sİmpleks yÖntem
DESCRIPTION
SİMPLEKS YÖNTEM. Standart DP Haline Dönüşüm (Örnek 3.2.1). Aşağıdaki DP modelini standart hale getirin. Maks.z = 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 x 1 + x 2 - x 3 ≥ - 5 - 6x 1 + 7x 2 - 9x 3 ≤ 4 x 1 + x 2 + 4x 3 = 10 x 1 , x 2 ≥ 0 x 3 : sınırlandırılmamış. DÖNÜŞÜM (Örnek 3.2.1). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
SİMPLEKS YÖNTEM
2
Aşağıdaki DP modelini standart hale getirin.
Maks.z = 2x1 + 3x2 + 5x3
x1 + x2 - x3 ≥ - 5- 6x1 + 7x2 - 9x3 ≤ 4x1 + x2 + 4x3 = 10
x1, x2 ≥ 0x3 : sınırlandırılmamış
Standart DP Haline DönüşümStandart DP Haline Dönüşüm(Örnek 3.2.1)(Örnek 3.2.1)
3
Birinci kısıt : ≥ halindeki eşitsizliğin her iki tarafı (-1) ile çarpılıp ≤ haline getirilir ve kısıtın sol tarafı s1 dolgu miktarı kadar artırılır.
İkinci kısıt : ≤ olduğundan sadece sol tarafa s2 dolgu değişkeni ilave edilir.
Üçüncü kısıt : Zaten eşitlik halinde olduğundan dolgu ya da artık değişkene gereksinimi yoktur.
Sınırlandırılmamış x3 değişkeni yerine :x3 = x3 - x3 ifadesi amaç fonksiyonu ve tüm kısıtlarda yerine yazılır. Burada x3 ≥ 0 ve x3 ≥ 0’dır.
DÖNÜŞÜMDÖNÜŞÜM(Örnek 3.2.1)(Örnek 3.2.1)
-
-+
-+
4
Maks.z = 2x1 + 3x2 + 5x3 - 5x3
- x1 - x2 + x3 - x3 + s1 = 5
- 6x1 + 7x2 - 9x3 + 9x3 + s2 = 4
x1 + x2 + 4x3 - 4x3 = 10
x1, x2, x3, x3, s1, s2 ≥ 0
ÇözümÇözüm(Örnek 3.2.1)(Örnek 3.2.1)
-+
-+
-+
-+
-+
5
Renk Ltd.Şti., M1 ve M2 hammaddelerinin karışımından elde edilen iç ve dış duvar boyalarını üretmektedir. Problemin temel verileri aşağıdadır:
Simpleks Algoritması Simpleks Algoritması ProblemProblem
(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
Ton başına hammadde miktarıGünlük
maksimum kullanılabilirlikDış boya İç boya
M1 Hammaddesi 6 4 24M2 Hammaddesi 1 2 6
KÂR 5 4 Günlük iç boya talebinin en çok 2 ton olduğu ve günlük iç boya talebinin günlük dış boya talebinden fazla olduğu, bu fazlalığın da günde en çok 1 ton olduğu bilindiğine göre; kârı maksimum yapan optimum üretim miktarlarını bulunuz.
6
Maks.z = 5x1 + 4x2
6x1 + 4x2 ≤ 24x1 + 2x2 ≤ 6- x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
DP ModeliDP Modeli(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
7
Kısıtların dördü de ≤ olduğundan;
Maks.z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 +0s3 +0s4
6x1 + 4x2 + s1 = 24x1 + 2x2 + s2 = 6- x1 + x2 + s3 = 1 x2 + s4 = 2
x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0
Standart DP Haline DönüşümStandart DP Haline Dönüşüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
8
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
Temel z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Çözüm
z 1 -5 -4 0 0 0 0 0
s1 0 6 4 1 0 0 0 24
s2 0 1 2 0 1 0 0 6
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1
s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Maks.z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 +0s3 +0s4 ise;Z - 5x1 - 4x2 = 0
9
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
Temel z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Çözüm
z 1 -5 -4 0 0 0 0 0
s1 0 6 4 1 0 0 0 24
s2 0 1 2 0 1 0 0 6
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1
s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Temel x1 Çözüm Oran
s1 6 2424/6=4
(minimum)
s2 1 6 6/1=6
s3 -1 1 -1/1=-1 (atlanır)
s4 0 2 2/0=∞ (atlanır)
Anahtarsatır
10
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
Temel z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Çözüm
z 1 -5 -4 0 0 0 0 0
s1 0 6 4 1 0 0 0 24
s2 0 1 2 0 1 0 0 6
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1
s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Yeni anahtar satır = Eski anahtar satır / Anahtar sayı
Temel z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Çözümz
x1 0 6/6 4/6 1/6 0/6 0/6 0/6 24/6
s2
11
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
Z satırı Formül
Mevcut satır 1 -5 -4 0 0 0 0 0 A
Yeni anahtar satır
0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 B
- (-5) X yeni anahtar satır
0 5 10/3 5/6 0 0 0 20 C = - (-5) X B
Yeni z satırı 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 A + C
Geri kalan satırların bulunması
12
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
s2 satırı Formül
Mevcut satır 0 1 2 0 1 0 0 6 A
Yeni anahtar satır
0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 B
(-1) X yeni anahtar satır
0 -1 -2/3 -1/6 0 0 0 -4 C = (-1) X B
Yeni z satırı 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 A + C
13
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
s3 satırı Formül
Mevcut satır 0 -1 1 0 0 1 0 1 A
Yeni anahtar satır
0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 B
- (-1) X yeni anahtar satır
0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 C = - (-1) X B
Yeni z satırı 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 A + C
14
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
s4 satırı Formül
Mevcut satır 0 0 1 0 0 0 1 2 A
Yeni anahtar satır
0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 B
(0) X yeni anahtar satır
0 0 0 0 0 0 0 0 C = (0) X B
Yeni z satırı 0 0 1 0 0 0 1 2 A + C
15
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
Temel z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Çözüm
z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20
x1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4
s2 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2
s3 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5
s4 0 0 1 0 0 0 1 2
İkinci Simpleks tablosu
16
Simpleks Yöntemi ile ÇözümSimpleks Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.3.1)(Örnek 3.3.1)
Temel z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Çözüm
z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21
x1 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3
x2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2
s3 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2
s4 0 0 0 1/8 -3/4 0 1 1/2
Üçüncü Simpleks tablosu (OPTİMUM ÇÖZÜM)
Temel dışı s1 ve s2 değişkenlerinin katsayıları negatif olmadığından bu tablodaki çözüm OPTİMUM’dur. Günde 3 ton dış boya, 1,5 ton iç boya üreterek maksimum 21000 birim kâr elde edilebilir.
17
Min.z = 4x1 + x2
3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 ≥ 6
x1 + 2x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
M YöntemiM Yöntemi(Örnek 3.4.1)(Örnek 3.4.1)
18
Min.z = 4x1 + x2
3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 – x3 = 6x1 + 2x2 + x4 = 4x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Min.z = 4x1 + x2 + MR1 + MR2
3x1 + x2 + R1 = 34x1 + 3x2 – x3 + R2 = 6x1 + 2x2 + x4 = 4x1, x2, x3, x4, R1, R2 ≥ 0
Standart Haline DönüşümStandart Haline Dönüşüm(Örnek 3.4.1)(Örnek 3.4.1)
19
M Yöntemi ile ÇözümM Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.4.1)(Örnek 3.4.1)
Temel x1 x2 x3 R1 R2 x4 Çözüm
z -4 -1 0 -M -M 0 0
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 0 6
x4 1 2 0 0 0 1 4
Yeni z satırı = Eski z satırı + (M X R1 satırı) + (M X R2 satırı)
Eski z satırı -4 -1 0 -M -M 0 0
+ (M X R1 satırı) 3M M 0 M 0 0 3M
+ (M X R2 satırı) 4M 3M -M 0 M 0 6M
= Yeni z satırı -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M
20
M Yöntemi ile ÇözümM Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.4.1)(Örnek 3.4.1)
Temel x1 x2 x3 R1 R2 x4 Çözüm
z -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 0 6
x4 1 2 0 0 0 1 4
21
M Yöntemi ile ÇözümM Yöntemi ile Çözüm(Örnek 3.4.1)(Örnek 3.4.1)
Temel x1 x2 x3 R1 R2 x4 Çözüm
z 0 (1+5M)/3 -m (4-7M)/3 0 0 4+2M
x1 1 1/3 0 1/3 0 0 1
R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2
x4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3
Probleme bu şekilde sonuna kadar devam edilirse;
OPTİMUM ÇÖZÜM : x1=2/5, x2=9/5, x3=1 ve z=17/5 bulunur.