה הפוכה היא בוודאי מערכת לא יציבה, למשל תנודות של כדור בקערה היא מערכת יציבה

)המערכת : דוגמא נוספת ) ( )txtyS 21 : לכל סיגנל כניסה חסום : ניתן לראות זאת באופן הבא. היא יציבה=

( ) Btx )חסומה ) הפלט(היציאה נקבל כי גם > ) 20 Bty <<.

)המערכת , לעומתה ) ( )∫∞−

=t

txdttyS )שכן גם עבור סיגנל חסום , אינה יציבה2:'' ) Btx נקבל =

( ) ∞=ty.

מערכת יציבהמערכת בלתי יציבה


(time invariance) קביעות בזמןאנו מבצעים מדידות על מערכת של , לדוגמא, םא. מערכת קבועה בזמן אם כל מאפייניה בלתי תלויים בזמן

נקבל , אם הקפיצים נחלשים עם הזמן, אבל. בכל זמן שנבצע את הניסוי נקבל את אותן התוצאות, קפיצים .ולכן המערכת אינה קבועה בזמן, )קטן(שקבוע הקפיץ תלוי בזמן

) אם נתונה מערכת שהפלט שלה לקלט. מתמטית קל לבדוק אם מערכת תלויה בזמן )tx הוא ( )ty הרי היא ) היא תוציא Tאם לכל זמן , קבועה בזמן )Tty ) עבור קלט + )Ttx +.

:לדוגמא

)המערכת ) ( )[ ]txtyS exp: נל חדש המוזז בזמן כי אם נכניס לה סיג. היא מערכת קבועה בזמן=( ) ( )Ttxtx ) נקבל 1=+ ) ( )[ ] ( )[ ]Ttxtxty +== expexp ), אבל מצד שני11 ) ( )[ ]TtxTty +=+ exp

)כלומר הפלט של המערכת מקיים ) ( )Ttyty דוגמא זו טריוויאלית שכן התלות של , למעשה. כנדרש1=+ ).דרך הקלט בלבד(הפלט בזמן הוא עקיף בלבד

:כהדוגמא הפו)המערכת ) ( )[ ]txttyS exp:2 על מנת לשלול את היותה בלתי תלויה . היא מערכת שאינה קבועה בזמן=

. סיגנל כניסה שהפלט שלו תלוי בתזוזה בזמן של אות הכניסהנבחר, בזמן), נבחר למשל ) ( )tutx נקבל) heavisideפונקצית (=

( )⎩⎨⎧

≥<

=00

ttett

ty

)כעת נבחר ) ( )12 −= tutxונקבל

( )⎩⎨⎧

≥<

=11

2 ttett

ty

)אבל כמובן ש ) ( )12 −≠ tyty) 0רואים את בקלות באזור<t.(

(linearity)לינאריות

:מערכת היא לינארית אם היא מקיימת את דרישות הסופרפוזיציהשל הפלטים של כל ) עם אותם משקלים(ת אז הפלט הוא סכום משוקלל אם הקלט הוא סכום משוקלל של אותו

.האותות

:באופן מתמטי

)אם ) ( )txtyS 11: ) ו = ) ( )txtyS 22: = )אז הפלט של סיגנל הכניסה ) ( )tbxtax 21 ) יהיה + ) ( )tbytay 21 +.

.בים כלשהםכ הם קבועים מרוb ו aכאשר


)המערכת , לדוגמא ) ( ) ( ) dttdxtxttyS /: 3 שימו לב כי נגזרת ואינטגרל הן ( היא כמובן לינארית =+

)פעולות לינאריות)אך המערכת ) ( )[ ]txtyS sin: )י בחירה של הסיגנלים "נראה זאת ע. היא לא= ) ( ) π== txtx 21

==4/1והמקדמים ba

( ) ( ) ( )[ ] 0sinsin 111 =π==→ txtytx

( ) ( ) ( )[ ] 0sinsin 222 =π==→ txtytx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 12/sinsin 21321 =π=+=→+ tbxtaxtytbxtax

)למרות ש ) ( ) 021 =+ tbytay

)Linear Time Invariant LTI(ערכות לינאריות בלתי תלויות בזמן מ

י "נדסה שניתות לתיאור ע גם משום שיש בעיות רבות בפיזיקה ובהLTIבקורס הזה נעסוק בעיקר במערכות במידה מסויימת זה אולי מזכיר את אותו אדם . מערכות כאלו וגם בגלל שיחסית קל לנו מאוד לטפל בהם

ניתן למצוא אוצרות לא LTIהקרוי , אבל האמת היא שמתחת לפנס הזה, המחפש את המפתח מתחת לפנס גם אם לכאורה LTI מורכבות מאוד כ הפשטות של הטיפול בהם מעודד אותנו לנסות לתאר מערכות. קטנים

.ההשוואה לא מוצדקת

. הלמים שמגיעים בזמנים שוניםשל ) סכימה(כסופרפוזיציה ) אות(בפרק זה נראה איך ניתן לתאר כל סיגנל ! לאות הלם בודד ואז נוכל לדעת מה התגובה של המערכת לכל סיגנל שהואLTIנחקור כיצד מגיבה ה

יחידה -סכום של פולסיבניית כל סיגנל בדיד כ

:כפי שמשתמע מהגדרת פולס היחידה ניתן לרשום כל סיגנל באופן הבא

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] LL +−δ+−δ+δ++δ−++δ−+= 221101122 nxnxnxnxnxnx

:או בכתיבה אחרת. רשמנו את האות כסכום של פולסי יחידה, כלומר

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−δ=k

knkxnx

]של ) התגובה(הפלט הבא נניח כי מערכת לינארית שלנו מגיבה לכל פולס יחידה כך ש, כעת ]kn −δ הוא

[ ]nhk . של האות ) הפלט(מכאן ברור כי התגובה[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−δ=k

knkxnxהוא לא אחר מאשר :


[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

=k

k nhkxny .

.)גובותהתגובה של סכום שווה לסכום הת (כדי לקבל תוצאה זו השתמשנו בתכונת הלינאריות של המערכת

התגובה שלה לא צריכה להשתנות , משום כך. הוא בלתי תלויה בזמןLTIכעת נשתמש בעובדה שמערכת ]אם התגובה של , כלומר. עקב שינוי בזמן של פולס הכניסה ]kn −δ היא [ ]nhk והתגובה של [ ]nδ היא

[ ]nh0 כלומר!) כי המערכת לא השתנתה( הרי שתי התגובות צרכות להיבדל רק בשינוי הזמן שלהן

[ ] [ ]knhnhk −= 0

לפולס יחידה ב LTIמעתה נסמן את תגובהת מערכת ). אפס במקרה זה(ולכן אין צורך באינדקס תחתון [ ] [ ]nhnh :כעת נוכל לרשום. ≡0

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

knhkxny

כי מה שרשום בצידה הימני של המשוואה הוא סכום הקונבולוציהזו נוסחה מאוד חשובה והיא נקראית

] של הקונבולוציה ]nx ו [ ]nhי כוכבית"ע, בדרך כלל, ומסומן באופן סימבולי:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−≡=k

knhkxnhnxny *

80' עמ–דוגמא יפה

:עבור אות רציף, באופן דומה( ) ( ) ( )∫

∞

∞−ττ−δτ= dtxtx

)אם , אי לכך )τ−th הוא פונקצית התגובה של ה LTI לאות ההלם ( )τ−δ t הרי נוכל לרשום את תגובת

)המערכת כולה ל סיגנל הנכנס )tx:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtxdthxty *≡ττ−τ= ∫∞

∞−

.ינטגרל הקונבולוציהזהו א

): י פונקצית התגובה שלה לפונרצית הלם" עבמלואה מאופיינת LTIמכאן למדנו כי מערכת , כלומר )th.

)די לדעת את )thכדי לדעת איך המערכת תגיב לכל פולס שהוא !

:בגלל חשיבות נוסחאות אלו נסכמן


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nhnxknhkxnyk

*≡−= ∑∞

−∞=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtxdthxty *≡ττ−τ= ∫∞

∞−

98' עמ: דוגמאות ): נתונה מערכת בעלת תגובת הלם, למשל ) ( )tbuth )אם נתון פולס כניסה . = ) ( ) ( )tuattx sin= , חשבו

.את הפלט של המערכת :תשובה

)במקרה זה נצטרך כמובן לחשב את הקונבולוציה של )thם ע( ) ( ) ( )tuattx sin= .כי , שימו לב

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧ <τ<τ

=τ−ττ=τ−τelse0

0sinsin

tabtuuabthx

במקרה זה. t<0 נקבל ביטוי שונה מאפס רק כאשר ,לכן

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]atabdabthxthtx

t

cos1sin*0

−=ττ=τ−τ= ∫∫∞

∞−

הפיתרון הכללי הוא, לכן

( ) ( )[ ] ( )tuatabty cos1−=

:דוגמא ממשוואות דיפרנציאליות :ר הבאה"נתונה המד

( ) ( ) ( )txtydt

tdy=+ 3

במקרה . ואות הכניסה) ר"המד(הרי הפתרון הוא קונבולוציה של תגובת ההלם של המערכת , לפי מה שלמדנו

,לכן. תגובת ההלם ידועה כפונקצית גרין) ר"עבור מד(שלנו

( ) ( ) ( )tthdt

tdhδ=+ 3

)במקרה זה הפתרון הוא מיידי . t≠0תחילה מחשבים עבור ? כיצד פותרים זאת ) tAeth 30 , כלומר. ≠=−

נסמן

( )⎩⎨⎧

><

=−

−

00

3

3

tAetBe

th t

t

כלומר, על תחום מאוד צר סביב האפסכדי למצוא את המקדמים נבצע אינטגרל על המשוואה


( ) ( ) ( )∫∫ε

ε−

ε

ε−

δ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ + dttdtth

dttdh 3

נקבל

( ) ( ) 1=ε−−ε hh ,כלומר

1=− BA

1,0הפיתרון היחיד שלא מתבדר הוא == AB .קיבלנו לכן ( ) ( )tueth t3−=

, הפיתרון הוא לכן

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ=τ−ττ=τ−ττ= ∫∫∫∞−

τ−∞

∞−

τ−−∞

∞−

dexetuexdthxdtyt

tt 333

)שימו לב כי מצאנו פיתרון כללי לכל סיגנל כניסה )tx .הוא אינו , ה פיתרוןכי למרות שז, חשוב אבל לזכור

).ר ניתן להוסיף פיתרון הומוגני"כזכור למד(הפיתרון היחיד

תכונות הקונבולוציה

)Commutative(קומוטטיביות

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnhknxkhknhkxnhnxkk

** =−=−= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

knsי הסימון וההצבה "את השיוויון האמצעי מקבלים ע –בגלל שהסכום הוא ממינוס אינסוף לאינסוף . ≡− .התוצאה מתקבלת במישרין

)Distributive(דיסטריבוטיביות

:לבדיד[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnhnxnhnhnx 2121 *** +=+

:לרציף( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtxthtxththtx 2121 *** +=+

)Associative(אסוציאטיביות

לאות בדיד


[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]nhnhnxnhnhnx 2121 **** = לאות רציף

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )ththtxththtx 2121 **** =

110 בסביבת LTIעל תכונות של מערכת

עם ובלי זיכרוןLTIכות מער

]) בעזרת פולס התגובה להלם( בעזרת קונבולוציה LTIמהתאור של מערכת ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

knhkxny

זה LTIעבור מערכת , היא תלויה רק במידע מההווה כלומר המערכת היא חסרת זיכרון כאשר כזכור]טריוויאלי ] [ ]nKnh δ=) עבורKולפיכך ) . כלשהו[ ] [ ]nKxny =.

)נקבל כמובן בהתאמה , במקרה של מערכת רציפה ) ( )tKth δ= , ולפיכך( ) ( )tKxty =.

LTIהפיכות של מערכת

אחרת כך שאם הפלט של הראשונה הוא הקלט של LTIהרי קיימת מערכת , היא הפיכהLTIאם מערכת

impulseהקונבולוציה של ה , לכן. כמובן, ה הרי הפלט של השניה הוא הקלט של הראשונההראשונresponsesכלומר. של שתי הפונקציות הוא פונקצית הלם,

)אם למערכת יש תגובת הלם של )th , הרי היא הפיכה אם קיימת פונקציה( )th' המקיימת

( ) ( ) ( )tthth δ='*.

ולכן תגובת ההלם שלה , אשר מזיזה את הפולס בזמןLTIנתונה מערכת : O&W&Nלפי הדוגמא של , למשל

)היא ) ( )Ttth −δ= ,) נזכיר כי( ) ( ) ( ) ( )TtxdTtxty +=τ−τ−δτ= ∫∞

∞−(

ברור שהמערכת ההפוכה שתחזיר את הפולס למצבו הראשוני תהיה בעלת תגובת הלם של , אם כך( ) ( )Ttth +δ=' ,ואכן שתי תגובות ההלם מקיימות :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTtTdthhd δ=+τ−δ−ττδ=τ−ττ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

'

LTIסיבתיות במערכת

נובע מ ) אלא רק בעבר או בהווה(היות ומערכת היא סיבתית כאשר הפלט שלה אינו תלוי בעתיד של הקלט

( ) ( ) ( ) ττ−τ= ∫∞

∞−dthxty כי ( ) 0=th 0 עבור<t

)או בכתיבה שונה ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ−=ττ−τ= ∫∫∞

∞−dhtxdthxty

t

0


LTIיציבות של מערכת

)נזכיר כי מערכת היא יציבה אם לכל סיגנל חסום בכניסה ) Btx ) סיגנל הפלט גם כן חסום > ) Cty <.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ττ≤τ−ττ≤τ−ττ= hdBtxhdtxhdty

גובת ההלם שלה הוא אינטגרבילימערכת היא יציבה אם הערך המוחלט של ת, לכן

( ) ∞<ττ∫∞

∞−

hd


מחזוריים) אותות(פוריה של סיגנלים לטור פירוק

מוטיבציה

תן מגיבות בצורה מאוד פשוטה לאותוה היא שLTIאחת מהתכונות החשובות ביותר של מערכות תפילות אותוכהן רק מ, למעשה). טריותאקספוננטים ופונקציות טריגונומ, כלומר(אקספוננציאלים מרוכבים

).גורעים פזה\משנים גודל ומוסיפים, כלומר(רים מרוכבים ספאלו במ

).קומפלקסיות(כלשהו לפונקציות אקספוננציאלות מרוכבות יש חשיבות רבה לפרק אות , משום כך

. LTIות במערכות המרוכב) הרקספוננציאליות(קל להראות את המעמד המיוחד שיש לפונקציות המעריכיות רק מכפילה אותן –המערכת לא משנה אותם , כלומר(נראה להלן שהן אכן פונקציות עצמיות של מערכות אלו

)בקבוע קומפלקסי

) אשר פונקצית התגובה שלה להלם היא LTIנאמר שנתונה מערכת )th . משום כך הרי התגובה של המערכת)לכל אות כניסה )txהוא

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ−τ=ττ−τ= ∫∫∞

∞−

∞

∞−dtxhdthxty

)כעת נראה מה קורה אם פונקצית הכניסה למערכת היא מעריכית מרוכבת ) stetx =) sהוא פרמטר מרוכב (

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ=ττ=ττ−τ= ∫∫∫∞

∞−

τ−∞

∞−

τ−∞

∞−dehedehdtxhty sstts

,כלומר

( ) ( )sHety st=

) כאשר ) ( ) ττ≡ ∫∞

∞−

τ− dehsH s קומפלקסי( הוא קבוע מרוכב(

–הן לא משנות אותן (LTIוכאן למעשה הוכחנו כי פונקציות מעריכיות הן הפונקציות העצמיות של מערכת ).רק מכפילות אותן בקבוע

רק שבמערכות בדידות נהוג לכתוב אותן בצורה. ניתן להראות זאת למערכות בדידות, באופן דומה

[ ] nznx =

שיכולנו לרשום אותן גם כפונקציות מעריכיות רגילות , שימו לב. הוא מספר מרוכבzכאשר

[ ] ( )znn eznx ln== ,אך אנו נשתמש בצורה הנפוצה יותר.


]למערכת בעלת פונקצית תגובה להלם , ואז ]nh , נוכל לרשום את התגובה לnz

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

==−=−=k

kn

k

kn

kkkhzzkhzkhknxknhkxny

היאnzשוב קיבלנו כי התגובה של המערכת לפונקצית כניסה

[ ] ( ) nzzHny =

)כאשר ) [ ]∑∞

−∞=

−≡k

k khzzH הוא קבוע מרוכב התלוי ב zובתכונות המערכת .

) היא פונקציה עצמית עם הערכך העצמי nz, דהיינו ) [ ]∑∞

−∞=

−≡k

k khzzH , בדיוק כמו שבמקרה הרציף

( ) stetx ) היתה פונקציה עצמית עם הערך העצמי = ) ( ) ττ≡ ∫∞

∞−

τ− dehsH s.

פירוק פוריה

הבסיסית ) הזוויתית( התדירות נוכל להגדיר את, Tאם נתון אות מחזורי בעל מחזור T/20 π=ω

:נוכל לכתוב את האות המחזורי כסכום של הפונקציות המחזוריות, ואז

( ) ( ) K,2,1,0,/20 ±±===φ πω keet tTiktikk

,כלומר

( ) ( )∑∑∞

−∞=

π∞

−∞=

ω ==k

tTikk

k

tikk eaeatx /20

.דרך נוספת לרשום את אותו הסכום היא באמצעות פונקציות טריגונומטריות

)נניח כי )txלכן הוא שווה לצמוד של עצמו, הוא ממשי:

( ) ∑∞

−∞=

ω−=k

tikk eatx 0*

: ולקבל−k ב k) כיוון שהסכום הוא ממילא ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף(ניתן להחליף , מצד שני

( ) ∑∞

−∞=

ω−=

k

tikk eatx 0*

kk בין שני הביטויים האחרונים נקבל כי לאות ממשי מתקייםאם נשווה את המקדמים aa =−

: או *

kk aa −=*


)רק סידרנו אותו מחדש, בשלב זה(נכתוב מחדש את הטור באופן הבא , כעת

( ) [ ]∑∞

=

ω−−

ω ++=1

000

k

tikk

tikk eaeaatx

.בסך הכל הכנסנו את הערכים השליליים לאותו סכום, כלומרkk(מש בידע שלנו על סיגנלים ממשיים כעת נשת aa −=*:(

( ) [ ]∑∞

=

ω−ω ++=1

*0

00

k

tikk

tikk eaeaatx

:כיוון ששני האיברים הם צמודים אחד לשני נוכל הרי סכומם הוא פעמיים החלק הממשי

( ) ∑∞

=

ω+=1

00Re2

k

tikk eaatx

)גודל ופזה(בצורה פולרית האחת היא . kaכעת יש באפשרותנו שתי אפשרויות לכתוב את ki

kk eAa θ= ואז

( ) ( ) ∑∞

=

θ+ω+=1

00Re2

k

tkik

keAatx

,כלומר

( ) ( )∑∞

=

θ+ω+=1

00 cos2k

kk tkAatx

: בצורה קרטזיתkaי כתיבת "דרך נוספת ידועה לפירוק פוריה היא ע

kkk iCBa += :במקרה זה הפירוק יראה

( ) ( ) ( )[ ]∑∞

=

ω−ω+=1

000 sincos2k

kk tkCtkBatx

הצורה המקורית בה השתמש , דרך אגב, זו.שימו לב כי בשני המקרים נשארנו עם שני פרמטרים לכל תדירות

.פוריה

קביעת המקדמים לטור פוריה עבור אות רציף ומחזורי

: אשר יקימוkaאנו כעת מחפשים את המקדמים

( ) ( )∑∑∞

−∞=

π∞

−∞=

ω ==k

tTikk

k

tikk eaeatx /20

tineנכפיל את שני האגפים ב , אתכדי לעשות ז 0ω− עבור מספר nכלשהו .


( ) ∑∞

−∞=

ω−ωω− =k

tintikk

tin eeaetx 000

חשוב להבין שזה לא משנה באיזה זמן תתחיל (כעת נבצע אינטגרל על שני האגפים על זמן מחזור 0/2:שכזכור) 0אבל לשם נוחות נתחיל בזמן , האינטגרציה ωπ=T.

( ) ∫ ∑∫∞

−∞=

ω−ωω− =T

k

tintikk

Ttin dteeadtetx

00

000

:באגף ימין נחליף את סדר פעולות האינטגרציה והסכימה לקבל

( ) ( )∑ ∫∫∞

−∞=

ω−ω−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

k

Ttnki

k

Ttin dteadtetx

00

00

:כעת נחשב את האינטגרל בסוגריים המרובעים

( )( )

( )( )

( ) 0000

1000

ω−−

=ω−

=ω−ω−

ω−∫ nkie

nkiedte

TnkiTtnkiTtnki

T/20כעת נציב π=ωונקבל :

( )

( )

( ) Tnki

edtenkiT

tnki

π−−

=π−

ω−∫ 212

0

0

nkיטוי הזה הוא בוודאי שווה לאפס כאשר הב nkאבל מה קורה כאשר , ≠ גם המונה וגם המכנה ? =

−→0אפשרות אחת היא לבדוק את הגבול ! מתאפסים nk .ולגזור , כעת ניתן להשתמש במישפט לופיטלnkמונה ומכנה לפי אבל דרך יותר פשוטה היא פשוט לבצע את ההצבה . T ולקבל שהאינטגרל שווה ל −

nkכאשר , כלומר. או בתוך האינטגרנד יש פשוט לחשב את , הרי אין צורך לחשב אינטגרל מסובך=

): האינטגרל ) TdtdteTT

ti == ∫∫ ω

00

0 :נסכם. 10

( )

⎩⎨⎧

≠=

=∫ ω−

nknkT

dteT

tnki

0,

0

0

:מכאן מקבלים את נוסחת הפירוק

( )∫ ω−=T

tinn dtetx

Ta

0

01


:נסכם

( ) ( )∑∑∞

−∞=

π∞

−∞=

ω ==k

tTikk

k

tikk eaeatx /20

( ) ( ) ( )∫∫ π−ω− ==T

tTik

T

tikk dtetx

Tdtetx

Ta /211

0

:דוגמא

,כלומר. 1Tבאמצע זמן זה ישנו סיגנל ריבועי שמשכו . Tנדמיין לעצמנו סיגנל מחזורי בעל מחזור של

( )⎩⎨⎧

<<<

=2/2/,0

2/,1

1

1

TtTTt

tx

?למה שווים המקדמים שלו בטור פוריה

( )2/

2/0

2/

2/

2/

2/

1

1

01

1

0011

T

T

tikT

T

tikT

T

tikk Tik

edteT

dtetxT

a−

ω−

−

ω−

−

ω−

ω−=== ∫∫

,כלומר

( ) ( )π

ω=

ωω

=ω−

=ω−ω

kTk

TkTk

Tikeea

TikTik

k2/sin2/sin2 10

0

10

0

2/2/ 1010

T/20את השיוויון האחרון קיבלנו מהגדרת π=ω. כי שניהם (גם פה נוכל לקחת את הגבול של המונה והמכנה ? k=0אבל מה קורה עבור , זה הכל טוב ויפה :שתי הדרכים יובילו ל. כבר באינטגרנדk=0או שפשוט נציב ) k=0מתאפסים בגבול

TTdt

Ta

T

T12/

2/01

1

11∫− ==

.נראה כיצד להציג זאת במטלב

:אה כיצד הטור מתכנס לגל המרובע המקורינוסיף בכל שלב עוד רכיבים לטור פורייה ונר


-15 -10 -5 0 5 10 15-1

0

1

2N=1

x N(t)

-15 -10 -5 0 5 10 15-1

0

1

2N=15

x N(t)

-15 -10 -5 0 5 10 15-1

0

1

2N=3

x N(t)

-15 -10 -5 0 5 10 15-1

0

1

2N=55

x N(t)

t

, מדובר בשלושה רכיביםN=1כאשר , לכן . N עד N– כך שהם נעים מ Nי ה "מספר האיברים מסומן ע

N=3מדובר בשבעה וכו '. :י התוכנית"גרף זה התקבל ע

%% Fourier series for rectangular signal -fourier_rect T=10; T1=4; t1=-T/2:T/100:T/2; S1=abs(t1)<T1/2; S=[S1 S1 S1]; t=([1:length(S)]-length(S)/2)*3*T/length(S); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


NR=[1 3 15 55]; Nmax=length(NR); for Ni=1:Nmax N=NR(Ni); s=zeros(size(t)); for n=[-N:N]+eps an=sin(n*pi*T1/T)/n/pi; s=s+an*exp(i*2*pi*n*t/T); end subplot(Nmax,1,Ni); plot(t,s,'b',t,S,'r'); title(['N=' num2str(N)]); ylabel('x_N(t)'); end xlabel('t');

epsהוספנו , כדי להימנע מלחשב עבור רכיב האפס באופן עצמאי, למשל". טריקים"בתוכנית זו בצענו כמה נקבל למעשה n=0ועבור , 2.2x10-16שכן מספר זה זעום , שונים מאפס לא נרגיש זאתn עבור .nלמספר

, מתקבל בחישוב תרומה קטנה של מספר מדומה, כתוצאה מטריק זה? אלא מה. את רכיב הגבול בקירוב מצויין .אך אנו נתעלם מזה בשלב זה, המחשב אומנם יתריע על כך

ההתכנסות לפיתרון מוזרה ): Gibbs phenomenon( שמכונה תופעת גיבס פים אלו ניתן לראות את מהרבג

-שימו. הרציפות- בנקודות של חוסר רציפות ערך ההתכנסות הוא הממוצע של הערך לפני ואחרי אי .במקצתהיות והאנרגיה מתכונתית לשטח הרי השטח הוא מה ! לב נוצרים ריפלים שגובהם לא קטן אבל שטחם כן

. אין אנרגיה–התאמה -איזורים בהם יש איב, כלומר. שחשוב


-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5N=1

t

x N(t)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5N=3

t

x N(t)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5N=15

t

x N(t)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5N=55

t

x N(t)

בעזרת תוכנית דומה

%% Fourier series for rectangular signal -fourier_rect T=10; T1=4; t=-T/2:T/100:T/2; S=abs(t)<T1/2; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% NR=[1 3 15 55]; Nmax=length(NR); for Ni=1:Nmax N=NR(Ni); s=zeros(size(t)); for n=[-N:N]+eps an=sin(n*pi*T1/T)/n/pi; s=s+an*exp(i*2*pi*n*t/T); end subplot(sqrt(Nmax),sqrt(Nmax),Ni); plot(t,s,'b',t,S,'r'); title(['N=' num2str(N)]); xlabel('t');ylabel('x_N(t)'); end


רם פורייה טרנספו

ראינו כי המקדמים של טור פורייה עבור אות מרובע

( )⎩⎨⎧

<<<

=2/2/,0

2/,1

1

1

TtTTt

tx

הם

( ) ( )

πω

=ωω

=k

TkTkTk

ak2/sin2/sin2 10

0

10

T/20כאשר π=ω

)ואז הסיגנל יקיים כזכור ) ( )∑∑∞

−∞=

π∞

−∞=

ω ==k

tTikk

k

tikk eaeatx /20

0ω≡ω נסמן אם, לכן. 0ωkכל אחד מרכיבי הטור מתייחס לתדירות kהרי הפונקציה ( )ωω

=2/sin2 1TTak

.המעטפת תתמלא ביותר ויותר תדרים, ככל שניקח זמני מחזור יותר ארוכים. מתארת את מעטפת הסיגנל :כפי שניתן לראות בשרטוט הבא


-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1T=3

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1T=6

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1T=10

ω

שבוצע בעזרת התוכנית

%% discrete_cont T1=1; TR=[3 6 10]; J=3; for j=1:J T=TR(j); w0=2*pi/T; K=T*3; k=[-K:1:K]; w=k*w0+eps; Ta=2*sin(w*T1/2)./w;


subplot(3,1,j); stem(w,Ta) title(['T=' num2str(T)]); end xlabel('\omega');

יפות התדירויות שמשתתפות ככל שאנו מגדילים את זמן המחזור צפ. המעטפת לא משתנה, כפי שניתן לראות

הרי הצפיפות ) שאומר זמן מחזור אינסופי(שאם אנו רוצים לעסוק בסיגנל לא מחזורי , ברור לכן. בטור גדלה . אינסופי נקבל אינטגרלרטוסכימה על כלומר במקום, יגנל יראה רציףפקטרום של הסתהיה כה גדולה שהס

)ייהטורי פור(במקום הקשר הרלוונטי לטורים , כלומר

( ) ( )∑∑∞

−∞=

π∞

−∞=

ω ==k

tTikk

k

tikk eaeatx /20

( ) ( ) ( )∫∫ π−ω− ==T

tTik

T

tikk dtetx

Tdtetx

Ta /211

0

ולכן באינטגרל בנוסחה השניה הגבולות הם ממינוס אינסוף T→∞, ברור שכאשר האינטגרל לא מחזורי

.לפלוס אינסוף ל, מקובל לעבור למעטפת של הספקטרום כלומר, כמו כן

( ) kTaikX ≡ω0 ) אבל המכפלה ka→0 הרי T→∞ להבין שכאשר חשוב( ) kTaikX ≡ω0מתכנסת לערך סופי (.

0ω=ωנעבור למשתנה k

( ) ( )∑∑∞

−∞=ω

ω∞

−∞=

ω ω== ti

k

tikk eiX

Teatx 1

0

Td נוכל לעבור לאינטגרל עםכשמשתנה התדר רציף אז /20 π=ω=ω

,מרכלו

( ) ( )∫∞

∞−

ω ωωπ

= deiXtx ti

21

( ) ( )∫∞

∞−

ω−=ω dtetxiX ti


התכנסות של טרנספורם פורייה

)מתי האינטגרל , או במילים אחרות, מתי טרנספורם פוריה קיים: נשאלת השאלה ) ( )∫∞

∞−

ω−=ω dtetxiX ti

?מתכנס )Dirichlet’s conditions(בשלושת תנאיו ) Dirichlet(את התשובה לכך ניסח דיריכלה

דהיינו , הערך המוחלט של הסיגנל הוא אינטגרבילי. 1

( )∫∞

∞−

∞<dttx

)לסיגנל . 2 )txיש מספר סופי של מינימה ומקסימה בכל תחום סופי . )לסיגנל . 3 )txיות היא סופיתהרציפו-וכל אחת מאי, רציפויות בכל תחום סופי- יש מספר סופי של אי.

.אם שלושת התנאים האלו מתקיימים חזקה על הטרנספורם שהוא קיים

טרנספורם פוריה של סיגנל מחזורי

. הטרנספורם פוריה של סיגנל מחזורי מחזיר אותנו למעשה לטור פוריה)נניח שידוע לנו שהסיגנל )tx הוא מחזורי עם זמן מחזור של T . במקרה זה נוכל לרשום אותו כטור אינסופי

,דהיינו). זה מה שלמדנו בפרק על טורי פוריה(של אותות מחזוריים

( ) ( )∑∞

−∞=

ω=k

k tikatx 0exp

T/20כאשר π=ω

הטרנספורם שלו הוא

( ) ( )∑∞

−∞=

ω−ωδπ=ωk

k kaiX 02

)וך על למי שלא רואה זאת כדאי לבצע את הטרנספורם ההפ )ωiX ולקבל את ( )txבקלות .

פונקציות (קיבלנו שהטרנספורם פוריה של אות או פונקציה מחזוריים הוא למעשה סכום של הלמים , כלומר .כאשר המעטפת שלהם היא הטרנספורם של אותו אות אך בעל מחזור אינסופי) דלתא

:וריהתכונות של טרנספורם פ


לינאריות

)אם ) ( ) txFiX =ω , ו( ) ( ) tyFiY =ω ,אזי

( ) ( ) ( ) ( ) tbytaxFibYiaX +=ω+ω

(Time shifting) בזמן הזזה

)אם ) ( ) txFiX =ω אזי

( ) ( ) 00 ttxFiXe ti −=ωω−

)אקספוננט מדומה תגרום לטרנספורם מכפלה ב0tהזזת הסיגנל בזמן , כלומר )0exp tiω− .היא , כלומר

.משנה רק את הפזה שלו ולא את האמפליטודה :אם. נוכיח

( ) ( )∫∞

∞−

ω−=ω dtetxiX ti

הרי

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω=ττ=ττ=− ω−∞

∞−

ωτ−ω−∞

∞−

+τω−∞

∞−

ω− ∫∫∫ iXedexedexdtettx tiitititi 0000

.ל"מש

צימוד מרוכב

)אם ) ( ) txFiX =ω אזי)אם ) ( ) txFiX ** =ω−

,נראה זאת

( ) ( ) ( )ω−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫∫

∞

∞−

ω∞

∞−

ω− iXdtetxdtetx titi *

*

*

.כמובן)כי אם האות , מכאן ברור )tx דהיינו ( הוא ממשי( ) ( )txtx י השוואת הטרנספורמים של "ע(יוצא ) =*

כי) שניהם( ) ( )ω=ω− iXiX *


דוגמאות לטרנספורמים

)טרנספורם של : 1' דוגמא מס ) ( ) 0Re, >= − aetutx at.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ω+=

ω+−

====ω ∫∫∫∞ ∞

ω+−ω+−∞

∞−

ω−−∞

∞−

ω−

iae

iadtedteetudtetxiX tiatiatiatti 11

0 0

)טרנספורם של : 2' דוגמא מס ) 0Re, >= − aetx ta

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )22

0 0

00 21111ω+

=ω+

+ω−

=ω+

−+

ω−=+

===ω

∫∫

∫∫∞ ∞

ω+−

∞−

ω−ω+−

∞−

ω−

∞

∞−

ω−−∞

∞−

ω−

aa

iaiae

iae

iadtedte

dteedtetxiX

tiatiatiatia

titati

)טרנספורם של : 3' דוגמא מס ) ( )[ ]2/exp τ−= ttx.

( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

ω−τ−∞

∞−

ω− ==ω dteedtetxiX titti 2/

:נביט כעת בביטוי באקספוננט

titω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τ

−2

רתוי הוספת ביטוי והחס"נשלים אותו לריבוע ע

( ) ( )42

11 222

222

2

2 ωτ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωτ+

τ−=ωτ+

τ−=ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τ

−ittittit

לכן

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ωτ−πτ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωτ+

τ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ωτ−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ωτ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωτ+

τ−===ω

∫

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ω−τ−∞

∞−

ω−

4exp

21exp

4exp

421exp

222

2

2

222

2/ 2

dtit

dtitdteedtetxiX titti


) טרנספורם של :4' דוגמא מס ) 1=tx. אנחנו מחפשים את , כלומר

( ) ( ) ∫∫∞

∞−

ω−∞

∞−

ω− ===ω ?dtedtetxiX titi

:לומרכ. ונשאיף אותו לאינסוףNנבצע את האינטגרל עד גבול סופי , כדי לחשב זאת

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ωω

==ω∞→

−

ω−

∞→ ∫NdteiX

N

N

N

ti

N

sin2limlim

ω→0כדי לענות עליה נשים לב כי עבור . N→∞כאשר אבל למה היא שווה , קיבלנו פונקציה מוכרת N→∞כאשר , דהיינו, N/π±=ωהיא מתאפסת לראשונה בערכים , כמו כן. שואף לאינסוףN2ערכה

.ראו גרף, הפונקציה צרה וגבוהה, כלומר. ω≠0היא מתאפשת בכל הנקודות עבורן

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-50

0

50

100

150

200

ω

X ( iω

)

X (iω)=2sin(100ω)/ω

.π2האינטגרל עליה שווה בדיוק ל : יש לפונקציה זו תכונה מאוד חשובה, אבל בנוסף

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π=π=ω⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ωω

=ω⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ωω

=ωω∞→

∞

∞−∞→

∞

∞−∞→

∞

∞−∫∫∫ 22limsin2limsin2lim

NNNNd

NNdNdiX

ובנקודה זו היא מקבלת ערך אינסופי , ω=0קיבלנו פונקציה שהיא מתאפסת בכל התדרים פרט ל , מרכלו

) קיבלנו את הפונקציה –משמע . π2ובנוסף האינטגרל עליה הוא קבוע ) ( )ωπδ=ω 2iX!


): ולנו בקלות לנחש פיתרוןבעזרת הנוסחה של הטרנספורם ההפוך יכ, שימו לב ) ( )ωπδ=ω 2iXכי

( ) ( ) ( ) ( ) 1221

21

=ωωδ=ωωπδπ

=ωωπ

= ∫∫∫∞

∞−

ω∞

∞−

ω∞

∞−

ω dededeiXtx tititi

) טרנספורם של :5' דוגמא מס ) ( )ttx sgn=.

)זו פונקצית הסיגנום המוגדרת )⎩⎨⎧

><−

=0101

sgntt

t.

.שימו לב כי האינטגרל בעזרתו נחשב את הטרנספורם שלה לא מוגדר היטב

( ) ( ) ?sgn ==ω ∫∞

∞−

ω− dtetiX ti

שוב נשתמש בטריק הגבול ונרשום את פונקצית הסיגנום בצורה( ) ( )tt ,sgnlimsgn

0α=

→α

כאשר

( )⎩⎨⎧

><−

≡αα−

α

00

,sgntete

t t

t

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

sgn(α

,ω)

α=0.3α=0.1α=0.03

הפונקציה דומה יותר ויותר לפונקצית הסיגנום α→0ככל ש , כפי שניתן לראות מהגרף

( )⎩⎨⎧

><−

=0101

sgntt

t.


( ) ( ) ( ) ( )

( )ω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω+α+

ω−α−

=+−

=α=α==ω

→α

∞ω−α−

→α∞−

ω−α

→α

∞

∞−

ω−

→α

∞

∞−

ω−

→α

∞

∞−

ω−

∫∫

∫∫∫

iiidteedtee

dtetdtetdtetiX

tittit

tititi

211limlimlim

,sgnlim,sgnlimsgn

00

0

0

0

00

התעלמנו בדרך מנקודה קטנה שיכלה להיות בת , שובה נכונהתכאן חשוב להדגיש כי למרות שהגענו ל

כי אז ω=0כשהחלפנו את הגבול עם האינטגרל לא הבחנו בכך כי החלפה כזו לא אפשרית כאשר . משמעות : נחשב באופן עצמאיω=0רק את הנקודה הזו , לשם כך. הגבול אינו מוגדר היטב

( ) ( ) 0limsgn00

0

0

0

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−=+−===ω ∫∫∫∫∫−

∞→

∞

∞−

∞

∞−

N

NN

dtdtdtdtdttiX

שימו לב כי תמיד : אבל זה כלל לא מפתיע. כלומר קיבלנו שבנקודת האפס הטרנספורם פשוט מתאפס

( ) ( )∫∞

∞−

= dttxiX אם , משום כך. נקודת האפס של הטרנספורם שווה לאינטגרל על פני כל המרחב, כלומר. 0

)תמיד נקבל ) כמו במקרה שלנו(על הסיגנל מתאפס הממוצע ) 00 ==ωiX.

)הטרנספורם של : 6' דוגמה מס ) ( )tutx =:

אלא שהפעם יש , ניתן לבצע את החישוב בצורה דומה לדרך בה ביצענו את הטרנספורם של פונקצית הסיגנום) להיזהר שבעתיים לגבי תדר האפס בטרנספורם ) 00 ≠=ωiX . אפשר לעומת זאת לנוע על קרקע בטוחה

אם זוכרים כי

( ) ( )[ ] 2/1sgn += ttu ולכן הטרנספורם הוא מיידי

( ) ( )[ ] ( )ωπδ+ω

=+=ω ∫∞

∞−

ω−

idtetiX ti 11sgn

21

!מעניין ובכלל לא טריביאלי

(scaling)כיול

)אם ) ( ) txFiX =ω) במילים אחרות( ) ( )∫∞

∞−

ω−=ω dtetxiX ti( אזי למה שווה הטרנספורם של אותו

)כלומר , סיגנל רק עם כיול שונה של הזמן ) ?=atxF. לפי הגדרת הטרנספורם: תשובה


( ) ( )∫∞

∞−

ω−= dteatxatxF ti

: ונקבלat≡τנבצע החלפת משתנים

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<ττ−

>ττ=

∫

∫∞

∞−

τω−

∞

∞−

τω−

01

01

/

/

adexa

adexaatxF

ai

ai

, לכן

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

=ττ= ∫∞

∞−

τω−

aiX

adex

aatxF ai 11 /

ברגע שהכפלנו את משתנה הזמן בקבוע , כזכור. לנוסחה זו יש חשיבות רבה מעבר לתחום הישומי: הערה

שימו לב כי בנוסחה זו בזמן שאנו מכפילים את הזמן בקבוע הרי אנו . הרי בצענו כיווץ או מתיחה של הסיגנל

! הטרנספורם שלו בתדרמכאן ברור כי כיווץ הסיגנל בזמן יגרור למתיחה של. מחלקים את התדר באותו קבוע

תופעה זו מקשרת ! מתיחה של האות בתחום הזמן גוררת כיווץ של הטרנספורם שלו בתחום התדר, והפוך

שלמעשה אומר כי לא ניתן לכווץ את הסיגנל בתחום התדר , הוודאות-אותנו באופן אינטואיטיבי לעקרון אי

יגרור תגובה ) הסיגנל או הטרנספורם( מהם כל שינוי של אחד. ואת הטרנספורם שלו בתחום הזמן בו זמנית

.הפוכה במשלים שלו

:דוגמא

)נחשב את הטרנספורם של )at−exp .

)תחילה נחשב את הטרנספורם של )t−exp

( ) ( )2

0

10

1

12

11

11

ω+=

ω+−

−ω−

=+== ∫∫∫∞

ω+−

∞−

ω−∞

∞−

ω−−−

iidtedtedteeeF titititt

ומכאן ברור כי

( ) 222

2/1

21ω+

=ω+

=−

aa

aaeF at


)Parseval’s Relation(משפט פרסבל :משפט פרסבל מורה על הקשר הפשוט אך החשוב הבא

( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−ωω

π= 22

21 iXdtxdt

:הוכחת המשפט היא פשוטה

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dteiXdtxdttxtxtxdt ti∫ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

ω−∞

∞−

∞

∞− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ωωπ

== **2

21

נשחלף את סדר האינטגרלים

( ) ( ) ( ) ω⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ω

π== ∫ ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

ω−∞

∞−ddtetxiXtxdt ti*2

21

L

)והרי מה שנמצא בתוך הסוגריים הוא הטרנספורם של )txו דהיינ:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−ωω

π=ωωω

π= 2*2

21

21 iXdiXiXdtxdt

.ל"מש

ניתן לחשב את , שעל מנת לקבוע את האנרגיה הכללית של הפולס, מה שמשפט פרסבל אומר במילים הוא)ההספק הרגעי (האנרגיה ליחידת זמן של הפולס ) 2tx (או לחשב את האנרגיה , ולבצע אינטגרציה בזמן

)ליחידת תדר ) 2

21

ωπ

iXמכנים את , משום כך. ולבצע אינטגרציה על כל התדרים( ) 2

21

ωπ

iXבשם :

)צפיפות האנרגיה הספקטרלית של הסיגנל )tx או בקיצור הספקטרום של ( )tx.

)כלומר , שימו לב כי ממשפט זה נובע כי אם האנרגיה של אות היא סופית ) ∞<= ∫∞

∞−

2txdtE הרי

)כלומר , ω→∞מסתבר כי הספקטרום שלו חייב לדעוך לאפס כאשר ) 0→±∞→ωiX, אחרת

)האינטגרל )∫∞

∞−ωω

π2

21 iXd לא יתכנס וזה בניגוד למשפט פרסבל ולעובדה ש ( ) ∞<= ∫

∞

∞−

2txdtE .

יתכן סיגנל שהאנרגיה שלו היא אינסופית אבל . ההפך הוא לאו דווקא נכוןחשוב להבין ש, יחד עם זאת)האות הקבוע , למשל. הטרנספורם שלו כן דועך לאפס בתדרים גבוהים ) Ctx הרי הטרנספורם שלו הוא , =

)כידוע ) ( )ωδπ=ω CiX .סופי בתדר האפסאבל הוא אינ, הוא כמובן מתאפס עבור תדרים גבוהים, כלומר. 2

עבור אות מחזורי משפט פרסבל

( )∫ ∑∞

−∞=

=T

kkaTdttx 22

2, לכן

kaT היא כמות האנרגיה הנמצאת בהרמוניה k) 0כלומר בתדרωk.(


דואליות

כדי , למעשה. אים כי משוואות אלו מאוד דומותכשמביטים במשוואות של הטרנספורם והטרנספורם ההפוך רו .π2להכפיל ב \לעבור מאחת לשניה יש להפוך את הסימן ולחלק

) אם : או בכתיבה מתמטית ) ( ) txFiX =ω אזי ( ) ( )ω−π= xitXF 2.

:לדוגמא)למה שווה הטרנספורם של ) ( )titx 0exp ω=?

)אנו מחפשים למה שווה האינטגרל , כלומר ) ( ) ?0 ===ω ∫∫∞

∞−

ω−ω∞

∞−

ω− dteedtetxiX tititi

)נזכר כי הטרנספורם של : תשובה ) ( )0tttx −δ= הוא ( ) ( )0exp tiiX ω−=ω

)והרי ממשוואת הטרנספורם ) ( )∫∞

∞−

ω ωωπ

= deiXtx ti

2 נובע כי 1

( ) ∫∞

∞−

ωω− ωπ

=−δ deett titi 0

21

נקבל ω↔t אם נחליף את המשתנים 0

( ) ∫∞

∞−

ωω− ωπ

=ω−ωδ dee tiit 0

21

: כל מה שנותר כדי לקבל את האינטגרל הרצוי הוא להפוך סימן. 0

ω−→ω ולהכפיל את שני האגפים ב π2 : מקבלים( ) ∫∞

∞−

ω−ω ω=ω−ωπδ dee tiit 0כלומר הטרנספורם . 02

)המבוקש הוא )02 ω−ωπδ.

בולוציהמשפט הקונ

אם , כפי שראינו קודם. אחד המשפטים החשובים ביותר בנושא של טרנספורם פוריה הוא משפט הקונבולוציה)ידועה לנו תגובת המערכת לפונקצית הלם )th הרי תגובת המערכת לסיגנל כללי ( )tx היא הקונבולוציה

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

ττ−τ== xthdtxthty * .

למה שווה , או בכלל? למה שווה טרנספורם פוריה של הקונבולוציה הזאת: נשאלת השאלה המיידית, מכאן ?טרנספורם פוריה של קונבולוציה כלשהי

חישוב הטרנספורם הוא כמובן

( ) ( ) ( ) ( ) dtexthdtyFiY tiω−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ−τ==ω

נחליף סדר אינטגרלים


( ) ( ) ( ) ( ) τ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

τ−τ=τ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ−= ∫ ∫∫ ∫∞

∞−

ω−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ω− detdthxdextdth titi

ולכן שווה לטרנספורם כפול אקספוננט , ל טרנספורם של סיגנל מוזזכיוון שהאינטגרל הפנימי הוא בסך הכ

)כפי שלמדנו(

( ) ( ) ( ) ( )ω=τ−=τ− ωτ−ωτ−τ−ω−∞

∞−

ω−∞

∞−∫∫ iHeeetdthetdth iititi

הרי

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωω=τωτ=ω ∫∞

∞−

ωτ− iXiHdiHexiY i

טרנספורם פוריה של קונבולוציה של שני סיגנלים שווה למכפלת : גילינו תגלית מרעישה, כלומר

:מטיתאו בצורה מת, טרנספורמי פוריה של שני הסיגנלים

( ) ( ) ( ) ( ) txFthFtxthF =*

:או בכתיבה אחרת

)אם ) ( ) ( )txthty ) אז =* ) ( ) ( )ωω=ω iXiHiY


משפט המכפלה

:מתכונת הדואליות וממשפט הקונבולוציה אין פלא שניתן לנסח את המשפט ההפוך .π2 לחלק ל יםהטרנספורם של מכפלת אותות הוא קונבולוציה של שני הטרנספורמ

)בהינתן שני אותות , כלומר ) ( )tpts )והמכפלה שלהם , , ) ( ) ( )tptstr הרי מתקיים. =

( ) ( ) ( )( ) PSdxxiPixSiR *21

21

π=−ω

π=ω ∫

∞

∞−

:דוגמא ):OWNלקוח מ (מצאו את טרנספורם פוריה של האות

( ) ( ) ( )2

2/sinsint

tttxπ

=

,תשובה

:ופן הבאנרשום אותו בא

( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ=

tt

tttx 2/sinsin

מכאן ברור כי הטרנספורם הוא קונבולוציה

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

θθ−ωθ=ωω=ω 1221

1221 rectrectrect*rect diX

-2 -1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

θ

In this figure ω=2

rect1(θ)rect2(ω-θ)

:נקבל

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ω≤ω<ω−ω<

=ω2/11

2/32/12/32/30

iX


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

ω

X(iω

)

נגזרת

מאוד עוזר לנו כשאנו עוסקים במערכות לינאריות ) ופירוק פורייה(טרנספורם פורייה , כפי שהסברנו קודם . גזרות ואינטגרלים הם דוגמא למערכות כאלונ. שאינן משתנות בזמן

:ובו זמנית נגזור את הצגתו כטרנספורם נקבל, נגזור סיגנל כלשהו, אם למשל

( ) ( )∫∞

∞−

ω ωωπ

= deiXtx ti

21

( ) ( )∫

∞

∞−

ω ωωωπ

= deiXidt

tdx ti

21

,כלומר. ωiגילינו מייד כי הטרנספורם של נגזרת של אות הוא הטרנספורם של אותו אות מוכפל ב , כלומר

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=ωω

dttdxFiXi

אינטגרל

אלא שהפעם שוב יש להיזהר לגבי מה שקורה באופן דומה לגזירה ניתן לקבל ביטוי לטרנספורם של אינטגרל פשוט זוכרים כי? מה עושים. ω=0בתדר

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutxdtuxdxt

*∫∫∞

∞−∞−

=ττ−τ=ττ


הוא לא אחר מאשר הקונבולוציה של הסיגנל המקורי tסויים ממינוס אינסוף להאינטגרל של סיגנל מ, כלומר)עם פונקצית מדרגה )tu ,הטרנספורם של קונבולוציה הוא כזכור ! והרי לטפל בקונבולוציה אנו יודעים

.המכפלה של הטרנספורמים

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ωπδ+ω

ω==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ∫∞− i

iXtuFtxFdxFt 1

,כלומר

( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ=ωδπ+ωω ∫

∞−

t

dxFXiXi

01

שנתנה לנו ωiכי זו הפעולה ההפוכה להכפלה ב ) ωiחילוק ב (האיבר הראשון מראה שזו אכן אינטגרציה .י האיבר השני"אין באיבר זה לספק את קבוע האינטגרציה שנקבע ע, אבל. נגזרת

:דוגמא

:רם של האות הבאנחשב את הטרנספו. א

( )⎩⎨⎧

≤<−<<−

=011

101tt

tx

.לחשב את הטרנספורם של האינטגרל שלו. ב

:תשובה :ניתן לחשב טרנספורם זה בשתי דרכים

. בעזרת הידע שלנו על טרנספורם של אינטגרל, דרך ראשונה :נשים לב לעובדה שהנגזרת של האות שלנו היא

( ) ( ) ( ) ( ) ( )121' +δ+δ−−δ=≡ ttttxtz

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]1cos22cos22

121

−ω=−ω=+−=

=+δ+δ−−δ==ω

ωω−

∞

∞−

ω−∞

∞−

ω− ∫∫ii

titi

ee

dtetttdtetziZ

:כעת נשתמש בנוסחה

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) txFdzFZiZi

iXt

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ=ωδπ+ωω

=ω ∫∞−

01

)ונסיק כי הטרנספורם של ) ( )∫∞−

ττ=t

dztx הוא

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ωω

−=ω

−ω=ωδπ+

ω−ω

=ωδπ+ωω

=ωiii

ZiZi

iX 2/sin41cos201cos201 2


:אפשרות שניה היא לחשב את הטרנספורם במישרין

( ) ( ) ( )

( )[ ]1cos2

sin21

0

1

0

1

0

1

0

0

1

−ωω

−

=ω=−=−==ω ∫∫∫ ∫∫∫ ω−ωω−

−

ω−∞

∞−

ω−

i

dttidtedtedtedtedtetxiX tititititi

.ולמעשה קיבלנו אותה תוצאה

)על מנת לחשב את האינטגרל של . ב )tx) כי האינטגרל הוא פשוט , שימו לב( )t2trian ( נשתמש שוב

)בנוסחה ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ττ=ωδπ+ωω ∫

∞−

t

dxFXiXi

:ונקבל כי הוא פשוט, 01

( )[ ]

2

cos12ω

ω−

)שימו לב כי גם הפעם ) 00 =X וזה מורה כי ( )∫∞

∞−

= 0dttx) למה?(

ת טרנספורמים בסיסייםטבל

( )tx ) סיגנל )ωiX ka טרנספורם פוריה מקדמי טור פוריה עבור אות מחזורי

tie 0ω ( )02 ω−ωπδ

⎩⎨⎧

≠=

=1011

kk

ak

1 ( )ωπδ2

⎩⎨⎧

≠=

=0001

kk

ak

∑∞

−∞=

ω

k

tik ea 0 ( )∑

∞

−∞=

ω−ωδπk

k ka 02 ka

( )t0cos ω ( ) ( )[ ]00 ω+ωδ+ω−ωδπ

⎩⎨⎧

≠±=

=1012/1

kk

ak

( )t0sin ω ( ) ( )[ ]00 ω+ωδ−ω−ωδπ− i

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−

=otherwise0

12/12/

kiki

ak

( )⎩⎨⎧

<<<

=2/2/0

2/1

1

1

TtTTt

tx

גל מרובע מחזורי( ) ( )TxTtx =+

( ) ( )∑∞

−∞=

ω−ωδω

k

kk

Tk0

10 2/sin2 ( )π

ωk

Tk 2/sin 10


( )∑∞

−∞=

−δn

nTt ∑∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωδπ

k Tk

T22

Tak /1=

( )⎩⎨⎧

<<

=tT

Tttx

2/02/1

1

1

פולס מרובע יחיד

( )ωω 2/sin2 1T

-

( )t

tπΩsin ( )

⎩⎨⎧

Ω>ωΩ<ω

=ω01

iX -

( )0tt −δ 0tie ω− - ( )tδ 1 - ( )tu ( )ωπδ+

ωi1 -

( ) 0Re, >− aetu at ω+ ia

1 -

( ) 0Re, >− atetu at ( )2

1ω+ ia

-

( ) ( ) 0Re,!1

1

>−

−−

an

ettuatn

( )nia ω+1

( )dt

tdx ( )ωω iXi

( )∫∞−

ττt

dx ( ) ( ) ( )ωδπ+ωω 0X

iiX

ריהפתרון משוואות דיפרנציאליות בעזרת טרנספורם פו

:נתחיל בדוגמא :כיצד נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה

( ) ( ) ( )txtby

dttdy

=+

יש טעם לבצע עליה טרנספורם פוריה LTIכיוון שמשוואה זו מתארת למעשה מערכת

( ) ( ) ( )ω=ω+ωω iXibYiYi

כלומר

( ) ( ) ( )ωω=ω iXiHiY


כאשר

( )bi

iH+ω

=ω1

.של המערכת להלם) התגובה(ורם של פונקצית ההענות הוא הטרנספ

לכן

( ) ( ) btetuth −=

ואז הפיתרון הוא פשוט הקונבולוציה

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞−

τ−∞

∞−

τ−− ττ=ττ−τ==t

bbttb xedexetudtxthty *

.זהו רק הפיתרון המסויים ויש לצרף לו את הפיתרונות ההומוגניים, כמובן

ינארית מהצורהניתן להכליל זאת עבור כל משוואה דיפרנציאלית ל, כלומר

( ) ( )

j

jM

jjk

kN

kk dt

txdbdt

tyda ∑∑==

=00

)הרי ההענות הספקטרלית של המערכת הזו )ωiH

( ) ( )( )

( )( )∑

∑=

=

ω

ω=

ωω

=ω N

kk

k

M

jj

j

ia

ib

iXiYiH

0

0

:דוגמא מורכבת יותר

( ) ( ) ( ) ( ) ( )txdt

tdxtydt

tdydt

tyd 4652

2

+=++

הרי

( )( ) ( ) 65

42 +ω+ω

+ω=ω

iiiiH

?כיצד נמצא את המקור של הטרנספורם הזה


נשים לב לכך שאת המכנה נוכל לרשום . ים שאנו יודעים את הטרנספורם ההפוך שלהםנפרק אותו לרכיב כמכפלה של שני גורמים

( )( ) ( ) ( )( ) 3232

465

42 +ω

++ω

=+ω+ω

+ω=

+ω+ω+ω

=ωi

Bi

Aii

iii

iiH

:כלומר. י השוואת הרכיבים הממשי והמדומה של המונה" עB ו Aאנחנו מחפשים את המקדמים

( ) ( ) ( ) ( )BABAiiBiAi 23234 +++ω=+ω++ω=+ω

:לכן

BABA

2341

+=+=

:הפיתרון הוא פשוט

1,2 −== BA

:לכן

( )3

12

2+ω

−+ω

=ωii

iH

:ומכאן נובע כי

( ) ( ) ( ) ( )( )tttt eetuetuetuth 3232 22 −−−− −=−=

:כך שהפעם הפיתרון יהיה בנוי מסכום של שני אינטגרלים

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞−

τ−

∞−

τ− ττ−ττ==t

tt

t xedexedetxthty 33222*

.פשוט


מפליטודה והפזה של אותספקטרום הא

:ופזה) הערך המוחלט(של אות ניתן לפרק לאמפליטודה ) או הספקטרום(את הטרנספורם

( ) ( ) ( )ω∠ω=ω iXieiXiX הטרנספורם של המוצא הוא פשוט מכפלה של טרנספורם האות הנכנס מוכפל LTIכעת ניזכר כי במערכת

:בטרנספורם של פונקצית ההענות

( ) ( ) ( )ωω=ω iXiHiY

הערכים המוחלטים הם פשוט מכפלה ,לכן( ) ( ) ( )ωω=ω iXiHiY

:בעוד שהפזות מסתכמות

( ) ( ) ( )ω∠+ω∠=ω∠ iXiHiY

Time Delay )בהינתן מערכת בעל ספקטרום העברה )ωiH) בתדר בכלכשחודר למערכת גל , דהיינו ω :( ) tietx ω=

)יוצא גל מוכפל ב )ωiH :( ) ( ) tieiHty ωω=( ,נשאלת השאלה הבאה. ?כמה זמן לקח לאות לעבור את המערכת

וניתן להראות שבאופן , ולמעשה ניתן לענות עליה בכמה דרכים, מסתבר כי התשובה לשאלה זו אינה קלה כלל .מקובל לענות על שאלה זו לפי הטיעון שנציג להלן, עם זאתיחד . כללי היא אינה מוגדרת היטב

)אם , כזכור ) TieiH ω−=ω) כלומר( ) 1=ωiH ,( ) TiH ω−=ω∠ (

) נקבל הזזה בזמן ) ( )Ttxty .Tהוא ) delay(ומשך העיכוב , בזמןאחורה הסיגנל זז : משמע. =−)כלומר כאשר , אבל מה קורה כאשר הפזה של המערכת אינה לינארית בתדר ) ( )ωθ−=ω ieiH?

)אם הרוחב הספקטרלי של הסיגנל הנכנס , ובכן )tx 0נאמר ( הוא מאוד צר סביב תדר נתוןω ( נוכל הרי וב לינארי מסדר ראשוןלקרב את הפזה הלא לינארית לקיר

( ) ( ) ( ) ωα−φ−=ωθ

ω−ω−θ−≅ωθ−=ω∠ddiH 00

delayTimeאם נסמן את ה , לכן. αכעת ניתן להעריך מייד את זמן העיכוב כשווה ל : הריτ באות −

( ) ( ) ω∠ω

−=ωτ iHdd

:דוגמא) :בהינתן מערכת שתגובת ההלם שלה היא ) ( ) tetuth .ω שלה לתדר נתון Time-Delay חשבו את ה =−2

:תשובה


( )ω+

=ωi

iH2

1

( ) ( )2/arctan

241 ω−

ω+=ω ieiH

( )24

1ω+

=ωiH , ( ) ( )2/arctan ω−=ω∠ iH

לכן

( ) ( )( )22/1

121

ω+=

ωω∠

−=ωτd

iHd

. שהתדר גבוה יותר כך זמן העיכוב קצר יותר ככל–קיבלנו לורנציאן , כלומר

)פילטרים(מסננים

אידאלי חוסם תדרים עד תדר ) lowpass filter(כלומר מעביר תדרים נמוכים בלבד , מסנן תדרים גבוהים ) :cω(נתון

( )⎩⎨⎧

ω>ωω≤ω

=ωc

ciH01

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

ω/ωc

X(iω

)

תדובת ההלם של פילטר כזה היא, כידוע

( )t

tth c

πω

=sin


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ωct/π

h(t)

[uni

ts o

f ωc/π

]

figure(1) x=[-7:0.01:7]+eps; y=sin(pi*x)./(pi*x); plot(x,y,'linewidth',4) grid xlabel('\omega_ct/\pi','fontsize',16); ylabel('h(t) [units of \omega_c/\pi]','fontsize',16) figure(2) s=cumsum(y)*mean(diff(x)); plot(x,s,'k','linewidth',4) grid xlabel('\omega_ct/\pi','fontsize',16); ylabel('s(t)','fontsize',16)

תגובת הפילטר למדרגהובעזרת אותה תוכנית נקבל את

( ) ( )∫∞−

ττ=t

hdts


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

ωct/π

s(t)

המעבר לא חד אלא . הפילטר מרחיב את פולס ההלם החודר אליו ונוצרות תנודות במעבר, כפי שניתן לראותπωפוע שהוא כמובן שווה ל בעל שי /c .ראו גרף אדום

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ωct/π

s(t)

.0ויורד מתחת ל ) 1.09מגיע עד (1וכמו כן הוא עובר את הערך

סיבה נוספת היא המקרה שבו . ההתנהגות הזאת היא אחת הסיבות שלא תמיד מעוניינים בפילטרים אידאליים

" פילטר חוסם"למצב " פילטר מעביר"י שהמעבר ממצב במקרה זה רצו. ספקטרומים עולים אחד על השני .יהיה הדרגתי ולא מיידי


) שלא מתקיים, בעייה נוספת היא ) 0=th 0 עבור<t ולכן פילטר אידאלי הוא לא מערכת סיבתית ולכן לא .יעבוד בזמן אמת

.פילטר אידאליבעיה נוספת היא המורכבות והעלות הגבוהה ביצור .מסיבות אלו ואחרות הפילטרים הנפוצים בעולם הם דווקא לא פילטרים אידאליים

לא אידאליLowpassתיאור סכמטי של ספקטרום של פילטר

:פרמטרים חשובים

ומה ) המשרעת(טודה שלהן מה האמפלי, ואם כן) תנודות(האם יש ריפלים , ירידה\) risetime(זמן העליה ?התדירות

דגימה ומשפט נייקוויסט

.במקום לדעת אות מסויים אנו דוגמים אותו בזמנים מסויימים בלבד, בהרבה מקרים)אם סיגנל מסויים , למשל )txעם זמן מחזור אנו דוגמים בתדר Tכרכבת ת דגימה ו הרי ניתן להגדיר א

למיםה

( ) ( )∑∞

−∞=

−δ=n

nTttp

Tsהיא ) הבסיסית(תדירות הדגימה , ואז /2π=ωוהסיגנל הדגום הוא

2δ

11 δ+

11 δ−

ωpω sω

Passband

Transition

Stopband

( )ωiH


( ) ( ) ( )tptxtxp =

נקבל כי האות הדגום יראה

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−δ=n

p nTtnTxtx

בעזרת משפט המכפלה

( ) ( ) ( )( ) PSdxxiPixSiR *21

21

π=−ω

π=ω ∫

∞

∞−

וכיוון שהטרנספורם של פונקצית הדגימה היא

( ) ( )∑∞

−∞=

ω−ωδπ

=ωk

skT

iP 2

)לאות מחזורי מתקיים : נזכיר( ) ( )∑∞

−∞=

ω−ωδπ=ωk

kkaiX כאשר במקרה שלנו 2

( )∫−

ω− =δ=2/

2/

110

T

T

tikk T

dtetT

a(

:נקבל הקונבולוציה תיתן לנו, לכן

( ) ( )[ ]∑∞

−∞=

ω−ω=ωk

sp kiXT

iX 1

אות מקורי

פונקצית דגימה

אות דגום


ת אינסופית של העתקים של הטרנספורם המקורי מוכפלים שווה לרכבשל הרכבת שלנו הטרנספורם , כלומר . T/1ב

.כדי שלא תהיה חפיפה חשוב שתדר הדגימה יהיה גדול מרוחב הפס הספקטרלי של האות הנדגם, כמובן

.במקרה כזה נצליח לשחזר את הספקטרום בדייקנות

Msאם ω>ω לא תהיה חפיפה2

Msואילו כאשר ω<ω כן תהיה חפיפה2

.כך שלמעשה נקבל עיוות של ספקטרום האות

sω sω2sω− 2 sω− 0

Tπ2

( )ωiX

( )ωiP

Mω Mω−

( )ωiX

Mω Mω−

( )ωiX p

Mω Mω− sω

( )ωiX p

Mω Mω−

sω


:מכאן נובע משפט הדגימה

)אם נתון אות )txכלומר . תון בעל רוחב ספקטרלי נ( ) 0=ωiX עבור Mω>ω . הרי( )tx נקבע באופן )י הדגימות שלו "מדוייק ויחיד ע )nTx) כאשרK,2,1,0 ±±=n ( אםMs ω>ω Ts כאשר 2 /2π=ω. )את הסיגנל המקורי הדרך לשחזר )tx מהדגימות שלו ( )nTx הוא ליצור סיגנל הבנוי מרכבת הלמים ששטח

Mω שתדר הקיטעון שלה גדול מT בעל הגברה lowpass filterלהעביר אותו ב , כל אחד כערך הדגימה Msמ אבל קטן ω−ω.

)התוצאה שנקבל היא העתק מדוייק של הסיגנל המקורי )tx.

)אם נעביר את האות דרך פילטר בעל תגובת הלם )th כי הרי זו מערכת ( הרי הסיגנל ביציאה מהפילטר יראהLTI:(

( ) ( ) ( )thtxtx pr *=

)ואם נציב את ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−δ=n

p nTtnTxtxנקבל

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−=n

r nTthnTxtx

Tהמגביר פי כעת נציב את תגובת ההלם של פילטר אידאלי

( ) ( )t

tTth c

πω

=sin

.cω<ωפילטר זה חוסם את תחום התדרים

נקבל

( ) ( ) ( )[ ]( )∑

∞

−∞= −ω−ω

πω

=n c

ccr nTt

nTtTnTxtx

sin

signals and systems - ariel.ac.il...תונרג לארא – תוכרעמו תותוא 4 (לנגיס)...

Documents