SIMETRALa porcin mnima del espacio cristalino que contiene en s misma toda la simetra de la red cristalina es la celda unidad. El medio cristalino, por ser peridico, es un medio simtrico, y todas sus propiedades derivan de este hecho.Entendiendo por simetra aquella transformacin que al aplicarse a un objeto hace que ste conserve todas sus dimensiones, y lo deje en una posicin indistinguible de su posicin original, la operacin de simetra ms sencilla que existe, por definicin, en el medio cristalino, es la simple traslacin entre un motivo y otro. - Elementos de simetraEl lugar geomtrico que ayuda a la visualizacin de la simetra de una distribucin ordenada recibe el nombre de elemento de simetra. Los elementos de simetra puntual (la operacin de simetra deja un punto particular del diagrama inmvil), sin traslacin, son el plano de simetra, el eje de rotacin y el centro de simetra o centro de inversin. El plano de simetra, m, o de reflexin, refleja partes, o todos, idnticos del objeto a travs de un plano.

El eje de rotacin origina una rotacin al objeto de 360/n alrededor del eje (de derecha a izquierda). eje monario n=1 (360/1=360)

eje binario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)n=2 (360/2=180)

eje ternarion=3 (360/3=120)

eje cuaternarion=4 (360/4=90)

eje senarion=6 (360/6=60)

(La restriccin cristalogrfica limita los giros permisibles a estos cinco para que su orden sea compatible con la existencia de redes.)Las combinaciones de ambos elementos de simetra originan los ejes de rotacin impropios: - eje de rotorreflexin, rotacin de 360/n seguida por reflexin en un plano perpendicular al eje.- eje de rotoinversin, rotacin de 360/n seguida por inversin a travs de un punto en el eje.orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

* Nota: Los ejes de rotoinversin se representan por el orden del eje (2, 3, 4 o 6) con el smbolo negativo encima de ellos. En esta Web, ese smbolo se identifica tambin por el signo negativo bien delante o inferior al nmero de orden del eje.

(el esquema superior representa una rotoreflexin de orden 4, y el inferior una rotoinversin del mismo orden)Por su parte el centro de simetra, i, o centro de inversin, es un elemento de simetra puntual que invierte el objeto a travs de una lnea recta.

- Combinacin de elementos de simetraLa combinacin de elementos de simetra no se produce al azar, est regida por una serie de normas y limitaciones que son:- Los elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caractersticas.

- La combinacin de algunos elementos de simetra genera directamente la presencia de otros

Eje de orden par + centro de simetra ------- plano de simetra perpendicular al ejeEje de orden n contenido en un plano de simetra -------- n-1 planos de simetra que intersectan en el ejeDos ejes que se cortan --------- un tercer eje que pasa por el punto de corte(entre propios e impropios slo es posible: un propio y dos impropios)Eje de orden n + eje binario perpendicular -------- n-1 ejes binarios tambin normales a lEje de inversin de orden n(impar) + eje binario perpendicular -------- n ejes binarios y planos de simetraEje de inversin de orden n(par) + eje binario perpendicular -------- n/2 ejes binarios y planos de simetra-Los ejes de inversin realizan una operacin de simetra equivalente a la de dos elementos de simetra (excepto el de orden 4)

3 = 3 + iEje de rotoinversin de orden impar = eje propio del mismo orden + centro de simetra(6 = 3 + m)Eje de rotoinversin de orden par = eje propio de mitad de orden + un plano de simetra perpendicular a l- Las 32 clases de simetraEs fcil prever que en el medio cristalino los elementos de simetra se combinan entre s hasta engendrar los modelos cristalinos regulares, que se combinan de treinta y dos maneras distintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales (la operacin de simetra deja un punto particular del diagrama inmvil) existentes. Estas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de elementos de simetra:SmboloCombinacin de simetraElementos de simetra

1Clases con un slo elemento de simetra Eje monario (giro de 360)

2Eje binario (giro de 180)

3Eje ternario (giro de 120)

4Eje cuaternario (giro de 90)

6Eje senario (giro de 60)

1Eje monario de inversin (giro de 360+inversin) = centro de inversin (2=i)

2Eje binario de inversin (giro de 180+inversin) = plano de simetra (2=m)

3Eje ternario de inversin (giro de 120+inversin)

4Eje cuaternario de inversin (giro de 90+inversin)

6Eje senario de inversin (giro de 60+inversin) = eje ternario + plano de simetra perpendicular (6=3/m)

222Clases con combinacin de ejesTres ejes binarios en planos perpendiculares entre s

32Un eje ternario + tres ejes binarios en planos perpendiculares

422Un eje cuaternario + dos ejes binarios en planos perpendiculares

622Un eje senario + tres ejes binarios a 120 (plano perpendicular al senario)

23Cuatro ejes ternarios + Tres ejes binarios

432Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios

2/mClases con un eje de orden par + un centro de simetra(Eje de orden par + centro de simetra=plano de simetra perpendicular al eje)Eje binario + plano de simetra perpendicular a l

4/mEje cuaternario + plano de simetra perpendicular a l

6/mEje senario + plano de simetra perpendicular a l

2mmClases con un eje + un plano de simetra que contenga al ejeEje binario + dos planos de simetra que se cortan en l

3mEje ternario + tres planos de simetra que se cortan en l

4mmEje cuaternario + cuatro planos de simetra que se cortan en l

6mmEje senario + seis planos de simetra que se cortan en l

42mClases con un eje + dos ejes impropiosEje cuaternario de inversin + dos ejes binarios + dos planos de simetra

43mTres ejes cuaternarios de inversin + cuatro ejes ternarios + seis planos de simetra

62mEje senario de inversin (=eje ternario + plano de simetra perpendicular) + tres ejes binarios + tres planos de simetra

2/m2/m2/m (mmm)Clases con tres ejes + un centro de simetraTres ejes binarios + tres planos de simetra perpendiculares

32/m (3m)Un eje ternario + tres ejes binarios + tres planos de simetra perpendiculares + un centro de simetra

4/m2/m2/m (4/mmm)Un eje cuaternario + un plano de simetra perpendicular + cuatro ejes binarios + cuatro planos de simetra perpendiculares + centro de simetra

6/m2/m2/m (6/mmm)Un eje senario + un plano de simetra perpendicular + seis ejes binarios + seis planos de simetra perpendiculares + un centro de simetra

2/m3 (m3)Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios + tres planos de simetra perpendiculares + un centro de simetra

4/m32/m (m3m)Tres ejes cuaternarios + tres planos de simetra perpendiculares + cuatro ejes ternarios + seis ejes binarios + seis planos de simetra perpendiculares + un centro de simetra

La distribucin sistema cristalino-Redes de Bravais-Grupos puntuales, o clases de simetra, es la siguiente:Red de BravaisSistemaGrupo puntual

Red Triclnica primitiva, PTriclnico1 1

Red monoclnica primitiva, PMonoclnico2 m 2/m

Red monoclnica centrada en las caras, C

Red rmbica primitiva, PRmbico222 mm2 mmm

Red rmbica centrada en las bases, C

Red rmbica centrada en el interior, I

Red rmbica centrada en las caras, F

Red tetragonal primitiva, PTetragonal4 4 4/m 4mm 422 42m 4/mmm

Red tetragonal centrada en el interior, C

Red hexagonal primitiva, PHexagonal6 6 6/m 6mm 622 62m 6/mmm

Red rombodrica primitiva, PRombodrico o Trigonal 3 3 3m 32 3m

Red cbica primitiva, PCbico o Isomtrico23 m3 43m 432 m3m

Red cbica centrada en el interior, I

Red cbica centrada en las caras, F

- Simetra y redes de BravaisLa presencia de elementos de simetra en la red cristalina condiciona, a su vez, la existencia de ciertas relaciones mtricas entre los elementos de la celda elemental, las relaciones angulares entre los ejes del cristal, o ejes cristalogrficos, y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111). Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red.Por esta razn se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos: redes triclnicas, redes monoclnicas, redes rmbicas, redes tetragonales, redes hexagonales, redes rombodricas y redes cbicas. Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema cuyo nombre es idntico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una mnima simetra caracterstica.

Red de BravaisSistema

Red Triclnica primitiva, PTriclnico

Red monoclnica primitiva, PMonoclnico

Red monoclnica centrada en las caras, C

Red rmbica primitiva, PRmbico

Red rmbica centrada en las bases, C

Red rmbica centrada en el interior, I

Red rmbica centrada en las caras, F

Red tetragonal primitiva, PTetragonal

Red tetragonal centrada en el interior, C

Red hexagonal primitiva, PHexagonal

Red rombodrica primitiva, PRombodrico o Trigonal

Red cbica primitiva, PCbico o Isomtrico

Red cbica centrada en el interior, I

Red cbica centrada en las caras, F

Las constantes reticulares y la mnima simetra que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente: - Sistema triclnico (a#b#c###90) No posee ninguna simetra mnima. - Sistema monoclnico (a#b#c ==90#>90) Presenta como simetra mnima un eje de rotacin binario o un eje de inversin binario (=plano de simetra)- Sistema rmbico (a#b#c ===90) Como mnimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre s.- Sistema tetragonal (a=b#c ===90) Posee como caracterstica fundamental un eje de rotacin cuaternario o un eje de inversin cuaternario - Sistema hexagonal (a=b#c ==90=120) Su caracterstica fundamental es la presencia de un eje de rotacin senario o un eje de inversin senario (eje ternario + plano de simetra perpendicular) Para mayor precisin, generalmente se introduce un cuarto eje i, coplanario con a y b, que forma un ngulo de 120 con cada uno de ellos, as la cruz axial ser (a=b=i#c ==90, =120)*ndices de Miller hexagonales: Como se trabaja con un cuarto ndice, que se sita en el plano a1 a2 y a 120 de cada uno de estos ejes, los planos hexagonales se van a representar por cuatro ndices (hkil). El valor de i se determina como h+k.

- Sistema rombodrico o trigonal (a=b=c ==#90) Su caracterstica comn es la presencia de un eje de rotacin ternario o un eje de inversin ternario (eje ternario + centro de simetra) - Sistema cbico (a=b=c ===90) Posee como caracterstica fundamental cuatro ejes de rotacin ternarios inclinados a 109,47NOTA: Adems de las constantes reticulares, para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relacin paramtrica, siendo sta la relacin existente entre los mdulos de a y c respecto al mdulo de b:a/b : 1 : c/b Normalmente se toman estos valores y los ngulos para definir la red.1.4- SIMETRA CON TRASLACIN- Elementos de simetra con traslacinLa red cristalina slo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en el cristal, como consecuencia de la repeticin del motivo. Debido a ello, la simetra que revela por s la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea.Ejemplo: La coesita (variedad de la slice de alta presin) tiene una red cuya mtrica es rmbica, mientras que la estructura es monoclnica, ya que el motivo carece de ciertos elementos de simetra que la mtrica de la red indicaban.Es fcil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuerzas cohesivas entre los tomos que forman el cristal, fuerzas que obligan a una repeticin montona de las agrupaciones atmicas, la simetra de la red debe estar ntimamente relacionada con la del cristal, entendido como agrupacin repetitiva de tomos.La red nos proporciona, por tanto, la simetra mxima que el cristal puede tener, pero dicha simetra depende de la simetra propia del motivo. La complejidad que el motivo cristalino, tomos, iones y molculas, aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetra del medio cristalino se amplen. Aparece la traslacin, que tiene dimensiones submicroscpicas no accesibles a la morfologa macroscpica. Los operadores de simetra que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino se consideran, cada uno de ellos, como una sola y nueva operacin de simetra. Estos son los planos de deslizamiento, que implican la reflexin asociada a una traslacin y los ejes helicoidales que implican, a su vez, giro y traslacin.- Plano de deslizamientoEl plano de deslizamiento realiza simultneamente dos operaciones: refleja la imagen o traslada la imagen a intervalos de media traslacin. Cuando la semitraslacin asociada al plano de deslizamiento corresponde a alguna de las direcciones fundamentales del cristal, el plano se denomina a, b, c, respectivamente.

Cuando la semitraslacin corresponde a la diagonal del plano reflector, es decir, el plano de deslizamiento se sita paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a, b y c, el plano se simboliza por n y las componentes de su traslacin son:a/2 + b/2, b/2 + c/2 , c/2 + a/2 y a/2 + b/2 + c/2

Los planos d (aparece en la estructura del diamante) se tratan tambin de planos diagonales. Presentan como componentes de traslacin cuartos de la fundamental, es decir:a/4 b/4, b/4 c/4 , c/4 a/4 y a/4 b/4 c/4

El siguiente cuadro sintetiza la notacin y simetra de los planos en los grupos espaciales:

SmboloSmbolo grficoOrientacin y Traslacin

m perpendicular al papel paralelo al papel (100) o (010), ninguna traslacin (001), ninguna traslacin

a perpendicular al papel paralelo al papel (010), traslacin a/2(001), traslacin a/2

b perpendicular al papel paralelo al papel(100), traslacin b/2(001), traslacin b/2

c................ perpendicular al papel(100) 0 (010), traslacin c/2

n._._._._._._ perpendicular al papel paralelo al papeltraslacin (b+c)/2 en (100); traslacin (c+a)/2 en (010)traslacin (a+b)/2 en (001); traslacin (a+b+c)/2 en (110) en sistemas tetragonal o cbico

d perpendicular al papel paralelo al papeltraslacin (b+c)/4 en (100); traslacin (c+a)/4 en (010)traslacin (a+b)/4 en (001); traslacin (a+b+c)/4 en (110) en sistemas tetragonal o cbico

- Eje helicoidalUn eje helicoidal implica, similarmente, una operacin doble: Un giro, el permisible para su orden Una traslacin constante a lo largo del eje Como sabemos, el orden del eje es el nmero de repeticiones que se necesitan para lograr la identidad, implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacin de simetra total.En un eje helicoidal, cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte alcuota de la traslacin total, t, paralela a la direccin del eje. La identidad se logra en la operacin giro cuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del eje.

Haciendo el periodo de identidad, t, coincidente con el giro completo del eje, se obtienen los siguientes ejes helicoidales: SmboloSmbolo grficoDenominacinGiroTraslacin

21Eje binario helicoidal180t/2

31Eje ternario helicoidal derecho120 dextrgirot/3

32Eje ternario helicoidal izquierdo120 levgirot/3

41Eje cuaternario helicoidal derecho90 dextrgirot/4

43Eje cuaternario helicoidal izquierdo90 levgirot/4

61Eje senario helicoidal derecho60dextrgirot/6

65Eje senario helicoidal izquierdo60 levgirot/6

Tambin se pueden deducir los ejes helicoidales haciendo que la identidad se alcance para N/n giros, siendo N el orden del eje y n un divisor entero de N. N (orden del eje)n (divisor entero de N)N/n (giros)SmboloSmbolo grficoDenominacinGiroTraslacin

42242Eje cuaternario-binario helicoidal90t/2

63263Eje senario-ternario helicoidal60 t/2

62362Eje senario-binario helicoidal derecho60 dextrgirot/3

62364Eje senario-binario helicoidal izquierdo60 levgirot/3