Modelamiento de Flujo lineal 3D de Petrleo Agua en sistema Mtodo IMPES para plantear el sistema de ecuacionesMtodo GAUSS SEIDEL para resolver el sistema de ecuaciones

Elaborado Por ANDRES DAVID HERRERA PALACIOLUIS ALEJANDRO ROBLEDO RUIZARLEN ZAPTA BENITEZ

GRUPO 5

Presentado aI.P ABEL NARANJO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDE MEDELLIN FACULTAD DE MINASSIMULACION DE YACIMIENTOSFEBRERO 2012

TABLA DE CONTENIDOResumen1. MODELO FSICO......4

2. MODELO MATEMTICO.52.1 Ecuaciones de difusividad para aceite y agua. ..52.2 Ecuaciones adicionales. ...5

3. MODELO NUMRICO.63.1 Anlisis para la ecuacin de difusividad del aceite. .63.1.1 Expansin del primer trmino en X.73.1.2 Expansin del segundo trmino en Y73.1.3 Expansin del segundo trmino en Z.83.2 Anlisis para la ecuacin de difusividad del agua. ..8 3.3 Calculo de transmisibilidades. ...83.3.1 Para el caso del aceite...83.3.2 Para la fase del agua.9

4. INTRODUCCIN AL MTODO DE SOLUCIN SECUENCIAL IMPIS (IMPLICIT PRESSURE IMPLICIT SATURATION)11

5. SISTEMAS DE ECUACIONES PARA TODA LA MAYA. ..135.1 Cara superior Z=nz145.2 Cara del fondo Z=1175.3 Caras intermedias 2 Z nz.21

6. SOLUCIN DEL SISTEMA DE ECUACIONES. METODO LSOR..25

7. DIAGRAMA DE BLOQUES..26

8. MODELO COMPUTACIONAL. ..278.1 Algoritmo principal.278.2 Subrutinas Y Mdulos328.2.1 Modulo General328.2.2 Dimensionamiento...328.2.3 caracterizacin.338.2.4 Bloques Fantasmas..348.2.5 Clculo De Permeabilidades Relativas...358.2.6 Transmisibilidades368.2.7 Stenciles38

ANEXOS40Anexo 1. Curvas de permeabilidad relativa dato de entrada.40Anexo 2. Curva de presin capilar aceite-agua41Anexo 3. Caracterizacin del sistema. (Fortran)..43

Informe de Simulacin de Yacimientos Flujo Petrleo AguaMtodo IMPIS para plantear el sistema de ecuacionesMtodo LSOR para resolver el sistema de ecuaciones

RESUMENSe procedi a realizar un simulador para un yacimiento bifsico, con una inclinacin de 5 en donde tenemos constantes los caudales y las presiones son desconocidas, para nuestro caso flujo petrleo-agua lineal en 3D con malla irregular y para las tres direcciones varan las permeabilidades, las ecuaciones fueron planteadas por el mtodo IMPES y se resolvi por medio de mtodo GAUSS SEIDEL.

Las direcciones de los ejes sera:

Z

X

Y

El objetivo es desarrollar tericamente los pasos para el desarrollo del simulador y luego realizar el algoritmo lgico de programacin en fortran, para encontrar del comportamiento de las presiones de la fase de petrleo y las saturaciones en cualquier punto de un yacimiento para un tiempo de determinado. Por los mtodos propuestos.

1. MODELO FSICO.

Para el sistema de flujo aceite-agua se asume que los componentes aceite y agua son incompresibles e inmiscibles, de all que no haya transferencia de masa entre el agua y el aceite. Adicionalmente se asume que el flujo es isotrmico y las fases estn en equilibrio termodinmico. Tambin se tiene anisotropa en el sistema y el flujo es lineal en 3 dimensiones. Se eligi malla de bloque centrado.

Otras consideraciones son: El total de bloques en direccin x es de 4, en direccin y son 3, y en direccin z son 1. El tamao de paso en x es x= 100fts, en direccin y es y= 100fts, y en direccin z es z= 100fts. Hay inclinacin en la direccin X de 5. Asumimos como datos: , , donde estas propiedades seran constantes para todo los puntos del yacimiento. El comportamiento de la permeabilidad tendr un corpotamiento lineal con la distancia.

Figura 1. Sistema de bloque tridiagonal2. MODELO MATEMTICO

La formulacin del modelo matemtico para flujo multifsico en yacimientos de petrleo consiste bsicamente de las ecuaciones de flujo para todos los fluidos que componen el sistema, ecuaciones adicionales que complementen la descripcin de los fluidos y las condiciones iniciales y de frontera. Esto se realizar involucrando las ecuaciones de conservacin de masa, ecuaciones de estado y la ley de Darcy. Las ecuaciones adicionales incluyen la saturacin de las fases y las presiones capilares en funcin de la saturacin de las fases. Las condiciones iniciales y de frontera son necesarias para resolver el modelo matemtico.

Expresin general de la ecuacin de difusividad

Para flujo lineal 3D el valor de es igual a 1, por tanto se tiene que las eecuaciones de difusividad para el aceite y el agua:

2.1 Ecuaciones de difusividad para aceite y agua.

Donde y son los potenciales de flujo de las fases petrleo y agua respectivamente dados por:

En las ecuaciones de potencial y son los gradientes hidrostticos del agua y el petrleo y z es la altura, la cual se considera positiva hacia abajo.

El uso de las ecuaciones de difusividad en funcin del potencial de flujo permite tener en cuenta el flujo inclinado.

2.2 Ecuaciones adicionales.

Ecuaciones de saturacin:

Ecuacin de presin capilar:

Ecuacin de tasas:

Condiciones de lmite: Tipo Von Neumman, yacimiento cerrado.

Estas ecuaciones estn dadas para cada una de las fases, en nuestro caso para el petrleo y para el agua.

3. MODELO NUMRICO

En esta etapa del trabajo se expanden las ecuaciones difusividad en diferencias finitas.

3.1 Anlisis para la ecuacin de difusividad del aceite.

3.1.1 Expansin del primer trmino en X:

Aplicando expansin central en Xi:

Expandiendo las derivadas internas que dependen de i +1/2 y de i -

3.1.2 Expansin del segundo trmino en Y:

Aplicando expansin central:

Expandiendo las derivadas internas que dependen de j +1/2 y de j -

3.1.3 Expansin del segundo trmino en Z:

Aplicando expansin central:

Expandiendo las derivadas internas que dependen de k +1/2 y de k -

(3)

3.2 Anlisis para la ecuacin de difusividad del agua.

Procediendo de manera similar al aceite para el agua se obtiene:

3.3 Calculo de transmisibilidades.

3.3.1 Para el caso del aceite:

Partiendo de la Definicin de transmisibilidad.

Usando promedios armnicos

Invirtiendo

Similarmente:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

3.3.2 Para la fase del agua

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Habiendo definido las transmisibilidades podemos pasar a diferencias finitas: Para el agua

(19) Para el aceite

(20)

Las ecuaciones a resolver son la (19) y (20) y las incgnitas son los potenciales de flujo y las saturaciones de agua y petrleo.

En cuanto a las tasas de produccin en un bloque dado debemos tener en cuenta lo siguiente:

En pozos de produccin:

Se da

. Ambos valores se desconocen pero deben cumplir con la ecuacin de tasas.

4. INTRODUCCIN AL MTODO DE SOLUCIN SECUENCIAL IMPIS (IMPLICIT PRESSURE IMPLICIT SATURATION)

Las ecuaciones de flujo en forma de diferencias finitas, para las fases agua y petrleo respectivamente, quedan como:

Las ecuaciones anteriores al tener en cuenta conceptos como potencial, presin capilar y ecuaciones de saturacin se pueden transformar en las siguientes:

(21)

(22) Sumando las dos expresiones anteriores se tiene:

(23) En la ecuacin (23) hay trminos que dependen de la saturacin, las transmisividades y la presin capilar, y si estos trminos se calculan a un valor ya conocido de saturacin, saturacin al tiempo n, cuando se quiere calcular la presin de la fase petrleo al tiempo n+1 esta ecuacin se puede expresar como

(24) Donde,

El sistema de ecuaciones tambin se puede dar en trminos de la presin para la fase agua o en trminos de los potenciales de flujo de alguna de las fases.

Por ejemplo tomando como variable :

Combinando la definicin de potencial de flujo y la ecuacin de presin capilar, se puede establecer para el potencial de flujo de la fase agua

Y restando y sumando

(25)

Reemplazando en la ecuacin (19) se tiene

(26)

Sumando las ecuaciones (20) y (26) y teniendo en cuenta que, se tiene

(27) Y la ecuacin a resolver es entonces

(28)

Donde nuevamente T est dado como se mencion antes y .

En este caso para resolver el sistema de ecuaciones dado por las expresiones (24), (28) o la ecuacin de transmisibilidades al tiempo (n+1) se requiere la saturacin tambin al tiempo (n+1) y puesto que no se conoce se debe suponer. Con el valor supuesto de la saturacin se pueden calcular las transmisividades y la presin capilar y, por lo tanto, los coeficientes y el trmino independiente del sistema de ecuaciones. Se resuelve el sistema de ecuaciones y luego se calcula la saturacin. Luego se compara la saturacin calculada con la supuesta y si no coinciden, dentro de la tolerancia establecida, con los valores calculados se repite el procedimiento. Una vez se consiga coincidencia entre la saturacin calculada y la supuesta se ha encontrado la saturacin al tiempo (n+1) y se procede luego a obtener presin capilar y la presin de la otra fase al tiempo (n+1), para luego pasar al siguiente tiempo y aplicar el mismo procedimiento.En resumen los pasos del procedimiento IMPIS son:1. Se expresan todas las ecuaciones de diferencias finitas en funcin de la presin (potencial) de una de las fases.2. Se eliminan los trminos de la saturacin aplicando la ecuacin de saturacin, de acuerdo con la cual dSw = -dSo. De esta manera se obtiene el sistema de ecuaciones dado por la ecuacin (24) o (28).3. Se supone la saturacin al tiempo (n+1) y se calculan los coeficientes y el trmino independiente del sistema de ecuaciones.4. Se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido en el paso anterior y se obtiene la presin (potencial) de la fase en trminos de la cual se obtuvo el sistema de ecuaciones. 5. Con la presin de la fase conocida se aplica la ecuacin de diferencias finitas para dicha fase y se tiene una ecuacin de saturacin que se resuelve en forma directa para obtener la saturacin de dicha fase.6. Se compara la saturacin calculada en el paso 5 con la supuesta en el paso 3 y si no coinciden se toma el valor calculado como el nuevo valor supuesto y se regresa al paso 3 a repetir el procedimiento.7. Cuando se tenga coincidencia entre la saturacin supuesta y la calculada se conoce la saturacin al tiempo (n+1).8. Con la saturacin al tiempo n+1 se puede obtener la presin capilar al tiempo (n+1).9. Con la presin capilar al tiempo (n+1) y la presin de una de las fases, tambin al tiempo (n+1), se obtiene la presin de la otra fase.10. Se repite el procedimiento del paso 3 en adelante para otros tiempos.

5. SISTEMAS DE ECUACIONES PARA TODA LA MALLA.

Las condiciones de lmite empleadas para la descripcin del sistema de ecuaciones es Von Neuman-yacimiento cerrado. El sistema de ecuaciones se establece teniendo en cuenta el mtodo LSOR, el cual recorre la malla por filas.

Partiendo de la ecuacin general para aceite en diferencias finitas:

En trminos de estncil:

Donde:

C y F dependen de la ubicacin del bloque en la maya.

A continuacin se describe el sistema de ecuaciones para cada cara del sistema de bloques tridimensional.

5.1 Cara superior z=nz

Sabiendo que los siguientes estncils son siempre igual a:

Para (I,j,k)= (1,1,Nz)

Se anula:

La ecuacin correspondiente es:

Donde:

Para (I,j,k)= (Nx,1,Nz)

Se anula:

La ecuacin correspondiente es:

Donde:

Para (I,j,k)= (1,Ny,Nz)

Se anula:

La ecuacin correspondiente es:

Donde:

Para (I,j,k)= (Nx,Ny,Nz)Se anula:

Ecuacin correspondiente:

Donde:

Para (I,j,k)= (1