significado de la derivada elemental

:f D R R

0

00

0

limx x

f x f xdf x xdx x x

0x

f x

x

0 tandf x xdx

3

0

:

Se define la derivada parcial de respectoa , como

, , , , , ,limh

D R R

x

x y z x h y z x y zx h

3

0

:Se define la derivada parcial de respecto a , como

, , , , , ,limh

D R Rx

x y z x h y z x y zx h

Es decir, es como la derivada "normal" tomandoa las variables independientes y comoconstantes

y z

3:Las derivadas respecto a las otras variables independientes, y , se definen exactamente igual, cambiando los roles demanera evidente.

D R R

y z

0

, , , , , ,limh

x y z x y h z x y zy h

0

, , , , , ,limh

x y z x y z h x y zz h

3: , ,R R x y z x y z

3: , ,

, ,1

R R x y z x y z

x y zx

3

, ,

: ,

,1

1

,

,

R R x y z x y z

x y z

y

x

x zy

3: , ,

, ,1

, ,1

, ,1

R R x y z x y z

x y zxx y z

x y zz

y

3: , ,

, ,1

, ,1

, ,1

R R x y z x y z

x y zxx y zyx y zz

3 2: , , sin expR R x y z xy x y z z

3 2: , , sin ex

, ,sin os

p

c

R R x y

x y zy x xy

z xy x z z

xx

y

3 2

, ,sin 2

: , , sin exp

, ,sin cos

R R x y z xy x y z z

x y zy x xy x

x y zy

x

x x yz

3 2

2, ,e

:

x

, , sin exp

, ,sin cos

, ,sin 2

px y z

y zz


x y zy x xy x

xx y z

x x yzy

3 2

2

: , , sin exp

, ,sin cos

, ,sin 2

, ,exp


x y zy x xy x

xx y z

x x yzyx y z

y zz

2 2

Intersección con un pIntersección con un pl

:

anol

,

ano

D R R z x

x

y xy

y

2 2

2

: ,

a) =

D R R z x y xy

x z y

2 2: ,

b) =

D R R z x y xy

y z x

:f D R R

0

00

0

limx x

f x f xdf x xdx x x

0x

f x

x

0 tandf x xdx

3

0

Nos indica el cambio

:, , , , , ,

lim

de la función en la direccióndel eje correspondiente.Es la pendiente de la tangen

¿Qué significado físico tiene una derivada parcia

te

?

e

l

d l

h

D R Rx y z x h y z x y zx h

a curva proyectadasobre el plano correspondiente.

: n mF R R

:

A cada elemento de ,es decir, a cada vector,

se le asocia un vector de ,

n m

n

m

F R R

R

R

x F x

1 2

:

, ,...,

Cada una de las componentes del campo vectorial

es una función de .

Es decir, cada una de las componentes del campovectorial es un campo escalar.

: 1,...

n m

m

n

ni

F R R

F x F x F x F x

F x R R

F x R R i

,m

2 2: ,F R R x F x x y y x

x Y x+y y-x0 0 0 01 0 1 -10 1 1 11 1 2 0-1 -1 -2 0-1 1 0 21 -1 0 -22 0 2 -23 -1 2 -4


(x,y) F(x,y)(0,0) (0,0)(1,0) (1,-1)(0,1) (1,1)(1,1) (2,0)

(-1,-1) (-2,0)(-1,1) (0,2)(1,-1) (0,-2)(2,0) (2,-2)(3,-1) (2,-4)

3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2: ; , ,y x zF R R F x

x y z x y z x y z

1 2: , ,...,

: 1,...,

Derivadas parciales de un campo vectorial:

; 1,2,..., , 1,2,...,

n mm

ni

i

j

F R R F x F x F x F x

F x R R i m

F xj n i m

x

1) Funciones vectoriales de una variable real

:

2) Campos escalares

:

3) Campos vectoriales

:

n

n

n m

V R R t r t

R R x x

F R R x F x

1 2

Sea :un campo escalar diferenciable,el

:definido como

,

c

gradiente de

ampo vectorial

,...,

se llama

n

n n

n

D R R

R R

x x x xx x x

2 2 31: ,6

R R x y x y

1/ 3

2 2

2 3 2

3

1

1: ,6

66x y a y

R R x y x y

a x

2

2 31, , , ,6 3 2

x yx y x y x yx y

2 3

2

1,6

, ,3 2

0.0,0.7 0.057

0.0,0.7 0.000,0.245

x y x y

x yx y

2 3

2

1,6

, ,3 2

1, 1 0

1 11, 1 ,3 2

x y x y

x yx y

2 2 2 3

2 2 2

, , ; :

Las curvas de nivel están dadas por la ecuación:

constantees decir, son esferas con centro en el origen y

radio igual a constante

x y z x y z R R

x y z

2 2 2, , , , , , 2 , ,x y z x y z x y z x y zx y z

Sea : un campo escalar diferenciable.

En todos los puntos en los cuales 0,

el vector apunta en la dirección de mayor

crecimiento de .

El número es la razón máxima de

crecimiento.

nD R R

x

x

x

El gradiente es perpendicular a las superficies y curvas de nivel

Las superficies y curvas de nivel son en las que el campo escalar no cambia, en las que el campo escalar se mantiene constante, por lo tanto es lógico que el gradiente, que indica la dirección de mayor crecimiento de la función, sea perpendicular a ellas

2

2 31, , , ,6 3 2

x yx y x y x yx y

El gradiente es ortogonal a las superficies (ó líneas) equipotenciales

, sin( )cosx y x y y

• El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores.

• El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar

1

campo escalar

S

divergencia de

ea : un campo vectorial diferenciable,el

:definido como

se llama

n n

n

ni

i i

F D R R

F R R

F

FFx

3 3

2 2

2 2

Sea : un campo vectorial diferenciable,definido como

, , , ,2

2 2

, , 2

F D R R

F x y z xz y x y

F xz y x y z yx y z

F x y z z y

1

:

Como veremos más adelante, la divergencia nosindica cuáles son las fuentes y los sumideros delas lineas del campo vectorial.Donde la divergencia es diferente de cero, setien

nn n i

i i

FF D R R Fx

e una fuente o un sumidero del campo,según el signo.

3 3

3 3

Sea : un campo vectorial diferenciable,el

:definido como

ro

c

ˆˆ ˆ

se

ampo vecto

llama tacional de

ial

r

x y z

F D R R

F R R

i j k

Fx y zF F F

F

OJO: En inglés se llama“CURL”Equivale a “chinitos”, “rulitos”

3 3

2 2

2

2 2

Sea : un campo vectorial diferenciable,definido como

, , , ,2

ˆˆ ˆ

2 , 4 ,0

2

F D R R

F x y z xz y x y

i j k

F x x xyx y zxz y x y

3 3

ˆˆ ˆ

:

El rotacional de un campo vectorial nos dice"que tantas vueltas" dan las líneas de campo.Si el rotacional es cero, entonces la líneas decampo no pueden "cerrarse"

x y z

i j k

F D R R Fx y zF F F

1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial2. Funciones vectoriales de varias variables3. Diferenciación parcial4. El gradiente, la divergencia y el rotacional5. Integración múltiple6. Integral de línea7. Integral de superficie8. El teorema de la divergencia9. El teorema de Stokes10. Otros teoremas integrales

Definimos una función de x en y como

toda aplicación (regla, criterio

perfectamente definido), que a un

número x (variable independiente), le

hace corresponder un número y (y solo

uno llamado variable dependiente).

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R

Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.

Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.

El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).

Nota El dominio de una función puede estar limitado por:

1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.

2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

: 3 2

Su dominio son todos los números reales

Su contradominio o codominio son todos los números reales

Su rango son todos los números reales

f R R y f x x

: 3 2f R R y f x x

x f(x)0 21 5

-1 -12 8

-2 -43 11

-3 -74 14

-4 -105 17

-5 -13

x f(x)0.10 2.301.76 7.28

-3.45 -8.358.97 28.912.34 9.02

13.33 41.991.41 6.23

16.77 52.31-44.44 -131.32

0.01 2.03-123.00 -367.00

: exp

Su dominio son todos los números reales


Su rango son todos los números realespositivos

xf R R y x e

exp : exp xR R y x e x f(x)0.10 1.1051709

11.88 144,350.5506832-3.45 0.03174568.97 7,863.60160552.34 10.3812366

13.33 615,382.92789006.99 1,085.7214762

-91.23 0.00000002.22 9.20733090.50 1.6487213

-12.45 0.0000039

x f(x)0.00 1.0001.00 2.718

-1.00 0.3682.00 7.389

-2.00 0.1353.00 20.086

-3.00 0.0504.00 54.598

-4.00 0.0185.00 148.413

-5.00 0.007

log : (0, ) ln

Su dominio son todos los números realespositivos, ya que no existen el logaritmo deun número negativo


Su rango son todos l

R y x

os números reales

log : (0, ) lnR y x

x ln(x) x ln(x)

0.10 -2.303 0.01 -4.605

0.20 -1.609 0.02 -3.912

0.30 -1.204 0.03 -3.507

0.40 -0.916 0.04 -3.219

0.50 -0.693 0.05 -2.996

0.60 -0.511 0.06 -2.813

0.70 -0.357 0.07 -2.659

0.80 -0.223 0.08 -2.526

0.90 -0.105 0.09 -2.408

1.00 0.000 0.10 -2.303

2

Definición La gráfica de la función es el lugar geométricode los puntos del plano cuyas coordenadassatisfacen la ecuación ( )

, ,

f

y f x

G x y R x f x

: 3 2f R R y f x x

exp : exp xR R y x e

log : (0, ) lnR y x

: R R y x

El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande

Sea una función y un número real.La expresiónlim

significa que se puede hacer tan cercano a como se

quiera haciendo suficientemente cercano a .Se dice "el límite de en , cuand

x c

y f(x) c

f x L

f x L

x cf x

o se aproxima a , es ".

Lo anterior es cierto aún si

Más aún, puede no estar definida en .

x c L

f x L

f x c

Sea una función real de variable real,:

Se dice quelim

si dado >0, existe >0 tal que si

entonces

x a

f

f x L

x a

f x L

D R R

2

2

2

Nota 1.- El dominio

: 5 7

¿Cuál es e

de la función

l límite de esta función c

son todos los númerosrealesNota 2.- El contradominio de la función

uando tiendeo se acerca a 2?

¿lim 5 7 ?

son tod

x

g R R g x x

x

x

os losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R

2: 5 7g R R g x x

2

2¿lim 5 7 ?x

x

2: 5 7g R R g x x

13

2

2¿lim 5 7 ?x

x

2

2

2

: 5 7

¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 2?

lim 5 7 13x

g R R g x x

x

x

2

2

2

: 5 7


lim 5 7 1

E

3

n este caso, lim

x

x c

g R R g x x

x

x

f x f c

1

Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosreales positivos menos e

1: (0, ) 11

¿Cuál es el límite de esta función

l 1Nota 2.-

cuando tiendeo se acerca a 1?

1¿lim ?

E

1

l

x

xQ R Q xx

x

xx

contradominio de la función son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R

1: (0, ) 11

xQ R Q xx

1

1¿lim ?1x

xx

1

1: (0, ) 11


De la gráfica es claro que

1lim 21x

xQ R Q xx

x

xx

1

1: (0, ) 11


1lim 21

Sin embargo, la función ni siquiera está definida en1

x

xQ R Q xx

x

xx

x

2

5

Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosrealesNota 2.- El contradominio de

3 4 5:

5¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerc

la fu

a a 1?¿li

nción

m

?x

x xa R R a x

x xx

a x

son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función son todos los números realesmenos el intervalo (11,25]

2

3 4 5:

5x x

a R R a xx x

5

¿lim ?x

a x

2

5

3 4 5:

5¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 5

Si nos acercamos por la izquierda

No exi

tiende a 11Si nos acercamos por la derecha tiende a 25

?

l steimx

x xa R R a x

x xx

a x

0

Nota 1.- El dominio de la

1: 0

¿Cuál es el lím

función son todos

ite de esta función cuando tiendeo

los númerosreales menos el ceroNota

se acerca a 0?1¿

2.- El contradom

l

i

im ?

nio de la funci

x

E R R E xxx

x

ón son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función son todos los números reales

1: 0E R R E xx

0

1¿lim ?x x

0No existe

Si

1: 0

¿

nos

Cuál es

acercamo

el límite de est

s por la izquier

a función cuando tiendeo se ac

da tiende a Si nos acercamo

e

s

rca a

por la derecha tiende a

1

+

0?

limx

E R R E xx

x

x

1: 0E R R E xx

1: 0

¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendea , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?

E R R E xx

x

1: 0


E R R E xxx

1: 0


l 0imx

E R R E xx

x

E x



quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda.Se dice "el límit

x c

y f(x) c

f x L

f x L

x c

e de en , cuando se aproxima a porla izquierda, es ".



f x x cL

f x L

f x c



quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha.Se dice "el límite

x c

y f(x) c

f x L

f x L

x c

de en , cuando se aproxima a porla derecha, es ".



f x x cL

f x L

f x c

0

Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosreales menos el ceroNota 2.- El contrad

sin: 0

¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca

ominio

a 0?si

d

n¿li

e

m ?x

xf R R y f xx

x

xx

la función son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R

sin: 0 xf R R y f xx

0

sin¿lim ?x

xx


0

Si 0, sin

ysinlim 1

x

xxf xx

xx

0

Si 0, sin

ysinlim 1

x

xxf xx

xx


El límite por la izquierda es 1

El límite por la derecha es +1

0 0

sin sinDado que lim lim , el límite no existex x

x xx x

2: 5 7g R R g x x

En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales

1: (0, ) 11

xQ R Q xx

En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales

2

3 4 5:

5x x

a R R a xx x

En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 5 son 25 y 11 respectivamente

1: 0E R R E xx

En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 0 son +∞ y -∞ respectivamente

Sean : y :Supongamos que existen los límiteslim y lim

i).- lim lim + lim

ii).- lim lim lim

iii).- lim /

x x

x x x

x x x

x

f D R R g C R R

f x g x

af x bg x a f x b g x

f x g x f x g x

f x g x

lim si lim 0

lim

x

x

x

f xg x

g x

De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente.

De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”

Una función es continua en el punto de su dominio si:

a) está definida, es decir, está en el

Si una función es continua en todos los

dominio

puntos de sudominio se le denom

de

)

i

limx c

f x c

f c c f

b f x f c

na continuaSi una función no es continua entonces es discontinua

sin : sinR R y x

Esta función es continua

3 2

:5 2x x

h R R y h xx

• Es discontinua en x=-2• Es continua en todos

los otros puntos del dominio

Si y son continuas en el punto de su dominio

y , son números reales arbitrarios, entonces:

i).- es continua en

ii).- es continua en

iii).- es continua en , siempre y cua

f x g x c

a b

af x bg x c

f x g x c

f xc

g x

ndo

0g c

RRf :

x

f x

x

f x

b

a

f x dx

x

f x

b

a

f x dx

a

x

f x

b

a

f x dx

a b

x

f x

b

a

f x dx

a b

Esta área

x

f x

b

a

f x dx

a b

Esta área

La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b

2 32 3f x x x x

2 3

2:5 2:5 2:5 2:5 2:52 3 2 3

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

2.5 2.5 2.52.5 2 3 41.0

1.0 1.0 1.0

2 2 3 3 4 4

2 3

2 3 2 3

1 1 12 32 3 4

1 12 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.02 4

12 1.5 6.25 12

f x x x x

x x x dx dx xdx x dx x dx

x x x x

1.0 15.625 1.0 39.063 1.04

1 13.0 5.25 14.625 38.0632 4

3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842

2 32 3f x x x x

Valor aproximado 6.1172Valor exacto 5.4844

1n

5.4844 exactoValor 5.6426aproximadoValor

2n


4n


10n


50n


100n

i if x x

0

N

i ii

f x x

0 0

limi

N

i ix i

f x x

0 0

limi

bN

i ix i a

f x x f x dx

Linearidad

b b b

a a a

rf x sg x dx r f x dx s g x dx

División del rango de integración

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Antisimetría

b a

a b

f x dx f x dx

0a

a

f x dx

: n R R

:

A cada elemento de ,es decir, a cada vector,se le asocia un número real,

n

n

x x

R RR

2: , 1x x y x y R R

x Y φ(x,y)=1-x-y

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 -1

-1 -1 3

-1 1 1

1 -1 1

2 0 -1

3 -1 -1

2 2 2: , 1f f x y z x y R R

x Y f(x,y)=1-x2-y2

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 -1

-1 -1 -1

2 3 -12

-4 5 -40

:

A cada elemento de , es decir, a cada vector,se le asocia un número real,

n

nRx x

R R

3

En el caso de 2, podemos "dibujar

Gráfica

" la gr

, , ,

áfica,

x y x

n

x y

R

2

3

: , 1

Gráfica , ,1

x x y x y

x x y x y

R R

R

Gráfica

x Y φ(x,y)=1-x-y0 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 3-1 1 11 -1 12 0 -13 -1 -1

2 2 2

3 2 2

: , 1

Gráfica , , 1

f f x y z x y

x y z z x y

R R

R

Gráfica

x Y f(x,y)=1-x2-y20 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 -12 3 -12-4 5 -40

2

3

:

, 1 sin cos

Gráfica , , 1 sin cos

x y z x y

x y z z x y

R R

R

Gráfica

significado de la derivada elemental

Documents