MEMOIRE DU PROJET DE FIN D’ETUDES

Elève ingénieur de l’I.N.S.A de RENNES

Département Génie MECANIQUE & AUTOMATIQUE

2003-2004

N° d’ordre : PFE 2003-18

SIMULATION DES PROCEDES D'INDENTATION

ET DE RAYAGE PAR ELEMENTS FINIS ET ELEMENTS

DISTINCTS

Présenté par :

Romain LANIEL

Lieu du projet de fin d’études :

Le LARMAUR (RENNES)

Tuteur du projet de fin d’études :

Vincent KERYVIN

Correspondant pédagogique :

Alexandre PIARD

1

REMERCIEMENTS

Je tiens avant toute chose à remercier Monsieur Tanguy ROUXEL ainsi que Monsieur

Vincent KERYVIN pour m’avoir accepté dans leur laboratoire, pour les discussions fructueuses que

j’ai eues avec eux et pour la réalisation de ce stage.

Je remercie aussi tous les maîtres de conférence, professeurs, docteurs, post-doctorants et

ATER pour l’attention qu’ils m’ont accordée pendant ces quatre mois, pour avoir consacré le temps

nécessaire pour m’expliquer les différents points sur lesquels ils travaillaient, et pour avoir pris le

temps de répondre à mes questions. De même que mon collègue Ronan CROSNIER pour les

informations précieuses qu’il a bien voulu me transmettre.

Je remercie enfin Monsieur Frédéric DUBOIS pour la semaine qu’il a passé à m’expliquer

le fonctionnement de son code de calcul et pour l’attention qu’il a montrée tout au long de ce stage.

C’est en majeure partie grâce à eux que mon stage s’est déroulé dans les meilleures

conditions.

2

RESUME

Le travail réalisé consiste à caractériser le comportement des verres en indentation et en

rayage à l’aide de méthodes numériques. Le verre est un matériau dit fragile et au cours d’un essai

d’indentation, son comportement est encore inconnu. En outre, et après cet essai, une empreinte

subsiste montrant l’existence d’un phénomène dissipatif.

Nous avons donc émis trois hypothèses de dissipation. La première porte sur la plasticité.

Des simulations par éléments finis ont été réalisées sous Cast3M avec plusieurs lois de

comportement élastoplastiques. Nous nous sommes aperçus, par comparaison avec des données

expérimentales, que les lois les plus réalistes devaient prendre en compte la pression pour capturer

les caractéristiques du matériau sous indentation (courbe force-déplacement, morphologie de

l’empreinte). La deuxième hypothèse porte sur un phénomène de déformation visqueuse

permanente. Nous avons donc créé une méthode de résolution capable de simuler une telle loi de

comportement. Enfin nous avons utilisé la méthode des éléments distincts pour tester la troisième

hypothèse de dissipation : l’endommagement et la fissuration. Le code de calcul LMGC90 a permis

de nous fournir des résultats en concordance avec la réalité sur les mécanismes d’amorçage de la

fissuration.

3

ABSTRACT

Work carried out consists in characterizing the behavior of glasses in indentation and

scratching using numerical methods. Glass is a fragile material and during an indentation or

scratching test, its behavior is still unknown. Moreover, and after this test, a print remains showing

the existence of a dissipative phenomenon.

We thus put forth three assumptions of dissipation. The first concerns plasticity. Simulations

by finite elements were carried out under Cast3M with several behavior laws. We realized that the

most realistic criteria were those that depends on pressure to account for the main features of

experimental data on indentation (load-displacement curve and indent morphology). The second

assumption deals with permanent viscous deformation. We thus created a resolution method able to

simulate such a law. Finally we switched to the method of the distinct elements to test the third

assumption of dissipation: damage and cracking. The computer code LMGC90 made it possible to

provide us results in agreement with reality on the mechanisms of cracking start.

4

SOMMAIRE I. Cadre de l’étude : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 7 I.1. Le laboratoire LARMAUR : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 7 I.2. Des matériaux particuliers : les verres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 7 I.2.1. Les verres d’oxyde : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 8 I.2.2. Les verres métalliques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 8 I.2.2.1. Historique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 8 I.2.2.2. Caractéristiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 9 I.3. Intérêts des simulations numériques en indentation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 9 II. Première approche des simulations éléments finis : . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 11 II.1. Indentation Conique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 11 II.1.1. Conditions des simulations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 11 II.1.2. Le facteur de forme : γ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 12 II.1.2.1. Vérification de la valeur théorique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 12 II.1.2.2. Détermination de γ pour un matériau élasto-plastique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 14 II.1.2.3. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 16 II.1.3. Influence du frottement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 17 II.1.3.1. Modification de la géométrie de l'empreinte : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 17 II.1.3.2. Modification du facteur de forme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 18 II.1.3.3. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 19 II.1.4. Complément sur le problème d'incompressibilité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 19 II.1.5. Conclusion sur l’indentation conique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 20 II.2. Indentation Vickers : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 20 II.2.1. Le maillage : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 20 II.2.2. Paramétrage du calcul et résultats : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 22 II.2.2.1. Calcul élasto-plastique parfait : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 22 II.2.2.2. Comparaison avec d’autres lois de comportements : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 23 II.2.3. Conclusion sur l’indentation Vickers : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 25 II.3. Essai de rayage 2D : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 25 II.3.1. Réalisation de l’essai et déformée : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 25 II.3.2. Forces normales et transversales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 26 II.3.3. Conclusion sur le rayage 2D : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 27 II.4. Conclusion pour notre cas : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 27 III. Lois de comportements et simulations éléments finis : . . . . . . . . . . . . . . p 28 III.1. Les particularités des verres métalliques en indentation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 28 III.1.1. Les bandes de cisaillement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 28 III.1.2. Comportement différent en traction ou compression : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 29 III.2. Simulation & résultats avec des lois dépendantes de la pression hydrostatique : p 30 III.2.1. Critère de Mohr – Coulomb : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 30 III.2.1.1. Définition du critère : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 30 III.2.1.2. Application à l’indentation sphérique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 31 III.2.2. Approximation par Drucker – Prager : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 32 III.2.3. Comparaison numérique / expérience : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 33

5

III.2.3.1. Comparaison force / déplacements : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 34 III.2.3.2. Profils de face et d’arête : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 35 III.2.4. Validation de l’évaluation du module réduit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 36 III.2.5. Conclusion & réserves : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 37 III.3. Introduction sur la loi visqueuse : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 37 III.3.1. Pourquoi une loi visqueuse : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 37 III.3.2. Implantation dans un code de calcul éléments finis : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 38 III.3.2.1. Théorie d’implantation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 38 III.3.2.2. Programmation FORTRAN 77 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 43 III.4. Conclusion sur les lois dépendantes de la pression : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 43 IV. Simulation par éléments distincts : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 44 IV.1. Spécificités de la méthode éléments distincts : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 44 IV.1.1. Notion de Contact : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 44 IV.1.1.1. Signorini – Coulomb : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 44 IV.1.1.2. Adhésion endommageable : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 45 IV.1.2. Résolution dynamique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 46 IV.1.3. Application à notre cas : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 46 IV.2. Le logiciel LMGC90 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 47 IV.2.1. Méthode de résolution : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 47 IV.2.2. Aide au fonctionnement du logiciel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 48 IV.3. Les premiers résultats : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 48 IV.3.1. Indentation conique & départ de fissure : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 48 IV.3.2. Indentation sphérique & propagation d’onde : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 49 IV.4. Semi-validation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 49 V. Conclusion Générale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 50 BIBLIOGRAPHIE : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 51 ANNEXE I : Structure de BODIES.DAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 54 ANNEXE II : Structure de DRV_DOF.DAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 55 ANNEXE III : Structure de POSTPRO.DAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 56 ANNEXE IV : Structure de TACT_BEHAV.DAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 56 ANNEXE V : Structure de MODELS.DAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 57 ANNEXE VI : Structure de BULK_BEHAV.DAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 57 ANNEXE VII : Structure de COMMAND.DAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 58 ANNEXE VIII : Notice du LMGC90 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 61

6

INTRODUCTION

Dans le cadre de mon projet de fin d’étude de 5ème année d’ingénieur ainsi que de ma

formation DEA, il m’a été demandé de réaliser un stage de recherche. J’ai été accueilli dans le

laboratoire du LARMAUR de l’université de Rennes I. Pendant quatre mois, j’ai pu appréhender le

travail de recherche en équipe sur des simulations numériques d’indentation et de rayage.

Les travaux que je m’apprête à vous présenter, portent en majeure partie sur la

caractérisation du comportement des verres en indentation. En effet, ce type d’essai présente un

intérêt industriel certain puisqu’il permet d’extraire des composantes matériaux sur très peu de

volume. Les simulations ont été réalisées sous deux codes de calcul différents : un code d’éléments

finis (Cast3M) et l’autre d’éléments distincts (LMGC90). C’est la que réside l’intérêt de ces

recherches. Il sera présenté dans le dit rapport deux approches totalement différentes pour

appréhender le problème de l’indentation qui par ailleurs est un essai d’une grande complexité.

Bien entendu, et avant de rentrer dans la caractérisation de lois de comportement, il a fallu

au préalable s’assurer du bon déroulement des calculs et de la validité de ceux-ci. Une partie a donc

été allouée aux simulations visant à confirmer la validité des résultats et ainsi de déterminer le

domaine de validité de celles-ci.

Je tiens à préciser que toutes les informations que j’ai pu glaner et qui se retrouvent dans ce

rapport sont confidentielles et ne doivent pas être divulguées sans autorisation préalable du

LARMAUR.

7

I. Cadre de l’étude

I.1. Le laboratoire LARMAUR

Le LAboratoire de Recherche en Mécanique Appliquée de l’Université de Rennes est une

structure récente1 d’accueil du DEA de Mécanique doublée d’un espace de recherche actif sur les

matériaux fragiles tels que les céramiques ou les verres. Ce laboratoire est divisé en deux équipes

l’une sur la caractérisation mécanique des contacts et surfaces2, l’autre sur le comportement des

matériaux fragiles3 tels que les céramiques ou les verres.

L’équipe du LARMAUR, s’occupant des matériaux fragiles, conduit ses recherches suivant

deux axes principaux. Le premier est le comportement à la rupture. Il s’agit de comprendre et de

maîtriser les différents mécanismes à l’origine d’un processus de rupture afin d’augmenter le

pouvoir prédictif de cette science. Le second est la rhéologie de ce type de matériaux. En effet, et

malgré des propriétés mécaniques exceptionnelles, ces matériaux n’en restent pas moins fragiles et

difficiles à mettre en forme. Par conséquent il est important d’étudier de près les procédés de mise

en forme non-conventionnels pour céramiques et verres.

I.2. Des matériaux particuliers : les verres

le verre est un solide non cristallin (amorphe). Il ne présente pas comme pour les structures

cristallines d'ordre à longue distance

(ordonnancement des atomes et existence d'une

maille cristalline). C'est un état particulier de la

matière : l'état vitreux. En général, le verre est un

solide obtenu par trempe d'un liquide surfondu (état

de la matière comprise entre la température de

transition vitreuse et la température de fusion).

1 En janvier 2000 le LARMAUR est reconnu équipe d’accueil pour le DEA de Mécanique des Matériaux et des Fluides, Génie Mécanique et Génie Civil 2 Equipe de quatre permanents et un doctorant avec comme responsable Pr. El Abdi 3 Equipe de cinq permanents, trois doctorants, un ATER et une post-doctorante avec comme responsable Pr. Rouxel

8

I.2.1. Les verres d’oxyde

Les verres d’oxydes sont des solides composés de silice (SiO2) et d’autres constituants

classés en trois catégories (cf. [18]4). Les formateurs de réseau (agents en concentration molaire

importante formant la base du matériau), les modificateurs de réseau (agents de faible concentration

changeant les propriétés mécaniques et chimiques ; exemple : les oxydes alcalins) & les

intermédiaires. Le verre à vitre fait partie de cette famille de verre et est composé de plus de 70% de

silice.

I.2.2. Les verres métalliques

I.2.2.1 Historique

Les verres métalliques possèdent des propriétés

mécaniques extraordinaires de part leur nature amorphe. Des

méthodes pratiques pour traiter ces matériaux, ont été

développées pendant les quarante dernières années. Pol Duwez

de la California Institute of Technology a produit les premiers

rubans des verres métalliques. La méthode de transformation à

appliquer est de refroidir le métal fondu avec une vitesse de

trempe supérieure à de 1000000°C/s. Duwez ainsi que son étudiant William L. Johnson ont

également découvert d'autres alliages qui pourraient être transformés en verres métalliques pour les

aimants à haute efficacité, mais le traitement était extrêmement cher au vu des vitesses de trempe à

atteindre.

Pendant les années 80, Inoue a développé les nouvelles compositions chimiques qui

pourraient être traitées sans refroidissement rapide sous une forme massive (les formes massives

sont plus de 20 fois plus large que les rubans de 40 µm). Ces matériaux sont employés dans des

produits aussi variés que des composants de moteurs ou des clubs de golf et ont également un grand

potentiel pour des applications militaires.

4 Bibliographie [18]

9

I.2.2.2 Caractéristiques

L’une des principales qualités des verres métalliques est la capacité qu’a celui-ci à

accumuler de l’énergie élastique et donc à la restituer. Le schéma déformation limite / limite

élastique ci-dessous, montre bien l’énorme

pouvoir de stockage d’un tel matériau

surpassant même, dans certains cas, la rigidité

des meilleurs aciers ou rivalisant avec la

limite élastique de certaines polymères. Ceci

explique les différentes utilisations dont nous

avons déjà parlé (club de golf, raquette, batte

de base-ball) étant donné la cinétique

monumentale que ce matériau peut

transmettre lors d’un impact.

I.3. Intérêts des simulations numériques en indentation

L’indentation est un essai mécanique visant à extraire des paramètres in-situ et post-mortem lors de

l’enfoncement dans la matière (piloté en charge ou en vitesse) d’une géométrie

particulière. Il existe quatre grandes catégories d’indenteurs, les sphériques, les

coniques, les indenteurs Berkovitch5 et Vickers6.

L’indentation, est un essai très particulier. En effet, que ce soit en charge ou en décharge, le

champ de contrainte distribué sur l’échantillon ne ressemble à aucun autre et est fortement lié à la

géométrie de l’indenteur utilisé. De plus, cet essai révèle des particularités matériaux que d’autres

essais ne pourraient mettre en évidence tel que la sensibilité à la pression.

5 Berkovitch : indenteur pyramidal à base triangulaire 6 Vickers : indenteur pyramidal à base carré

10

La figure (a) montre une empreinte

Vickers. On peut remarquer la formation de

bourrelets au niveau des faces de

l’indenteur dus au retour élastique de la

matière après décharge. Sur ces bourrelets,

on observe des discontinuités de la matière.

Il s’agit de bandes de cisaillement

caractéristiques du verre métallique. Sur la

figure (b), on observe ces bandes au sein

même de la matière. Celles-ci ont été

amorcées sous l’indenteur pour, dans

certains cas, remonter à la surface et former

les marches visibles sur les bourrelets. Au

contraire, les verres d’oxyde, développent

des fissures comme le montre la figure (c).

Ces observations peuvent différentier les

deux matériaux, cependant, dans les deux

cas, on ne sait pas réellement ou est passé la

matière perdue dans l’empreinte.

En conséquence, l’essai

d’indentation permet de mettre en évidence

des propriétés matériaux particulières et

propres aux verres. Le LARMAUR

concentre actuellement ses recherches sur

les procédés de rayage et d’indentation sur

ce type de matériaux afin de caractériser

leurs propriétés mécaniques et mettre en

évidence les mécanismes d’amorçage de

fissuration. Il est donc intéressant d’avoir

un outil numérique simulant différents

essais expérimentaux.

Microscopie optique d’une indentation Vickers avec une chargede 2000 g sur un verre métallique de palladium (extrait de [6])

Micrographie montrant la zone déformable juste sous l’indenteurVickers, obtenue avec une charge de 5000 g sur un verremétallique de zirconium (extrait de [6])

Microscopie montrant les fissures développées dans leprolongement des arrêtes du Vickers, obtenue avec une chargede 100 g à 200°C sur un verre de calcogénure (extrait de [15])

11

II. Première approche des simulations éléments finis

II.1. Indentation Conique

II.1.1. Conditions des simulations

Les simulations ont été réalisées à l'aide du code de calcul Cast3M7 en 2D axisymétrique.

Nous avons conservé lors des différents calculs, la même géométrie de l'indenteur avec un demi-

angle de 68°. De plus tous les essais d'indentations ont été pilotés en vitesse sur la face supérieure

libre de l'indenteur ; la vitesse de pénétration a été choisie à 18 µm.s-1 pour les essais élasto-

plastiques parfaits, pour une durée de charge de 1 s.

En ce qui concerne la géométrie du massif à indenter, elle est en adéquation avec le volume

maximal d'indentation V maxind .

( ) ( ) mm103,74.368tans1sm.18.π

V 3521 3

maxind

−−

=°= ..µ

En effet, le massif (rayon 4 mm et hauteur 5 mm) possède un volume de 2,51.10 2 mm3

et est donc quasiment 700000 fois plus grand que le volume maximal d'indentation, ceci permet de

ne pas perturber le matériau au voisinage de ses conditions limites (blocages).

Le maillage a été réalisé grâce à l'opérateur SURF8 de Cast3M en déclarant des éléments

QUA4 (Quadrangles linéaires). Cependant, cet opérateur génère des éléments de jonctions de type

TRI3 (Triangles linéaires) créant de ce fait un maillage irrégulier. Par souci d'économie de temps de

calcul, les dimensions caractéristiques des éléments du massif sont de l'ordre du mm à l'exception de

la zone influençable par l'indentation, maillée par des éléments de l'ordre du µm.

7 Cast3M : Castem 2003 code CEA 8 SURF : Opérateur gibiane créant une surface maillée à partir d’un contour fermé

12

II.1.2. Le facteur de forme : γ

II.1.2.1 Vérification de la valeur théorique

Afin de tester la véracité de nos simulations, il nous a fallu comparer une valeur

théoriquement connue avec celle que nous fournissait le code de calcul. Un paramètre important de

l'indentation est le rapport entre la profondeur maximale d'indentation hmax et la profondeur entre le

dernier point de contact et le fond d'indentation hc. Ce rapport est un facteur de forme noté γ.

hh

c

max=γ

Les travaux de Sneddon (1965) ont démontré que pour un matériau élastique linéaire

isotrope, le γ d'une indentation conique est égal à π/2 en charge (Solution de Love [9]). Nous avons

donc simulé une indentation avec une loi de comportement purement élastique afin de confronter

les valeurs de γth (théorique) et de γsim (simulation).

Les paramètres de la loi élastique sont : E = 90000 MPa et ν = 0,21. Il est à remarquer que

dans le cas purement élastique ces paramètres ont finalement très peu d'importance (la vitesse de

pénétration par exemple) puisqu'ils n'influencent en rien le γsim. C'est d'ailleurs une chance car le

calcul élastique nous a donné quelques soucis. En effet, celui-ci conduisait à des non-convergences

à répétition si l'indenteur repoussait la matière trop loin. Nous avons donc baissé la vitesse afin

d'atteindre au bout d'une seconde une profondeur acceptable en terme de convergence. La vitesse

choisie est donc de 9 µm.s-1.Voici ci-dessous les valeurs de γsim en fonction du déplacement du point

du massif juste sous l'indenteur. Légende : vert : charge

rouge : décharge

13

Remarque : Les droites sont produites par le caractère discret du maillage. Le point de contact

supérieur peut rester le même sur plusieurs incréments de déplacements produisant

ainsi une évolution linéaire de γsim jusqu'au prochain saut du point de contact.

Les deux précédentes remarques nous apprennent que pour comparer objectivement le γth et

le γsim, il ne faut considérer que la valeur moyenne du γsim en charge.

En charge : 1,629γsim =><

2πγth =

On commet une erreur de : 3,7%ε =

14

II.1.2.2 Détermination de γ pour un matériau élasto-plastique

Pour cette simulation, nous avons affiné le maillage sur le bord libre supérieur du massif à

indenter (une centaine d'éléments sur la ligne du contact) afin de s'affranchir du caractère discret de

la courbe γsim = f(hmax). La loi de comportement du matériau est élasto-plastique parfaite (sans

écrouissage) avec comme paramètres : E = 90000 MPa, ν = 0,21 et σy = 1800 MPa.

Voici ci-après les valeurs de γsim en fonction du déplacement du point du massif juste sous

l'indenteur.

Légende : vert : charge

rouge : décharge

Remarque1 : L'affinage au contact permet de lisser la courbe en mettant en évidence la constance

de celle-ci lors de la charge et son envolée à la décharge. Cependant le caractère

discret persiste au tout début de la pénétration de l'indenteur. On conservera donc

comme paramètre représentatif la valeur moyenne de γsim pendant la charge.

15

Remarque2 : Malgré la discontinuité, on remarque que la valeur du γsim ne reste pas constante lors

de la décharge, elle tend vers l'infini aux alentours de la profondeur de décollement.

En effet, à cette hauteur, le hmax n'évolue que très peu alors que le point de contact

supérieur se rapproche très vite du bout de l'indenteur, entraînant avec lui la valeur de

hc.

En charge : 1,137γsim =><

Baisse du <γsim> par rapport à la valeur élastique : 30,2%γγ∆

sim elas

sim =><><

On ne peut pas attribuer cette baisse à hmax car celui-ci est conditionné par le mouvement

imposé à l'indenteur et aux caractéristiques intrinsèques de celui-ci. Le seul paramètre faisant

baisser la valeur de <γsim> est hc.

Nous savons que si <γsim> diminue alors hc diminue quasiment dans les mêmes proportions.

Ce qui veut dire que lors d'une indentation, pour une même valeur de hmax, le helastoplasc est inférieur

de 30% au helasc . Le point de contact supérieur se situe donc plus bas pour un matériau élasto-

plastique que pour un matériau élastique, reflétant bien une tendance à l'affaissement plus grande.

Ceci s'explique aussi par la perte de rigidité locale du matériau élasto-plastique.

Dans le cas des matériaux purement élastiques, nous savons que la solution de Love n'est

pas influencée par les paramètres élastiques matériau. Mais qu'en est-il pour les matériaux élasto-

plastiques parfaits ?

L'idée nous est venue de faire varier un paramètre matériau (en l'occurrence ν) afin

d'observer la réponse du γ. Cependant, lors des différentes simulations, nous nous sommes aperçus

que les simulations de matériaux incompressibles (ν = 0.5) ainsi que des matériaux à ν = 0 posaient

des problèmes de résolution (apparemment les éléments ne seraient pas adaptés9). La courbe γ =

f(ν) ci-dessous a donc été réalisée avec des valeurs de ν comprises entre 0,05 et 0,495.

9 Pour ce genre de calcul, il est nécessaire de mailler le massif avec des éléments à formulation mixte

16

Remarque : En observant cette courbe, il peut ressortir deux types d'analyses.

Hypothèse 1 : La sensibilité à l'affaissement est maximum pour les matériaux à ν = 0,4 et

diminue considérablement aux abords de l'incompressibilité.

Hypothèse 2 : La simulation, de part des éléments finis non adaptés aux limites du

paramètre ν, donne des résultats erronés au voisinage de ν = 0,5. Nous en reparlerons en

II.1.4.

II.1.2.3 Conclusion

Les résultats de ces deux simulations conduisent à penser que le code Cast3M nous fournis

des résultats exploitables dans les conditions d'utilisation actuels10. En effet, nous pouvons constater

que le maillage (QUA4 et TRI3) et les lois de comportements (Frottement, Grandes Rotations,

Grands Déplacements), fournissent, pour des lois de comportements élastiques, une solution en

adéquation avec la solution de Love ; et pour des lois de comportements élasto-plastiques parfaites,

une solution physiquement acceptable (cf. II.1.2.2.). 10 Calcul plan (axisymétrique ou déformation plane)

17

II.1.3. Influence du frottement

Dorénavant, nos simulations seront effectuées avec des lois de comportements plastiques

(étant plus réalistes que les élastiques). Dans la simulation de l'indentation conique, nous avons pu

intégrer une loi de contact frottant (type Coulomb) entre l'indenteur et le massif. En faisant varier le

paramètre µ de cette loi, nous pouvons regarder les évolutions qu'il induit dans la géométrie de

l'empreinte ainsi que sur le facteur de forme γ. La géométrie étant une notion trop vague pour être

représentative, nous nous concentrerons sur la hauteur maximale du bourrelet due au retour

élastique.

II.1.3.1 Modification de la géométrie de l'empreinte

Afin de pouvoir valider ou non l'importance du frottement sur la forme finale de l'empreinte

que laisse l'indenteur, nous avons réalisé six simulations en faisant varier µ de la loi de Coulomb

(de 0 à 1 par pas de 0,2). Le calcul de l'indentation conique étant défini axisymétrique sur Cast3M,

la hauteur du bourrelet est déterminée par la recherche du point de la ligne de contact à déplacement

positif maximum. On extrait sa composante de déplacement verticale assimilée à la hauteur du

bourrelet Hbour. Ci-dessous la courbe Hbour = f(µ).

18

Remarque : L'influence de la valeur du frottement est finalement insignifiante au regard de ces

résultats. Ce qui semble néanmoins important, c'est la présence ou non de frottement

puisque la hauteur du bourrelet chute quasiment de moitié sous cette condition.

D'autres simulations seraient judicieuses afin d'affiner la zone d'indétermination comprise

entre 0 et 0,2. Ceci n'a pas encore été fait, mais serait bon de reprendre par la suite.

II.1.3.2 Modification du facteur de forme

De la même manière on peut vérifier que le γ est susceptible d'être influencé par le

frottement (dans le cas d'une loi de comportement élasto-plastique pour rendre γ sensibles aux

paramètres extérieurs). En utilisant les mêmes simulations, on extrait le γ pour les six valeurs de µ.

Ci-dessous la courbe γ = f(µ).

Remarque : De la même manière que précédemment, le frottement n'as quasiment pas d'influence

dans son évolution, seulement dans sa présence ou non. A affiner par la suite.

19

II.1.3.3 Conclusion

Étant donné le manque de précision des résultats fournis, nous ne pouvons pas conclure sur

les effets du frottement dans la zone transitoire ( [ ]0,2;0µ ∈ ). Nous pouvons simplement dire que,

suivant l'existence ou non du frottement, les paramètres in-situ et post-mortem sont affectés et

qu'au-delà d'un µ = 0,2 les évolutions de ces paramètres ne sont plus significatives.

II.1.4. Complément sur le problème d'incompressibilité

Comme nous l'avons vu au paragraphe II.1.2.2, le facteur de forme γ devient sensible aux

paramètres matériau dès lors que la loi de comportement change de l'élasticité. Dans ce même

paragraphe, il est mentionné que ces évolutions autour du seuil d'incompressibilité étaient peut-être

ou peut-être pas due à une erreur d'origine numérique. Alors qu'en est-il réellement ? Pour nous

donner d'autres éléments de réponses, nous avons extrait des simulations faisant varier ν, le

paramètre géométrique Hbour . De ces résultats numériques, voici ci -dessous la courbe représentant

Hbour en fonction de ν.

20

Remarque : Voilà un résultat pour le moins étonnant. En diminuant progressivement les

variations de volume, jusqu'à tendre vers un volume quasi constant, on aurait pu

s'attendre à une évolution monotone de la valeur de Hbour. Or, celui-ci chute en se

rapprochant de l'incompressibilité.

On peut émettre l’hypothèse comme quoi la hauteur du bourrelet serait maximum pour un

matériau incompressible, nous sommes tentés de penser que ce type de simulation n'est pas valide

aux limites du paramètre ν. Ceci demanderait confirmation par d'autres simulations.

II.1.5. Conclusion sur l’indentation conique

Les informations dégagées par cette étude ne sont que la continuité des travaux réalisés dans

le domaine de l'indentation conique. Les premiers résultats fournissaient des renseignements sur la

cinématique de l'essai et sur ses répartitions de contraintes.

Nous avons essayé de démontrer la fiabilité de la simulation numérique dans un domaine de

validité précis. Force est de constater qu'en ce qui concerne les verres métalliques, les paramètres

matériau entrent bien dans ce domaine. Même si les lois de comportements ne reflètent pas ce qui se

passe réellement, nous avons la possibilité de faire des comparaisons intéressantes avec des

résultats expérimentaux, afin d'adapter ces lois pour coller au mieux à la réalité. En outre

l'implantation d'une loi viscoplastique avec un coefficient de viscosité sensible à la contrainte

modélisant ainsi plus fidèlement la densification matérielle observée.

II.2. Indentation Vickers

II.2.1. Le maillage

La modélisation d'un essai d'indentation Vickers ne peut être faite qu'en 3D. Nous avons

donc du faire face à un problème de nombre d'éléments (cf. [16] & [19]). La stratégie adoptée pour

réduire ce nombre lors de la création du volume à indenter, fut de ne modéliser qu'un huitième de

Vickers étant donné les symétries de sa géométrie. Ensuite nous n'avions plus qu'à mettre en

rotation une surface maillée pour créer le massif. Cette méthode est plus adéquate qu'une translation

car la rotation conserve une finesse de maillage près de son axe.

21

Cependant, le maillage de la surface de base réalisée avec l'opérateur SURF générait encore

trop d'éléments et il nous à fallu concevoir nous même le maillage afin de l'alléger. Son principe est

simple, trois zones maillées en quadrangles linéaires de finesses différentes (fine, moyenne et

grossière). Ces trois zones sont reliées entre-elles par des zones de quadrangles de transition comme

le montre le schéma ci-après.

Ce type de maillage génère alors de prismes à huit nœuds sur tout le volume. Sur le volume

voisin de l'axe de rotation il a fallu changer le type d'élément

car il est impossible de générer des prismes à huit nœuds en

mettant en rotation un quadrangle dont un coté est sur l'axe de

rotation. Nous avons donc créé une surface de raccord maillée

avec des éléments triangulaires et translaté le tout le long du

massif (ci-contre en bleu). Le maillage ainsi obtenu reste

régulier tout en nous fournissant la précision nécessaire autour

de la zone influencée par l'indentation.

22

II.2.2. Paramétrage du calcul et résultats

II.2.2.1 Calcul élasto-plastique parfait

On considère pour ce calcul un matériau élasto-plastique parfait avec comme paramètres

E = 90000 MPa , ν = 0,21 et σy = 1800 MPa. Les différentes itérations sont faites en grandes

rotations, grands déplacements et grandes déformations. Une loi de frottement type Coulomb a été

intégrée à l’interface indenteur massif, avec µ = 0,1. Les graphes ci-après sont tirés de cette

simulation et nous montrent la répartition de la contrainte de Von-Mises en charge maximum et

après la décharge.

Echelle : 0 → 2000 MPa

Contraintes de Von-Mises en charge maximum Contraintes de Von-Mises après décharge

Remarque1 : Les contraintes sur chaque élément sont calculées exactement aux points de Gauss et

sont réparties dans l’élément par extrapolation. C’est pourquoi, certaines valeurs de

contrainte équivalente dépassent le seuil de plasticité.

Remarque2 : La géométrie de l’empreinte d’indentation Vickers, de part ses discontinuités, laisse

une concentration de contrainte importante sur l’arrête (à votre droite). De plus la

répartition chaotique de ces contraintes après décharge, nous laisse entrevoir sa

complexité.

Remarque3 : On peut remarquer les fuseaux résiduels de contraintes superposables avec la frontière

de plasticité en charge maximum. C’est par ce chemin que la contrainte équivalente est

remontée lors de la décharge.

23

De part son irrégularité, l’essai

d’indentation Vickers répartit non

seulement les contraintes sur sa

géométrie, mais également la forme du

bourrelet après le retour élastique. Sur

le schéma ci-contre, on observe une

coupe suivant le plan du bourrelet. Les

vecteurs en rouge sont proportionnels

au déplacement vertical de chaque

nœud. Ceux-ci, de la face de

l’indenteur à son arrête, semblent s’atténuer. Cette géométrie du bourrelet correspond donc

qualitativement aux observations expérimentales sur le même type d’essai. Cependant, il semble

que dans la réalité, cette différence soit plus marquée.

II.2.2.2 Comparaison avec d’autres lois de comportements

Pour se donner une vision plus large de l’effet des lois de comportements et de leurs

paramètres sur cet essai, nous avons simulé la même indentation (même profondeur, même

maillage, même vitesses, et cætera) avec quatre lois différentes (Elasto-plastique avec et sans

écrouissage cinématique et deux modèles de Drucker - Prager avec et sans écrouissage). Les

paramètres de ces lois sont les suivants :

Elasto-plastique parfait :

E = 90000 MPa

ν = 0,21

σy = 1800 MPa

Drucker – Prager Parfait :

E = 71500 MPa

ν = 0,21

σy = 1800 MPa

K = Kl = 1894 MPa

α = γ = η = 0,05

β = δ = µ = 1

Nous avons comparé l’influence de ces lois sur un paramètre géométrique post-mortem, en

l’occurrence la hauteur de bourrelet maximum :

24

Type de loi de comportement Ecrouissage Hauteur de bourrelet maximum

Non 348 nm Elasto-plastique

Oui 343 nm

Non 339 nm Drucker - Prager

Oui 333 nm

Ces résultats montrent que nous sommes dans un ordre de grandeur comparable à celui de

l’expérimentation. Cependant, nous aurions du mal à discriminer ces résultats en fonction des lois

de comportements. En effet, les variations des hauteurs sont de l’ordre du ηm.

De ces simulations, nous avons aussi extrait les courbes force/déplacement (déplacement

vertical du point du massif juste sous l’indenteur) de trois des lois de comportements simulés

(l’élasto-plastique avec écrouissage nous ayant donné quelques problèmes à la restitution). Ci-

dessous le graphique représentant ces courbes.

Légende : rouge : élasto-plastique parfait

bleu : Drucker – Prager parfait

25

II.2.3. Conclusion sur l’indentation Vickers

Cet essai, relativement gourmand en ressource de calcul, possède une géométrie très

particulière. Ceci à pour principal effet de perturber la répartition des caractéristiques mécaniques

post-mortem. Ces résultats ne représentent que la première étape du travail de caractérisation de

l’essai d’indentation Vickers, mais fournissent des informations importantes sur les différentes lois

de comportements utilisés.

II.3. Essai de rayage 2D

II.3.1. Réalisation de l’essai et déformée

Dans un premier temps et avant de passer à la modélisation d’essais de rayages plus

réalistes, nous nous sommes concentrés sur le rayage 2D. Cet essai de rayage représente une coupe

en déformation plane du massif que l’on indente par une pointe sur 10 µm. Le rayage commence,

une fois le matériau indenté, par une translation de la pointe sur 80 µm puis l’indenteur remonte

pour décharger le matériau. Tous les déplacements de l’indenteur sont pilotés en vitesse (-10 µm.s-1

vertical entre 0s et 1s, 40 µm.s-1 horizontal entre 1s et 3s et 10 µm.s-1 vertical entre 3s et 4s). Le

matériau est élasto-plastique parfait (E = 90000 MPa , ν = 0,21 et σy = 1800 MPa). On peut voir

ci-dessous les différentes étapes de la déformation de cet essai

Apparition du front de rayage Retour élastique en aval du

rayage Décharge

Malgré la courte distance de rayage, on peut tout de même constater que les éléments sous le

sillon, en fin d’essai, se retrouvent extrêmement aplaties. On peut donc craindre la non-convergence

du calcul si la distance de rayage devient plus grande. D’autre part, le sillon initialement horizontal

26

pendant l’indentation et après le retour élastique, remonte et révèle une pente après la décharge.

Cette pente doit être sûrement localisée aux alentours du bourrelet de front de rayage et n’est peut-

être pas visible au tout début du sillon. Simuler un rayage sur une distance plus importante grâce à

une méthode de remaillage, mettrait peut-être en évidence ce phénomène ainsi que la zone

stationnaire de rayage que l’on verra par la suite.

II.3.2. Forces normales et transversales

Afin de se rendre mieux compte des efforts mis en jeux lors de chaque phase de cet essai,

nous avons tracé les courbes des efforts normaux et transversaux en fonction du temps. Ces

courbes, représentées ci-dessous, ont été décomposées chacune en trois parties de couleurs

différentes.

Légende : vert : indentation ( [ ]1s;0st ∈ )

jaune : rayage ( [ ]3s;1st ∈ )

rouge : décharge ( [ ]4s;3st ∈ )

Fnormale = f(t) Ftransversale = f(t)

Remarque : Que ce soit pour la force normale ou transversale, on s’aperçoit assez vite que le

rayage est en mode transitoire de part la non-stabilité des valeurs des efforts.

Décomposons l’analyse de ces deux entités. Dans le cas de l’effort normal, une fois

l’indentation réalisée, la courbe en rayage ne cesse de croître (abstraction faite de ce qui semble être

une chute de cette valeur liée à un artefact de calcul) mais sa pente devient de plus en plus faible.

27

Cette portion de courbe se serait sûrement stabilisée, si le rayage avait duré plus longtemps. On peut

expliquer cet accroissement ralenti par la zone déformée par indentation qui allège l’effort normal

lorsque cette zone est proche de l’indenteur. Mais plus l’indenteur s’éloigne de cette zone

privilégiée plus il est dur de se maintenir à profondeur égale (d’où la croissance). On s’attend par la

suite à trouver un mode de rayage stationnaire avec une hauteur de bourrelet constant sur le front de

rayage, des efforts constants et des éléments déformés de la même manière (d’où le ralentissement).

Il en est de même avec la force transversale, la stabilité de celle-ci n’est pas encore atteinte.

On peut se poser la question de savoir si cette stabilité est réaliste lors d’un essai de rayage

ou si les composantes de l’effort mis en jeu ne cessent de croître jusqu’à une rupture faisant chuter

ces valeurs pour réaugmenter et cætera.

II.3.3. Conclusion sur le rayage 2D

Cette simulation manque de précision en terme de longueur de rayage mais fournit tout de

même des informations intéressantes sur la formation du sillon. Par rapport à un essai de rayage

expérimental, la simulation met en évidence les effets transitoires liés à l’initialisation de celui-ci.

Les efforts mis en jeu n’auraient sûrement pas eu la même forme si la rayure avait été amorcée par

une approche transversale (pénétration de la matière en même temps que le mouvement de rayage).

La prochaine étape est de modéliser un essai de rayage suffisamment long pour conclure sur

l’hypothétique présence du mode de rayage stationnaire.

II.4. Conclusion pour notre cas

Aux vus de toutes les simulations réalisées, nous sommes tentés de penser que celles-ci

conduisent à des résultats qui, d’une certaine manière, sont relativement proches de la réalité

macroscopique ou tout du moins de la théorie. La prochaine étape consiste donc à confronter les

résultats de la simulation avec l’expérience afin de discriminer des lois de comportements capable

de rendre compte le moins mal possible le comportement d’un verre métallique.

28

III. Lois de comportements et simulations éléments finis

III.1. Les particularités des verres métalliques en indentation

III.1.1. Les bandes de cisaillement

Comme nous l’avons vu au paragraphe I.3., le

verre métallique développe des bandes de cisaillements

lors d’un essai d’indentation (cf. figure (d)). A la

différence des fissures, les bandes de cisaillement ne

développent pas de rupture brutale de la matière mais

une fluidification localisée de celle-ci. Cette perte de

rigidité locale est due à un état thermodynamique de la

matière (lié à l’état de contrainte) équivalent à une

hausse de la température. L’effet produit est une chute

de la viscosité permettant alors aux plans situés de part

et d’autre de cette frontière fluide, de glisser l’un sur

l’autre. On peut observer cet état thermodynamique sur

une bande débouchante (cf. figure (e)). En effet, sur les

bords de la marche est sculpté comme une matière

visqueuse qui se serait brutalement fait expulser de sa

faille.

Cette déformation localisée n’implique pas les

mêmes mécanismes que des fissures et ses effets au

niveau macroscopique implique une modélisation

particulière (on ne saurait se contenter d’un simple

critère de Von Mises pour ce genre de matériaux).Il

reste tout de même à définir les conséquences d’un tel

mécanisme, pour pouvoir les intégrer dans un critère représentatif du verre métallique.

Micrographie montrant les bandes de cisaillement développées par une indentation sphérique avec une charge maximale de 20 N (extrait de [1])

Micrographie montrant le jet de matière dépassant d’une bande de cisaillement débouchante (extrait de [2])

29

III.1.2. Comportement différent en traction ou compression

Au delà du mécanisme de déformation irréversible présenté au paragraphe III.1.1., Nous

allons essayer de nous intéresser au comportement macroscopique du verre métallique. Plus

précisément, nous désirons connaître la sensibilité à la pression hydrostatique du critère de rupture

de ce matériau.

Pour ce faire, nous considérerons deux éprouvettes de verre métallique. L’une mise en

traction et l’autre en compression. L’expérience consiste à déterminer les charges critiques à la

rupture σt & σc ainsi que les angles des plans de rupture θt & θc. On notera tn & cn , les normales

aux plans de rupture.

Traction Compression

L’expérience donne ces résultats :

Composante

Type d’essai

Critère de rupture

(MPa) Angle de rupture (°)

Traction σt = 1600 θt = 54°

Compression σc = -1800 θc = 45°

30

Même à l’échelle macroscopique, les réponses du verre métallique sont influencées par le

mode de sollicitation et ne sauraient, en conséquence, être prises en compte par un critère

indépendant de la pression hydrostatique.

III.2. Simulation & résultats avec des lois dépendantes de la

pression hydrostatique

III.2.1. Critère de Mohr – Coulomb

III.2.1.1 Définition du critère

Le critère de Mohr – Coulomb est utilisé dans des lois qui régissent généralement les sables

ou tout autre type de matériaux similaires (cf. [20]). En effet ces matériaux se déforment par des

glissements de plans dus à une contrainte de cisaillement. Cependant l’intensité qu’il faut fournir

pour atteindre la déformation est liée à la contrainte normale qui s’exerce sur ces plans.

La limite élastique de Mohr – Coulomb est donc représentée dans le plan de Mohr par une

droite de pente non nulle11. Deux paramètres suffisent pour définir la frontière : ϕ l’angle de

friction12 ou α la pente de la frontière et c la cohésion13.

A l’aide des résultats présentés en III.1.2 et sous hypothèse de coïncidence entre limite à la

rupture et limite élastique pour le matériau considéré (hypothèse raisonnable car le verre métallique

est considéré comme fragile à température ambiante), on peut calculer les paramètres définissant le

critère de Mohr – Coulomb.

11 Par opposition au critère de Tresca qui dans le plan de Mohr est représenté par une droite de pente nulle (indépendance du critère vis à vis de la contrainte normale) 12 Angle entre l’axe des contraintes normales et la droite frontière dans le plan de Mohr 13 Cisaillement critique pour σn = 0

31

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−=

−==

==

=+=

MPaR

MPaR

MPaR

MPaR

cc

ccn

tt

t

tt

tn

9002.

9002

761.2sin.2

553.2cos12 .

στ

σσθστ

θσσ

avec pour équation du critère cn +−= σατ .

On obtient alors ( )⎩⎨⎧

===

MPaarctg

c 81287,6αϕ

III.2.1.2 Application à l’indentation sphérique

Afin de tester ce critère, nous avons simulé un essai d’indentation sphérique14 avec le critère

de Mohr – Coulomb. Nous avons choisi un essai de ce type pour ses aptitudes à travailler en

compression et ainsi pour observer les caractéristiques du critère de Mohr – Coulomb plus

facilement. Le critère que nous avons intégré dans le calcul, n’est pas le vrai critère de Mohr –

Coulomb. C’est une approximation hyperbolique de celui-ci (cf. [12]) qu’utilise la loi

RH_COULOMB de Cast3M.

Afin de se rendre compte des changements mis en jeu, nous allons réaliser une comparaison

entre un les courbes force / déplacement des critères de Von Mises et de Mohr – Coulomb. Ces

courbes ont été tracées par le même programme, seules les lois de comportement ont été modifiées.

Légende : - Von Mises : E = 90000 MPa ; ν = 0,23 σy = 1800 MPa

- Mohr- Coulomb : E = 90000 MPa ; ν = 0,23 ϕ = 6,87 ; c = 812 MPa

Ci-après les courbes force / déplacement :

14 Mêmes options de calcul que pour l’indentation conique ; seul la géométrie et le maillage de l’indenteur ont été modifiés.

32

Remarque : Sur ce graphique, on peut voir la très nette tendance du critère de Mohr – Coulomb à

être beaucoup moins dissipatif que celui de Von Mises. Cette tendance est évidemment

accentuée par le type d’essai mis en jeu

III.2.2. Approximation par Drucker – Prager

Afin de comparer les résultats expérimentaux d’une indentation Vickers avec un jeu de lois

de comportement (dont Mohr – Coulomb), il nous a fallu passer d’un calcul 2D à un calcul 3D avec

une loi de comportement élasto-plastique intégrant un critère de Mohr – Coulomb. Si dans Cast3M,

nous avons pu trouver une loi approximée15 de ce critère pour l’indentation sphérique, celle-ci n’est

valable que sur un calcul axisymétrique ou en déformation plane. Nous avons du trouver un autre

critère pour palier au problème.

15 RH_COULOMB : cf. « INFO MATE ; » dans Cast3M ou III.2.1.2. ou [12]

33

De la même manière que l’on fait le rapprochement entre les critères de Von Mises et

Tresca, on peut faire le rapprochement entre Drucker – Prager et Mohr – Coulomb. Ci-dessous, la

schématisation des quatre critères.

Von Mises / Tresca (dans l’espace des contraintes principales)

Drucker – Prager / Mohr – Coulomb (dans l’espace des contraintes principales)

On ne commet donc pas plus d’erreurs en passant d’un critère VM16 à un critère de Tresca

qu’en passant d’un critère DP17 à un critère MC18. Nous utiliserons donc, entre autre, la loi élasto-

plastique avec critère DP pour les comparaisons numérique / expérience qui vont suivre.

III.2.3. Comparaison numérique / expérience

Afin de comparer précisément les résultats expérimentaux avec ceux fournis par la

simulation sous Cast3M, nous avons entré les paramètres exacts du matériau pour chaque loi de

comportement (voir la liste ci-dessous) ainsi que la même profondeur d’indentation 3,11 µm, le

même temps de charge et de décharge 15 s (donc les mêmes vitesses) et la même géométrie de

l’indenteur (demi-angle = 74°) pour l’expérience et la simulation.

Loi Elastique E = 81600 MPa

ν = 0,36

16 Von Mises 17 Drucker - Prager 18 Mohr - Coulomb

34

Loi Elasto-Plastique

avec critère de Von Mises

E = 81600 MPa

ν = 0,36

σy = 1610 MPa

Loi Elasto-Plastique

avec critère de Drucker - Prager

E = 81600 MPa

ν = 0,36

σytraction = 1600 MPa

σycompression = 1800 MPa

III.2.3.1 Comparaison force / déplacements

Une fois toutes ces précautions prises, nous pouvons comparer les courbes force /

déplacement19. Les courbes ont été réalisées sur Excel à l’aide des points caractéristiques fournis

par la procédure @EXCEL120 de Cast3M et du logiciel de traitement suite à l’indentation

expérimentale. Voici ci-dessous ce que nous obtenons.

Indentation Vickers

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

1,20E+00

1,40E+00

1,60E+00

1,80E+00

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03 3,50E-03

déplacements (mm)

forc

e (N

)

ElasticitéCritere de Von-MisesCritere de Drucker PragerExperimental

Remarque 1 : Il faut avouer qu’aucun de nous ne s’attendions à de tels résultats. Il était prévisible

que ce type de critère soit plus proche de la réalité que son homologue Von Mises

mais faire concorder à ce point l’expérimental et la simulation, c’est un résultat

inespéré.

Remarque 2 : Une comparaison similaire à été réalisée par M. Vaidyanathan (cf. [2]) et donne les

mêmes résultats ce qui est plutôt encourageant.

19 On entend par force la résultante à appliquer sur l’indenteur et par déplacement la profondeur d’indentation in-situ 20 Procédure convertissant un objet EVOLUTION en fichier Excel

35

III.2.3.2 Profiles de face et d’arête

D’un point discriminatoire, la comparaison des profils d’empreinte devrait se montrer plus

exigeante et plus précise. Voici ci-dessous les profils de face (ligne médiane de face) et d’arête.

Profils d'arête

-3,00E-03

-2,50E-03

-2,00E-03

-1,50E-03

-1,00E-03

-5,00E-04

0,00E+00

5,00E-04

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

Rayon/centre (mm)

Alti

tude

(mm

)

Elastique

Von-Mises

Drucker Prager

Experimental

Profils Face

-3,00E-03

-2,50E-03

-2,00E-03

-1,50E-03

-1,00E-03

-5,00E-04

0,00E+00

5,00E-04

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

Rayon/centre (mm)

Alti

tude

(mm

)

Elasticité

Von-Mises

Drucker Prager

Experimental

36

Remarque 1 : Les points caractéristiques de la courbe expérimentale ont été obtenus grâce au

microscope confocale.

Remarque 2 : Le profil de fond d’empreinte, mis à part les fluctuations expérimentales, correspond

assez bien avec le profil fourni par le critère DP. On observe tout de même un

décrochement du profil réel aux alentours du bourrelet. De plus la simulation garde

une hauteur de bourrelet non réaliste sur l’arête.

III.2.4. Validation de l’évaluation du module réduit

Dans le cadre de la prédiction des caractéristiques matérielles élastique par essai

d’indentation, une formule à été trouvé (cf. [3] & [5]) pour évaluer le module d’Young réduit21.

C’est l’occasion de tester la fiabilité de cette formule en même temps que la loi DP. On évalue le

module réduit Er par c

rASE

.2. maxπ= avec Smax la pente à l’origine de le décharge et Ac l’air de

contact en charge maximum ( 2.5,24 cc hA = pour un Vickers avec hc la hauteur de contact).

Nous avons deux moyens de trouver cette hauteur. La première est de créer une procédure

gibiane capable d’extraire le point de contact supérieur, et d’en extraire la hauteur recherchée. La

deuxième est d’utiliser la formule max

maxmax .

SPhhc ε−= que propose la méthode d’évaluation (avec

respectivement hmax & Pmax la profondeur d’indentation & la force en charge maximum et avec ε

coefficient égal à 0,72 pour un indenteur Vickers). Les deux méthodes ont été réalisées et voici ce

les résultats :

Méthode

Loi de comportement

Er par formule d’évaluation

(MPa)

Erreurs / à la valeur

théorique (%)

Er par procédure de

recherche (MPa)

Erreurs / à la valeur

théorique (%)

Elastique 95048 2,3 87321 6

Von Mises 102548 10,37 96821 4,2

Drucker - Prager 101664 9,41 93285 0,4

21 Assimilation des modules du matériau et de l’indenteur

37

NB : la formule donnant le module réduit théorique est MPa

EE

E

mat

mat

ind

indr 92914

111

22 =−+−=νν avec

νind, νmat, Eind & Emat respectivement les coefficients de poisson et les modules d’Young de

l’indenteur et du matériau.

Les résultats émanant de la procédure de recherche montrent encore une fois la précision du

critère DP par rapport aux deux autres. Par contre ceux de la méthode d’évaluation montrent une

tendance générale à la surévaluation. Peut être est-ce du au coefficient ε.

III.2.5. Conclusion & réserves

Que ce soit par les comparaisons des profils, des courbes force / déplacement ou des

modules mis en jeu, nous trouvons à chaque fois que le critère le plus adapté est un critère

dépendant de la pression (Mohr – Coulomb ou Drucker – Prager).

Cependant, les résultats fournis ne représentent qu’un type de simulation. Ils n’ont été

trouvés que pour un jeu précis de paramètres et pour une géométrie particulière d’indenteur. Nous

ne pouvons donc conclure sur la validation formelle d’une telle loi. Il faut alors considérer ces

premiers constats comme une piste intéressante dans la recherche de notre loi de comportement

vraie.

III.3. Introduction sur la loi visqueuse

III.3.1. Pourquoi une loi visqueuse

Dans un essai d’indentation, l’empreinte résulte d’une variation de volume importante. Mais

la question « Comment a été perdu ce volume ? » est encore sans réponses. La seule certitude que

nous ayons est qu’il y a un phénomène dissipatif. Quels choix avons nous : plasticité, viscosité,

endommagement et cætera. Les chapitres III.1. & III.2. furent consacrés aux verres métalliques et

au choix d’une dissipation par plasticité. Nous nous concentrerons donc dans celui-ci sur les verres

d’oxyde (cf. I.2.1.) et sur l’hypothèse d’une dissipation par viscosité.

38

III.3.2. Implantation dans un code de calcul éléments finis

III.3.2.1 Théorie d’implantation

On considère un matériau élastique en petite perturbation. On rajoute par le biais d’une

équation supplémentaire, un comportement visqueux avec un paramètre de viscosité η dépendant de

la pression. La loi ainsi décrite est dite sans seuil car elle prend en compte pour tout état de

contrainte l’élasticité et la viscosité même si cette dernière est négligeable.

(1) ~~~

ve εεε += découplage dans le cadre de l’HPP

(2) ~.

~..1 ItrEE ~~

e ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−= + σνσνε loi de Hooke

(3) ~.

. 1 S~

vηε = loi d’écoulement visqueux

Dans le cadre d’une prédiction des inconnues, les erreurs de ces trois lois au temps (n+1).∆t

(avec ∆t l’incrément de temps), seront pris en compte par des résidus affectés aux équations (1), (2)

& (3).

NB : La notation indicielle de l’avancement temporelle sera allégée de (n+1).∆t à (n+1)

(4) ~~

vn

enn

nε ~~

K 1111

++++ −−= εεε

(5) ~.

~. 111

1 .1 IEEK nnen

nε tr

~~~e ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

++++ ++−= σνσνε

(6) tSK~~~nv

nnεv ∆.11

1 .1 +++ −= ηε

On pilote l’évolution de la loi par la variation de déformation. On peut donc maîtriser

l’avancement temporel de la déformation.

(7) ~~~

nn εεε ∆+=+1

La méthode consiste dans un premier temps à réaliser une prédiction élastique.

(8) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

+

+

~~

1

1 0

εεε

∆∆

∆

~~en

vn

39

On calcul alors ~n 1+σ par la loi de Hooke (2) puis son déviateur

~nS 1+ et

~vn 1+ε . On calcul enfin

les résidus ~

inεK 0,1 =+ ,

~in

εeK 0,1 =+ & ~

inεvK 0,1 =+ pour finalement tester l

inε TK~

00,1 <=+ 22(*). Si cette condition

est vérifiée, la viscosité est effectivement négligeable et la prédiction élastique est donc vérifiée

(pas de correction visqueuse).

Si la condition (*) n’est pas vérifiée, il faut une correction visqueuse. Elle se fait grâce à un

développement de Taylor au premier degré. Le schéma de correction correspond à une méthode de

résolution Newton – Raphson dont l’avancement est repéré par le second indice : i.

NB : Les inconnues sont représentés par les variations entre les incréments (i+1) et i : ~

,1e

in+εδ ,

~,1

vin+εδ &

~,1 in+σδ .

(9)

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+=

+

+

+

+

+++

+

+

+

+

+++

+

+

+

+

+++

~~

~~

~~

,1

1

,1

1

,11,1

,1

1

,1

1

,11,1

,1

1

,1

1

,11,1

::

::

::

in

n

i

εv

in

n

i

v

εin

εin

ε

in

n

i

εe

in

n

i

e

εin

εin

ε

vin

n

i

v

εe

in

n

i

e

εin

εin

ε

~~

~

~~~

~~

~

~~~

~

~

~

~~~

vv

vv

ee

ee

KKKK

KKKK

KKKK

σδσεδε

σδσεδε

εδεεδε

~~

..~

1

~~.

~~.1

~~

~~

KttSK

IIEIE

K

IKK

IKK

~~~

~~

~

~

~

~

~

~

~

~

ε

ε

v

ε

e

ε

v

ε

e

ε

v

e

ve

ηησσ

ννσ

εε

εε

∆∆ −⊗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−=∂

∂

⊗++−=∂

∂

=∂

∂=∂

∂

−=∂

∂

=∂

∂

avec~~

~~

~~

.31 IIIK ⊗−= le projeteur déviatorique et

~~~~

.31 IIJ ⊗= le projeteur sphérique

Nous cherchons à annuler les résidus. Le système (9) s’écrit donc

22 avec Tol une limite fixée au préalable

40

(10)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−+=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛++−+=

−−=

+++++

++++

+++

~.

~.

~

~~.~

.~

~~~

,1,1,1,1,1

,1,1,1,1

,1,1,1

:10

.10

0

inininv

inin

ε

inine

inin

ε

vin

ein

inε

SttSK

ItrEEK

K

~~~~

~~

~

v

e

δησδησεδ

σδνσδνεδ

εδεδ

∆∆

En décomposant le système (10) en partie sphérique et déviatorique, on obtient les deux

systèmes d’équations suivants.

(11-dev)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂ +

++++

+++

+++

~e

~~

~e

~ee

inεin

vininin

inε

einin

inε

vin

ein

v

e

KdevSttSdev

KdevSE

Kdev

,1,1,1,1,1

,1,1,1

,1,1,1

~~.

~:

~~.

~~

.1

1

δηδσδησ

δδν

δδ

∆∆

(11-spher)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⊗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++

++++

+++

~~~tr

~

~

inε

vininin

inεin

einin

inε

vin

ein

v

e

KtrtrtS

KtrtrEtrtrE

Ktrtrtr

,1,1,1,1

,1,1,1,1

,1,1,1

~.

~:

~.

~~.

~~

1

.31

εσδησ

σνεσν

εδεδ

δ

δδδ

∆

On choisit alors un η dépendant du cisaillement tel qu’il baisse la viscosité du matériau

lorsque la contrainte augmente.

( )0

0

.1 ττ

ητηa+

= avec pour sPa.100 150 ==→= ηητ et τη

ητ bba MPa

+=⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

11

0

1

0

En 3D on peut mesurer le cisaillement par une mesure de contrainte équivalente de Von

Mises, Tresca et cætera. Ici nous prendrons Seq J2=τ avec SJ2 le deuxième invariant du déviateur

des contraintes.

41

D’où ( )~...~

.~ 00 2

1 Seq

eq bbτητσηησ =∂

∂=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ car ( )

Seq

J

S

2.2~

~=∂

∂ τσ

Les systèmes (11-dev) & (11-spher) recombinés deviennent donc

(12-dev)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

++−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗++

++++++

+

++

+

+++++++++

⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

~:.~~

~~

~~~

,1,1,1,10

.,1

,1,1

,1,1

,1

,1,1,1,1,1,1,1,1

0,1

.2.

.1

.:..2..1

inininineq

inin

εv

in

inin

εe

in

inε

inε

inεininininin

eqin

~~b

~e

~e

~~~~~b

SStdevStKdev

SEKdev

KKKdevStSStdevSE

v

e

ve

σδτηδηδ

δνδ

δησδτηδν

∆∆

∆∆

(12-spher)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++++

+

++

+

++++++++

⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

~:.~

~~

~~

,1,1,1,10

.,1,1

,1,1

,1

,1,1,1,1,1,1,1

0,1

.2

..21

:..2...21

inininineq

inε

vin

inin

εe

in

inε

inε

inεinininin

eqin

~~b

~

~

~~~~~b

SSttrKtrtr

trEKtrtr

KKKtrSSttrtrE

v

e

ve

σδτηεδ

σδνεδ

σδτησδν

∆

∆

Le problème vient du terme ~

:~~

σδSS⊗ . En indiciel on exprime ce terme par

~.

~,

~.. SSSS lkklij ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= σδαδσ avec ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

~,

~σδα S scalaire. Ce qui implique 0

~:

~~=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⊗ σδSStr et

~:

~~~:

~~σδσδ SSSSdev ⊗=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⊗ . Si en plus on scinde

~.

~.

~~ 31 ItrS ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= σδδσδ , on obtient alors les

systèmes (13-spher) & (13-dev).

42

(13-dev)

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⊗−−−=

++−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

++++++

+

++

+

++

++

++++++++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

~~~

~~

~

~~

,1,1,1,10

,1,1

,1

,1,1

,1

,1,10

,1,1

,1,1,1,1,1,1,1

0,1

:..2..

.1

...6

...

:..2..1

inininineq

inin

εv

in

inin

εe

in

inineq

inin

inεv

inεv

inεinininin

eqin

~~b

~e

~e

~~

b~~~~~

b

SStStKdev

SEKdev

SStrtrt

KKKdevSSStStE

v

e

v

σδτηδηδ

δνδ

τη

σδ

δτηδην

∆∆

∆

∆∆

(13-spher)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++

+

++++

~

~

~~~

inε

vin

inin

εe

in

inε

inε

inεin

v

e

ve

Ktrtr

trEKtrtr

KKKtrtrE

,1,1

,1,1

,1

,1,1,1,1

~

~~

~

..21

..21

εδ

σδνεδ

σδν

Le système (13-spher) est un système scalaire 3X3 aisément résolvable. Une fois celui-ci

résolu, le système (13-dev) devient lui aussi un système 3X3 mais avec des inconnues tensorielles.

La forme de la principale équation du système est ~~

.~

:~~

KSSA b =+ δδ . On peut réduire la

dimension des inconnues en passant à la notation de Cowin.

• Notation de Voigt

[ ] eVoigtVoigtVoigt

e CC εσεσ .~

:~~~

=≡= avec

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

12

13

23

33

22

11

σσσσσσ

σVoigt et

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

12

13

23

33

22

11

.2

.2

.2

εεε

εεε

εVoigt mais on obtient

[ ] [ ] 11 −− ≠ VoigtVoigt CC

43

• Notation de Cowin

[ ] eCowinCowinCowin

e CC εσεσ .~

:~~~

=≡= avec

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

12

13

23

33

22

11

.2

.2

.2

σσσ

σσσ

σCowin et

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

12

13

23

33

22

11

.2

.2

.2

εεε

εεε

εCowin on trouve alors

[ ] [ ] 11 −− = CowinCowin CC

On écrira donc l’équation principale sous la forme [ ] [ ]( ) CowinCowinXCowin KSIA b =+ δ.. 66 . Cette

équation est facilement programmable et pourra donc être résolue numériquement.

III.3.2.2 Programmation FORTRAN 77

Les équations ci-dessus doivent être intégrées au code de calcul Cast3M. Pour ce faire, nous

devons programmer en FORTRAN 77 les méthodes de résolution des systèmes (13-dev) & (13-

spher) en plus de la prédiction élastique.

Malheureusement, à l’heure ou ce mémoire se concrétise, l’implantation de cette loi sur un

point de Gauss a été interrompue et les premiers résultats ne seront fournis que plus tard.

III.4. Conclusion sur les lois dépendantes de la pression

Un verre est un solide qui reste encore un grand mystère. Les lois qui tentent de le

caractériser sont nombreuses et variées (loi avec ou sans seuil, quel type de critère, quel mécanisme

dissipatif et cætera). D’autant plus qu’il existe un grand nombre de famille de verre (métalliques,

organiques, verres d’oxyde et cætera) et qu’elles possèdent, presque toute, des mécanismes qui leur

sont propre.

Dans notre étude, nous regretterons l’absence de résultats en ce qui concerne la loi visqueuse

car ils auraient pu fournir ou non une partie de la validation de l’hypothèse de la dissipation par

viscosité. Dans l’état actuel des choses nous ne sommes sur que d’une chose, la loi vraie doit

dépendre de la contrainte. Que se soit par l’intermédiaire de la contrainte normale pour Mohr –

Coulomb ou par une mesure de cisaillement pour la loi visqueuse, c’est par cette condition que nous

avons obtenu les meilleurs résultats.

44

IV. Simulation par éléments distincts

IV.1. Spécificités de la méthode éléments distincts

IV.1.1. Notion de Contact

La modélisation d’un contact entre deux particules se gère par une loi entre leur écartement

(ou gap) et la résultante du contact. Ces valeurs sont calculées au point de contact et nécessitent

donc un repère local de contact (n ; t)23. En général, les caractéristiques du contact sont calculées

pour une particule candidate soumise à l’influence d’une autre particule dite antagoniste. C’est une

relation de maître / esclave qui s’opère tout en sachant qu’une candidate à un contact peut devenir

une antagoniste sur un autre contact.

IV.1.1.1 Signorini – Coulomb

La loi d’interaction la plus simple au niveau du contact, est une loi dite de Signorini –

Coulomb. Cette loi est représente une forme d’exclusivité entre le gap (ou la vitesse) et la réaction

au contact (il ne peut y avoir les deux en même temps). Cependant, cette définition pose le

problème de l’indétermination de la réaction. Les méthodes de dynamique moléculaire y répondent

en général par de la pénalisation au niveau de la réaction24 comme le montre le schéma ci-dessous.

Loi type Signorini - Coulomb Pénalisation de la loi de Signorini - Coulomb

23 (normale ; tangentielle) 24 On considère que le gap peut être négatif donc une interpénétration de la matière

45

Dans notre cas ceci ne sera pas nécessaire puisque la méthode NSCD, intégrant l’équation

de la dynamique, permet d’intersecter la relation de SC25 et ainsi de lever l’indétermination.

IV.1.1.2 Adhésion endommageable

Il faut considérer pour ce nouveau calcul, que l’échantillon à modéliser ne sera plus un

volume massif que l’on décompose en éléments finis, mais un assemblage de plusieurs briques

(corps déformables) qui, à l’origine, sont totalement indépendantes les unes des autres. Les lois

d’interaction tel que celle de SC sont formulées pour éviter l’interpénétration de la matière et pour

garantir la transmission des efforts dans ce système.

Si la loi de SC est parfaite

pour modéliser le contact entre

l’indenteur et l’échantillon, elle

est insuffisante pour assurer la

cohésion du matériau. Nous avons

du ‘cimenter’ les différents

éléments distincts par une loi

d’adhésion (cf. le schéma ci-

contre).

Cependant, et c’est le but

de ce calcul par éléments

distincts, nous voulons

développer de la fissuration dans

ce type d’essai. Ce qui veut dire

que nous ne pouvons nous contenter d’une simple loi de collage. Il faut intégrer une notion

d’endommagement qui, ici, est représentée par le paramètre d’endommagement du contact : β. Il est

activé lorsque l’énergie de surface critique wc est atteinte et endommage donc la rigidité de contact.

La rupture survient plus ou moins vite en fonction de b. C’est le paramètre qui va régir le mode de

rupture (fragile ou ductile).

25 Signorini - Coulomb

- c : rigidité ‘saine’ - wc : énergie de surface critique - b : paramètre de ‘viscosité’ - β : paramètre d’endommagement (β=0 → matériau ‘sain’ ; β=1 →

rupture)

46

IV.1.2. Résolution dynamique

On considère le contact α d’une particule candidate. Posons .q et r respectivement la vitesse

et la réaction de la particule exprimées au centre de gravité ainsi que Uα et Rα respectivement la

vitesse et la réaction de la particule exprimées au point de contact. On peut passer du niveau global

au local par une transformation noté H(q) et inversement avec H*(q) (cf. le schéma ci-dessous).

Grâces à ces transformations (liés à la géométrie de la particule), on intersecte la loi

d’interaction avec l’équation de la dynamique. Les vitesses et réaction ainsi trouvées sont ramenés

au centre de gravité et peuvent donc servir au contact suivant.

IV.1.3. Application à notre cas

Notre étude porte sur le comportement de fissuration d’un échantillon indenté. Il s’agit de

tester la troisième hypothèse de dissipation de cet essai : l’endommagement. Cependant, nous

considérerons dans le même temps une possibilité de déformation irréversible par plasticité au

niveau des éléments distincts. Le logiciel LMGC90 est un outil de calcul qui peut nous fournir des

informations intéressantes sur la fissuration. Ce code, à l’origine, a été créé pour du calcul 2D, nous

testerons donc les simulations d’indentation conique et sphérique.

L’échantillon sera constitué d’éléments distincts de type quadrangle à quatre nœuds et liés

par la loi d’adhésion vue au paragraphe IV.1.1.2. La géométrie de l’indenteur sera constituée d’un

seul élément distinct que l’on décomposera en plusieurs éléments finis (quadrangle à quatre nœuds)

pour mieux définir sa géométrie.

47

IV.2. Le logiciel LMGC90

Ce code de calcul éléments distincts provient du laboratoire LMGC de l’université de

Montpellier I et a été conçu en FORTRAN 90 (d’où son nom) par messieurs Frédéric DUBOIS &

Michel JEAN. C’est un logiciel utilisant les méthodes de résolution NSCD (Non Smooth Contact

Dynamics) par opposition aux méthodes utilisées par la MD (Molecular dynamics).

IV.2.1. Méthode de résolution

Le code de calcul fut programmé pour résoudre dans un premier temps des problèmes de

collection de corps rigides soumis à un champ de forces extérieures. On trouve les nouvelles

positions de la collection en calculant les vitesses libres26 de chacun des éléments, puis en

corrigeant ces mêmes vitesses par les solutions au contact (cf. schéma ci-dessous).

- Calcul de la vitesse libre

- Détection des contacts

- Correction des vitesses

( )( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−+−=−

+=−

−+

−+

−+

233333

23122222

121111

RfvvmRRfvvm

Rfvvm

Seulement, une particule candidate peut se retrouver en contact avec plusieurs antagonistes

ainsi qu’être antagoniste elle même pour plusieurs candidate. Sa vitesse est donc calculée une

premières fois, affect les particules autours d’elle et peut se retrouver sollicité d’une manière

différente lorsque toutes les particules ont été traitées. C’est pourquoi, le LMGC90 réalise des

boucles de calcul sur les contacts jusqu’à minimiser un critère de convergence.

Dans un deuxième temps, les concepteurs ont intégré la notion de corps déformable aux

éléments distincts. Ce qui nous arrange dans notre étude. La méthode de résolution des contacts

reste la même, mais elle est intégrée dans une boucle de Newton – Raphson pour calculer la

déformation de chaque élément distinct.

26 vitesses sans interaction des autres particules

48

IV.2.2. Aide au fonctionnement du logiciel

Le calcul LMGC90 se déroule dans un répertoire de calcul contenant obligatoirement quatre

sous-répertoires : le DATBOX27 , le DISPLAY28 , le OUTBOX29 & le POSTPRO30. Une fois les

informations sur le maillage, les conditions limites, les lois de comportements et les conditions

initiales rentrées dans le DATBOX (cf. ANNEXE VIII), on lance le calcul par l’instruction

main_opt.

La visualisation se fait par un logiciel nommé GMV dans lequel tous les liens avec les

fichiers de sortie ont été faits. Ce qui simplifie énormément le post traitement puisque quasiment

tous les champs de contraintes, de déformations, de vitesses et cætera, sont accessibles par un

simple clic.

IV.3. Les premiers résultats

Etant donné la difficulté de la prise en main de ce code et de sa théorie, les premiers résultats

présentés ne représentent qu’une introduction a la validation de cet outil et n’ont finalement de

valeur que part les questions qu’ils ont suscitées.

IV.3.1. Indentation conique & départ de fissure

L’image ci-contre

représente un système

d’éléments distincts sous un

indenteur conique (en

déformation plane) avec son

champ de vitesse verticale. Le

paramètre d’endommagement β

est déterminé sur chaque point

de contact candidat (petits carrés

27 répertoire de tous les fichiers nécessaires au lancements du calcul 28 répertoire de sortie des fichiers GMV de visualisation 29 répertoire contenant l’équivalent du DATBOX pour la dernière itération calculée 30 répertoire contenant les déplacements et réactions de tous les points répertoriés dans le DATBOX/POSTPRO.DAT

49

verts) par un polygone rouge d’épaisseur variable. Plus l’épaisseur est grande plus

l’endommagement est fort. Lorsque ces polygones sont à la verticale de la tangente au contact, c’est

que β n’est pas activé. On peut remarquer que les fissures s’amorcent sur les cotés de la pointe. En

effet, le déplacement brutal que subissent les premiers éléments en contact provoque un cisaillement

inertiel de leur condition d’adhésion. En revanche, ces amorces de fissures se rejoignent à la

verticale de l’indenteur en continuant ainsi de se propager. Ce phénomène correspond assez bien à

ce que l’on observe dans la réalité.

IV.3.2. Indentation sphérique & propagation d’onde

Lors de ce calcul nous

sommes passer en axisymétrique

car le but ici n’était pas

d’observer un départ de fissure

mais l’évolution dynamique du

système. Le schéma ci-contre

montre toujours le même champ

de vitesse mais couplé cette

fois-ci avec l’évaluation de la

compression aux points de

contact (son orientation et son

intensité sont visualisés par le même système de polygone). On observe assez nettement les ondes

de compression successives superposées avec celles de la vitesse verticale.

IV.4. Semi-validation

Trop peu de résultats sont en notre possession pour conclure sur la validation de ce mode de

simulation en indentation. Les premiers résultats sont qualitativement encourageant mais il reste à

les comparer avec des résultats expérimentaux ou d’autres simulations (exemple Cast3M).

Nous regretterons l’absence des courbes force déplacement dans le cadre de cette étude mais

différents problèmes d’allocation ne nous ont pas permis de conduire un calcul à son terme. Une

procédure de reprise de calcul est à l’étude pour en achever un.

50

V. Conclusion Générale

La simulation numérique permet d’effectuer un calcul de structures à partir de lois de

comportement a priori connues. La principale difficulté est de trouver des lois capables d’expliquer

les principaux mécanismes de l’indentation comme la formation du bourrelet ou la compaction

matérielle dans les verres. Cependant, l’utilisation de lois de comportement élastoplastiques

(irréalistes pour les verres) permet de créer un outil numérique utile pour la compréhension des

mécanismes de déformation permettant de discriminer telle ou telle hypothèse.

Cette étude a non seulement permis de mieux comprendre et de maîtriser cet outil, mais

aussi, conjointement aux travaux de Ronan CROSNIER, permis de réaliser une importante

comparaison numérique / expérience (cf. III.2.3.1.). Plus question de renier l’importance de la

contrainte dans le mécanisme non élastique (qu’il s’agisse d’endommagement, de plasticité, de

viscosité ou autre). C’est une mesure qui aura forcement son importance dans les modèles que nous

trouverons.

Nous avons formulé trois hypothèses de dissipation. Celle de plasticité a trouvé une solution

intéressante par le critère de Mohr – Coulomb ou Drucker – Prager. La viscosité est en cours

d’implantation et nous testons l’outil permettant de confirmer ou d’infirmer la troisième hypothèse,

l’endommagement. Il est évident que dans l’état actuel des choses, nous ne pouvons être

catégorique. Mais l’étude conduite nous rapproche un peu plus de la vérité.

51

BIBLIOGRAPHIE

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53

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de doctorat de l’Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris

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métalliques’ Thèse de doctorat de l’université de Grenoble I

[18] J.P. GUIN (2001) ‘Comportement mécanique de verres inorganiques du plus fragile au plus

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Rapports

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[20] C. GEINDREAU (1991) ‘Comparaison du comportement des poudres de TA6V et IN625

après compaction à froid’ Rapport de maîtrise E.N.S. CACHAN

[21] B. CAMBOU & M. JEAN (2000) ‘Micromécanique des matériaux granulaires’ chapitre 4 :

Simulation numérique discrète de matériaux granulaires

54

ANNEXE

o ANNEXE I Structure du BODIES.DAT

$bdyty MAILx X $blmty Q4xxx 1 nodes p(1) p(2) p(3) p(4) model mmmmm behav bbbbb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q4xxx N nodes p(m-3) p(m-2) p(m-1) p(m) model mmmmm behav bbbbb $nodty NO2xx p(1) coo1= X(p(1)) coo2= Y(p(1)) NO2xx p(2) coo1= X(p(2)) coo2= Y(p(2)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . NO2xx p(m-1) coo1= X(p(m-1)) coo2= Y(p(m-1)) NO2xx p(m) coo1= X(p(m)) coo2= Y(p(m)) $tacty CLxxx 1 color ccccc noda= pc(1) nodb= pc(2) apab= d%(1) CLxxx 2 color ccccc noda= pc(1) nodb= pc(2) apab= d%(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLxxx (i-2) color ccccc noda= pc(i-1) nodb= pc(i) apab= d%(i-1) CLxxx i color ccccc noda= pc(i-1) nodb= pc(i) apab= d%(i) ALpxx (i+1) color ccccc noda= pc(i+1) nodb= pc(i+2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ALpxx q color ccccc noda= pc(q) nodb= pc(q+1) $$$$$$ avec - X : numéro du corps

- N : nombre d’éléments finis dans le corps - i : nombre de points de contact candidats - (q-i) : nombre de lignes de contact antagonistes - ( ) ( ){ }mpp ...,,1 : ensemble des points du corps

de coordonnées X(p(i)), Y(p(i)) - ( ) ( ){ }1...,,1 +qpcpc : ensemble des points du

contour du corps NB : ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }mppqpcpc ...,,11...,,1 ∈+

- bbbbb : appellation de la loi de comportement

- mmmmm : appellation du model - ccccc : surnom d’un contact - ( ) ( ){ }idd %...,,1% : ensemble des

coefficients de positionnement des points candidats

55

o ANNEXE II Structure du DRV_DOF.DAT

$bdyty

MAILx X

$models

MECAx

$nodty

NO2xx pi(1)

$dofty numbr [CT......+......AMP..*..cos.(..OMEGA.*.time.+.PHI..)]...*...[RAMPI.....+.....RAMP.*.time]

vlocy 1 ct(1) amp(1) omega(1) phi(1) echel(1) ramp(1)

vlocy 2 ct(2) amp(2) omega(2) phi(2) echel(2) ramp(2)

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

$nodty . . . . . . .

NO2xx pi(r) . . . . . .

$dofty numbr [CT......+......AMP..*..cos.(..OMEGA.*.time.+.PHI..)]...*...[RAMPI.....+.....RAMP.*.time]

vlocy 1 ct(2r-1) amp(2r-1) omega(2r-1) phi(2r-1) echel(2r-1) ramp(2r-1)

vlocy 2 ct(2r) amp(2r) omega(2r) phi(2r) echel(2r) ramp(2r)

$$$$$$

- X : numéro du corps sur lequel on applique des conditions limites

- velocy 1 ou 2 : vitesse imposée avec 1 pour la composante suivant X et 2 pour sa composante suivant Y

- r : nombre de nœuds sur lesquels on impose des conditions limites

- ct(i) : amplitude globale de la condition limite - amp(i) : amplitude de la fonction cosinus - omega(i) : pulsation de la fonction cosinus - phi(i) : déphasage de la fonction cosinus - echel(i) : amplitude de l’échelon - ramp(i) : pente de la rampe

56

o ANNEXE III Structure du POSTPRO.DAT

NEW MECAx SETS S E X(1) N(1) n[p1(1)] . . . . . . . n[p1(N(1))] . . . . . . . X(E) N(E) n[pE(1)] . . . n[pE(N(E))] "idem S fois" Fint EVOLUTION STEP 1 Dep EVOLUTION STEP 1 END

- S : nombre de sets - E : nombre de corps dans le set considéré - X(i) : numéro du ième corps - N(i) : nombre de nœuds à prendre en compte pour

le ième corps - n[pi(j)] : numéro du jème points pour le ième corps à

prendre en compte

o ANNEXE IV Structure du TACT_BEHAV.DAT

$behav lawty gapc1 GAP_SGR_CLB fric= 0.0000000D+00 $behav lawty data adhe1 MAC_CZM dyfr= 0.0000000D+00 stfr= 0.0000000D+00 cn = 0.0000000D+00 ct = 0.0000000D+00 b = 0.0000000D+00 w = 0.0000000D+00 $seety cdbdy cdtac cdcol behav anbdy antac ancol alert MAILx CLxxx cccc1 adhe1 MAILx ALpxx aaaa1 0.0000000D+00 $seety cdbdy cdtac cdcol behav anbdy antac ancol alert MAILx CLxxx cccc2 gapc1 MAILx ALpxx aaaa2 0.0000000D+00

- gapc1 : loi de contact de type Signorini – Coulomb

- adhe1 : loi d’adhésion

- fric : coefficient de frottement - dyfr : frottement dyamique - stfr : frottement statique - cn & ct : rigidités normale &

tangentielle - b : ‘viscosité’ - w : énergie de surface critique

- cccci : nom des objets i candidats à considérer

- aaaai : nom des objets i antagonistes à considérer

- CLxxx : désignation candidat - Alpxx : désignation

antagoniste - alert : distance d’alerte

57

o ANNEXE V Structure du MODELS.DAT

EXEMPLE $model mdlty finel eleop value mmmmm MECAx Q4xxx kine_ small mater J2iso mass_ cohe_

- model : appelle le surnom du model - mdlty : appelle le type de corps (rigide ou

déformable) - finel : appelle le type d’éléments finis utilisés - eleop : appelle les options élémentaires - value : appelle les valeurs des options précités

o ANNEXE VI Structure du BULK_BEHAV.DAT

EXEMPLE DE DEUX LOIS $gravy grv1= 0.0000000D+00 grv2= 0.0000000D+00 grv3= 0.0000000D+00 $behav lawty bbbb1 ELAS_PLAS Umas= 0.0000000D+00 elas: isotrope EYng= 0.0000000D+00 EPss= 0.0000000D+00 crit: Von-Mises isoh: Lineaire SIG0= 0.0000000D+00 K___= 0.0000000D+00 cinh: none $behav lawty bbbb2 RIGID Umas= 0.1000000D+01

- gravy : définition de la gravité - gravi : ième composante du vecteur accélération

de la gravité - bbbb1 : surnom d’une loi élastoplastique pour

corps déformable - bbbb2 : surnom d’une loi rigide pour corps rigide - lawty : type de loi

- Umas : masse volumique - elas : type d’élasticité - EYng : module d’Young - EPss : coefficient de Poisson - crit : type de limite élastique - isoh : type d’élasticité isotrope - SIG0 : limite élastique - K___ : coefficient d’écrouissage

58

o ANNEXE VII Structure du COMMAND.DAT

#PROGRAMME PRINCIPAL DIME : 2D PSTRAIN : déformation plane ou AXI pour axisymétrique TIME STEP : pas de temps 2.D-07 : FINAL TIME : temps final 0.2D-01 : # THETA : paramètre de la thêta-méthode entre 0.5 et 1 1.D0 : # : APPELLE reading data : appelle de la procédure ‘reading data’ # START POSTPRO : déclenche le POSTPRO (lecture du fichier & test ici) # COMPUTE MASS : calcul de la matrice de masse COMPUTE STIFFNESS : calcul de la rigidité # COMPUTE BOX : initialisation de la détection du contact # : loading step : début de la boucle ‘loading step’ (boucle de résolution du problème) TOTALISATEURS A ZERO : remise à zero # INCREMENT STEP : incrémentation du pas de temps et des paramètres du LMGC90 DISPLAY TIMES : # COMPUTE Fext : calcul des forces extérieures # : COMPUTE TTFint : calcul des forces intérieures # ASSEMB RHS : ASSEMB KT : # COMPUTE FREE VELOCITY : calcul de la vitesse libre des éléments distincts # SELECT PROX TACTORS STEP 10000: détection des contacts # APPELLE Signorini Coulomb : calcul des critères de convergence # UPDATE TACT BEHAV : actualisation de bêta (loi d’adhésion) STOCK Rloc : stockage de bêta dans la base de données # COMPUTE DOF : calcul des vitesses réelles COMPUTE BULK : calcul de sigma, Fint UPDATE DOF : actualisation des vitesses et variables internes UPDATE BULK : actualisation de sigma, Fint # APPELLE writing results : procédure d’affichage des critères de convergence, du POSTPRO, et des sorties GMV # POSTPRO DURING COMPUTATION : calcul du POSTPRO #

59

AFFICHE TOTALISATEURS : AFFICHE COMPTEURS : # REPETE 2999 FOIS : DEPUIS loading step : # #POSTPRO AFTER COMPUTATION : arrêt du POSTPRO ( ferme les fichiers) WRITE OUTPUT GMV : dernière sortie GMV # : FIN DU PROGRAMME ##### # #-----------------------------: SUB reading data : # : READ BODIES : READ MODELS : READ BEHAVIOURS : READ INI DOF : READ INI GPV : READ DRIVEN DOF : READ INI Vloc Rloc : # WRITE BODIES : WRITE MODELS : WRITE BEHAVIOURS : WRITE LAST DOF : WRITE LAST GPV : WRITE DRIVEN DOF : # COMPUTE BETA : COMPUTE TACTOR : COMPUTE TACT POINT : DISPLAY MECHANICAL GPV : REFERENCE RADIUS : taille de référence pour l'intensité du contact 0.01 : BINARY INIT GMV : écriture en binaire des fichiers GMV (bgmv...) # WRITE OUTPUT GMV : # RETOUR : #-----------------------------: # #-----------------------------: SUB Signorini Coulomb : # .doing Signorini Coulomb : ECHO OFF RECUP Rloc : récupération des valeurs précédentes EX PREP NSCD_GS : Stored_Delassus_Loops : # >more : # SCRAMBLE : # >iteration : EX ITER NSCD_GS : résolution 1.D0 : REPETE 100 FOIS : nombre de répétitions sans tester la convergence DEPUIS >iteration :

60

# AFTER ITER CHECK : test de la convergence Quad 0.1666D-04 : norme du solveur de contact (Quad/Maxm/Quad16) # DISPLAY AFTER ITER CHECK : affiche la norme # IOK = FLAG 1 : INTO AFTER ITER CHECK : STOP REPETE SI IOK = 0 : # SCALE Rloc : REPETE 200 FOIS : DEPUIS >more : # EX POST NSCD_GS : STOCK Rloc : ECHO ON # : RETOUR : #-----------------------------: #-----------------------------: SUB writing results : # WRITE OUT DOF STEP 10 : WRITE OUT GPV STEP 10 : WRITE OUT Vloc Rloc STEP 10 : Rnod = [H] Rloc : WRITE OUT Rnod STEP 10 : # WRITE LAST DOF : WRITE LAST GPV : WRITE LAST Vloc Rloc : WRITE LAST Rnod : # DISPLACEMENT AMPLIFICATION 1.0D+00 WRITE OUTPUT GMV STEP 10 : fréquence de sortie des fichier GMV # RETOUR : #-----------------------------: # # FIN DU FICHIER

61

o ANNEXE VIII Notice du LMGC90

- Le maillage

o En partant de Cast3M réaliser l’objet maillage dans un fichier gibiane orienter l’objet de manière homogène (par l’opérateur ORIE) sortir l’objet maillage dans un fichier nommé exclusivement « mail.cast » grace à l’opérateur

OPTI SORT ‘mail.cast’ ; SORT AVS ‘nom de l’objet maillage’ ;

o Récupération du maillage sous LMGC90 on peut récupérer l’objet maillé sous deux formes :

1) Instruction c2l : tous les éléments finis restent des éléments finis. Dans ce cas, on ne gère pas le contact. La procédure demande alors

• Le surnom du matériau volumique (appellation de la loi de comportement massive, (cf. ANNEXE I & ANNEXE VI)

• Le surnom du modèle volumique (cf. ANNEXE V) • Le décalage de la numérotation des corps dans le cas ou il y aurait déjà des

corps déclarés Les renseignements sont conservés dans le BODIES.DAT tel que le montre ANNEXE I (sans le $tacty)

2) Instruction c2l_explo : tous les éléments finis passent en éléments distincts. La procédure demande les mêmes renseignements plus

• Le surnom des contacteurs (le même pour les candidats et les antagonistes) • Le type de contacteur sur les bords libres

Ces renseignements sont intégrés dans le BODIES.DAT $tacty NB : Les contacts candidats sont définis par deux points réparties par défaut à 20% et 80% de la ligne de contact déclaré. Il est possible par la suite d’en définir plus.

- Les conditions limites

Dans les instructions c2l et c2l_explo, on demande la définition des conditions limites avant d’achever les fichiers de démarrage (BODIES.DAT pour les géométries et DRV_DOF.DAT pour les conditions limites). L’instruction demande alors :

o La tolérance de recherche des nœuds o Le type de droite à bloquer (horizontal ou vertical) o La coordonnée de positionnement de cette droite o Les degrés de liberté sur lesquels on impose une condition & les valeurs en vitesse par défaut de ces

conditions (il est possible d’imposer des forces) Les renseignements sont alors stockés sous la forme du fichier représenté ANNEXE II. Cependant il est aussi possible d’imposer des conditions limites variables, il suffit soit de changer manuellement les coefficients du DRV_DOF.DAT, soit d’imposer (au lieu de la formule pré-formatée) un objet évolutif que l’on crée dans le DATBOX et qui comprend deux colonnes une de temps et une de valeurs imposées (en vitesse ou en force)

- Models et lois de comportement

o On définit la loi de comportement massif dans le BULK_BEHAV.DAT (cf. ANNEXE VI). Cette loi est intégrée dans le BODIES.DAT par l’intermédiaire du surnom de la loi. Rien n’empêche d’en intégrer plusieurs dans la même géométrie.

o On définit de même les lois d’interaction du contact dans le TACT_BEHAV.DAT (cf. ANNEXE IV). Une des loi de ce fichier est définie par un surnom de contact antagoniste xxxxx et un de contact candidat yyyyy. Ce qui veut dire que cette loi d’interaction sera valable entre tout contact xxxxx antagoniste et yyyyy candidat. De cette manière, on peut intégrer un grand nombre de loi diverse et variée.

o Le mode de résolution des corps déformables est défini dans le MODELS.DAT (cf. ANNEXE V). Il comprend les petites ou grande déformation, les masses cohérentes ou non et cætera. Si le calcul est en petite perturbation, on définira le fichier de commande (COMMAND.DAT) avec seulement deux boucles (cf. ANNEXE VII). L’une pour la résolution des contacts et l’autre pour l’avancement temporel. Mais si le calcul est en grande déformation, il faudra penser à intégrer une dernière boucle de Newton – Raphson pour la résolution des non linéarités.

62

- Visualisation o Le GMV est un outil de visualisation du maillage et de tous les champs par points ou par éléments

résultant du calcul. On lit les fichiers provenant du DISPLAY. o Dans une tout autre mesure, il est possible de visualiser (quasiment en temps réel) la courbe force

déplacement à l’aide du DATBOX/POSTPRO.DAT (cf. ANNEXE III). On crée ce fichier par l’instruction drvdof2postpro. Un set contenant tous les points du fichier de condition limite est alors créé. Seulement la résultante de tous ces points est nulle. Il faudra donc en supprimer et typiquement, conserver la moitié des conditions limites. Si la courbe force déplacement ne vous intéresse pas il faudra penser à commenter les instructions liées au POSTPRO dans le COMMAND.DAT.