Simulação no Tempo: Esquemas de Solução

yxg

yxfx

,0

,Sistema de Equações Não Lineares Algébrico Diferencial

fdrefaa

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q

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11

...

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,,..

yxfx ,

yxg ,0

Resumo da Modelagem: t passo de integração

32

3

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1

11

11

1

.

.

...

cos.sin.

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2

2

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11

111

11

111

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VYI

V

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xVVEI

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o

o

o

Eqs. Diferenciais Algebrizadas

Equações de Interface

Eqs. da Rede Elétrica + Cargas

uxfx ,

Vxgu ,

VYI VE ,

Esquema Simultâneo Implícito: no esquema simultâneo implícito as equações diferenciais são transformadas em equações algébricas a diferenças através de um método implícito de integração para constituirem um único sistema de equações algébricas, geralmente resolvidas pelo método de Newton

qddqqqdde

qimreq

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PPH

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cos.sin.0:

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20:

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112

111

14

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111

11

111

Eqs. Diferenciais Algebrizadas

Equações de Interface

uxfx ,

Vxgu ,

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I

IjIEyI

V

V

V

V

V

V

GB

BG

I

I

I

I

h

Eqs. da Rede Elétrica + Cargas

VYI VE ,

O conjunto de equações f(x,u,Ve)=0; g(x,u,Ve)=0; e h(x,Ve)=0 tem que ser resolvido simultaneamente:

f(x,u,Ve)=0; g(x,u,Ve)=0; e h(x,Ve)=0 são funções não lineares

Método de Newton

00

xx

fff

xoxoxxMétodo de Newton:

eootim

imtre

re

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dtq

qtd

de

eoottim

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eoottim

imtre

retq

qd

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tq

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V

hV

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E

gE

E

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V

gE

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Vxgg

VV

gV

V

gE

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1111

1111

111

111

11

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im

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imre

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g

g

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f

f

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yoy

3

2

1

4

3

2

1

yJM yoy

Inicialização: dx/dt=0 w, , E’q

Para: (t=0; t; Tfinal)

k=0

Enquanto: || M(yk

) ||2 >

Calcule: M ( yk )

Resolva: yk+1 = -[Jyk]-1 . M(yk)

yk+1 = yk + yk+1

k = k+1

Algoritmo Simultâneo Implícito:

yyy

MJykk

yyo

1

1

A equação matricial y = -[ J ]-1 . M(y) é linear e deve ser resolvida, em geral varias vezes para cada passo de integração, pois os elementos do Jacobiano devem ser recalculados para cada nova estimativa de yk+1

O maior esforço computacional no algoritmo de Newton concentra-se no cálculo da matriz de coeficientes (Jacobiana) e na solução do sistema linear. Afim de minimizar este esforço muitos trabalhos sugerem que a matriz Jacobiana calculada na primeira iteração seja mantida constante para as demais iterações do passo de integração, esta variação do método denomina-se Newton Desonesto. De fato, alguns autores sugerem que a matriz Jacobiana possa ser mantida constante para vários passos de integração, definindo o método de Newton Muito Desonesto (obviamente algum critério deve ser estabelecido para o recalculo da matriz Jacobiana, sendo comum o número de iterações elevado de um passo de integração impor o recalculo da matriz)