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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
Simulation par éléments discrets de fibresflexibles avec frottement de Coulomb
Gilles DavietInria – Laboratoire Jean Kuntzmann
Avec Florence Bertails-Descoubes
Rencontres du GDR 3MF — Nantes12 juin 2014
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
MOTIVATION : CHEVELURE NUMÉRIQUES
Deux secteurs principaux
I Loisir numérique (cinéma d’animation, effets spéciaux)
Final Fantasy (2000) The Incredibles (2005) Avatar (2009) Tangled (2010) Brave (2012)
I Prototypage virtuel en cosmétologie
c©L’Oréal
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
MOTIVATION : CHEVELURE NUMÉRIQUES
Deux secteurs principaux
I Loisir numérique (cinéma d’animation, effets spéciaux)
Final Fantasy (2000) The Incredibles (2005) Avatar (2009) Tangled (2010) Brave (2012)
I Prototypage virtuel en cosmétologie
c©L’Oréal
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
EXIGENCES SUR LE MODÈLE
I Simulation dynamique(et non quasi-statique)
I Fibres longues mais inextensiblesI Flexibles
(en courbure et en torsion)I Frisure naturelleI Frottement statique
( présence d’un seuil )
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
EXIGENCES SUR LE MODÈLE
I Simulation dynamique(et non quasi-statique)
I Fibres longues mais inextensiblesI Flexibles
(en courbure et en torsion)I Frisure naturelle
I Frottement statique( présence d’un seuil )
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
EXIGENCES SUR LE MODÈLE
I Simulation dynamique(et non quasi-statique)
I Fibres longues mais inextensiblesI Flexibles
(en courbure et en torsion)I Frisure naturelleI Frottement statique
( présence d’un seuil )
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PLAN DE L’EXPOSÉ
TIGES MÉCANIQUES
MODÈLE DE CONTACT
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE
RÉSULTATS
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PLAN DE L’EXPOSÉ
TIGES MÉCANIQUES
MODÈLE DE CONTACT
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE
RÉSULTATS
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
TIGES DE KIRCHHOFF
I Ligne moyenne r(s)I Repère matériel{t(s) = n0(s),n1(s),n2(s)}
I Hypothèses de Kirchhoff :I Tige sans cisaillementI Tige inextensibleI Inertie en torsion négligeable
I Degrés de liberté :I torsion τ(s)I courbures κ1(s), κ2(s)
I Grands déplacements mais petitesdéformations :→ Loi de comportement élastique
M(s) = K(κ(s)− κ0(s)
)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
TIGES DE KIRCHHOFF
I Ligne moyenne r(s)I Repère matériel{t(s) = n0(s),n1(s),n2(s)}
I Hypothèses de Kirchhoff :I Tige sans cisaillementI Tige inextensibleI Inertie en torsion négligeable
I Degrés de liberté :I torsion τ(s)I courbures κ1(s), κ2(s)
I Grands déplacements mais petitesdéformations :→ Loi de comportement élastique
M(s) = K(κ(s)− κ0(s)
)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
TIGES DE KIRCHHOFF
I Ligne moyenne r(s)I Repère matériel{t(s) = n0(s),n1(s),n2(s)}
I Hypothèses de Kirchhoff :I Tige sans cisaillementI Tige inextensibleI Inertie en torsion négligeable
I Degrés de liberté :I torsion τ(s)I courbures κ1(s), κ2(s)
I Grands déplacements mais petitesdéformations :→ Loi de comportement élastique
M(s) = K(κ(s)− κ0(s)
)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
TIGES DE KIRCHHOFF
I Ligne moyenne r(s)I Repère matériel{t(s) = n0(s),n1(s),n2(s)}
I Hypothèses de Kirchhoff :I Tige sans cisaillementI Tige inextensibleI Inertie en torsion négligeable
I Degrés de liberté :I torsion τ(s)I courbures κ1(s), κ2(s)
I Grands déplacements mais petitesdéformations :→ Loi de comportement élastique
M(s) = K(κ(s)− κ0(s)
)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Intégration en temps
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Intégration en temps
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Intégration en temps
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESILLUSTRATION
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PLAN DE L’EXPOSÉ
TIGES MÉCANIQUES
MODÈLE DE CONTACT
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE
RÉSULTATS
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
CONTACT PONCTUEL
Hypothèses
1. Le contact concerne toujours au plus deux objets, A et B2. Surface de contact assez lisse pour définir une normale e
→ On peut définir un repère local etI la vitesse relative u A/BI la force de contact r B→ A
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
CONTACT PONCTUEL
Hypothèses
1. Le contact concerne toujours au plus deux objets, A et B2. Surface de contact assez lisse pour définir une normale e
→ On peut définir un repère local etI la vitesse relative u A/BI la force de contact r B→ A
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
LOI DE COULOMB : FORMULATION DISJONCTIVE
Soit µ ≥ 0 le coefficient de frottement.On définit le cône du second-ordre Kµ,
Kµ = {‖rT‖ ≤ µrN} ⊂ R3
Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈ 1780)
(u, r) ∈ C(e, µ) ⇐⇒
soit décollage r = 0 et uN > 0
soit adhérence r ∈ Kµ et u = 0
soit glissement r ∈ ∂Kµ \ 0, uN = 0et ∃α ≥ 0, uT = −α rT
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
LOI DE COULOMB : FORMULATION DISJONCTIVE
Soit µ ≥ 0 le coefficient de frottement.On définit le cône du second-ordre Kµ,
Kµ = {‖rT‖ ≤ µrN} ⊂ R3
Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈ 1780)
(u, r) ∈ C(e, µ) ⇐⇒
soit décollage r = 0 et uN > 0
soit adhérence r ∈ Kµ et u = 0
soit glissement r ∈ ∂Kµ \ 0, uN = 0et ∃α ≥ 0, uT = −α rT
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
LOI DE COULOMB : FORMULATION DISJONCTIVE
Soit µ ≥ 0 le coefficient de frottement.On définit le cône du second-ordre Kµ,
Kµ = {‖rT‖ ≤ µrN} ⊂ R3
Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈ 1780)
(u, r) ∈ C(e, µ) ⇐⇒
soit décollage r = 0 et uN > 0
soit adhérence r ∈ Kµ et u = 0
soit glissement r ∈ ∂Kµ \ 0, uN = 0et ∃α ≥ 0, uT = −α rT
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
LOI DE COULOMB : FORMULATION DISJONCTIVE
Soit µ ≥ 0 le coefficient de frottement.On définit le cône du second-ordre Kµ,
Kµ = {‖rT‖ ≤ µrN} ⊂ R3
Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈ 1780)
(u, r) ∈ C(e, µ) ⇐⇒
soit décollage r = 0 et uN > 0
soit adhérence r ∈ Kµ et u = 0
soit glissement r ∈ ∂Kµ \ 0, uN = 0et ∃α ≥ 0, uT = −α rT
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
LOI DE COULOMB : FORMULATION DISJONCTIVE
Soit µ ≥ 0 le coefficient de frottement.On définit le cône du second-ordre Kµ,
Kµ = {‖rT‖ ≤ µrN} ⊂ R3
Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈ 1780)
(u, r) ∈ C(e, µ) ⇐⇒
soit décollage r = 0 et uN > 0
soit adhérence r ∈ Kµ et u = 0
soit glissement r ∈ ∂Kµ \ 0, uN = 0et ∃α ≥ 0, uT = −α rT
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
APPROCHE EXPLICITE
Ajout d’une force de pénalité r = rNe + rT
I rN := η(d) + νvk−1N , d distance de pénétration
I rT := −µrn‖vk−1T ‖
I Explicite, peu stableI rT > 0 =⇒ uT > 0 , pas de seuil
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
APPROCHE EXPLICITE
Ajout d’une force de pénalité r = rNe + rT
I rN := η(d) + νvk−1N , d distance de pénétration
I rT := −µrn‖vk−1T ‖
I Explicite, peu stableI rT > 0 =⇒ uT > 0 , pas de seuil
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
APPROCHE EXPLICITE
Ajout d’une force de pénalité r = rNe + rT
I rN := η(d) + νvk−1N , d distance de pénétration
I rT := −µrn‖vk−1T ‖
I Explicite, peu stableI rT > 0 =⇒ uT > 0 , pas de seuil
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
FORMULATION PAR CONTRAINTES
I Système global (sans interactions) :
M v + f = 0
→ inconnues : q = κκκt+dt et v
I Système global (avec contact frottant) :M v + f = H>ru = H v + w(u, r) vérifie la loi de Coulomb
(1)
→ Inconnues : q, v, u et r→ Non-lisse, non linéaire, pas de garantie d’existence
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
FORMULATION PAR CONTRAINTES
I Système global (sans interactions) :
M v + f = 0
→ inconnues : q = κκκt+dt et v
I Système global (avec contact frottant) :M v + f = H>ru = H v + w(u, r) vérifie la loi de Coulomb
(1)
→ Inconnues : q, v, u et r
→ Non-lisse, non linéaire, pas de garantie d’existence
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
FORMULATION PAR CONTRAINTES
I Système global (sans interactions) :
M v + f = 0
→ inconnues : q = κκκt+dt et v
I Système global (avec contact frottant) :M v + f = H>ru = H v + w(u, r) vérifie la loi de Coulomb
(1)
→ Inconnues : q, v, u et r→ Non-lisse, non linéaire, pas de garantie d’existence
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PLAN DE L’EXPOSÉ
TIGES MÉCANIQUES
MODÈLE DE CONTACT
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE
RÉSULTATS
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PROBLÈME À n CONTACTSMÉTHODE CHOISIE
Méthode de Gauss-Seidel projeté
I Très stableI Convergence O(log k)I ... mais erreur suffisamment faible très rapidement
IdéeI Tant que la convergence n’est pas atteinte
I Pour chaque contactI Résoudre le contact de manière isolée
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PROBLÈME À n CONTACTSMÉTHODE CHOISIE
Méthode de Gauss-Seidel projeté
I Très stableI Convergence O(log k)I ... mais erreur suffisamment faible très rapidement
IdéeI Tant que la convergence n’est pas atteinte
I Pour chaque contactI Résoudre le contact de manière isolée
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PROBLÈME À n CONTACTSMÉTHODE CHOISIE
Méthode de Gauss-Seidel projeté
I Très stableI Convergence O(log k)I ... mais erreur suffisamment faible très rapidement
IdéeI Tant que la convergence n’est pas atteinte
I Pour chaque contact
I Résoudre le contact de manière isolée
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PROBLÈME À n CONTACTSMÉTHODE CHOISIE
Méthode de Gauss-Seidel projeté
I Très stableI Convergence O(log k)I ... mais erreur suffisamment faible très rapidement
IdéeI Tant que la convergence n’est pas atteinte
I Pour chaque contactI Résoudre le contact de manière isolée
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PROBLÈME À n CONTACTSMÉTHODE CHOISIE
Méthode de Gauss-Seidel projeté
I Très stableI Convergence O(log k)I ... mais erreur suffisamment faible très rapidement
IdéeI Tant que la convergence n’est pas atteinte
I Pour chaque contactI Résoudre le contact de manière isolée
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
REFORMULATION
Rappel de la formulation primale en (v, u et r) :M v + f = H>ru = H v + w(u, r) vérifie la loi de Coulomb
Formulation duale compacte en (u, r) :{u = W r + b(u, r) vérifie la loi de Coulomb
où W = H M−1 H> ∈M3n(R) est l’opérateur de Delassus
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
REFORMULATION
Rappel de la formulation primale en (v, u et r) :M v + f = H>ru = H v + w(u, r) vérifie la loi de Coulomb
Formulation duale compacte en (u, r) :{u = W r + b(u, r) vérifie la loi de Coulomb
où W = H M−1 H> ∈M3n(R) est l’opérateur de Delassus
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
GAUSS-SEIDELILLUSTRATION POUR 4 CONTACTS
I Découper la matrice W en blocs 3× 3→ Chaque ligne de blocs correspond à un unique contact
I Puis pour k := 1 . . .Nitermax itérer sur ces lignes :
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
GAUSS-SEIDELILLUSTRATION POUR 4 CONTACTS
→ Résoudre le problème à un contact
(uk+11 , rk+1
1 ) ∈ C(µ)
avec rk2, rk
3, rk4 fixés, uk+1
1 linéaire en rk+11
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
GAUSS-SEIDELILLUSTRATION POUR 4 CONTACTS
→ Résoudre le problème à un contact
(uk+12 , rk+1
2 ) ∈ C(µ)
avec rk+11 , rk
3, rk4 fixés, uk+1
2 linéaire en rk+12
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
GAUSS-SEIDELILLUSTRATION POUR 4 CONTACTS
→ Résoudre le problème à un contact
(uk+13 , rk+1
3 ) ∈ C(µ)
avec rk+11 , rk+1
2 , rk4 fixés, uk+1
3 linéaire en rk+13
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
GAUSS-SEIDELILLUSTRATION POUR 4 CONTACTS
→ Résoudre le problème à un contact
(uk+14 , rk+1
4 ) ∈ C(µ)
avec rk+11 , rk+1
2 , rk+13 fixés, uk+1
4 linéaire en rk+14
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
GAUSS-SEIDELILLUSTRATION POUR 4 CONTACTS
→ Recommencer la boucle avec k := k + 1
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UN SEUL CONTACTRÉSOLUTION DE (ui, ri) ∈ C(µ)
I LinéarisationI Cône polygonal (pyramide)I Problème linéaireI ... mais plus de variablesI ... et artefacts visables
I Formulation fonctionelle f (u, r) = 0I Formulation énumérativeI Méthode hybride
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UN SEUL CONTACTRÉSOLUTION DE (ui, ri) ∈ C(µ)
I LinéarisationI Formulation fonctionelle f (u, r) = 0
I Alart-Curnier (1992)I MFB (2011) : Fischer-Burmeister sur cône du second ordre
→ Newton, point-fixe...→ Non-convexe, pas de convergence globale
I Formulation énumérativeI Méthode hybride
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UN SEUL CONTACTRÉSOLUTION DE (ui, ri) ∈ C(µ)
I LinéarisationI Formulation fonctionelle f (u, r) = 0I Formulation énumérative
I Test successif de chaque cas cas( décollage→ adhérence→ glissement )
I Glissement : polynôme de degré 4I Formule exacte→ Nombreux tests, lent
I ... ou valeurs propres matrice compagnon→ Possiblement mal conditionnée
I Si non-existence, pas de solution approchée
I Méthode hybride
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UN SEUL CONTACTRÉSOLUTION DE (ui, ri) ∈ C(µ)
I LinéarisationI Formulation fonctionelle f (u, r) = 0I Formulation énumérativeI Méthode hybride
I Cas simple ou glissement grossier par énumératifI Raffinement par Newton
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
PLAN DE L’EXPOSÉ
TIGES MÉCANIQUES
MODÈLE DE CONTACT
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE
RÉSULTATS
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
RÉSULTATS≈ 2000 SUPER-HÉLICES
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
COMPARAISONS NUMÉRIQUESSUR 306 PROBLÈMES INCRÉMENTAUX
Solveur local Taux d’échec (%) GS Iters Time (ms)
Linéarisé 0 575 6497PAC 19.3 163 1265
DAC 0.33 60 874MFB 4.9 72 484
Enum 1 67 1044MFB + Enum 0 41 312
I Le solveur hybride améliore à la fois la robustesse etl’efficacité en temps de calcul
I Le solveur linéarisé résout bien le problème approché,mais requiert plus d’itérations de Gauss–Seidel pourconverger→ performance globale moindre
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
COMPARAISONS NUMÉRIQUESSUR 306 PROBLÈMES INCRÉMENTAUX
Solveur local Taux d’échec (%) GS Iters Time (ms)
Linéarisé 0 575 6497PAC 19.3 163 1265
DAC 0.33 60 874MFB 4.9 72 484
Enum 1 67 1044MFB + Enum 0 41 312
I Le solveur hybride améliore à la fois la robustesse etl’efficacité en temps de calcul
I Le solveur linéarisé résout bien le problème approché,mais requiert plus d’itérations de Gauss–Seidel pourconverger→ performance globale moindre
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
CONCLUSION
Remarques
I Modèles visuellement réalistesI Solveur stable
I Coût du calcul en O(n2)
I n augmente super-linéairement avec le nombre de fibresI → limité à des systèmes de taille moyenne
Perspectives
I Validation plus préciseI Raffinement du modèle de contact : anisotropie, adhésionI Interactions avec l’airI Modèle macroscopique (passage à l’échelle)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
CONCLUSION
Remarques
I Modèles visuellement réalistesI Solveur stableI Coût du calcul en O(n2)
I n augmente super-linéairement avec le nombre de fibresI → limité à des systèmes de taille moyenne
Perspectives
I Validation plus préciseI Raffinement du modèle de contact : anisotropie, adhésionI Interactions avec l’airI Modèle macroscopique (passage à l’échelle)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
CONCLUSION
Remarques
I Modèles visuellement réalistesI Solveur stableI Coût du calcul en O(n2)
I n augmente super-linéairement avec le nombre de fibresI → limité à des systèmes de taille moyenne
Perspectives
I Validation plus préciseI Raffinement du modèle de contact : anisotropie, adhésionI Interactions avec l’airI Modèle macroscopique (passage à l’échelle)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
MERCI POUR VOTRE ATTENTION
Code disponible :
http://gdaviet.fr/code/bogus
http://bipop.inrialpes.fr/~bertails/Papiers/Code
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Éléments raccordés de manière C1
→ Courbe lisse en hélices par morceauxI Équation dynamique :
M(κκκ, t) κ̈κκ+ ν K κ̇κκ+Kκκκ = F(κκκ, κ̇κκ, t)
M dense non-linéaire, K diagonale csteI Intégration en temps stable
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Éléments raccordés de manière C1
→ Courbe lisse en hélices par morceauxI Équation dynamique :
M(κκκ, t) κ̈κκ+ ν K κ̇κκ+Kκκκ = F(κκκ, κ̇κκ, t)
M dense non-linéaire, K diagonale csteI Intégration en temps stable
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Éléments raccordés de manière C1
→ Courbe lisse en hélices par morceaux
I Équation dynamique :
M(κκκ, t) κ̈κκ+ ν K κ̇κκ+Kκκκ = F(κκκ, κ̇κκ, t)
M dense non-linéaire, K diagonale csteI Intégration en temps stable
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Éléments raccordés de manière C1
→ Courbe lisse en hélices par morceauxI Équation dynamique :
M(κκκ, t) κ̈κκ+ ν K κ̇κκ+Kκκκ = F(κκκ, κ̇κκ, t)
M dense non-linéaire, K diagonale cste
I Intégration en temps stable
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
![Page 61: Simulation par éléments discrets de fibres flexibles avec ......I Frisure naturelle I Frottement statique ( présence d’unseuil) INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060905/60a0a2aa891ba142975f7e96/html5/thumbnails/61.jpg)
INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Éléments raccordés de manière C1
→ Courbe lisse en hélices par morceauxI Équation dynamique :
M(κκκ, t) κ̈κκ+ ν K κ̇κκ+Kκκκ = F(κκκ, κ̇κκ, t)
M dense non-linéaire, K diagonale csteI Intégration en temps stable
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
UNE DISCRÉTISATION : LES SUPER-HÉLICESBERTAILS et al. 2006
I Découpage de la tige en N élémentsτ(s), κ1(s), κ2(s) constantes p. morceaux
I Éléments raccordés de manière C1
→ Courbe lisse en hélices par morceauxI Équation dynamique :
M(κκκ, t) κ̈κκ+ ν K κ̇κκ+Kκκκ = F(κκκ, κ̇κκ, t)
M dense non-linéaire, K diagonale csteI Intégration en temps stable
M v + f = 0, v = κ̇κκt+dt
I Extension : κ linéaire p. morceauxSuper-Clothoides (Casati et al. 2013)
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
AUTRE DISCRÉTISATION : DISCRETE ELASTIC RODSBERGOU et al. 2008, 2010
I Coordonnées maximales (squeletteexplicite) :
I N + 1 nœuds ( points 3D ) rrriI N torsions matérielles θi
→ 4N + 3 degrés de libertés
I Inextensibilité non-intrinsèque→ Ressorts ou contraintes dures
I Intégration impliciteI Forces non-linéaires→ NewtonI Matrice creuse par bandesI ... mais pas forcément positive
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
AUTRE DISCRÉTISATION : DISCRETE ELASTIC RODSBERGOU et al. 2008, 2010
I Coordonnées maximales (squeletteexplicite) :
I N + 1 nœuds ( points 3D ) rrriI N torsions matérielles θi
→ 4N + 3 degrés de libertés
I Inextensibilité non-intrinsèque→ Ressorts ou contraintes dures
I Intégration impliciteI Forces non-linéaires→ NewtonI Matrice creuse par bandesI ... mais pas forcément positive
![Page 65: Simulation par éléments discrets de fibres flexibles avec ......I Frisure naturelle I Frottement statique ( présence d’unseuil) INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060905/60a0a2aa891ba142975f7e96/html5/thumbnails/65.jpg)
INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
AUTRE DISCRÉTISATION : DISCRETE ELASTIC RODSBERGOU et al. 2008, 2010
I Coordonnées maximales (squeletteexplicite) :
I N + 1 nœuds ( points 3D ) rrriI N torsions matérielles θi
→ 4N + 3 degrés de libertés
I Inextensibilité non-intrinsèque→ Ressorts ou contraintes dures
I Intégration impliciteI Forces non-linéaires→ NewtonI Matrice creuse par bandes
I ... mais pas forcément positive
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
AUTRE DISCRÉTISATION : DISCRETE ELASTIC RODSBERGOU et al. 2008, 2010
I Coordonnées maximales (squeletteexplicite) :
I N + 1 nœuds ( points 3D ) rrriI N torsions matérielles θi
→ 4N + 3 degrés de libertés
I Inextensibilité non-intrinsèque→ Ressorts ou contraintes dures
I Intégration impliciteI Forces non-linéaires→ NewtonI Matrice creuse par bandesI ... mais pas forcément positive
![Page 67: Simulation par éléments discrets de fibres flexibles avec ......I Frisure naturelle I Frottement statique ( présence d’unseuil) INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060905/60a0a2aa891ba142975f7e96/html5/thumbnails/67.jpg)
INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
DÉTECTION DE COLLISION
I Approximation linéaire par morceaux der(s) (indépendante de la résolution de latige)
I Cylindres englobants de rayon ε
I Détection du contact par le calcul dedistance minimale entre les axes descylindres :→ si d < 2 ε, un contact est activé
I Sortie :I Positions sA
i et sBi du point de contact i
pour chaque corps A, BI Normale ei au contact i
I Méthodes d’accélérationI Partitionnement des contraintesI Table de hachage en espace
Avantage : simple et rapide (∼ 1 % du temps total de calcul)Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
DÉTECTION DE COLLISION
I Approximation linéaire par morceaux der(s) (indépendante de la résolution de latige)
I Cylindres englobants de rayon εI Détection du contact par le calcul de
distance minimale entre les axes descylindres :→ si d < 2 ε, un contact est activé
I Sortie :I Positions sA
i et sBi du point de contact i
pour chaque corps A, BI Normale ei au contact i
I Méthodes d’accélérationI Partitionnement des contraintesI Table de hachage en espace
Avantage : simple et rapide (∼ 1 % du temps total de calcul)Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps
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INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS
DÉTECTION DE COLLISION
I Approximation linéaire par morceaux der(s) (indépendante de la résolution de latige)
I Cylindres englobants de rayon εI Détection du contact par le calcul de
distance minimale entre les axes descylindres :→ si d < 2 ε, un contact est activé
I Sortie :I Positions sA
i et sBi du point de contact i
pour chaque corps A, BI Normale ei au contact i
I Méthodes d’accélérationI Partitionnement des contraintesI Table de hachage en espace
Avantage : simple et rapide (∼ 1 % du temps total de calcul)Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps
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DÉTECTION DE COLLISION
I Approximation linéaire par morceaux der(s) (indépendante de la résolution de latige)
I Cylindres englobants de rayon εI Détection du contact par le calcul de
distance minimale entre les axes descylindres :→ si d < 2 ε, un contact est activé
I Sortie :I Positions sA
i et sBi du point de contact i
pour chaque corps A, BI Normale ei au contact i
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Avantage : simple et rapide (∼ 1 % du temps total de calcul)Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps
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DÉTECTION DE COLLISION
I Approximation linéaire par morceaux der(s) (indépendante de la résolution de latige)
I Cylindres englobants de rayon εI Détection du contact par le calcul de
distance minimale entre les axes descylindres :→ si d < 2 ε, un contact est activé
I Sortie :I Positions sA
i et sBi du point de contact i
pour chaque corps A, BI Normale ei au contact i
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Avantage : simple et rapide (∼ 1 % du temps total de calcul)Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps