Sveučilǐste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilǐsni preddiplomski studij matematike

Silvana MarmeggiNewton-Cotesove kvadraturne formule

Završni rad

Osijek, 2019.

Sveučilǐste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilǐsni preddiplomski studij matematike

Silvana MarmeggiNewton-Cotesove kvadraturne formule

Završni rad

Mentor: izv.prof.dr.sc. Mihaela Ribičić Penava

Osijek, 2019.

Newton-Cotes quadrature formulae

Sažetak

U ovom završnom radu objasnit ćemo pojam interpolacije funkcije polinomom te do-kazati egzistenciju i jedinstvenost Lagrangeovog interpolacijskog polinoma. Defini-rat ćemo Newton-Cotesovu kvadraturnu formulu, obraditi njezine specijalne slučajeve:pravilo sredǐsnje točke, trapezno pravilo i Simpsonovo pravilo. Odredit ćemo njihovekompozitne oblike, procijeniti pogreške aproksimacije pomoću Peanove jezgre te navestiprimjere.

Ključne riječiLagrangeov interpolacijski polinom, Newton-Cotesova kvadraturna formula, Peanova jezgra, pravilo

sredǐsnje točke, trapezno pravilo, Simpsonovo pravilo

Abstract

In this bachelor’s thesis we will explain polynomial interpolation of a function, provethe existence and uniqueness of Lagrange polynomials. We will define the Newton-Cotes quadrature formulae and their special forms: the mid-point rule, the trapezoidalrule and Simpsons rule. For each case, we will determine the composite rule, estimatethe approximation error using the Peano kernel and demonstrate an example.

KeywordsLagrange polynomials, Newton-Cotes formula, Peano kernel, mid-point rule, trapezoidal rule, Simpsons rule

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma 2

3 Newton-Cotesove kvadraturne formule 5

4 Specijalni slučajevi Newton-Cotesovihkvadraturnih formula 84.1 Pravilo sredǐsnje točke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Trapezno pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Simpsonovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

i

1 Uvod

Neka je f : [ a, b ] → R neprekidna funkcija te G njena primitivna funkcija. Tada seRiemannov integral funkcije f na intervalu [ a, b ] može izračunati primjenom Newton-Leibnizove formule :

b∫a

f(x) dx = G (b)−G (a) .

Medutim, proces računanja odredenog integrala može biti znatno kompliciraniji. Primjerice,ukoliko podintegralna funkcija f nije neprekidna ili se njezina primitivna funkcija G ne možeizračunati elementarnim metodama. U takvim slučajevima, često je jednostavnije aproksi-mirati vrijednost integrala, nego pronaći njegovu egzaktnu vrijednost. Jedne od mnogobroj-nih metoda aproksimiranja odredenih integrala su kvadraturne formule koje aproksimirajuodredeni integral, sa ili bez ostatka (pogreške). Kvadraturne formule su općenito oblika

b∫a

f (x) dx =n∑

k=0

ωkf (xk) + E (f) ,

gdje su ωk ≥ 0 težine, xk čvorovi koje uglavnom odabiremo iz segmenta integracije [a, b] takoda vrijedi a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b , dok je E (f) pogreška aproksimacije. Kažemo daje kvadraturna formula egzaktna za polinome p (x) iz Pm , prostora svih polinoma stupnjamanjeg ili jednakog m, ukoliko vrijedi E(f) = 0 , odnosno vrijedi

b∫a

f (x) dx =n∑

k=0

ωkp (xk) ,

za sve polinome stupnja manjeg ili jednakog m . Red kvadraturne formule definiramo kaonajveći prirodan broj m za koji je kvadraturna formula egzaktna na Pm .U ovom radu bavit ćemo se Newton-Cotesovim1 kvadraturnim formulama, koje daju aprok-simaciju odredenog integrala za ekvidistantan skup čvorova iz segmenta integracije uz težinečija suma iznosi 1. Da bismo opisali ove metode, najprije ćemo objasniti Lagrangeov oblikinterpolacijskog polinoma koji koristimo za aproksimaciju podintegralne funkcije f . Napos-lijetku ćemo pojasniti neke od specijalnih oblika Newton-Cotesovih kvadraturnih formula:pravilo srednje točke, trapezno pravilo i Simpsonovo pravilo te za svaku od tih metodaodrediti pogrešku aproksimacije pomoću Peanovih jezgri i navesti primjer.

1Engleski matematičari Sir Isaac Newton (1642. - 1726.) i Roger Cotes (1682. - 1716.)

1

2 Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma

Neka je dana funkcija f čiju vrijednost poznajemo u točkama x0 < x1 < · · · < xn. Želimopronaći funkciju g koja na intervalu [x0, xn] dobro aproksimira funkciju f , sa svojstvom

g(xi) = f(xi) , za i = 0, 1, . . . , n .

Geometrijski gledano, tražimo funkciju g čiji graf prolazi točkama (xi, f (xi)) , za i = 0, 1, . . . , n .Problem odredivanja funkcije g s navedenim svojstvima nazivamo problem interpolacije.

Funkciju g uglavnom odabiremo iz klasa elementarnih funkcija (primjerice iz klase polinoma,trigonometrijskih funkcija, racionalnih funkcija,. . . ), a proučit ćemo problem interpolacijepolinomom.

Pretpostavimo da je funkcija f : [a, b] → R neprekidna i da je njena vrijednost poznata un + 1 točaka a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b i označimo yi = f(xi), i = 0, 1, . . . , n. Tražimointerpolacijski polinom g stupnja n oblika

g(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 ,

sa svojstvomg(xi) = yi , i = 0, 1, . . . , n (1)

Uvrštavanjem uvjeta (1) u izraz za g dobivamo sustav linearnih jednadžbi :1 x0 x

20 . . . x

n0

1 x1 x21 . . . x

n1

......

......

1 xn x2n . . . x

nn

a0a1...an

=y0y1...yn

(2)Matricu sustava (2) nazivamo Vandermondeova matrica, koja je regularna jer vrijedi xi 6= xj ,za i 6= j pa sustav ima jedinstveno rješenje. Za detaljnije pojašnjenje vidjeti [3].

Napomena 2.1.

1. Kada bismo uz zadane podatke (xi, yi) , i = 0, 1, . . . , n tražili polinom stupnja manjeg ilivećeg od n došli bismo do problema jer u prvom slučaju rješenje sustava (2) ne postoji,dok u drugom rješenje nije jedinstveno

2. Matrica sustava (2) obično je loše uvjetovana pa za veliki broj čvorova interpolacijen ili po vrijednosti bliske čvorove interpolacije kod rješavanja sustava dolazi do velikegreške.

Postoje mnoge metode za rješavanje ovog problema, a nama će biti koristan Lagrangeov oblikinterpolacijskog polinoma. Prije definicije, iskazujemo i dokazujemo teoreme koji jamčepostojanje i jedinstvenost takvih interpolacijskih polinoma, a preuzeti su iz [7]. Neka suxi , i = 0, 1, . . . , n realni brojevi takvi da vrijedi xi 6= xj , za i 6= j , te yi , i = 0, 1, . . . , nrealni brojevi.

2

Lema 2.1. Pretpostavimo da je n ≥ 1. Tada postoje polinomi Lk ∈ Pn , k = 0, 1, . . . , ndefinirani s:

Lk (xi) =

{1, i = k

0, i 6= ki = 0, 1, . . . , n . (3)

Nadalje, polinom

pn(x) =n∑

k=0

Lk (x) yk (4)

zadovoljava uvjete interpolacije, odnosno vrijedi pn ∈ Pn i pn (xi) = yi , i = 0, 1, . . . , n.

Dokaz. Za fiksni prirodani broj k , 0 ≤ k ≤ n , Lk ima vrijednost 0 u točkama xi , i =0, 1, . . . , k − 1, k, . . . , n. Dakle, Lk (x) je oblika:

Lk (x) = Ck

n∏i=0i 6=k

(x− xi) , (5)

gdje je Ck realna konstanta koju dobijemo uvrštavanjem Lk (xk) = 1 u (5) :

Ck =n∏

i=0i 6=k

1

xk − xi. (6)

Uvrstimo li dobiveni Ck u (5) imamo novi izraz za Lk :

Lk (x) =n∏

i=0i 6=k

x− xixk − xi

. (7)

Kako je funkcija pn definirana s (4) linearna kombinacija polinoma Lk ∈ Pn , k = 1, 2, . . . , nslijedi da je i pn ∈ Pn , a uvrštavanjem (3) u (4) dobivamo pn (xi) = yi, i = 0, 1, . . . , n .Napomena 2.2. Iako u prethodnoj lemi zahtijevamo n ≥ 1 , možemo uključiti i slučajn = 0 , tako da definiramo L0 (x) ≡ 1 . Tada je polinom p0 definiran s

p0 (x) = L0 (x) y0

jedinstven polinom u P0 koji zadovoljava p0 (x0) = y0 .Teorem 2.2. Pretpostavimo da je n ≥ 0. Tada postoji jedinstveni polinom pn ∈ Pn takavda je

pn (xi) = yi, i = 0, 1, . . . , n. (8)

Dokaz. U slučaju n = 0 dokaz je trivijalan, po Napomeni 2.2 .Neka je n ≥ 1. Iz Leme 2.1 slijedi da polinom pn ∈ Pn definiran s pn (x) =

∑nk=0 Lk (x) yk

postoji. Ostaje pokazati da je pn jedinstven polinom u Pn .Pretpostavimo da postoji polinom qn ∈ Pn , različit od pn , takav da je qn (xi) = yi ,za i = 0, 1, . . . , n . Tada je pn − qn ∈ Pn i pn − qn ima n + 1 različitih nultočakaxi , i = 0, 1, . . . , n. Kako polinom stupnja n ne može imati vǐse od n nultočaka, osim akoje identički jednak nuli, slijedi

pn (x)− qn (x) ≡ 0, (9)što je u kontradikciji s pretpostavkom da su pn i qn različiti. Dakle, postoji jedinstvenpolinom pn ∈ Pn koji zadovoljava (8)

3

Definicija 2.1. Neka je n ≥ 0 . Neka je f : [a, b]→ R neprekidna na intervalu [a, b] te nekasu xi ∈ [a, b], i = 0, 1, . . . , n , različiti realni brojevi. Polinom pn definiran s

pn (x) =n∑

k=0

Lk (x) f (xk) , (10)

gdje je Lk definiran kao u (7), zovemo Lagrangeov interpolacijski polinom stupnjan funkcije f , a brojeve xi, i = 0, 1, . . . , n zovemo čvorovi interpolacije.

Primjer 2.1. Konstruirajmo Lagrangeov interpolacijski polinom stupnja 2 funkcije f : [−1, 1]→ R+dane izrazom f (x) = ex u čvorovima interpolacije x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 .

Kako je n = 2, tražimo polinom p2 stupnja 2 oblika

p2 (x) =2∑

k=0

Lk (x) f (xk) ,

gdje Lk izgleda kao u (7). Sada imamo

L0 (x) =(x− x1) (x− x2)

(x0 − x1) (x0 − x2)=

1

2x (x− 1) .

Slično dobivamo i L1 (x) = 1− x2 te L2 (x) = 12 x (x+ 1).Uvrštavanjem izračunatih izraza u p2 i pojednostavljivanjem dobivamo

p2 (x) =12x (x− 1) e−1 + (1− x2) e0 + 1

2x (x+ 1)e1

= · · · = 1 + 0.0175x+ 0.0001x2.

Iako se vrijednosti funkcije f i njenog pripadnog Lagrangeovog interpolacijskog polinomau čvorovima interpolacije podudaraju, to često nije slučaj na ostatku domene tih funkcija.Postavlja se pitanje koliko je veliko odstupanje vrijednosti f (x) od aproksimacije pn (x)kada je x 6= xi, i = 0, 1, . . . , n . Uz pretpostavku da je funkcija f dovoljno glatka, procjenaveličine pogreške interpolacije f (x)− pn (x) dana je idućim teoremom, preuzetim iz [5].

Teorem 2.3. Neka je n ≥ 0. Neka je nadalje f ∈ Cn+1 ([a, b]) funkcija čije su vrijednostipoznate u n+ 1 točaka xi, i = 0, 1, . . . , n ,

a = x0 < x1 < · · · < xn = b, yi = f (xi) , i = 0, 1, . . . , n,

i neka je pn odgovarajući interpolacijski polinom. Tada za svaki x̄ ∈ [a, b] postoji ξ ∈ 〈a, b〉takav da je

f (x̄)− pn (x̄) =f (n+1) (ξ)

(n+ 1)!ω (x̄) , gdje je ω (x̄) = (x̄− x0) · · · (x̄− xn) .

Ako označimo Mn+1 = maxx∈[a,b]

∣∣f (n+1) (x)∣∣ vrijedi i ocjena|f (x̄)− pn (x̄)| ≤

Mn+1(n+ 1)!

|ω (x)| .

Dokaz ovog teorema može se pronaći u [5].

4

3 Newton-Cotesove kvadraturne formule

Neka je f : [a, b] → R neprekidna funkcija na intervalu [a, b] te I(f) =b∫a

f (x) dx integral

čiju vrijednost želimo aproksimirati. Kao što znamo, kvadraturne formule su općenito oblika

b∫a

f (x) dx =n∑

k=0

ωkf (xk) + E (f) , (11)

gdje su ωk ≥ 0 težine, xk čvorovi koje uglavnom odabiremo iz segmenta integracije [a, b]tako da vrijedi a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b , dok je E (f) pogreška aproksimacije.Odaberimo u ovom slučaju čvorove xi, i = 0, 1, . . . , n tako da budu ekvidistantni, odnosno davrijede jednakosti xi = a+ ih, i = 0, 1, . . . , n , gdje je h =

b−an. Funkciju f aproksimirajmo

Lagrangeovim interpolacijskim polinomom pn tako da vrijedi

pn (x) =n∑

k=0

Lk (x) f (xk) , za Lk (x) =n∏

i=0i 6=k

x− xixk − xi

.

Ako za težine ωk uzmemo

ωk =1

b− a

b∫a

Lk (x) dx , k = 0, 1, . . . , n ,

tada vrijedi∑n

k=0 ωk = 1 , a kvadraturnu formulu (11) možemo zapisati na sljedeći način

b∫a

f (x) dx = (b− a)n∑

k=0

(1

b− a

b∫a

Lk (x) dx

)f (xk)+E(f) = (b−a)

n∑k=0

ωk f (xk)+E(f).

Uzmemo li dodatno x = a+ (b− a) t , dobivamo jednostavniji izraz za ωk :

ωk =

1∫0

n∏i=0i 6=k

nt− ik − i

dt, k = 0, 1, . . . , n. (12)

Sada formulub∫

a

f (x) dx = (b− a)n∑

k=0

ωk f (xk) + E(f) (13)

zovemo Newton-Cotesova kvadraturna formula.

Razlikujemo Newton-Cotesove kvadraturne formule otvorenog i zatvorenog tipa. U slučajuzatvorenog tipa za n + 1 čvor, pri interpolaciji uključujemo obje rubne točke segmentaintegracije [a, b] te su čvorovi interpolacije oblika xi = a+

i (b−a)n

, 0 ≤ i ≤ n .U slučaju otvorenog tipa za n+ 1 čvor, pri interpolaciji ne uključujemo obje ili jednu rubnutočku segmenta integracije [a, b] , a tada su čvorove interpolacije oblika xi = a+

i (b−a)n+1

,1 ≤ i ≤ n .S ciljem odredivanja pogreške aproksimacije E(f) Newton-Cotesovih kvadraturnih formula,u nastavku iskazujemo i dokazujemo Peanov teorem o jezgri, preuzet iz [8] .

5

Teorem 3.1. Neka je E (p) = 0 za sve polinome p ∈ Pn i neka je f ∈ Cn+1 ([a, b]) .Tada se ostatak E(f) može reprezentirati kao

E(f) =

b∫a

f (n+1) (t)K (t) dt ,

gdje je K Peanova jezgra definirana izrazom

K(t) =1

n!Ex((x− t)n+

),

uz

(x− t)n+ =

{(x− t)n , x > t

0 , x ≤ t,

a indeks ”x” označava da je x varijabla od E .

Dokaz. Razvoj funkcije f u Taylorov red oko točke x = a u integralnom obliku glasi:

f(x) =n∑

k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k + 1

n!

x∫a

f (n+1)(t) (x− t)n dt .

E je linearan operator ( E(αf + βg) = αE(f) + βE(g), za funkcije f i g te skalare α i β)

i vrijedi E(

f (k)(a)k!

(x− a)k)

= 0 , k = 0, 1, . . . , n jer su f(k)(a)k!

(x− a)k polinomi stupnjamanjeg ili jednakog n pa pogrešku možemo zapisati u obliku

E (f (x)) =n∑

k=0

E

(f (k)(a)

k!(x− a)k

)+ E

1n!

x∫a

f (n+1)(t) (x− t)n dt

=

1

n!E

b∫a

f (n+1)(t) (x− t)n+ dt

.Pokažimo sada da operatori E i

∫komutiraju.

Kvadraturnu formulu možemo definirati i općenitije

I∗(f) =

m0∑k=0

ak0f (xk0) +

m1∑k=0

ak1f′ (xk1) + · · ·+

mn∑k=0

aknf(n) (xkn) = E(f) + I(f).

Tada je

E

b∫a

f (n+1)(t)(x− t)n+ dt

= b∫a

b∫a

f (n+1)(t)(x− t)n+ dt dx−

(m0∑k=0

ak0

b∫a

f (n+1)(t)(xk0 − t)n+ dt+ . . .

+mn∑k=0

akndn

dxn

b∫a

f (n+1)(t)(xkn − t)n+ dt

)

6

i vrijedi

b∫a

Ex(f (n+1)(t)(x− t)n+

)dt =

b∫a

b∫a

f (n+1)(t)(x− t)n+ dt dx−

b∫a

f (n+1)(t)

(m0∑k=0

ak0

b∫a

(xk0 − t)n+ dt+ . . .

+mn∑k=0

akndn

dxn

b∫a

(xkn − t)n+

)dt.

Sada je dovoljno pokazatidk

dxk

b∫a

f (n+1)(t)(x− t)n+ dt =b∫a

(f (n+1)(t)

dk

dxk(x− t)n+

)dt ,

k = 0, 1, . . . , n . Gornja relacija vrijedi za sve k < n jer je funkcija (x − t)n+ neprekidnodiferencijabila n− 1 puta. Naposlijetku dokažimo još slučaj k = n .

dn

dxn

b∫a

f (n+1)(t)(x− t)n+ dt =d

dx

dn−1dxn−1

b∫a

f (n+1)(t)(x− t)n+ dt

=

d

dx

n! b∫a

f (n+1)(t)(x− t)+ dt

=

d

dx

n! x∫a

f (n+1)(t)(x− t) dt

= n!

d

dx

x x∫a

f (n+1)(t)dt−x∫

a

t f (n+1)(t) dt

= n!

x∫a

f (n+1)(t) dt+ xf (n+1)(x)− f (n+1)(x)x

= n!

x∫a

f (n+1)(t)dt

=

x∫a

(f (n+1)(t)

dn

dxn(x− t)n+

)dt.

7

4 Specijalni slučajevi Newton-Cotesovih

kvadraturnih formula

U prethodnom poglavlju upoznali smo se s Newton-Cotesovom formulom, koja zapravo obu-hvaća široku klasu formula. Može se pokazati da će za svaki izbor n+1 čvorova interpolacijepostojati barem jedna Newton-Cotesova kvadraturna formula reda n , što možemo vidjeti u[4]. U ovom poglavlju detaljnije ćemo objasniti neke specijalne slučajeve ove formule.

Prvi specijalan slučaj koji ćemo razmotriti je i najjednostavniji, a to je pravilo sredǐsnje točke,koje je i primjer formule otvorenog tipa. Nakon toga, bavimo se trapeznim pravilom i zadnjeSimpsonovim pravilom, koji su zatvorenog tipa. Za svaki od navedenih slučajeva navestćemo i generalizirani oblik, kojeg dobijemo podjelom segmenta integracije na podsegmentejednake duljine, zasebnom primjenom kvadraturne formule te zbrajanjem dobivenih rezul-tata. Takoder ćemo procijeniti pogrešku aproksimacije svake formule primjenom Teorema3.1 , a naposlijetku demonstrirati sve slučajeve na istom primjeru radi bolje usporedbe.

4.1 Pravilo sredǐsnje točke

Neka je f : [a, b]→ R neprekidna i nenegativna funkcija na [a, b] čija je vrijednost poznatau sredǐsnoj točki, odnosno u x0 =

a+b2

. Kako bismo izračunali integral I(f) =∫ baf(x)dx

primijenit ćemo Newton-Cotesovu kvadraturnu formulu (13) za jedan čvor interpolacije, i tosredǐsnji, pa vidimo da će ova formula biti otvorenog tipa. Pronadimo težinu ω0 :

ω0 =

1∫0

1 dx = 1

Ako označimo I∗ = (b− a)ω0f(x0) i s E(f) pogrešku aproksimacije, onda je

I(f) = (b− a)ω0 f (x0) + E(f) = I∗(f) + E(f)

i formulub∫a

f (x) dx = (b − a) f(a+b2

)+ E(f) nazivamo pravilo sredǐsnje točke. Ovo

pravilo često se naziva i pravilo pravokutnika jer produkt (b−a) f(a+b2

)predstavlja površinu

pravokutnika visine f(a+b2

)i širine (b− a) .

Kako kvadraturnim formulama ipak samo aproksimiramo integrale, bitno je voditi računao grešci aproksimacije E(f) . Za njezino odredivanje koristit ćemo Peanov teorem o jezgri3.1.Za formulu reda n Peanovu jezgru Kn+1 definiramo s

Kn+1(t) =1

n!Ex((x− t)n+) , gdje je (x− t)n+ =

{(x− t)n , x > t

0 , x ≤ t.

Pravilo sredǐsnje točke je egzaktno za polinome prvog stupnja. Odredimo sada Peanovujezgru K2.

8

K2(t) = Ex((x− t)+) =b∫

a

(x− t)+ dx− I∗((x− t)+)

=(x− t)2

2

∣∣∣∣∣b

t

− (b− a)(a+ b

2− t)

+

=(b− t)2

2− (b− a)

(a+ b

2− t)

+

Daljnjim raspisom dobijemo da je Peanova jezgra K2 pravila sredǐsnje točke jednaka

K2(t) =

{(t−a)2

2, t ∈ [a, a+b

2]

(t−b)22

, t ∈ [a+b2, b]

Integriranjem K2 dobivamo

b∫a

K2(t) dt =

a+b2∫

a

(t− a)2

2dt−

b∫a+b2

(t− b)2

2dt

=(b− a)3

24

Sada možemo izračunati pogrešku aproksimacije E(f). Iz Teorema 3.1 slijedi

E(f) =

b∫a

f ′′(t)K2(t) dt

Navedimo sada integralni teorem srednje vrijednosti s težinama, preuzet iz [2], koji će bitikoristan u nastavku.

Teorem 4.1. Neka su funkcije g i w integrabilne na [a, b] i neka su

m = infx∈[a,b]

g(x) , M = supx∈[a,b]

g(x) .

Neka je, nadalje, w(x) ≥ 0 na [a, b] . Tada postoji broj µ ,m ≤ µ ≤ M takav da vrijedi

b∫a

w(x)g(x)dx = µ

b∫a

w(x)dx .

Posebno, ako je g neprekidna na [a, b] , onda postoji broj ξ takav da je

b∫a

w(x)g(x) dx = g(ξ)

b∫a

w(x) dx .

9

Kako je K2(t) ≥ 0 , po Teoremu 4.1 postoji ξ ∈ [a, b] takav da je

E(f) =

b∫a

f ′′(t)K2(t) dt = f′′(ξ)

b∫a

K2(t) dt = f′′(ξ)

(b− a)3

24

i dobivamo konačni izraz za pravilo sredǐsnje točke

b∫a

f(x)dx = (b− a)f(a+ b

2

)+ f ′′(ξ)

(b− a)3

24.

Označimo li M2 = maxx∈[a,b]

|f ′′ (x)| , tada vrijedi ocjena za grešku

|E(f)| ≤ (b− a)3

24M2 .

U nastavku se bavimo kompozitnim pravilom sredǐsnje točke, a u izvodu poslužit će namiduća lema iz [8] koju navodimo bez dokaza.

Lema 4.2. Neka je g : [a, b] → R neprekidna funkcija i xi ∈ [a, b] , i = 1, . . . , n . Tadapostoji ξ ∈ [a, b] takav da je

1

n

n∑k=1

g(xi) = g(ξ).

Izvedimo sada kompozitno pravilo sredǐsnje točke.

Prvo podijelimo segment integracije [a, b] na n podsegmenata koji su jednake duljinei primijenimo pravilo sredǐsnje točke na svaki od njih. Neka su h = b−a

nte xi = a +

ih , i = 0, 1, . . . , n svi rubovi podsegmenata. Označimo li yi = f(xi−1+xi

2

), i = 1, 2, . . . , n ,

i primjenimo pravilo sredǐsnje točke na segmentu [xi−1, xi] , dobivamo:

xi∫xi−1

f (x) dx = h yi + f′′ (ξi)

(b− a)3

24,

gdje ξi ∈ 〈xi−1, xi〉 postoje, po Teoremu 4.1. Zbog neprekidnosti funkcije f ′′ na intervalu〈a, b〉 , po Lemi 4.2 postoji ξ ∈ 〈a, b〉 takav da vrijedi n 1

n

n∑i=1

f ′′ (ξi) = nf′′ (ξ) . Vidimo da

je i h2 = (b−a)2

n2. Sada vrijedi

b∫a

f (x) dx =n∑

i=1

xi∫xi−1

f (x) dx = hn∑

i=1

yi +(b− a)h2

24f ′′ (ξ)

i tu formulu nazivamo Kompozitno pravilo sredǐsnje točke.

Apsolutna pogreška aproksimacije En(f) kompozitnog pravila sredǐsnje točke za n podseg-menata i ε > 0 , uz oznaku M2 = max

x∈[a,b]|f ′′ (x)| , može se ocijeniti idućim izrazom:

|En(f)| ≤b− a

24h2M2 =

(b− a)3

24n2M2 < ε.

10

Tada za zadanu točnost ε > 0 možemo procijeniti i broj potrebnih podsegmenata n :

n > (b− a)√M2ε· (b− a)

24.

Naposlijetku, proučimo definirane pojmove na primjeru.

Primjer 4.1. Neka je I(f) =1∫0

ex2dx.

a) Aproksimirajmo integral I(f) pomoću pravila sredǐsnje točke

I∗(f) = I(f)− E(f) = (b− a) f(a+ b

2

)= f

(1

2

)≈ 1.284025

b) Izračunajmo broj potrebnih podsegmenata kako bi se primjenom kompozitnog pravilasredǐsnje točke odredila priblǐzna vrijednost integrala I(f) s točnošću ε = 0.0005

Jer je M2 = maxx∈[a,b]

| f ′′ (x) | ≈ 16.31, slijedi n > (b− a)√M2ε· (b− a)

24

=

√16.31 · 1

0.0005 · 24≈ 36.866878

Dakle, broj potrebnih podsegmenata je n = 37.

c) Aproksimirajmo integral I pomoću kompozitnog pravila sredǐsnje točke koristeći n = 4podsegmenta

Duljina svakog podsegmenta h jednaka je h = b−an

= 14. Nakon što izračunamo

yi = f(xi−1+xi

2

), gdje su xi = ih, i = 1, . . . , 4 , dobivamo podatke:

i xi−1 xi yi1 0 0.25 1.0157482 0.25 0.5 1.1509933 0.5 0.75 1.4779044 0.75 1 2.150338

Sada možemo izračunati aproksimaciju I∗(f) = I(f)− E(f) :

I∗(f) = h4∑

i=1

yi = 1.470202

11

4.2 Trapezno pravilo

Neka je f : [a, b] → R neprekidna funkcija čije su vrijednosti poznate u čvorovima x0 = a

te x1 = b i želimo izračunati integral I =b∫a

f(x) dx . Tada možemo primijeniti Newton-

Cotesovu kvadraturnu formulu (13) za dva čvora interpolacije. Izračunajmo težine ω0 iω1 :

ω0 =

1∫0

t− 10− 1

dt =1

2

ω1 =

1∫0

t− 01− 0

dt =1

2

Ako označimo I∗(f) = (b− a) (ω0f(x0) + ω1f(x1)) i s E(f) pogrešku aproksimacije, ondaje

I(f) = (b− a) (ω0 f (x0) + ω1f(x1)) + E(f) = I∗(f) + E(f)

i formulub∫a

f (x) dx = (b−a)2

(f (a)+f (b))+E(f) zovemo Trapezno pravilo. Geometrijski

gledano, (b−a)2

(f (a) + f (b)) predstavlja površinu trapeza sa stranicama f(a) i f(b) tevisinom h = b− a , po čemu je formula dobila ime.

Slika 1: Trapezno pravilo

Sada ćemo odrediti pogrešku aproksimacije E(f). Trapezno pravilo egzaktno je za polinomeprvog stupnja pa slično kao i ranije tražimo Peanovu jezgru K2 trapeznog pravila.

K2(t) = Ex((x− t)+) =b∫

a

(x− t)+ dx− I∗((x− t)+)

=(x− t)2

2

∣∣∣∣∣b

t

− (b− a)2

((a− t)+ + (b− t)+)

=(b− t)2

2− (b− a)

2((a− t)+ + (b− t)+)

Daljnjim raspisom dobijemo da je Peanova jezgra K2 trapeznog pravila jednaka

K2(t) =(b− t)(a− t)

2, za t ∈ [a, b]

12

Integrirajmo sada K2 :

b∫a

K2(t) dt =

b∫a

(b− t)(a− t)2

dt = −(b− a)3

12

Kako je K2(t) ≤ 0 , po Teoremu 4.1 postoji broj ξ ∈ [a, b] takav da je

E(f) =

b∫a

f ′′(t)K2(t)dt = f′′(ξ)

b∫a

K2(t) dt = −f ′′(ξ)(b− a)3

12.

Sada je trapezno pravilo oblika :

b∫a

f(x) dx = (b− a)f(a) + f(b)2

− f ′′(ξ)(b− a)3

12,

a za pogrešku aproksimacije E(f) , uz oznaku M2 = maxx∈[a,b]

|f ′′ (x)| , vrijedi

|E(f)| ≤ (b− a)3

12M2 .

Pronadimo sada kompozitni oblik trapeznog pravila.

Pretpostavimo da je funkcija f zadana u n+1 ekvidistantno rasporedenih točaka xi = a+ ih ,i = 0, 1, . . . , n, gdje je h = b−a

n. Označimo yi = f (xi) , i = 0, 1, . . . , n i na svakom segmentu

[xi−1, xi] primijenimo trapezno pravilo. Tako za segment [xi−1, xi] dobivamo:

xi∫xi−1

f (x) dx =h

2(yi−1 + yi)−

h3

12f ′′(ξi) ,

gdje ξi ∈ 〈a, b〉 postoji, po Teoremu 4.1. Sada je :

b∫a

f (x) dx =n∑

i=1

xi∫xi−1

f (x) dx =h

2(y0 + 2y1 + · · ·+ 2yn−1 + yn)−

h3

12

n∑i=1

f ′′ (ξi)

Zbog neprekidnosti funkcije f ′′ na intervalu 〈a, b〉 , po Lemi 4.2 postoji ξ ∈ 〈xi−1, xi〉 takav davrijedi n

1

n

n∑i=1

f ′′ (ξi) = nf′′ (ξ) i h2 = (b−a)

2

n2pa uvrštavanjem u prethodni izraz dobivamo:

b∫a

f (x) dx =h

2(y0 + 2y1 + · · ·+ 2yn−1 + yn)− f ′′ (ξ)

b− a12

h2

i tu formulu nazivamo kompozitno trapezno pravilo.

13

Slika 2: Kompozitno trapezno pravilo

Apsolutna pogreška aproksimacije En(f) kompozitnog trapeznog pravila za n podsegmenatai ε > 0 , uz oznaku M2 = max

x∈[a,b]|f ′′ (x)| , može se ocijeniti idućim izrazom.

|En(f)| ≤b− a

12h2M2 =

(b− a)3

12n2M2 < ε.

Tada za zadani ε > 0 možemo procijeniti i broj potrebnih podsegmenata n za tu metodu:

n > (b− a)√M2ε· (b− a)

12.

Ilustrirajmo ovo pravilo primjerom.

Primjer 4.2. Neka je I(f) =1∫0

ex2dx.

a) Aproksimirajmo integral I(f) pomoću trapezne formule

I∗(f) = I(f)− E(f) = b− a2

(f (a) + f (b)) =1− 0

2(1 + 2.718282) ≈ 1.859141

b) Izračunajmo broj potrebnih podsegmenata kako bi se primjenom generalizirane trapezneformule odredila priblǐzna vrijednost integrala I(f) s točnošću ε = 0.0005

Jer je M2 = maxx∈[a,b]

| f ′′ (x) |= 16.31, slijedi n > (b− a)√M2ε· (b− a)

12

=

√16.31 · 1

0.0005 · 12≈ 52.137638

Dakle, broj potrebnih podsegmenata je n = 53.

c) Aproksimirajmo integral I(f) pomoću kompozitne trapezne formule koristeći n = 4podsegmenata

Duljina svakog podsegmenta h jednaka je h = b−an

= 14

. Nakon što izračunamoyi = f (xi) , gdje su xi = ih, i = 0, 1, . . . , 4 , dobivamo podatke :

i xi yi0 0 11 0.25 1.0644942 0.5 1.2840253 0.75 1.7550554 1 2.718282

14

Sada možemo izračunati aproksimaciju I∗(f) = I(f)− E(f) :

I∗(f) =h

2(y0 + 2(y1 + y2 + y3) + y4) = 1.490679

4.3 Simpsonovo pravilo

Neka je f : [a, b] → R neprekidna funkcija čije su vrijednosti poznate u čvorovima interpo-

lacije x0 = a, x1 =a+b2

te x2 = b i želimo izračunati integral I(f) =b∫a

f(x) dx . Tada

možemo primijeniti Newton-Cotesovu kvadraturnu formulu (13) za tri čvora interpolacije .Najprije izračunajmo težine:

ω0 =1

2

1∫0

(2t− 1) (2t− 2) dt = 16

ω1 = −1∫

0

2t (2t− 2) dt = 23

ω2 =1

2

1∫0

2t (2t− 1) dt = 16

Ako označimo I∗(f) = ω0f(x0)+ω1f(x1)+ω2f(x2) i s E(f) pogrešku aproksimacije, ondaje

I(f) = (b− a) (ω0f(x0) + ω1f(x1) + ω2f(x2)) + E(f) = I∗(f) + E(f)

i formulub∫a

f (x) dx =b− a

6

(f (a) + 4f

(a+b2

)+ f (b)

)+ E(f) nazivamo Simpsonovo2

pravilo.

Slika 3: Simpsonovo pravilo

2Engleski matematičar Thomas Simpson (1710.-1761.)

15

Odredimo sada pogrešku aproksimacije E(f) . Simpsonovo pravilo egzaktno je za polinometrećeg stupnja pa ćemo odrediti Peanovu jezgru K4 :

K4(t) = Ex((x− t)3+) =b∫

a

(x− t)3+ dx− I∗((x− t)3+)

=(x− t)4

4

∣∣∣∣∣b

t

− (b− a)6

((a− t)3+ + 4

(a+ b

2− t)3

+

+ (b− t)3+

)

=(b− t)4

4− (b− a)

6

((a− t)3+ + 4

(a+ b

2− t)3

+

+ (b− t)3+

)

Daljnjim raspisom dobijemo da je Peanova jezgra K4 Simpsonovog pravila jednaka

K4(t) =

{14!

(t− a)3(t− a+2b3

) , t ∈ [a, a+b2

]14!

(t− b)3(t− 2a+b3

) , t ∈ [a+b2, b]

.

Integrirajmo sada K4 :

b∫a

K4(t) dt =

b∫a

(b− a)4

4dt− b− a

6

b∫a

((a− t)3+ + 4

(a+ b

2− t)3

+

+ (b− t)3+

)dt

=(b− a)5

20

∣∣∣∣∣b

a

− b− a6

4a+b2∫

a

(a+ b

2− t)3

dt+

b∫a

(b− t)3 dt

=

(b− a)5

20− b− a

6

(4

(b− a)4

64+

(b− a)4

4

)= −(b− a)

5

480

Kako je K4(t) ≤ 0 , po Teoremu 4.1 postoji broj ξ ∈ [a, b] takav da je

E(f) =1

3!

b∫a

f (4)(t)K4(t)dt =1

6f (4)(ξ)

b∫a

K4(t) dt = −f (4)(ξ)(b− a)5

2880.

Sada je Simpsonovo pravilo oblika :

b∫a

f(x) dx =b− a

6

(f(a) + 4f

(a+ b

2

)+ f(b)

)− f (4)(ξ)(b− a)

5

2880,

a za grešku aproksimacije E(f) , uz oznaku M4 = maxx∈[a,b]

∣∣f (4) (x)∣∣ , vrijedi|E(f)| ≤ (b− a)

5

2880M4 .

16

Pronadimo sada kompozitni oblik Simpsonovog pravila.

Kako svaka primjena Simpsonovog pravila uključuje po dva podsegmenta, segment [a, b]podijelit ćemo na parni broj n podsegmenata jednake duljine h , h = b−a

n, čvorovima

xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n . Ako označimo yi = f(xi), i = 0, 1, . . . , n , primjenom Simpso-novog pravila na segmentu [x2j−2, x2j] , j ∈ {1, 2, . . . , n2}, koji je duljine 2h, dobivamo:

x2j∫x2j−2

f (x) dx =h

6(y2j−2 + 4y2j−1 + y2j)−

(2h)5

2880f (4)(ξj)

=h

6(y2j−2 + 4y2j−1 + y2j)−

h5

90f (4)(ξj)

gdje je h5 = (b−a)5

n5i gdje ξj ∈ 〈x2j−2, x2j〉 postoji, po Teoremu 4.1. Sada je :

b∫a

f (x) dx =

n2∑

j=1

x2j∫x2j−2

f (x) dx =h

3((y0 + yn) + 4 (y1 + y3 + · · ·+ yn−1) +

2 (y2 + y4 · · ·+ yn−2))−h5

90

n2∑

j=1

f (4) (ξj)

Zbog neprekidnosti funkcije f (4) na intervalu 〈a, b〉 , po Lemi 4.2 postoji ξ ∈ 〈a, b〉 takav da

vrijedin

2· 2n

n2∑

j=1

f (4) (ξj) =n

2f (4) (ξ) . Izraz

h5

90

(n2f (4) (ξj)

)možemo još zapisati kao

h5

90

(n2f (4) (ξj)

)=

h5n

180f (4) (ξj) =

(b− a)5

n5· n

180

1

=

(b− a)(b− a)4

n4180

1

=(b− a)

180h4f (4)(ξ)

Sada formulu

b∫a

f (x) dx =h

3((y0 + yn) + 4 (y1 + y3 + · · ·+ yn−1) + 2 (y2 + y4 + · · ·+ yn−2))−f (4)(ξ)

(b− a)180

h4

nazivamo kompozitno Simpsonovo pravilo.

Slika 4: Kompozitno Simpsonovo pravilo

17

Apsolutna pogreška aproksimacije En(f) kompozitnog Simpsonovog pravila za n podseg-menata i ε > 0 , uz oznaku M4 = max

x∈[a,b]

∣∣f (4) (x)∣∣ , dana je izrazom :|En| ≤

b− a180

h4M4 =(b− a)5

180n4M4 < ε.

Iz prethodnog izraza dobivamo ocjenu za broj podsegmenata n potrebnih da bi se primjenomkompozitnog Simpsonovog pravila postigla točnost ε:

n > (b− a) 4√M4ε· (b− a)

180.

Primjer 4.3. Neka je I(f) =1∫0

ex2dx.

a) Aproksimirajmo integral I(f) pomoću Simpsonovog pravila

b∫a

f (x) dx =b− a

6(f (a) + 4f

(a+ b

2

)+ f (b)) =

1− 06

(1 + 4 · 1.284025 + 2.718282)

≈ 1.474821

b) Izračunajmo broj potrebnih podsegmenata kako bi se primjenom kompozitnog Simpso-novog pravila odredila priblǐzna vrijednost integrala I(f) s točnošću ε = 0.0005

Jer je M4 = maxx∈[a,b]

∣∣f (4) (x)∣∣ ≈ 206.59, slijedi n > (b− a) 4√M4ε· (b− a)

180

=

√206.59 · 1

0.0005 · 180≈ 6.92

Dakle, broj potrebnih podsegmenata je n = 7 .

c) Aproksimirajmo integral I(f) pomoću kompozitnog Simpsonovog pravila koristeći n = 4podsegmenta

Duljina svakog podsegmenta h jednaka je h = b−an

= 14. Nakon što izračunamo

yi = f (xi) , gdje su xi = ih, i = 0, 1, . . . , 4 , dobivamo podatke:

i xi yi0 0 11 0.25 1.0644942 0.5 1.2840253 0.75 1.7550554 1 2.718282

Sada možemo izračunati I∗(f) = I(f)− E(f)

I∗(f) =h

3(y0 + y4 + 2y2 + 4(y1 + y3)) = 1.463711

18

Literatura

[1] A.S.Ackleh, E.J. Allen, R.B.Hearfott, P.Seshaiyer, Classical and Modern NumericalAnalysis, CRC Press, SAD, 2009.

[2] Z.Drmač, V.Hari, M.Marušić, M.Rogina, S. Singer, Numerička analiza, Sveučilǐste uZagrebu - PMF - Matematički odjel, Zagreb, 2003.

[3] S.Kurepa, Uvod u Linearnu Algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1985.

[4] M.Schatzman, Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford, 2002.

[5] R.Scitovski, Numerička Matematika, Sveučlǐste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku -Odjel za matematiku, Osijek, 2015.

[6] G.W.Stewart, Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, SAD, 1996.

[7] E. Süli, D.F Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press,SAD, 2003.

[8] N.Ujević, Uvod u Numeričku Matematiku, Sveučilǐste Split - Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja, Split, 2004.

19