Simulation tridimensionnelle de la blocom êtrie naturellede massifs rocheux

Three dimensional simulation of block size distribution of rock masses

J. XU, R. COJEAN, M. ARNOULDCGI, Ecole des Mines de Paris*

Rev. Franç. Géotech" no 58, pp. 31-40 (janvier 1992)

Résumé

Cet article présente un modèle général de simulation à trois dimensions de lablocométrie naturelle des massifs rocheux. ll est constitué de quatre parties :

1 . analyse statistique et simulation à trois dimensions des discontinuités ;2. analyse de la connectivité des discontinuités simulées ; 3. identification desblocs discrets intersectés par des discontinuités connectées ; 4. caractérisationde la blocométrie de massifs rocheux. Trois types de représentation (distribu-tion de taille, distribution de taille pondérée, distribution de l'orientation desblocs) sont utilisés. Les résultats des exemples réels sont donnés dans les sec-tions correspondantes de I'article.

AbstractThis paper presents a general model for simulating three dimensional naturalrock mass granulometry. lt consists of four parts : 1. statistic analysis and threedimensional simulation of rock mass fractures i 2. connectivity study of simu-lated fractures ; 3. identification of distinct blocks intersected by the fractu-res : 4. characterization of rock mass granulometry. Three representativemethods, such as size distribution, weighted size distribution and orientationdistribution of blocks, are used. The results of some real examples are givenin the correspondent sections of the paper.

60, bd Saint-Michel, 75272 Paris, Cedex 06.

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INTRODUCTION

Les dêveloppements récents dans l'analyse de la sta-bilité et dans l'évaluation de la fragmentation des mas-sifs rocheux par explosif exigent une évaluation ini-tiale de la blocomêtrie naturelle de ceux-ci. Depuis letravail original de CUNDALL (1972), la méthode desêlê,ments discrets s'est dê,veloppée pour étudier lecomportement mécaniques des milieux fissurés (CUN-DALL, 1988) . Cette méthode considère un massifrocheux comme un système de blocs discrets délimi-tés par des discontinuités, et donc elle exige unsystème de blocs prê-défini. La fragmentation d'unmassif rocheux par explosif est contrôlée pour partiepar sa blocom êtrie initiale (distributions de taille etd'orientation des blocs) . Un modèle de la blocomé-trie naturelle nous permet de faire l'étude compara-tive entre celle-ci et la granulométrie du tas abattupour optimiser I'utilisation de l'énergie explosive.

Certains programmes de simulation des discontinui-tés à trois dimensions ont étê développés pourl'analyse d'écoulements souterrains. LONG et al.,(1985) ont réalisé un modèle de système de discon-tinuités à trois dimensions. ANDERSSON et DVERS-TORP (7987) ont développé un modèle de simula-tion conditionnelle de réseaux de discontinuités dis-crètes. Mais I'application de systèmes de discontinui-tés simulées à l'analyse mécanique ou à l'évaluationde la blocométrie d'un massif rocheux rencontre la dif-ficulté d'identification des blocs discrets séparés par desdiscontinuités.

LIN et al. (1987) ont proposé une méthode gêomê,-trique pour identifier le système de blocs. Dans cetteméthode, un bloc (polyèdre) est considêré comme uncomplexe orienté dont quelques propriétés topologi-ques peuvent ëtre utilisées comme critères pour iden-tifier les blocs. Cette méthode peut considérer, pourla première fois, les blocs convexes ou concaves.

Le gênérateur de blocs RESOBLOC développé parHELIOT (1988) considère I'histoire géologique dedéveloppement de différentes familles de fissures pourconstruire une base de données de blocs d'un mas-sif . Ce modèle est basé sur la gé,nêration de diffêren-tes familles de fissures. Chaque nouvelle famille defissures est introduite à I'intérieur de domaines déli-mités par les fissures déjà générées. La méthode desimulation de fissures diffère des modèles normale-ment utilisés et le modèle peut ëtre considéré commeun modèle hiérarchique. Il donne une bonne reprê,-sentation de certains massifs rocheux, par exemple,un massif rocheux sédimentaire.

Dans cet article, nous présentons la méthode utiliséedans le programme SIMBLOC de simulation tridimen-sionnelle de la blocom êtrle naturelle des massifsrocheux. A partir de la configuration des discontinui-tés simulées, une étude de la connectivité des discon-tinuités est faite d'abord pour éliminer les discontinuitésnon-connectées et fournir un modèle gê,ométriquepour l'analyse d'écoulements de fluides et de la blo-cométrie. Des propriétés topologiques d'un polyèdresont utilisées pour identifier un bloc discret. Troisméthodes de caractê,risation de la blocom êtrie d'unmassif rocheux sont présentées: distribution de taille,

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distribution de taille pondêrê,etation des blocs.

et distribution de l'orien-

1. SIMULATION TRIDIMENSIONNELLEDE DISCONTINUITÉS

La méthode de simulation prê,sentée dans cet articleest une méthode gênéralement utilisée par d'autresauteurs comme BAECHER (1983) , LONG et al.(1985) , ANDERSSON et DVERSTORP (1987). Unediscontinuité est modélisê,e comme un disque derayon r avec une orientation a et un pendage 0. Cesparamètres géométriques sont aléatoires et suivent cer-taines lois de distributions pour chaque famille de dis-continuités.

L'orientation et le pendage (a, P) d'une discontinuitépeuvent ëtre consid érê,s comme les coordonnées sphé-riques de la normale à la discontinuité et ils sont habi-tuellement considéré,s indépendants. Si nous considé-rons le vecteur d'une normale comme un point surun hémisphère unitaire, alors la distribution de ce vec-teur peut ëtre déuite par la distribution normalehémisphérique (MAHTAB et al., 7972) :

P(0) : (1 explk(cos0 1)l) / t1 exp(- k)l

(1)

avec k paramètre de dispersion ;

0 angle par rapport à la direction moyenned'une familleP (0) probabilité que la normale d'une disconti-nuité fasse un angle inférieur ou égal à 0 parrapport à la normale ou pôle de la famille.

L'estimation des paramètres à trois dimensions commel'extension (rayon de disque) et la densité des discon-tinuités se base sur des relations probabilistes appli-quées aux paramètres mesurables à deux dimensionscomme I'extension (longueur) et la densité des tracesdes discontinuités sur un affleurement.

La distribution de I'extension peut ëtre estimée par lesdonnées de la longueur de traces d'intersection entreune famille de discontinuités et la surface de mesure.WARBURTON (1980) a êtudiê la relation probabilisteentre le paramètre de distribution du rayon r et celuide distribution de la longueur de trace I pour diffé-rentes méthodes de mesure (fenêtre de mesure etligne de mesure) . Pour la reconnaissance en fienëtre,la relation s'écrit :

No 58

E(l) : 7r E('2)

4 E(r)

7t o2 + p2(2)

avec E (r) , E(rz) deux premiers moments centrés de rF, o moyenne et ê,cart-type de rE(l) espérance mathématique de l.

L'évaluation de cette équation exige une distributionsuppo sée de r. En pratique, nous supposons que lerayon r suit la même loi que la longueur de trace l.Les études expérlmentales montrent que I suit habi-

SIMULATION TRIDIMENSIONNELLE DE LA BTOCOMÉTRIE NATURELTE DE MAssIFs RocHEUx

tuellement la loi log-normale ou exponentielle (BAE-CHER, 1983) dont l'estimation des paramètres estbien êtudié,e et peut ëtre rê,alisée par des procédéstraditionnels (PRIEST et HUDSON, 1981 ; PAHL,1e81) .

La densité volumique \ d'une famille de discontinui-tés est définie comme le nombre de discontinuités parunité de volume dans un massif rocheux et la den-sité de surface N est définie comme le nombre de tra-ces d'intersection par unité de surface. Des relationsmutuelles enfte \ et N sont déduites par WARBUR-ToN (1980) pour différents modèles de formes dediscontinuité. Pour le modèle de disque , cette rela-tion s'écrit :

À : \' / (2 sina . E(r)) (3)

avec a angle entre la normale à une famille de dis-continuités et la normale à la surface de mesure.

Un programme est développê spécialement pour letraitement statistique de données acquises à deuxdimensions. Dans ce programme, la méthode de laclassification automatique est utilisée pour déterminerles familles directionnelles des discontinuités , et pourchaque famille, certains paramètres statistiques commeles moyennes et les écarts-types de l'extension , del'orientation, du pendage et de la densité sont calcu-lés simultanément. Les résultats d'un exemple rê,el de183 discontinuités mesuré,es sur la paroi d'un tunnelde reconnaissance dans un massif de granite sontmontrés dans le tableau 1. La figure 1 est la projec-tion stéréographique des discontiriuités sur laq,rbtt" onpeut visualiser approximativement trois familles.Dès que les paramètres statistiques de la gê,omêtriedes discontinuités sont obtenus, la simulation peut êtrerê,alisê,e d'une manière standard suivant la loi de dis-tribution de chaque paramètre. Dans le programme,le domaine de simulation est dilaté par rapport au

33

Fig. 1 . Projection stéréographique des discontinuités.Fig 1. Sterographic projection of discontinuities.

domaine ré,el suivant la valeur de l'extension des dis-continuités pour gê,nérer une marge tampon et dimi-nuer ainsi I'influence de marge. Un exemple de con-figuration de discontinuités simulées dans un talus sui-vant les données des cinq familles du tableau 1 estmontré dans la figure 2.

2. ETUDE DE LA CONNECTIVITÉDE DISCONTINUITÉS

Une discontinuité peut constituer un cheminementd'écoulement ou une facette d'un bloc à conditionqu'elle soit conne ctée avec le réseau global des dis-

Tableau 1. - Résultats d'analyse statistique des données de discontinuités.

K:

No. fam. Nombred isc.

E

extens.E

densitéE

orientationE

pendageS. D.

orientationS. D.

pendage K

51

2345

1

234

4

31

23

21

21

1

5589121512

55892415

558939

55128

183

2,373,1 53,472,102,06

2,373, 152,932,10

2,373,1 52,47

2,372,O3

2,O1

000o0

00o0

0o0

226379o57056056

226379106o56

226379163

o,226o,612

0,856

34174

251287240

34174

245287

34174

262

242o7

248o

241

341 ,277,4

97,1

81 ,946,345,780,588,5

81 ,g46,367,280,5

81 ,946,37 2,5

81 ,961 ,2

7 2,6

20,417,925,O6,5

14,8

20,417,921 ,1

6,5

20,417 ,926,4

20,421 ,1

43,6

9,215,711 ,28,27,8

9,215,720,68,2

9,215,718,4

9,221 ,2

23,7

12,316,216,245,122,4

12,316,27,7

45,1

12,316,26,7

12,35,0

2,7

E : moyenne - S.D. : écart-type ; paramètre de dispersion.

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Fig.2. Configuration des discontinuités simulées.Fig 2. Simulated discontinuities.

continuités. Par exemple, pour un problème de blo-cométrie, elle doit intersecter au moins trois autres dis-continuités ou les limites du domaine et les traces desintersections doivent se connecter mutuellement surla discontinuité. Donc l'étude de la connectivité se

base sur I'identification des intersections entre les dis-continuités ou les limites du domaine.

L'intersection entre le disque d'une discontinuité Fi etle disque d'une discontinuité Fj peut ëfte identifi ée parles trois étapes suivantes : 1. déterminer la ligne d'in-tersection entre deux plans contenant Fi et Fj ; 2. cal-culer la distance entre la ligne d'intersection et les cen-tres de Fi et Fj. Si la condition de l'extension n'estpas satisfaite, les deux discontinuités ne s'intersectentpas ; 3. déternniner la partie commune d'intersection

No 58

Fig. 3. A. Un exemple de systèmeB. Représentation en graphe

Fig 3. A. An example of twoB. Graph representation of

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de Fi et Fj. Si elles ne sont pas dêcalê,es, il existeune partie commune et les deux discontinuités s'inter-sectent. Les limites du domaine de simulation peu-vent ètre interprétées comme des polygones convexes,leurs intersections avec des discontinuités peuvent ëtreidentifiê,es par une méthode semblable à celle présen-tée ci-dessus. Quand cette procédure est appliquée àtoutes les discontinuités dont I'ensemble est noté parIF, alors toutes les intersections auront êté identifiê,eset l'ensemble d'intersections est noté par II.

En effet, uh système de discontinuité et ses relationsd'intersections peuvent ètre décrits par un graphe, sinous considérons une discontinuité comme un som-met, et une intersection comme une arëte du graphe.Cela s'applique à un système à trois dimensions ainsiqu'à deux dimensions. La figure 3 montre un exem-ple simplifié bidimensionnel.Le degré de connectivité d'un système de disconti-nuités peut ëtre défini comme le nombre minimumd'intersections qu'une discontinuité possède dans lesystème. Dans la figure 2, il existe certaines disconti-nuités isolées qui n'intersectent aucune autre , le degrê,de connectivité du système est don c zéro. Un systèmede faible degré de connectivité peut devenir unsystème de degrê, plus fort par l'élimination des dis-continuités qui ne possèdent pas assez d'intersectionsafin d'établir des modèles gê,ométriques pour certai-nes applications pratiques (écoulement des fluides, blo-cométrie) . Si nous notons I'ensemble de discontinui-tés intersectant la discontinuité Fi par f (Fi) et I'ensem-ble d'intersections sur Fi par f (li) , alors pour le degrén, l'algorithme d'élimination d'une discontinuité Fiintersectant moins que n autres et des intersectionsassociées à Fi s'écrit :

Fi, Fj € I(Fi) (4)

ik,ik€r(li) nf(lj)

A B

de discontinuités à deux dimensions.des relations d'intersection.dimensional discontinuity system.intersection relationships.

C

SIMUIATION TRIDIMENSIONNELLE DE LA BLOCOMÉTRIE NATURELLE DE MASsIFS RoCHEUX

L'algorithme (4) doit ëtre appliqué à toutes les dis-continuités du système et répété jusqu'à ce que cha-que discontinuité possède au moins n intersections.I. a figure 4 montre le résultat de degré, z du systèmedans la figure 2.

Fig. 4. - Réseau des discontinuités de degré 2 de connectivité.Fig 4. Discontinuity network with two degree connectivity.

L'étude de la connectivité pour la blocométrie de mas-sifs rocheux consiste en une étude des traces desintersections sur chaque discontinuité et est rê,alisê,edans un système local de coordonnées installé surchaque discontinuité. La procédure est semblable àcelle expliquée ci-dessus si une discontinuité est con-sidérée comme un segment d'intersection et une traced'intersection comme un point d'intersection. Une dis-continuité sur laquelle il n'existe pas un réseau de tra-ces d'intersection doit ëtre éliminé,e par I'algorithme(4) . Le rê,sultat de cette étude pour le système de dis-continuités de la figure 2 est montré dans la figure b.

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L'algorithme (4) concerne l'étude de la connectivitéde discontinuités individuelles, mais ne concerne pascelle de réseaux de discontinuités. Dans un systàmede fissures, il existe souvent des réseaux isolés(locaux) par rapport au réseau global connecté à lalimite du domaine intéressé. Par exemple dans lafigure 3, le réseau de fissures No 1b, 16, 17 , 18 estun réseau local. Au terme de la théorie de graphes,il concerne la connexité d'un graphe et le nomUin deréseaux correspond au nombre de composantes con-nexes d'un graphe. Dans un réseau individuel, il peutexister des fissures (No 10, etc dans la figure 3) etdes intersections dont la suppression génèrà des nou-veaux réseaux. Ils correspondent aux points d'articu-lation et aux isthmes dans la théorie de graphes. Larecherche du réseau global, des points dariiculationet des isthmes peut ëtre réalisêe selon les algorithmesstandards. - \

3. IDENTIFICATION GLOBALEDE SOMMETS, D'ANÊTESET DE FACETTES

L'identification globale des sommetso des arêtes et desfacettes est rê,alisée premièrement dans un systèmelocal de coordonnées installé sur chaque discontinuité.La figure 6A. montre une discontinuité circulaire etles traces des intersections avec d'autres discontinui-tés. Un sommet V est un point d'intersection entredeux traces et donc est un point d'intersection entretrois discontinuités Fi, Fj, Fk qui définissent I'associa-tion du sommet V, noté,e :

f (V) : (Fi, Fj, Fk) (5)

Une arête E est un segment entre deux sommets Viet Vm qui définissent I'association de l'arête E. noté,e:

l(E) - (Vi, Vm) (6)

C'est donc un segment sur la ligne d'intersection entredeux discontinuités. Une facette est définie comme uncycle êlêmentaire orienté dont la frontière est consti-tué,e d'arêtes orientées (fig. 68.) .

Du fait qu'un sommet global est une intersection entretrois discontinuités, il peut apparaître dans différentesdiscontinuités. De même, du fait qu'une arête globaleest une intersection entre deux discontinuités , elle peutaussi apparaître dans différentes discontinuités. Latransformation vers le système global doit consid érerce phénomène , le même sommet ou la même arëtedoit avoir un même numéro global unique quand ilest transféré de différents systèmes locaux.

Si nous notons V l'ensemble des sommets obtenusdans la p1o cédure d'identification des sommets glo-baux et | (V) I'ensemble des associations de sommetsidentifiê,s, alors pour un sommet V, s'il est déjà iden-tifié dans le système local sur I'une de ses trois fissu-res, f (V) est déjà contenu dans f (!/) :

Fig. 5. Réseau des discontinuités pourFig 5. Discontinuity network for block

la blocométrie.size analysis. r0nnrv) :r(v) (7)

36

Fig. 6. A. Traces des intersectionsde type disque.

B. Sommets, arêtes et cycles surFig 6. A. lntersection traces on a dice

B. Vertices, edges and cycles an

S'il est nouveau, on a :

f(v) nfv) :ôet on doit I'ajouter dans Ï/

X/- VU Vr(\I/) +r(v) uf(v)

De la même façon, si nous notons IE l'ensemble desarêtes identif iê,es et | (E) l'ensemble des associationsdes arêtes identifiêes, alors pour une arëte E, si elleest déjà identifiée, f (E) est déjà contenu dans l(E) :

r(IE) nrE) :f(E)Si elle est nouvelle.

r(E)

et on doit l'ajouter

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Une facette , notê,e C, étant présente sur une seulediscontinuité , le problème prê,cé,dent n'existe pas. Laméthode d'identification d'un cycle élê,mentaire estidentique à celle d'identification d'un bloc bidimension-nel.

4. IDENTIFICATIONDES BLOCS DISCRETS

L'algorithme pour identifier un bloc discret intersectépar des discontinuités se base sur l'homomorphismedu bloc. Un bloc polyédrique est homomorphique ouidentique au sens topologique à une sphère s'il peuts'identifier à celle-ci par une déformation continue,(LIN D. et al., 7987) . Le nombre de sommets, d'arê-tes et de facettes de cette classe de blocs suit la for-mule d'EULER

V E+C:2et notre étude se limite à cette classe de blocs.

Du point de vue de la connexion du domaine, lesfacettes d'un bloc homomorphique engendrent undomaine de simple connexion. Si nous notons la nor-

male extêrieure à la surface du bloc par ; , selon

la formule gêomêtrique, l'intégrale de ; suivant lasurface fermê,e du bloc est nulle,

Nc

JJ, ; ds :D skk:1

avec Nc nombre de facettes

î tn normale extêrieureSk surface de la facette

d vecteur nul.

nk : 0 (13)

d'un bloc

à la facette kk

Une facette d'un bloc peut ëtre repré,sentê,e par un

polygone dans I'espace dont la surface orientée S . ;peut ëtre êvaluêe pour calculer le moment du poly-gone, l'équation (13) peut ëtre ê,crite :

lNcmkI ,FrF! "";.

-

t D D iio x Ei: o (14)

k:1 i:kavec mk nombre d'arêtes de la facette k

Ë i arëte orientê,e i-.-,'>

r io un noint de rêf.êrence sur l'arëte ix symbole de produit vectoriel.

Pour un polyèdre, une arëte coffespond à deux facet-tes voisines, si nous notons les orientations d'une arëte

sur deux facettes voisines j et k par ft et Ë k , l'ê-quation (14) est identique à l'équation suivante :

1 l\u - +. . -- -r I [(;'"xEij) +(î'oxEiktl

2 LJ --', . \

i:1 (15)

Na

f l7'" xlJ L-i:1

No 58

sur une discontinuité

la discontinuité.shaped discontinuity.a discontinuity.

(8)

(e)

(10)

(1 1)

on a:nIE) :ôdans (E)

IEUE.- r(E) u r(E)

1:2

(Ëi; + -ik)] :dIE <-

r(E) (r2) avec Na nombre d'arêtes d'un bloc.

Et

[;:-

SIMULATION TRIDIMENSIONNELLE DE tA BLOCOMÉTRIE NATURELTE DE MAssIFs RoCHEUX

Du fait que Na points de réf érence î'" sont nonnuls et indépendants, oo peut en déduire la relationsuivante :

Ei; +Ëik:d ( 16)

L'équation (16) montre qu'une arëte commune àdeux facettes d'un bloc y présente des orientationsopposêes (fig. 7). C'est une propriété, gê,ométriqueimportante d'un bloc pour I'orienter et I'identifier etelle constitue la base de l'algorithme informatique denotre étude.

Fig. 7. orientation de I'arête commune à deux f acettes.Fig 7. Orientation of an edge common to two faces.

Du fait qu'une arëte possède une orientation oppo-sée sur deux facettes voisines, elle s'élimine sur celles-ci. Une arëte n'appartient toujours qu'à deux facettesvoisines sur un bloc, donc toutes les arêtes d'un blocs'éliminent. En terme topologique, cela signifie que lafrontière topologique de la surface d'un bloc esf vide(LIN et al., 1981). Si nous notons l'ensemble des arê-tes d'une facette par (D, alors nous pouvons définirun ensemble d'arêtes de k facettes comme :

37

Fig.8. - leux blocs voisins correspondantà une f acette intérieure.

Fig B. Two neighbour blocks corresponding to an interior face.

le bloc virtuel a un volume négatif et ne sera pascompté dans la blocom êtrie.

Dans le processus d'identification, une facette estorientée pour que la normale à la facette soit toujoursvers l'extérieur du bloc. Ceci peut ëtre rê,alisé en con-sidérant la propriêtê, de l'équation (16) . Suivant l'équa-tion (16) , nous pouvons orienter une facette candi-date en vérifiant I'orientation de ses arêtes par rap-port à l'orientation des arêtes des facettes adlacentâsidentif iê,es. Par exemple, dans la figure 9 , supposonsque la facette en cours est Ck, la normale à cette

facette est îf., nous voulons identifier la facette sui-vante du bloc liée à l'arëte Ei. Il existe peut-être plu-sieurs facettes candidates, leurs orientations doiventëtre vêrifiê,es et modifi ées si nécess aire suivant leursrelations par rapport à celle de l'arëte sur Ck.

Soit M facettes candidates, nous notons les vecteurs

normalisés de moments de ces facettes par il i (i : 1,M) . Pour identifier la facette suivante, il convient d'éta-blir un système de coordonnées O (Ëtfl installé sur

l'arête*gn 3n la facette Ck. Les vecteurs de base

e t, e ,t, e ) du système suivent les conditions sui-vantes :

;E X ;

[Dk-1 (ak nk- 1

U ci) ;ki:1

C1

k- 1

u oi)1i:12 (77)

Quand l'équation (77) est appliquée à toutes les facet-tes, i.e. quand k : Nf (nombre de facettes d'unbloc) , IDk sera un ensemble vide, car toutes les arê-tes se sont éliminées. L'équation (77) est é,crite sousla forme itérative pour la réalisation informatique etelle sert comme un critère de la fermeture du bloc.Au cours d'identification d'un bloc, si nous sommesarrivés à une facette k telle que IDk : ô , alors lebloc est identifié et la valeur de k donne le nombrede facettes du bloc.

En se basant sur les équations (16) et (L7), I'identifi-cation d'un bloc tridimensionnel comm ence par unefacette. Une facette intérieure peut constituer la facettecommune à deux blocs voisins correspondant à deuxnormales opposées (fig. 8) . Par contre, une facettesur la surface du domaine ne coffespond qu'à un blocré,e\, I'autre est un bloc virtuel constitué par toutes lesfacettes sur la surf ace. La diff.érence entre eux est que

Le problème de déterminer la facette suivante devient

celui de la détermination du vecteur il t le plus àgauche par rapport à n'tn dans le plan (tq) dusystème comme il est montré dans la figure 9 C etl'étude suivante se limite dans ce plan, c'est-à-dire,

les vecteurs ; et ; sont consid érê,s comme bidi-mensionnels.

Nous notons le nombre de facettes candidates à gauche

du vecteur en cours n't par Ml, alors nous avons

;r

rt : ;r(18)

+Itr |lt-ll

j;çî1

38

A

A. Facettes liées à une arête.

A. Faces linked with an

No 58 REVUE FRANCAISE DE GEOTECHNIOUE

Fig. 9. - Identification de Ia facette Ia plus à gauche.B. Système de coordonnées O (try 11. - C. Normales transformées dans le système O ({ryfi.

Fig. 9. - ldentification of the most on the left face.edge. - B. Coordinate system O( [t1!1. - C. Normals transformed to the system O( {ryfr.

cB

MI

ilr sera dêterminé, par :

.+ .-->

Ink ml l: max( 1e)

tlît ilt1, i : 1, Ml]

Si Ml : 0, alors ilf sera déterminé par :

lît ilt l: min

fl;k ilt l,i-1,M1('| )

Une fois que ml est identifié, nous sommes arrivésà une nouvelle facette . Le problème suivant est devérifier la fermeture du bloc pour décider s'il faut con-tinuer d'identifier les facettes suivantes ou non. Celapeut ëtre ré,alisê, par l'équation (77). Si I'ensemble Dest vide , le bloc est identifié, si non, nous choisissonsune arëte dans D, normalement la première, commeI'arête en cours, nous cherchons les facettes candi-dates liées à cette arëte et nous répétons les procê-dures ci-dessus.La surface d'un cycle orienté (facette) peut ëtre éva-luê,e pour calculer son moment et est égale à la moi-tié de celui-ci. Supposons qu'un cycle soit constituéde m arêtes et également de m sommets. Si unefacette est identifié,e par la méthode prêsentêe, l'orien-tation des arêtes est définie dans le sens trigono mê.-trique, la surface de I'arête s'écrit :

n

V:(I/3) I (î''."'il .Siai:1

(22)

avec n i normale à la facette i

Si surface de la facette iî'o ooint de rêfêrence sur facette i^1.

Le point de réfêrence peut ëtre choisi comme unpoint quelconque sur le plan de la facette i, par exem-ple un de ses sommets.

La méthode présenté,e ci-dessus pour identifier un blocne fait pas I'hypothèse de la convexité du bloc. Unbloc concave peut ëtre identifié de la même manièrequ'un bloc convexe, mais nous avons supposé queles blocs sont homomorphiques en terme de topolo-gie. Cela sera génêralement satisfait si une étude dela connectivité des discontinuités et des traces desintersections sur chaque discontinuité est faite et si lesréseaux locaux de discontinuités sont éliminés.

5. BLOCOMÉTRIEDE MASSIFS ROCHEUX

Nous allons discuter la distribution de taille de blocsd'un massif rocheux. La taille d'un bloc peut ëtrereprés entée par son volume ou plus simplement parson diamètre équivalent. Dans ce texte, nous utilisonsla racine cubique du volume pour présenter la taillemoyenne d'un bloc. Pour un massif rocheux, la dis-tribution de taille de blocs F(x) présente certains carac-tères de la structure. Par exemple, on peut mesurerle pourcentage de nombre de blocs trouvés dans unintervalle de taille donnée. La figure 10 montre la dis-tribution de taille et I'histogramme de fré,quence dusystème de blocs dans la figure 5.

L'inconvénient de la présentation de F (x) est qu'elleinsiste seulement sur l'importance en nombre, et nemontre pas clairement l'importance de la taille elle-même. Dans un massif rocheux, l'intersection entre

(20)

(2r)i:1

où É i est une arëte orientê,e, î 'o est un point deréfêrence et peut ëtre choisi comme un point quel-

conque sur la ligne de l'arëte Éi.Le volume d'un bloc de n facettes peut ëtre calculépar la surface de ses facettes et la normale extërieureà chaque facette.

s:1 Ë î'oxEi2Lt

v/ r\/1)

.12

SIMULATION TRIDIMENSIONNELLE

FREOUENCE 7.

DE LA BLOCOMÉTRIE NATURELLE DE MASSIFS ROCHEUX

F (Xr

l2ECIIELLE 0ES BL0C5: t{

Fig. 10. Distribution de taille des blocs.Fig 10. Block size distribution.

des discontinuités aléatoires peut engendrer un trèsgrand nombre de blocs de petite taille , le volume deces petits blocs pouvant ëtre très faible. Leur influencesur la stabilité ou la fragmentation d'un massif rocheuxne sera pas aussi importante qu'on pourrait le pen-ser au vu de leur pourcentage en nombre. Ainsi nousutilisons une autre méthode de repré,sentation de lablocom étrie, appelê,e distribution de taille pondé rê,eG (x) définie comme le pourcentage du volume desblocs de diamètre inférieur à une valeur x. sur levolume total des blocs du système.

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celle de l'axe principal maximum. La distribution sphé-rique de I'orientation des blocs peut ëtre prê,sentée parla projection stéréographique et le résultat du systèmede blocs de la figure 5 est présenté dans la figure 12.

Fig. 12. Projection stéréographique de I'orientation

Fig 7 2. Stereosrrpnlrtpl;"r? ", of btock orientations.

CONCLUSION

La métho de prêsentée dans I'article pour identifier unbloc discret intersecté par des discontinuités utilise lesméthodes simples de la géométrie , et ne se base pasur l'hypothèse de la convexité des blocs. Les blocsconcaves peuvent ëtre identifiés de la même façonque les blocs convexes. Les études de la connecti-vité des discontinuités nous permettent de fournir lesmodèles gêométriques nécessaires à I'analyse desécoulements, à l'analyse mécanique ou à I'analysecouplée hydromécanique. L'évaluation granulométri-que donne certaines informations sur la structure d'unmassif rocheux et peut ëtre appliq uê,e à I'analyse dela stabilité et l'étude de la fragmentation.

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G(x) : fxI ,r f(u) du (23)JO

j, u3 f (u) du

Cette distribution et I'histogramme de frêquence dusystème des blocs de la figure 5 sont présentés dansla figure 11. On peut voir la différence importanteavec la figure 10.

YOLUTIE/VOLUHE TOTRL G rxr

0ta!ECHELLE OES BL0CS: t{

Fig. 1 1 . Distribution de taille pondérée.Fig 1 1 . Weighted block size distribution.

Une autre propriété gê,omêtrique importante des blocspour I'analyse de la stabilité et l'évaluation de la frag-mentation est la distribution de I'orientation des blocs.L'orientation d'un bloc est définie dans cet article par

%sTEnEo 0E L.RXt HRX. oES gLocs

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