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M. Macchioro - La prova di fisica per la maturità scientifica 34

Simulazione della seconda prova di Fisica per gli esami di stato liceo scientifico a.s. 2015-2016 – 25 gennaio 2016

Lo studente deve svolgere un solo problema a sua scelta e tre quesiti a sua scelta Tempo massimo assegnato alla prova sei ore

1

Problema n. 1: Il metodo delle parabole di Thomson

Navigando in Internet per una ricerca sugli isotopi hai trovato il seguente articolo di J. J. Thomson pubblicato sui “Proceedings of The Royal Society” nel 1913.

L’esperimento a cui l’articolo fa riferimento può essere considerato come uno tra i più importanti del secolo ventesimo, nel passaggio dalla Fisica cosiddetta Classica alla Fisica Moderna, più precisamente l’inizio della Fisica Subatomica. Nell'articolo Thomson descrive le sue osservazioni sui cosiddetti “raggi canale”, formati da quelli che noi oggi chiamiamo ioni, quando attraversano un campo elettrico uniforme E e un campo magnetico, pure uniforme, B paralleli tra loro e perpendicolari alla velocità delle particelle v.

Nel disegno riprodotto qui affianco ed estratto dall'articolo originale, le particelle entrano attraverso l'ugello C e, con velocità parallele tra loro, attraversano il campo elettrico e quello magnetico nella regione identificata dalle lettere PLQM. I campi sono paralleli tra di loro e perpendicolari al piano della pagina.


Nell'articolo Thomson scrive: “Supponi che un fascio di queste particelle si muova parallelamente all'asse x, colpendo un piano fluorescente perpendicolare al loro cammino in un punto O. Se prima di raggiungere il piano agisce su di esse un campo elettrico parallelo all'asse y, il punto ove le particelle raggiungono il piano è spostato parallelamente all'asse y di una distanza pari a:

dove q, m e v0, sono rispettivamente la carica, la massa e la velocità delle particelle e A1 è una costante dipendente dal campo elettrico e dal cammino della particella ma indipendente da q, m, v0 Se invece sulle particelle agisce un campo magnetico anch'esso parallelo all'asse y, le particelle vengono deflesse parallelamente all'asse z e il punto ove le particelle raggiungono il piano è spostato parallelamente all'asse z di una distanza pari a:

dove A2 è una costante dipendente dal campo magnetico e dal cammino della particella ma indipendente da q, m e v0”. E più oltre continua: “Così, tutte le particelle con lo stesso rapporto q/m in presenza di campo elettrico e magnetico colpiscono il piano su una parabola che può essere visualizzata facendo incidere le particelle su una lastra fotografica.” E ancora: “Poiché la parabola corrispondente all'atomo di idrogeno è presente in praticamente tutte le foto ed è immediatamente riconoscibile […] è molto facile trovare il valore di q/m per tutte le altre.”

Un esempio di queste foto è riportato nella figura 1:

Figura 1

che viene riportata, ingrandita e invertita in colore, nella figura 2:


Figura 2

1. Fissando un sistema di riferimento con origine nel punto O ove le particelle colpiscono il piano fluorescente in assenza del campo elettrico e di quello magnetico, l'asse x nella direzione del moto delle particelle e l'asse y nella direzione comune dei campi elettrico e magnetico, dimostra dalle informazioni date la validità delle formule riportate da Thomson per le deflessioni nelle direzioni y e z dovute al campo elettrico e al campo magnetico. Nella dimostrazione assumi che gli effetti di bordo siano trascurabili e che la forza di Lorentz sia sempre diretta nella direzione z.

2. Dimostra che le particelle con lo stesso rapporto q/m formano sul piano x=0 una parabola quando è presente contemporaneamente sia il campo elettrico sia quello magnetico; determina l'equazione della parabola in funzione del rapporto q/m e dei parametri A1 e A2.

3. Ricordando che gli ioni di idrogeno hanno il massimo rapporto q/m, individua la parabola dovuta agli ioni di idrogeno. Scegli poi un'altra parabola delle foto e determina il rapporto q/m relativo a questa parabola, in unità dello stesso rapporto q/m per l'idrogeno. Descrivi dettagliatamente il procedimento seguito.

Immagina ora di ruotare il campo elettrico in modo che sia diretto nella direzione z e con verso tale da deflettere le particelle in verso opposto alla deflessione dovuta al campo magnetico. Disegna la direzione e verso del campo elettrico e di quello magnetico affinché essi operino come descritto e determina la condizione che deve essere verificata affinché la deflessione totale sia nulla. Ipotizzando di utilizzare il dispositivo come strumento di misura, quale grandezza potrebbe misurare?


Problema n. 2: Uno strumento rinnovato

Nel laboratorio di Fisica, durante una lezione sul magnetismo, scorgi in un angolo un vecchio strumento che avevi utilizzato qualche anno fa per lo studio del moto uniformemente accelerato (Fig. 1): una barretta metallica poggia su due blocchi A e B ancorati ad una guida ad U anch’essa metallica; la guida si trova su un piano perpendicolare al pavimento con il quale è in contatto attraverso due piedini di materiale isolante. La barretta si trova ad un’altezza h dal pavimento e, una volta eliminati i blocchi, scivola verso il basso lungo i binari della guida con attrito trascurabile. Pensando a ciò che hai studiato recentemente ti viene in mente di utilizzare lo strumento per effettuare misure di campi magnetici. Immagini così di immergere completamente lo strumento in un campo magnetico uniforme perpendicolare al piano della guida. In questa condizione:

1. Rappresenta ed esamina la nuova situazione descrivendo i fenomeni fisici coinvolti e le forze alle quali è sottoposta la barretta durante il suo moto verso il basso.

2. Individua quale tra i seguenti grafici rappresenta l’andamento nel tempo

della velocità della barretta giustificando la scelta fatta.

3. Calcola il valore della velocità massima della barretta assumendo per essa una massa pari a 30 g, una lunghezza di 40 cm, una resistenza elettrica di 2,0 Ω (supponi trascurabile la resistenza elettrica della guida ad U) ed un campo magnetico applicato di intensità 2,5T.

4. Determina l’equazione che descrive il moto della barretta e verifica che la funzione

con

ne è soluzione; definisci il significato dei simboli presenti nella funzione servendoti, eventualmente, di un grafico.

c = 3,00 ∙ 108 m/s (velocità della luce nel vuoto)

ε0 = 8,85 ∙ 10-12 F/m (costante dielettrica nel vuoto)

μ0 = 4π ∙ 10 -7 H/m (permeabilità magnetica nel vuoto)

q=−1,60 ∙ 10−19 C (carica elettrone)


Quesito 1 Una lampadina ad incandescenza, alimentata con tensione alternata pari a 220 V, assorbe una potenza elettrica media pari a 1,0 ∙ 102 W ed emette luce grazie al riscaldamento di un filamento di tungsteno. Considera che in queste condizioni sia:

Ipotizzando per semplicità che la lampadina sia una sorgente puntiforme che emette uniformemente in tutte le direzioni, e che la presenza dell’aria abbia un effetto trascurabile, calcola ad una distanza d = 2,0 m dalla lampadina: - l’intensità media della luce; - i valori efficaci del campo elettrico e del campo magnetico. Ritieni che le ipotesi semplificative siano adeguate alla situazione reale? Potresti valutare qualitativamente le differenze tra il caso reale e la soluzione trovata nel caso ideale?

Quesito 2 Un condensatore è costituito da due armature piane e parallele di forma quadrata separate da aria, di lato l = 5,0 cm, distanti 1,0 mm all’istante t = 0, che si stanno allontanando tra loro di un decimo di millimetro al secondo. La differenza di potenziale tra le armature è 1,0 ∙ 103 V. Calcolare la corrente di spostamento che attraversa il condensatore nell’istante t = 0, illustrando il procedimento seguito.

Quesito 3

Una radiolina può ricevere trasmissioni radiofoniche sintonizzandosi su frequenze che appartengono ad una delle tre seguenti bande:

FM (Frequency Modulation): 88-108 MHz;

MW (Medium Waves): 540-1600 KHz;

SW (Short Waves): 6,0-18,0 MHz. Quali sono le lunghezze d’onda massime e minime delle tre bande di ricezione? In quale delle tre bande la ricezione di un’onda elettromagnetica è meno influenzata dalla presenza degli edifici?

Quesito 4 Nello spazio vuoto è presente un campo elettrico , la cui variazione media nel tempo, lungo una

direzione individuata dalla retta orientata x, è di

. Determinare l’intensità del campo

magnetico medio indotto, a una distanza R di 3,0 cm dalla retta x. Cosa accade all’aumentare di R?


Quesito 5 Nel cristallo di sale (NaCl) gli ioni positivi e negativi Na+ e Cl- si dispongono, alternandosi, ai vertici di celle cubiche, con una distanza tra due consecutivi ioni Na+ (o Cl-) pari ad l = 0,567 nm.

In questo cristallo l'energia di legame è dovuta in buona parte all'interazione coulombiana tra gli ioni. Considerando una cella cubica contenente quattro ioni positivi e quattro ioni negativi,

calcolare l'energia coulombiana per ione del cristallo, e determinare quale percentuale essa rappresenta del valore sperimentale dell’energia di legame, pari a 4,07 eV.

Quesito 6 Un’onda luminosa non polarizzata incide su un polarizzatore P1 e la radiazione da esso uscente incide su un secondo polarizzatore P2 il cui asse di trasmissione è posto a 90° rispetto a quello del primo. Ovviamente da P2 non esce nessuna radiazione. Dimostrare che ponendo un terzo polarizzatore P3 tra P1 e P2 , che forma un angolo α con P1, ci sarà radiazione uscente da P2. Trovare:

- l'angolo α per cui l’intensità della radiazione uscente è massima; - il valore di tale intensità rispetto a quella (I0) dell’onda non polarizzata.


Soluzione del problema 1 1. Fissando un sistema di riferimento con origine nel punto O ove le particelle colpiscono il piano

fluorescente in assenza del campo elettrico e di quello magnetico, l'asse x nella direzione del moto delle particelle e l'asse y nella direzione comune dei campi elettrico e magnetico, dimostra dalle informazioni date la validità delle formule riportate da Thomson per le deflessioni nelle direzioni y e z dovute al campo elettrico e al campo magnetico. Nella dimostrazione assumi che gli effetti di bordo siano trascurabili e che la forza di Lorentz sia sempre diretta nella direzione z.

Disegniamo un sistema di riferimento avente le caratteristiche richieste, supponendo per ora la presenza del solo campo elettrico:

Le cariche q vengono deflesse dal campo elettrico nella zona di larghezza L, corrispondente alla regione contrassegnata dalle lettere PLQM nella figura del testo, per poi proseguire di moto uniforme fino all’impatto con lo schermo, coincidente col piano yz, in un punto dell’asse y. Chiamiamo con D la larghezza della zona tra la fine del campo elettrico e lo schermo. La velocità v0 ha direzione e verso dell’asse x, mentre il campo elettrico E è parallelo all’asse y. Essendo la carica q positiva, la forza elettrica è parallela e concorde al campo, pertanto risulta inizialmente perpendicolare alla velocità. In questa situazione, il moto della carica elettrica è chiaramente parabolico e avviene nel piano xy. Siano yE e y rispettivamente le deflessioni dovute al campo elettrico e quella totale rilevata sullo schermo. L’accelerazione del moto è:

Possiamo scrivere le equazioni del moto, relative alla zona di larghezza L0, osservando che esso è uniforme lungo l’asse x e uniformemente accelerato lungo l’asse y:

y

x O V0

FE

E

q

-x0

schermo

E = 0

L D

yE

y

L D

z


Ricaviamo il tempo dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda:

quest’ultima relazione è l’equazione cartesiana della traiettoria parabolica nel piano xy. Possiamo ricavare l’ordinata yE del punto di uscita dalla regione in cui è presente il campo imponendo all’equazione precedente la condizione x = L – x0, che rappresenta l’ascissa del punto d’uscita dal campo (notiamo che l’ascissa di questo punto può essere indicata anche con –D) :

se lo schermo fosse posto in corrispondenza della fine del campo elettrico otterremmo già la prima relazione di Thomson; infatti, ponendo

otteniamo:

Come previsto da Thomson, la costante A1 dipende dal campo elettrico e dal cammino della particella ma non da q, m, v0. Nel problema, tuttavia, lo schermo è posto chiaramente a una certa distanza D dalla fine del campo. In questa regione, priva di campo, la particella si muove di moto rettilineo uniforme lungo la retta tangente alla parabola fino a impattare sullo schermo. Per determinare il punto d’impatto y, potremmo seguire un procedimento puramente matematico, che consiste nel trovare il coefficiente angolare della retta tangente derivando l’equazione della parabola nel punto di uscita dal campo (x1 = L – x0 = – D), per poi successivamente scrivere l’equazione della tangente, dalla quale, ponendo x = 0, è infine possibile trovare il punto d’impatto. Riportiamo i risultati che si otterrebbero con questo metodo:

Ponendo

si ottiene la prima relazione di Thomson. Notiamo che rispetto alla soluzione precedente è presente un termine additivo che non cambia la sostanza del discorso. Per ricavare la relazione precedente possiamo anche seguire un ragionamento più fisico. Riprendendo in esame le equazioni del moto e derivandole rispetto al tempo si possono ricavare le componenti della velocità della particella durante il moto nel campo elettrico:


tenendo conto che, per la legge del moto uniforme (ricordiamo che il moto lungo l’asse x è uniforme), il tempo necessario per uscire dal campo elettrico è

possiamo ricavare le componenti della velocità nel punto di uscita dal campo:

Dalla conoscenza della componente x della velocità possiamo calcolare il tempo necessario per attraversare la zona, di larghezza D, dove il campo è zero:

e, applicando la legge oraria del moto uniforme, possiamo ricavare la deflessione Δy che la particella subisce in questa zona:

Sommando a questa quantità la deflessione yE otteniamo la deflessione totale sullo schermo:

avendo posto

Rappresentiamo ora la situazione fisica relativa alla presenza del solo campo magnetico:

Le cariche q vengono deflesse dal campo magnetico nella zona di larghezza L, per poi proseguire di moto uniforme fino all’impatto con lo schermo, coincidente col piano yz, in un punto dell’asse z. Sia nuovamente

z

y

x O V0

FL

B

q

-x0

schermo B = 0

L D

zB

z

zB


D la larghezza della zona tra la fine del campo magnetico e lo schermo. Siano zB e z rispettivamente le deflessioni dovute al campo magnetico e quella totale rilevata sullo schermo. La forza di Lorentz:

è perpendicolare sia al campo magnetico che alla velocità e, pertanto, impone un moto circolare uniforme alle cariche. Avendo natura centripeta, la forza dovrebbe cambiare istante per istante la sua orientazione rispetto all’asse x. Tuttavia nel testo si fa l’ipotesi esplicita di considerare la forza sempre parallela all’asse z, ipotesi che semplifica molto lo studio del moto delle cariche e che, evidentemente, descrive bene i risultati sperimentali di Thomson. Ne risulterà, anche in questo caso, una traiettoria parabolica, questa volta nel piano xz. Dall’espressione del modulo della forza magnetica ricaviamo l’accelerazione:

scriviamo le equazioni del moto:

con lo stesso procedimento di prima ricaviamo il tempo dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda, dopo aver posto x = L - x0 per ricavare il punto d’uscita dal campo:

Anche questa volta immaginiamo di porre lo schermo all’uscita del campo. Ponendo

si ottiene la seconda relazione di Thomson:

anche questa costante dipende solo dal campo e dalla posizione iniziale e non da q, m, v0. Considerando invece lo schermo a una distanza D dal punto di uscita della particella dal campo, per determinare il punto d’impatto possiamo ripetere lo stesso procedimento precedente:

oppure con procedimento fisico:

le componenti della velocità della particella all’istante , cioè all’uscita dal campo, sono:


Utilizzando la legge del moto uniforme:

e ricordando che per impattare sullo schermo occorre un tempo , possiamo ricavare la

deflessione subita nello spazio D:

e infine la deflessione totale:

avendo posto

2. Dimostra che le particelle con lo stesso rapporto q/m formano sul piano x=0 una parabola quando è presente contemporaneamente sia il campo elettrico sia quello magnetico; determina l'equazione della parabola in funzione del rapporto q/m e dei parametri A1 e A2.

Per dimostrare che, in presenza di entrambi i campi, le particelle con lo stesso rapporto carica/massa formano sul piano yz (cioè sullo schermo) una parabola, consideriamo le due relazioni di Thomson:

ed eliminiamo il parametro v0, ricavandolo dalla seconda relazione e sostituendo nella prima:

o meglio

l’equazione trovata, essendo del tipo y = az2, con

, è l’equazione di una parabola avente vertice

nell’origine e concavità verso l’alto, dato che a > 0.


3. Ricordando che gli ioni di idrogeno hanno il massimo rapporto q/m, individua la parabola dovuta agli ioni di idrogeno. Scegli poi un'altra parabola delle foto e determina il rapporto q/m relativo a questa parabola, in unità dello stesso rapporto q/m per l'idrogeno. Descrivi dettagliatamente il procedimento seguito

Notiamo che rispetto al sistema di riferimento dato tutte le parabole hanno equazione del tipo y = az2. Ricordando che una parabola è tanto più “larga” quanto più a è piccolo, essendo a inversamente proporzionale al rapporto q/m, la parabola dovuta agli ioni idrogeno è quella più esterna, avendo gli ioni idrogeno il massimo rapporto q/m (par. 1). Nella foto si notano chiaramente altre 2 parabole (par. 2 e par. 3). Per rispondere al quesito, fissato un sistema di riferimento con l’origine sul vertice comune delle parabole e asse y coincidente con il loro asse di simmetria, si può seguire il seguente procedimento:

si traccia una retta parallela all’asse z, come in figura;

si misurano la distanza OA della retta dall’origine e i segmenti AB, AC e AD che rappresentano le distanze tra le intersezioni della retta con le varie parabole e l’asse y;

si calcolano i valori dei coefficienti a delle parabole mettendo a rapporto la misura del segmento OA con i quadrati delle misure dei segmenti AB, AC, AD con OA (in pratica a = y/z2)

Si ottengono i seguenti risultati: PARABOLA 1 (idrogeno): OA = 4,0 cm (y) AB = 6,5 cm (z)

PARABOLA 2: OA = 4,0 cm (y) AC = 4,5 cm (z)

PARABOLA 3: OA = 4,0 cm (y) AD = 1,5 cm (z)

A questo punto, mettiamo a rapporto il coefficiente della parabola dell’idrogeno con quello delle parabole 2 e 3 in modo da esprimere i rapporti carica/massa della particelle 2 e 3 in rapporto a quello degli ioni idrogeno (ribadiamo che il rapporti q/m è inversamente proporzionale ai coefficienti delle parabole)

par. 3 par. 2 par. 1

A D C B y

0 z


4. Immagina ora di ruotare il campo elettrico in modo che sia diretto nella direzione z e con verso tale da deflettere le particelle in verso opposto alla deflessione dovuta al campo magnetico. Disegna la direzione e verso del campo elettrico e di quello magnetico affinché essi operino come descritto e determina la condizione che deve essere verificata affinché la deflessione totale sia nulla. Ipotizzando di utilizzare il dispositivo come strumento di misura, quale grandezza potrebbe misurare?

Per annullare la deflessione, i campi devono innanzitutto essere perpendicolari, in modo che le rispettive forze abbiano la stessa direzione, e tali da obbedire alla relazione:

in modo che la forze abbiano verso opposto e ugual modulo. In tal caso, la risultante delle forze è nulla e la particella, indipendentemente dal segno e dal modulo della carica, non subisce deflessione. Le condizioni precedentemente espresse possono essere dimostrate ponendo

da cui deriva

semplificando la carica si ottiene la relazione precedente. Con riferimento alla figura, pertanto, il campo elettrico deve essere ruotato rendendolo parallelo all’asse z negativo. Considerando il solo modulo, è possibile scrivere un’interessante relazione tra i moduli dei campi:

pertanto il dispositivo è adatto a misurare proprio la velocità di un fascio di particelle: fissato uno dei due

campi, per esempio , si regola l’altro finché la deflessione è nulla. A questo punto, la velocità è .

Un dispositivo del genere può fungere anche da selettore di velocità: mandando un fascio di particelle aventi velocità diverse in una zona in cui sono presenti i due campi con i rispettivi valori regolati opportunamente, solo le particelle dotate della velocità desiderata potranno mantenere la direzione originaria del fascio venendo, così, selezionate dalle altre.

z

y

x

E

B

V0

FE

FL

q


Soluzione del problema 2

1. Rappresenta ed esamina la nuova situazione descrivendo i fenomeni fisici coinvolti e le forze alle quali è sottoposta la barretta durante il suo moto verso il basso.

Fissiamo il campo magnetico B entrante.

La barretta inizialmente è ferma ed è sottoposta

unicamente al proprio peso. L’accelerazione iniziale

vale g.

Quando la barretta inizia a muoversi, la f.e.m. cinetica

dovuta alla variazione di flusso magnetico genera una

corrente indotta nel circuito formato dalla barretta e

la guida. Per la legge di Lenz, questa corrente deve

generare un campo magnetico indotto tale da opporsi

alla causa che l’ha prodotto, e quindi, nel nostro caso,

uscente. La corrente risulta pertanto antioraria. La

barretta percorsa da corrente, essendo in moto alla

velocità v perpendicolare al campo, sarà soggetta alla

forza magnetica data dalla legge:

Per la regola della mano destra, questa forza è diretta

verso l’alto, risultando così di verso opposto al peso.

In questo modo la barretta, pur continuando ad

aumentare la propria velocità durante la caduta, avrà

un’accelerazione via via sempre più piccola, a causa

del progressivo aumento della corrente indotta e,

conseguenzialmente, della forza magnetica frenante.

La forza magnetica, aumentando con la velocità,

arriverà a uguagliare il peso. In quell’istante, la

barretta smetterà di accelerare e continuerà a cadere

di moto uniforme alla velocità massima.

Il fenomeno fisico illustrato è simile alla caduta di un

corpo in un fluido viscoso: al pari della forza

magnetica, anche la forza d’attrito viscoso cresce con

la velocità, provocando una diminuzione

dell’accelerazione e il raggiungimento della velocità

limite di caduta.

P

B

P

B

Fm

i

v

Bind

P

B

Fm

i

vMAX


2. Individua quale tra i seguenti grafici rappresenta l’andamento nel tempo della velocità della barretta giustificando la scelta fatta.

Il grafico che descrive la dipendenza della velocità dal tempo è il 3. Infatti esso descrive il rapido aumento della velocità nelle fasi iniziali della caduta e la successiva diminuzione dell’accelerazione che, ricordiamo, in un grafico v-t è data dalla pendenza della retta tangente. Dal grafico si nota anche il raggiungimento della velocità massima, che si ha nell’istante in cui la pendenza del grafico diventa nulla. Da quell’istante in poi la velocità rimane costante. Dai valori riportati si nota che la velocità limite viene raggiunta in poche frazioni di secondo, situazione abbastanza realistica per una barretta non troppo pesante e in presenza di un campo adeguatamente intenso. Il grafico 1 è quello di un moto di caduta libera di un grave (notiamo l’accelerazione di circa 10 m/s2), mentre il grafico 2 è quello di un moto con accelerazione crescente nel tempo.

3. Calcola il valore della velocità massima della barretta assumendo per essa una massa pari a 30 g, una lunghezza di 40 cm, una resistenza elettrica di 2,0 Ω (supponi trascurabile la resistenza elettrica della guida ad U) ed un campo magnetico applicato di intensità 2,5 T.

Possiamo ricavare la velocità limite uguagliando al peso il modulo della forza magnetica massima:

la forza magnetica ha modulo:

mediante la legge di Ohm, possiamo esprimere la corrente come rapporto tra la f.e.m. indotta e la resistenza della barretta:

per la f.e.m. indotta possiamo usare la formula della f.e.m. cinetica:

e, pertanto

uguagliamo quest’ultima espressione al peso:

sostituiamo i dati numerici:

notiamo che il valore trovato coincide, approssimativamente, con quello riportato nel grafico 3.


4. Determina l’equazione che descrive il moto della barretta e verifica che la funzione

con

ne è soluzione; definisci il significato dei simboli presenti nella funzione servendoti, eventualmente, di un grafico.

Innanzitutto osserviamo che la soluzione proposta suggerisce che la velocità massima sarà raggiunta solo dopo un tempo teoricamente infinito, infatti si nota che

Utilizzando il secondo principio della dinamica, orientando l’asse di riferimento verso il basso, si ha:

eseguendo le opportune sostituzioni:

ed esprimendo l’accelerazione come la derivata della velocità rispetto al tempo, si ottiene:

essendo

avremo

ponendo

si può scrivere l’equazione nella forma:

Per verificare la soluzione proposta:

è sufficiente calcolarne la derivata prima e sostituire nell’equazione precedente:

e, pertanto:

avendo ottenuto un’identità, abbiamo verificato la soluzione proposta. Il modello risolutivo del problema proposto è simile a quello di altri importanti fenomeni fisici, quali la carica di un condensatore e la chiusura di un circuito RL. Come nei fenomeni citati, la grandezza τ, detta costante di tempo, è legata alla rapidità con la quale la grandezza in esame, in questo caso la velocità, tende verso il suo valore finale, che è un valore limite. Calcoliamola nel nostro caso:

Ponendo t = 1τ, 2τ, ecc. , si può facilmente dimostrare che dopo 1τ la velocità è circa il 63% del valore finale, dopo 2τ circa l’86%, ecc. Dopo 5τ il valore della velocità è oltre il 99% del valore finale, pertanto si può ritenere praticamente raggiunta la velocità limite. Nel nostro caso 5τ = 30 ∙ 10-2 s. Possiamo illustrare la situazione con il seguente grafico:


Il grafico evidenzia la tendenza asintotica della velocità verso il valore massimo e, nello stesso tempo, il fatto che questa velocità, all’atto pratico, viene raggiunta dopo circa 5τ.

O 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ

t

v

vMAX


QUESITI c = 3,00 ∙ 108 m/s (velocità della luce nel vuoto)

ε0 = 8,85 ∙ 10-12 F/m (costante dielettrica nel vuoto)

μ0 = 4π ∙ 10 -7 H/m (permeabilità magnetica nel vuoto)

q=−1,60 ∙ 10−19 C (carica elettrone)

Quesito 1 Una lampadina ad incandescenza, alimentata con tensione alternata pari a 220 V, assorbe una potenza elettrica media pari a 1,0 ∙ 102 W ed emette luce grazie al riscaldamento di un filamento di tungsteno. Considera che in queste condizioni sia:

Ipotizzando per semplicità che la lampadina sia una sorgente puntiforme che emette uniformemente in tutte le direzioni, e che la presenza dell’aria abbia un effetto trascurabile, calcola ad una distanza d = 2,0 m dalla lampadina: - l’intensità media della luce; - i valori efficaci del campo elettrico e del campo magnetico. Ritieni che le ipotesi semplificative siano adeguate alla situazione reale? Potresti valutare qualitativamente le differenze tra il caso reale e la soluzione trovata nel caso ideale?

Soluzione Calcoliamo la potenza media luminosa emessa, sapendo che è il 2,0% di quella elettrica:

Sfruttando le ipotesi fatte, possiamo ritenere che potenza emessa dalla lampadina attraversi uniformemente tutte le superfici sferiche aventi centro nella sorgente luminosa. L’intensità media luminosa, che per definizione è il rapporto tra la potenza e la superficie, può essere calcolata considerando la superficie sferica di raggio d:

Il valore efficace del campo elettrico può essere calcolato sfruttando le relazioni:

dove è la densità media di energia elettrica. Combinando opportunamente le due relazioni, si ottiene:

e infine:


Le dimensioni del filamento (o.d.g. 10-2 m) sono abbastanza piccole rispetto alla distanza d (o.d.g. 100 m), per cui ipotizzare la lampadina sorgente puntiforme appare corretto. La forma del filamento, tuttavia, potrebbe dar luogo a un’intensità minore nella direzione parallela al filamento stesso.

La presenza dell’aria è trascurabile essendo minimo l’assorbimento esercitato alla distanza d ed essendo la

costante dielettrica relativa dell’aria praticamente uguale a quella del vuoto: .

Sorgente puntiforme Sorgente estesa

maggiore intensità

min

ore in

tensità


Quesito 2 Un condensatore è costituito da due armature piane e parallele di forma quadrata separate da aria, di lato l = 5,0 cm, distanti 1,0 mm all’istante t = 0, che si stanno allontanando tra loro di un decimo di millimetro al secondo. La differenza di potenziale tra le armature è 1,0 ∙ 103 V. Calcolare la corrente di spostamento che attraversa il condensatore nell’istante t = 0, illustrando il procedimento seguito.

Soluzione

La legge che lega la distanza tra le armature e il tempo può essere così espressa:

in questa legge d0 è la distanza iniziale, mentre v è la velocità di allontanamento dalle armature. Ricordando che la corrente di spostamento è data dall’espressione

calcoliamo il flusso del campo elettrico attraverso una superficie piana che si trovi tra le armature del condensatore e che sia parallela alle stesse:

e, pertanto:

ponendo t = 0 si ottiene:

e, sostituendo i valori numerici:

Quesito 3

Una radiolina può ricevere trasmissioni radiofoniche sintonizzandosi su frequenze che appartengono ad una delle tre seguenti bande:

FM (Frequency Modulation): 88-108 MHz;

MW (Medium Waves): 540-1600 KHz;

SW (Short Waves): 6,0-18,0 MHz. Quali sono le lunghezze d’onda massime e minime delle tre bande di ricezione? In quale delle tre bande la ricezione di un’onda elettromagnetica è meno influenzata dalla presenza degli edifici?

Soluzione

Mediante la formula

è possibile ricavare tutte le lunghezze d’onda richieste. Notiamo che, essendo la lunghezza d’onda inversamente proporzionale alla frequenza, nelle varie bande a frequenza minore corrisponde lunghezza d’onda maggiore:


FM

quindi

MW

quindi

SW

quindi

La banda meno influenzata dalla presenza degli edifici è quella delle onde medie (MW) in quanto la lunghezza d’onda corrispondente è molto maggiore dell’altezza degli edifici, per cui, per diffrazione, l’onda riesce ad “aggirare” gli ostacoli.

Quesito 4 Nello spazio vuoto è presente un campo elettrico , la cui variazione media nel tempo, lungo una direzione individuata dalla retta orientata x, è di

. Determinare l’intensità del campo magnetico medio indotto, a

una distanza R di 3,0 cm dalla retta x. Cosa accade all’aumentare di R?

Soluzione

Assumendo parallelo e concorde all’asse x, osservando che tale è anche la sua variazione (infatti la variazione media è positiva), si deduce che il campo magnetico indotto è tangente alla circonferenza di raggio R, che ne costituisce una linea di campo, e costante in modulo lungo tutta la circonferenza. Per la regola della mano destra, l’orientazione di questo campo è antioraria.


Per determinare il modulo del campo magnetico indotto, si ricorre alla quarta equazione di Maxwell (legge

di Ampere-Maxwell), tenendo conto che lo spazio è vuoto e, quindi, non ci sono correnti libere:

dato che

si ottiene

d’altra parte, per la definizione di circuitazione:

uguagliamo le due espressioni della circuitazione:

e otteniamo l’espressione del campo

Sostituendo opportunamente i dati ricaviamo, infine, il modulo del campo:

Dato che il campo è direttamente proporzionale a R, all’aumentare di R aumenta anche B.

B


Quesito 5

Nel cristallo di sale (NaCl) gli ioni positivi e negativi Na+ e Cl- si dispongono, alternandosi, ai vertici di celle cubiche, con una distanza tra due consecutivi ioni Na+ (o Cl-) pari ad l = 0,567 nm.

In questo cristallo l'energia di legame è dovuta in buona parte all'interazione coulombiana tra gli ioni. Considerando una cella cubica contenente quattro ioni positivi e quattro ioni negativi,

calcolare l'energia coulombiana per ione del cristallo, e determinare quale percentuale essa rappresenta del valore sperimentale dell’energia di legame, pari a 4,07 eV.


Soluzione Gli ioni Na+ e Cl- hanno carica +e e -e, per cui ogni coppia di cariche di una cella ha energia del tipo:

dove il segno + vale se le cariche della coppia hanno lo stesso segno, mentre il segno - vale se le cariche hanno segno opposto. Nella formula r è la distanza tra le cariche, mentre k = 1/4πε0 = 8,99 ∙ 109 Nm2/C2. Sommando su tutte le coppie si ha l’energia totale della cella. Osserviamo che: 1. le coppie di cariche situate sulle diagonali dei quadrati che costituiscono le facce della cella danno contributi positivi all’energia, essendo formate da cariche dello stesso segno. Essendo l/2 il lato di questi quadrati, l’energia di ogni coppia è:

si contano in tutto 12 coppie di questo tipo. 2. Le coppie di cariche situate sui lati dei quadrati danno contributi negativi, essendo formate da cariche di segno opposto. L’energia di ogni coppia è:

le coppie di questo tipo sono anch’esse 12. 3. Le coppie di cariche lungo le diagonali del cubo danno contributi negativi, essendo formate da cariche di

segno opposto. La diagonale del cubo è:

L’energia di ogni coppia è:

abbiamo 4 coppie di questo tipo. L’energia totale sarà pertanto:

possiamo ricavare l’energia per ione del cristallo:

Il risultato può essere trasformato facilmente in eV:

per poter determinare, infine, la percentuale dell’energia di legame di natura coulombiana:


Quesito 6 Un’onda luminosa non polarizzata incide su un polarizzatore P1 e la radiazione da esso uscente incide su un secondo polarizzatore P2 il cui asse di trasmissione è posto a 90° rispetto a quello del primo. Ovviamente da P2 non esce nessuna radiazione. Dimostrare che ponendo un terzo polarizzatore P3 tra P1 e P2 , che forma un angolo α con P1, ci sarà radiazione uscente da P2. Trovare:

- l'angolo α per cui l’intensità della radiazione uscente è massima; - il valore di tale intensità rispetto a quella (I0) dell’onda non polarizzata.

Soluzione

Per risolvere il quesito dobbiamo utilizzare la legge di Malus:

dove I0 è l’intensità della luce incidente, I l’intensità della luce trasmessa, α l’angolo formato dagli assi di trasmissione dei polarizzatori.

L’onda luminosa iniziale non è polarizzata, per cui P1, polarizzandola, ne riduce a metà l’intensità (si dimostra calcolando il valore medio di cos2α, che vale 1/2):

Il polarizzatore P3, interposto tra P1 e P2, ha asse di trasmissione che forma un angolo α con quello di P1, per cui avremo:

Il polarizzatore P2 è disposto ad angolo retto rispetto a P1, per cui formerà un angolo 90° - α con P3. Si ottiene:

la radiazione uscente da P2 è massima per

e il valore dell’intensità è:

P1 P3 P2

90°-α

α

simulazione della seconda prova di fisica per gli esami di ... · una lampadina ad incandescenza,...

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