La producción de conocimiento matemático en el aula como un eje de

articulación entre niveles.

Silvia EtchegarayU.N.R.C

Setiembre 2013

Estructura del taller: 1era.partePRIMER MOMENTO:De qué manera y cómo fuimos algunos

docentes -del Dpto de Matemática de la Fac. de Exactas de la UNRC- movilizados para pensar cómo la investigación educativa, específicamente en Didáctica de la Matemática puede generar una manera diferente de relación con el propio conocimiento matemático que permita planificar e implementar una clase que se entienda como un espacio para pensar, decidir, hacer y decir Matemática.

2do. MomentoCompartir con ustedes algunos marcos referenciales que hemos ido construyendo y transformando en esta historia regulada por un propósito fundamental: describir, explicar y mejorar nuestra práctica educativa.

3er. MomentoTransitar por un espacio de producción

matemática, donde se revisen, se interroguen los “modos” personales de hacer matemática con un fin específico:

Reflexionar sobre las propias formas de “pensar”, “hacer” y “decir” la matemática como un conocimiento “útil” para poder “entrar en diálogo” con otros.

Historia de una “esperanza colectiva”.P1:¿Te acuerdas de aquel alumno que puso

2x+y = 2xy, sin inmutarse y ni por un instante se preguntó si semejante expresión tenía algún sentido. Pobre, no entiende nada sobre cómo se trabaja en matemáticas con letras.

P2: Qué falta de lógica!P.3¿Cómo que no tiene ninguna lógica? Si

3+0,25=3,25, o sea en el resultado de una suma con números se “junta” todo ¿porqué con letras no puede hacer la misma operación de “juntar” todo, como hace con estos números? Las letras, ¿no se utilizan, de acuerdo a como las enseñamos, para reemplazar a los números?

Estamos construyendo nuestra propia historia en torno a estos nuevos problemas desde otros lugares

¿Cómo concebimos la clase de matemática?

Intentamos concebirla como el lugar ideal para la construcción de una cultura matemática que se irá

elaborando a partir de enfrentar a los estudiantes de una clase con problemas.

¿Qué se necesita para generar un escenario diferente que ayude a comprender qué es

una construcción cultural ?

Cuestionar una cultura arraigada en la que los alumnos esperan lo que hay que hacer y los docentes nos sentimos responsables de tener que mostrar lo que hay que hacer.

Cuestionar qué se entiende por actividad matemática

¿Cómo hacer frente a este desafío?

Sobre qué pretendemos reflexionar: • Sobre la necesidad de generar “producción matemática” en las aulas de Matemática de todos los niveles educativos.

• Sobre cómo recuperar conocimientos existentes y transformarlos en disponibles a partir de hacerlos funcionar en situaciones problemáticas.

Piensen y decidan sobre las siguientes situaciones que “viven” en un contexto aritméticoTarea N° 1

Supongamos que al dividir por 24 veintiséis números consecutivos se obtienen tres

cocientes diferente. ¿Cuáles son los restos de dividir por 24 el menor y el mayor de dichos

números?

¿Qué Matemática podemos producir? Transitemos por un proceso de generalización.

Determinen qué “tipo de problemas” se puede solucionar con una técnica que generalice el trabajo realizado?

Escriban con precisión matemática tanto el “tipo de problemas” como “la técnica” de resolución y su justificación.

Qué de Matemática se produjo:Se puso a funcionar:El algoritmo de la división entera.El cociente de la división como el número

que multiplicado por el divisor , mas el resto da el dividendo.

El resto como el número que es mayor o igual que cero y menor que el divisor.

¡Qué elementos emergieronLa noción de cociente como el número que

permite aproximar al dividendo por defecto, cuando se multiplica por el divisor.

La siguientes proposiciones:El cociente en una división cambia cada vez

que aparece como dividendo un nuevo múltiplo del divisor.

El cociente cambia cada vez que los restos recorrieron un rango de números que va desde el 0 a uno menos que el divisor.

Las siguientes técnicasPara construir una serie que cumpla con la

propiedad de tener 26 números consecutivos con tres cocientes diferentes, se debe tomar como primer elemento el número anterior a un múltiplo de 24. O como último número a un múltiplo de 24.

O tomar el primero como: 24 n – 1 y el último: 24 (n+1) con n un número entero.

Tratando de caracterizar algebraicamente a los restos buscados, se logra encontrar la relación entre los mismos: son consecutivos si la serie tiene la característica que indica la situación.

Los siguientes teoremas:Una serie de n+2 números consecutivos, al

dividirlos por “n”, si poseen tres cocientes diferentes entonces el resto de dividir el primero de ellos por “n” es n-1 y el resto de dividir el último de ellos por “n” es “0”.

Y si ahora generalizamos la única constante que se plantea, ¿qué podemos enunciar?.

Tarea N° 2a) Se sabe que al dividir un número por 7, se

obtiene resto 3. ¿Es posible saber el resto de dividir por 7 al doble de dicho número? Ídem con 1, 2, 4, 5 y 6.

B) Si en lugar de dividir por 7, hubiera dividido por otro número ¿Podría expresar las mismas afirmaciones que las anteriores? Proponga una síntesis de lo analizado y

confróntelo con otras producciones.

Tarea N° 3 Analizar si la siguiente afirmación es cierta y

exponer una explicación que justifique la

respuesta dada “ Si un número tiene resto 5 al dividirlo por 11, el triple de este número tendrá resto 4”

¿Qué es lo esencial de la dialéctica entre la Aritmética y el Álgebra elemental Lo algebraico es un instrumento de

estudio de las propiedades de los números y recíprocamente

Las propiedades de los números son los instrumentos para transformar las expresiones algebraicas, para que estas últimas puedan “mostrar” nueva información.

Primeras conclusionesConsideramos que este tipo de problemas evocados en un lenguaje aritmético, ponen en juego tres aspectos esenciales de la actividad matemática para “entrar “ en el juego que se plantea en un contexto algebraico

Distinguen y priorizan el carácter relacional de la actividad matemática.

Identifican /develan elementos de significado que permanecen ocultos cuando los alumnos están inmersos en sólo prácticas algebraicas.

Necesitan de instrumentos más poderosos que los números para expresar regularidades.

Continuemos avanzando en el proceso de algebrización.

¿Cuáles de los siguientes pares de números tienen la misma paridad?

 a; a+2a; a-9a4; a7

a + b; a- ba ; a2 + a + 1a2 + a +ab; b2 +b + ab

PRETENDEMOS INSTITUCIONES QUE

“AYUDEN A ESTUDIAR” UNA MATEMATICA

DIFERENTE, BASADA EN LA PRODUCCIÓN,

VALIDACIÓN Y COMUNICACIÓN DEL

CONOCIMENTO MATEMÁTICO.

“La reforma de la enseñanza debe conducir a una reforma del pensamiento y la reforma del pensamiento debe conducir

a la reforma de la enseñanza” (Edgard Morin)

MUCHAS GRACIAS