simmetria e teoria dei gruppi - university of cagliari · 2016. 1. 22. · simmetria e teoria dei...
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Simmetria e Teoria dei Gruppi Prodotti di operazioni di simmetria
C2, σv, σv’ 1
2
C2
2
1 2
1
σv’ σv
Il prodotto di due operazioni di simmetria è un’operazione di simmetria
Tavola di moltiplicazione
σv’·C2 = σv
H2O
1
3 2 321
2
33 ,,,,, vvvCCE
σv1
σv3
Simmetria e Teoria dei Gruppi Prodotti di operazioni di simmetria
3
2 1
σv1
σv3 σv2
C3
2
3 1
σv1
σv3 σv2
σv2
σv3
123 vvC
332 vv C
Il prodotto NON è commutativo
NH3
Nota: Le operazioni si eseguono da dx a sx
2a o
perazio
ne
1a operazione
σv2
Simmetria e Teoria dei Gruppi Prodotti di operazioni di simmetria
Il prodotto di due operazioni di simmetria è anch’esso un’operazione di simmetria generata dagli elementi di simmetria
della molecola
Il prodotto di più operazioni di simmetria gode della PROPRIETÁ ASSOCIATIVA
Simmetria e Teoria dei Gruppi Prodotti di operazioni di simmetria
Per ogni operazione di simmetria esiste un’operazione inversa che riporta la molecola nella configurazione iniziale
EOO 1
Evv 11 Evv 22 Evv 33
ECC 2
33 ECC 3
2
3
Esiste un’ operazione di simmetria che commuta con tutte le altre
OOEEO
Un insieme di h elementi G = {g1, g2, …,gh} che soddisfi i criteri descritti costituisce un gruppo di ordine h
Simmetria e Teoria dei Gruppi Gruppi Puntuali di Simmetria
1) L’insieme comprende l’elemento identità, il quale commuta con gli elementi del gruppo:
E·gi = gi·E = gi
2) L’insieme comprende l’inverso:
gi·gi-1 = gi
-1·g i= E
3) La regola di combinazione è associativa:
gi·(gj·gk) = (gi·gj)·gk
4) La combinazione di due qualunque elementi dell’insieme appartiene all’insieme (cioè l’insieme è completo):
gi· gj = gk gk G
Un gruppo che gode della proprietà commutativa ga·gb= gb·ga
Commutativo o Abeliano
L’insieme delle operazioni di simmetria costituisce un gruppo
Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi
Ordine del gruppo h il numero di elementi del gruppo
321
2
33 ,,,,, vvvCCE
NH3
h=6
Gruppi ciclici Gruppi di operazioni di simmetria generate dall’esistenza di un solo elemento di simmetria. Questi gruppi sono Abeliani. I gruppi costituiti da sole rotazioni sono ciclici.
H2O2 C2
2,CE
A, B, X → Operazioni di simmetria
Operazione di similitudine
Dato un certo gruppo G di ordine h, due elementi A e B del gruppo appartengono alla stessa classe se si trasformano l ’ uno nell ’ altro sottoposti ad una operazione di similitudine tramite un terzo elemento X dello stesso gruppo G.
Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi
Classe di Simmetria
X-1 A X = B
A e B appartengono alla stessa classe
X-1 (AX)
Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi
1
2 3
321
2
33 ,,,,, vvvCCE
σv1
σv3
NH3
Classi di Simmetria
E → Classe di ordine 1
σv2
X-1 A X = B
X-1 (AX)
E
Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi
1
2 3
321
2
33 ,,,,, vvvCCE
σv1
σv3
NH3
Classi di Simmetria
→ Classe di ordine 2 2
33,CC
σv2
Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi
1
2 3
321
2
33 ,,,,, vvvCCE
σv1
σv3
NH3
Classi di Simmetria
→ Classe di ordine 3
σv2
321 ,, vvv
X-1 (AX)
Simmetria e Teoria dei Gruppi Rappresentazioni
Per ogni oggetto è possibile trovare tutti gli elementi di simmetria del gruppo di appartenenza. Dato un insieme di elementi (punti, atomi, coordinate degli atomi, funzioni, etc.) è possibile sottoporli alle operazioni di simmetria R del gruppo.
Base della rappresentazione L’insieme di elementi su cui si opera
Rappresentazione del Gruppo Il risultato delle operazioni effettuate
321
2
33 ,,,,, vvvCCE
2
4 3 1
C3
1
4 2 3
NH3
C3 (1, 2, 3, 4) = (2, 3, 1, 4)
D(C3) = (2, 3, 1, 4)
Matrice rappresentativa di C3 relativa alla base scelta
R (f) = f D(R) = f’
Simmetria e Teoria dei Gruppi Rappresentazioni
Le operazioni di simmetria (R) possono essere rappresentate da matrici aventi dimensioni uguali a quelle della base scelta (f)
R (f) = f D(R) = f’
C3 (1, 2, 3, 4) = (2, 3, 1, 4)
1
4 2 3
Simmetria e Teoria dei Gruppi Rappresentazioni
La matrice rappresentativa di un prodotto di operazioni di simmetria sarà data dal prodotto delle
matrici rappresentative delle singole operazioni:
Un gruppo di simmetria di ordine h può essere rappresentato mediante un insieme di h matrici
relative alla base f utilizzata
Simmetria e Teoria dei Gruppi Rappresentazioni e Carattere
Carattere
j
jjD a
χ = 4 χ = 1
χ = 2