8.10.2014  

1  

EME 3105

Sistem Simülasyonu

Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I

Ders 4

1

Giriş

Önümüzdeki 2 hafta simulasyon girdilerinin

modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli

dağılımlar hatırlatılacaktır.

2

Rassal Degiskenler

Tanım: Rassal Degisken, örnek uzaydaki deney sonuçlarını gerçel bir sayıya atayan bir fonksiyondur.

3

S örnek Uzay

Gerçel Sayılar

ω1

ω2

ω3

ω6

ω4

ω5

X(ω1)

X: Her ω ∈S'ye gerçel bir sayı atar.

Olasılık Dağılımı 4

Örnek Uzay

Rassal Değisken

Olasılık Dağılımı

Sayı Olasılık

8.10.2014  

2  

Kesikli Rasgele Değişkenin Olasılık Fonksiyonu

N

ii=1

1. ( ) 0, tüm x'ler için

2. f(x ) 1

f x ≥

=∑

Tanım: X, sonlu sayıdaki x1, x2, …, xN değerlerini f(xi)=P(X=xi), i=1, 2,…, N olasılıkları ile alabilen kesikli rasgele değişken

olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan f(x)

fonksiyonuna X’in olasılık fonksiyonu denir.

X=x x1 x2 … xN

f(x)=P(X=x) f(x1) f(x2) … f(xN) 5

Kesikli Rasgele Değişkenin Dağılım Fonksiyonu

Tanım: (Dağ ı l ım fonksiyonu) Bir X rasgele

değişkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir ve

X’in x’e eşit ya da daha küçük olması olasılığıdır.

( ) ( ) ( )i

ix x

F x P X x f x≤

= ≤ =∑

6

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Tanım : X, şekilde gösterilen ( ) aralığında tanımlanan sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f(x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.

,−∞ ∞

1. ( ) 0, -

2. ( ) 1,

f x x

f x dx+∞

−∞

≥ ∞ < <∞

=∫

C2

Dens

ity

Mean 1,156StDev 2,981N 1000

Histogram of C2Normal f(x)

x c d 0 ( f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseni ile sınırlanan alan 1’e eşittir. )

7

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

C2

Dens

ity

Mean 1,156StDev 2,981N 1000

Histogram of C2Normal

f(x)

x c d 0

P(c < X < d) = f (x)dx c

d

∫

f (x) egrisi, x-ekseni ve x=c, x=d dogruları ile sınırlı alandır.

( ) ( ) ( ) ( )olduğuna dikkat etmeliyiz.P c X d P c X d P c X d P c X d< < = ≤ ≤ = ≤ < = < ≤

Sürekli X rasgele değişkeninin belli bir x değeri alması olasılığı sıfırdır. P(X=x)=0

8

8.10.2014  

3  

Sürekli Rasgele Değişkenin Dağılım Fonksiyonu

Tanım: (Dağılım Fonksiyonu) X, f(x) olasılık yoğunluk

fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun.

X’in dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır.

( ) ( ) ( )x

F x P X x f s ds−∞

= ≤ = ∫

9

Rasgele Değişkenlerin Beklenen Değeri ve Varyansı

E( X ) = x. f (x)x∑ X:Kesikli Rassal Degisken

V ( X ) = E ( X − E[X ])2⎡⎣ ⎤⎦

10

E Y[ ] = y. f (y)dy−∞

+∞

∫ Y:Sürekli Rassal Degisken

V[Y]= y − E Y[ ]( )2f (y)dy

−∞

+∞

∫

Yaygın Kesikli Dağılımlar (1) 11

Dağılım, X rassal Degişkeni

Olasılık Fonksiyonu f(x)

E[X] ve V[X]

Bernoulli (p)

Tek denemedeki basarı sayısı

Binom (n,p)

n tane Bernoulli denemesindeki basari sayisi

Geometrik (p)

Sıralı bernoulli denemelerinde ilk basarıya kadarki deneme sayısı

Negatif Binom (k,p)

Sirali Bernoulli denemelerinde k’ninci basariya kadarki deneme sayisi

f (x) = px .(1− p)1−x , x = 0,1

µ = E( X ) = pσ 2 = p.q = p.(1− p)

f (x) = n

x

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.px .qn−x ,x=0,1,2,...,n

µ = E( X ) = npσ 2 = npq

f (x) = qx−1.p, x = 1,2,... E( X ) = 1

p , σ 2 = q

p2

f (x) = x −1k −1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.pk .(1− p)x−k

x=k, k+1,...

µ = E( X ) = k / p

σ2 = kq / p2

Yaygın Kesikli Dağılımlar (2) 12

Dağılım, X rassal Degişkeni

Olasılık Fonksiyonu f(x)

E[X] ve V[X]

Poisson (λ) Belli bir zaman süresince gerçekleşen olayların sayısı Kesikli Düzgün (a,b)

Kesikli Düzgün

f (x) = 1

N, x = x1,x2 ,...,xN

1( )2NE Xµ += =

σ 2 = N 2 −1

12

f (x) = e−λ .λ x

x!, x=0,1,2,... λ>0 ( )E Xµ λ= =

σ2 = λ

f (x) = 1b− a

x = a,a +1,...,b ; a ≤ b µ = E( X ) = (b+ a)

2

σ 2 = (b− a +1)2 −1

12

8.10.2014  

4  

Örnek 13

Bir pastane günde belli bir tip yaş pastadan kaç adet pişirmesi

gerektiğini belirlemeye çalışmaktadır. Pastaneye belirtilen yaş pastadan

almak için bir günde gelen müşteri sayısının dağılımı

a)  (n=4, p=0.8) parametreli Binom dağılıma uymaktadır.

b)  Ortalaması 4 olan Geometrik dağılıma uymaktadır.

c)  (k=3, p=0.9) parametreli Negatif Binom dağılıma uymaktadır.

d)  λ= 3 parametreli Poisson dağılıma uymaktadır.

e)  min.=0, max.=4 parametreli Kesikli Düzgün dağılıma uymaktadır.

5 günde gelen toplam müşteri sayısını simüle edin.

Rassal Sayılar: 0.7213 0.5409 0.2267 0.9235 0.0521

a) Binom Dağılımı (4;0,8) 14

f (x) = n

x

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.px .qn−x ,x=0,1,2,...,n

f (0) = P( X = 0) = 40

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,8)0.(0,2)4−0 = 1.1.(0,2)4 = 0,0016

f (1) = P( X = 1) = 41

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,8)1.(0,2)4−1 = 4.(0,8)(0,2)3 = 0,0256

f (2) = P( X = 2) = 42

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,8)2.(0,2)4−2 = 6.(0,8)2(0,2)2 = 0,1536

f (3) = P( X = 3) = 43

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,8)3.(0,2)4−3 = 4.(0,8)3(0,2)1 = 0,4096

f (4) = P( X = 4) = 44

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,8)4.(0,2)4−4 = 1.(0,8)41= 0,4096

a) Binom Dağılımı (4;0,8) (devam) 15

f (x) =

0,0016 , x=00,0256 , x=10,1536 , x=20,4096 , x=30,4096 , x=4

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

x f(x) F(x) RS Atama

0 0,0016 0,0016 0< RS <=0,016

1 0,0256 0,0272 0,016< RS <=0,0272

2 0,1536 0,1808 0,0272< RS <=0,1808

3 0,4096 0,5904 0,1808< RS <=0,5904

4 0,4096 1 0,5904< RS <1

RS Talep

0,7213 4

0,5409 3

0,2267 3

0,9235 4

0,0521 1

Toplam 15

a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Olasılık Hesaplamaları

16

8.10.2014  

5  

a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Birikimli Olasılık Hesaplamaları

17

a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Ters Fonksiyondan Değer Hesaplama

18

P(X ≤ x) = 0,016 ise x=?

a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Olasılık Grafiği

19

a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Ampirik Birikimli Olasılık Grafiği

20

8.10.2014  

6  

b) Geometrik Dağılım (E[X]=4) 21

f (x) = qx−1.p, x = 1,2,... E( X ) = 1

p , σ 2 = q

p2

f (7) = (0,75)7−1.(0,25) ≈ 0,0445f (8) = (0,75)8−1.(0,25) ≈ 0,0334f (9) = (0,75)9−1.(0,25) ≈ 0,0250f (10) = (0,75)10−1.(0,25) ≈ 0,0188f (11) = (0,75)11−1.(0,25) ≈ 0,0141f (12) = (0.75)12−1.(0,25) ≈ 0,0106...

4 = 1

p → p=0,25

f (1) = (0,75)1−1.(0,25) = 0,25f (2) = (0,75)2−1.(0,25) = 0,1875f (3) = (0,75)3−1.(0,25) = 0,14062f (4) = (0,75)4−1.(0,25) ≈ 0,10547f (5) = (0,75)5−1.(0,25) ≈ 0,0791f (6) = (0,75)6−1.(0,25) ≈ 0,0593

22

x f(x) F(x) RS Atama

1 0,25 0,25 0< RS <=0,25

2 0,1875 0,4375 0,25< RS <=0,4375

3 0,1406 0,5781 0,4375< RS <=0,5781

4 0,1055 0,6836 0,5781< RS <=0,6836

5 0,0791 0,7627 0,6836< RS <=7627

6 0,0593 0,8220 0,7627< RS <=8220

7 0,0445 0,8665 0,8220< RS <=8665

8 0,0334 0,8999 0,8665< RS <=8999

9 0,0250 0,9249 0,8999< RS <=0,9249

10 0,0188 0,9437 0,9249< RS <=9437

11 0,0141 0,9578 0,9437< RS <=0,9578

12 0,0106 0,9684 0,9578< RS <=0,9684

>12 0,0316 1 RS>0,9684

RS Talep

0,7213 5

0,5409 3

0,2267 1

0,9235 9

0,0521 1

Toplam 19

b) Geometrik Dağılım (E[X]=4) (devam)

b) Geometrik Dağılım (E[X]=4) (devam) Negatif Binom Dağılımı (3;0.9) 24

f (x) = x −1

k −1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.pk .(1− p)x−k , x=k, k+1,...

f (3) = 3−13−1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,9)3.(0,1)3−3 = 0,729

f (4) = 4−13−1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,9)3.(0,1)4−3 = 0,2187

f (5) = 5−13−1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,9)3.(0,1)5−3 ≈ 0,0437

f (6) = 6−13−1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,9)3.(0,1)6−3 ≈ 0,0073

f (7) = 7 −13−1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.(0,9)3.(0,1)7−3 ≈ 0,0011

.

.

.

k = 3; p = 0.9

Günde en az 3 müşteri gelir.

8.10.2014  

7  

Negatif Binom Dağılımı (3;0.9) 25

x f(x) F(x) RS Atama

3 0,729 0,729 0< RS <=0,729

4 0,2187 0,9477 0,729< RS <=0,9477

5 0,0437 0,9914 0,9477< RS <=0,9914

6 0,0073 0,9987 0,9914< RS <=0,9987

7 0,0011 0,9998 0,9987< RS <=0,9998

>7 0,0002 1 0,9998< RS <1

RS Talep

0,7213 3

0,5409 3

0,2267 3

0,9235 4

0,0521 3

Toplam 16

d) Poisson Dağılımı (λ=3)= 26

f (x) = e−λ .λ x

x!, x=0,1,2,... λ>0

𝑓(0) =𝑒−330

0!= 0,049787  

d) Poisson Dağılımı (λ=3)= 27

x F(x) Rassal Sayı Atama 1 0,04979 0< RS <=0,04979 2 0,19915 0,04979< RS <=0,19915 3 0,42319 0,19915< RS <=0,42319 4 0,64723 0,42319< RS <=0,64723 5 0,81526 0,64723< RS <=0,81526 6 0,91608 0,81526< RS <=0,91608 7 0,96649 0,91608< RS <=0,96649 8 0,98810 0,96649< RS <=0,98810 9 0,99620 0,98810< RS <=0,99620

10 0,99890 0,99620< RS <=0,99890 11 0,99971 0,99890< RS <=0,99971 12 0,99998 0,99971< RS <=0,99998 13 1 RS>0,99998

RS Talep

0,7213 5

0,5409 4

0,2267 3

0,9235 7

0,0521 2

Toplam 21

d) Poisson Dağılımı (λ=3)= 28

8.10.2014  

8  

d) Kesikli Düzgün Dağılım (0;4) 29

f (x) = 1

b− a , x = a,a +1,...,b ; a ≤ b (a = 0,b = 4)

f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 1

5− 0= 1

5= 0,20

d) Kesikli Düzgün Dağılım (0;4)

x f(x) F(x) RS Atama

0 0,20 0,20 0< RS <=0,20

1 0,20 0,40 0,20< RS <=0,40

2 0,20 0,60 0,40< RS <=0,60

3 0,20 0,80 0,60< RS <=0,80

4 0,20 1 0,80< RS <1

RS Talep

0,7213 3

0,5409 2

0,2267 1

0,9235 4

0,0521 0

Toplam 10