Santi Caltabiano

Simmetrie per gli integrali doppi

Sia TR2 non vuoto e limitato; sia AT non vuoto; sia f:TR continua.

Seguono immediatamente da l teorema di cambio di variabile i seguenti fatti:

1) Se f(x,y)= f(y,x) (risp. f(x,y)= –f(y,x)) allora posto B:={(y,x) : (x,y)A} e supposto

BT si ha che:

A f(x,y)dxdy= B f(x,y)dxdy

risp. A f(x,y)dxdy= – B f(x,y)

2) Se f(x,y)=f(–x,–y) (risp. f(x,y)= –f(–x,–y)) allora posto C:={–(x,y) : (x,y)A}

(insieme simmetrico di A rispetto all'origine) e supposto CT si ha che:

A f(x,y)dxdy= C f(x,y)dxdy

risp. A f(x,y)dxdy= – C f(x,y)dxdy

3) Se f(x,y)= f(–x,y) (risp. f(x,y)= –f(–x,y)) allora posto D:={(–x,y) : (x,y)A}

(insieme simmetrico di A rispetto all'asse y) e supposto DT si ha che:

A f(x,y)dxdy= D f(x,y)dxdy

risp. A f(x,y)dxdy= – D f(x,y)dxdy

4) Se f(x,y)= f(x,–y) (risp. f(x,y)= –f(x,–y)) allora posto E:={(x,–y) : (x,y)A}

(insieme simmetrico di A rispetto all'asse x) e supposto ET si ha che:

A f(x,y)dxdy= E f(x,y)dxdy

risp. A f(x,y)dxdy= – E f(x,y)dxdy