Snellius-Descartes törvény

A közegek határán az elmozdulásnak és a feszültségnek folytonosnak kell lennie.

Ha az elmozdulás nem lenne folytonos, felszakadások és végtelen sűrűségű helyek alakulnának ki.

Ha a feszültség nem lenne folytonos, végtelen nagy erők lépnének fel a határfelületen.

α – longitudinális hullám (P hullám) sebessége

β - transzverzális hullám (S hullám) sebessége

ρ – sűrűség

Az x tengelyt vegyük fel a határon, a z tengelyt irányítsuk lefelé.

Legyen a beeső hullám egységnyi amplitúdójú.

A beeső hullám a határon

látszólagos sebességgel az x tengely pozitív iránya felé haladó hullámmozgást hoz létre.

Tételezzük fel azt is, hogy k0 hullámszámú harmonikus síkhullám esett be.

Ekkor a részecskemozgás x, illetve z irányú komponenseit a határon a következő függvények írják le:

A két komponens látszólagos terjedési sebessége azonos kell, hogy legyen, mert ugyanannak a részecskének a mozgás összetevői.

k0 az x tengely mentén mért hullámszámot jelöli.

A visszaverődő P hullám látszólagos terjedési sebessége:

Jelöljük a visszavert P hullám amplitúdóját rP-vel. A részecskemozgás x és z irányú komponensei:

A z irányú komponens negatív előjele azt fejezi ki, hogy a terjedési irány vetülete a z tengely irányával ellentétes.

k1P a visszavert P hullámnak az x tengelyen mért hullámszámát jelöli.

Vezessük be az előbbiekhez hasonlóan a visszaverődő S hullámra, továbbá az áthaladó P és S hullámra a látszólagos terjedési sebességeket:

Az áthaladó P és S hullámok amplitúdóit tp-vel és ts-sel jelölve, az előző megfontolásokkal azonos módon kapjuk a megfelelő részecske elmozdulásokat leíró egyenleteket.

A folytonossági feltétel miatt a részecske elmozdulások mindkét komponensének meg kell egyeznie a felső és az alsó közegben a határ két oldalán:

Az előbbi két egyenlőségnek minden x helyre és minden t időre érvényesnek kell lennie. Ez csak úgy oldható meg, ha az x és (külön) a t változók szorzói minden kifejezésben egyformák. Ebből következik, hogy:

Az első egyenletsor értelmében a visszavert és az áthaladó hullámok x tengely mentén mért hullámszámai megegyeznek a beeső hulláméval.

A második egyenőség sor éppen a törési törvényeket adja. Írjuk be a látszólagos sebességeket:

Az egyes hullámok időbeli frekvenciáját is kiszámíthatjuk a fenti egyenlőségből:

Ez azt jelenti, hogy a visszaverődés, illetve az áthaladás a réteghatáron nem változtatja meg a hullám időbeli frekvenciáját.

Vegyünk egy speciális esetet. Válasszunk olyan x és t párokat, melyekre

Ezen az x helyen és t időben az összes argumentum 90o.

Egyszerüsítés: szorítkozzunk két folyadékközeg esetére. Folyadékban transzverzális hullámok nem terjednek, így csak két együtthatót kell meghatározni, az r reflexiós és a t transzmissziós együtthatókat.

Mivel a folyadékrészecskék egymáson elmozdulhatnak, az u irányú elmozdulás folytonosságát nem kell megkövetelni. Nyírófeszültségek sem keletkeznek, emiatt a pxz feszültségkomponens a határ mindkét oldalán nulla.

Marad két határfeltétel: ezek a w elmozduláskomponens és a pzz feszültségkomponens folytonosságát követelik meg. A felesleges rs és ts elhagyásával:

Folyadékban a nyíró komponensek eltűnnek, ezért:

A beeső longitudinális hullámban a részecskemozgás két komponensét az x, z helyen és t időben a következő függvények írják le, ahol k a valódi hullámszámot jelöli:

A beeső hullám miatt fellépő pzz feszültség értéke tetszőleges x, z helyen, pzz

előbbi definíciója alapján :

A határon, z=0 esetén ebből a második tag kiesik. Ugyan ezt leírhatjuk a visszvert és az áthaladó hullám esetére is :

Az első két pzz összegének azonosnak kell lennie a másik oldali (harmadik) pzz-vel.

Használjuk fel a már korábban megismert egyenlőségeket :

valamint a folyadékokra érvényes kapcsolatot :

Ekkor a pzz folytonosságát előíró egyenlet jelentősen egyszerüsödik :

A korábban felírt

egyenletből, φ0 és φ1 azonossága miatt az r reflexiós és t transzmissziós együtthatók a következő alakúak lesznek :

Vezessük be a normál impedanciának, vagy más esetekben akusztikus impedanciának nevezett mennyiségeket :

Ekkor a két együttható :

A fenti összefüggés a P hullám amplitúdóviszonyait írja le, folyadék közegek esetére.

A gyakorlati szeizmikus kutatások során ezeknek a képleteknek a φ = 0 esetére egyszerűsített változatát szokták használni.

1919-ben Zoeppritz levezette és publikálta a longitudinális és transzverzális hullámokat is magába foglaló eddig ismert legteljesebb megoldást.

A kiindulás : két homogén közeg határára beesik egy sík P-hullám, A0 amplitúdóval.

A Zoeppritz egyenletek megadják mind a visszavert, mind az áthaladó P és a beeső hullám által gerjesztett S hullámok amplitúdóját.

A Zoeppritz egyenleteket többen megpróbálták használható alakra hozni. A leegyszerüsített végeredmény a visszavert P hullám amplitúdójára ad meg egy formulát, miszerint az amplitúdó függ a beesési szögtől ( θ ) és a határos két réteg Poisson állandója ( σ ) közötti különbségtől.

ahol r0 a merőlegesen (0 szögben) beeső hullám reflexiós együtthatója, ri pedig a θi szögben beeső hullámé. α a két rétegben a P hullám terjedési sebességének átlaga, Δα pedig a két sebesség különbsége. A0 a beeső P hullám amplitúdója.

Ezeket a mennyiségeket becsülni tudjuk a mért szeizmikus hullám amplitúdója segítségével. Ezekből a Poisson állandó helyi változásai kimutathatók.

A folyadékok gyakorlatilag összenyomhatatlanok, Poisson állandójuk 0.5 közeli. A gázok majdnem teljesen összenyomhatók. Ezért Poisson állandójuk 0.0 közeli.

Képzeljük el, hogy egy rétegben egyik helyről a másikra a pórustartalom folyadékról (vízről) gázra változik. Ha megvizsgáljuk a reflektált hullám amplitúdóját a beesési szög függvényében, a két hely között jeletős anomáliát fogunk találni.

Ez felhasználható közvetlen pórustartalom becslésekre.

Az ábrán a vizszintes tengelyen a beesési szög látható, 0-tól 45 fokig.

A függőleges tengely a hullám kétszeres terjedési ideje (lement és feljött)

A pirossal jelölt zónában egy ismert gáztelep található.

Két példa a gázakkumuláció kimutatására.