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Sinais e SistemasUnidade 5 –
Representação em domínio da
frequência para sinais contínuos:Transformada de Laplace
Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]
1/5
2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Introdução•
Definição da Transformada de Laplace
•
Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo
•
Função de Transferência•
Conceito de pólos e zeros
•
Estabilidade de sistemas
•
Sistemas com atraso de transporte•
Análise da resposta transitória
•
Análise da resposta em regime permanente
•
Resposta em frequência e Diagrama de Bode
Conteúdo da unidade
Aulas
01 e 02
Aula 03
Aula 04
Aulas
05 e
06
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3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 03
•
Função de Transferência–
Definição
–
Procedimento de obtenção–
Integral de convolução
–
Resposta impulsional•
Conceito de pólos e zeros–
Definição
•
Estabilidade de sistemas–
Estabilidade absoluta
–
Estabilidade relativa–
Análise no plano complexo
–
Critério de estabilidade de Routh
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4Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Função de transferência
•
Aplicável–
Sistemas representados por equações diferenciais LTI
–
Sistemas relaxados
Condições iniciais nulas
•
Enunciado–
Relação entre as Transfomadas
de Laplace
do sinal de saída
(função
resposta) e do sinal de entrada
(função excitação)
Definição
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•
Seja o sistema representado pela equação diferencial LTI
•
Função de Transferência
Função de transferência
Condições iniciais 0
SaídaEntradaL
G sL
1
0 1 11
0 1 1
n n
n nm m
m m
a y a y a y a y
b x b x b x b x n m
10 1 1
10 1 1
m mm m
n nn n
Y s b s b s b s bG s
X s a s a s a s a
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•
Comentários–
Modelo matemático
do sistema
•
Método operacional para representar a equação diferencial relacionando a saída à
entrada
–
Representa uma propriedade intrínseca do sistema•
Independe da natureza da excitação
(amplitude ou tipo)
–
Não fornece informações sobre a estrutura física (interna) do sistema–
Pode ser obtida experimentalmente•
Introduz‐se sinais de entrada conhecidos e mede‐se os sinais de saída
•
Faz‐se a relação entre os sinais de saída e entrada
Função de transferência
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Função de transferência
1)
Escrever a equação diferencial do sistema (LTI)2)
Aplicar a Transformada de Laplace
à
equação diferencial
–
Considerar todas as condições iniciais nulas
3)
Obter a relação entre as Transformadas de Laplace
do sinal de saída e do sinal de entrada
•
Exercício–
Obter a função de transferência sistema representado pela seguinte
equação diferencial LTI
Procedimento de obtenção
15 3 2 42
y y y y x x
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Função de transferência
•
Seja a seguinte função de transferência
–
A multiplicação
de funções em s
equivale à
convolução
em t–
Logo a Transformada Inversa de Laplace
da equação anterior é
Integral de convolução
Y sG s Y s G s X s
X s
0 0
t t
y t x τ g t τ dτ g τ x t τ dτ
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Função de transferência
•
Considerando que a entrada x(t)
seja um impulso unitário–
A Transformada de Laplace
de um impulso unitário é
igual a 1
–
Logo a Transformada Inversa de Laplace
da equação anterior fornece a resposta do sistema ao impulso unitário aplicado
–
Resposta impulsional do sistema
–
OBS:
A função de transferência
e a resposta impulsional
de um sistema LTI contêm a mesma informação acerca da dinâmica do sistema
Resposta impulsional
Y s G s X s Y s G s
1L G s g t
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Conceito de pólos e zeros
•
Se G(s) tender ao infinito quando s
tender a –p
e se
possuir valor finito, não‐nulo, então s =
–p
é dito pólo de ordem n
•
Pontos ordinários
Pontos no plano s
onde G(s) é
analítica–
Atendem as condições de Cauchy‐Riemann
•
Pontos singulares
Pontos no plano s
onde G(s) ou suas derivadas tendem ao infinito (pólos)
Definição de pólo
1 2 3 para , , ,n
s pG s s p n
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Conceito de pólos e zeros
•
Os pontos nos quais a função G(s) se anula são chamados de zeros da função de transferência
•
Exercício1) Calcular os pólos e os zeros da seguinte função de transferência
2) Determine G(s) para s
tendendo ao infinito•
Conceito de zeros no infinito
Definição de zero
2
2 101 5 15s s
G ss s s s
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Estabilidade de sistemas
•
Sistema LTI estável–
A saída retorna à seu ao estado de equilíbrio quando o sistema é
submetido a uma condição inicial
•
Sistema LTI criticamente estável–
A saída apresenta oscilações que se conservam indefinidamente
•
Sistema LTI instável–
A saída apresenta valores que divergem sem limite do seu estado de
equilíbrio quando o sistema é
submetido a uma condição inicial
Estabilidade absoluta
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Estabilidade de sistemas
•
Localização da parte real dos pólos
da função de transferência
–
Pólos sem
parte complexa Comportamento monotônico–
Pólos com
parte complexa Comportamento oscilatório amortecido
Análise no plano complexo
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Estabilidade de sistemas
•
Exercício–
Esboce a localização dos pólos
e dos zeros
da seguinte função de
transferência no plano complexo e diga se o sistema é estável ou instável
–
Símbolos:•
O zeros
•
X pólos
2
4 26 13
8 72 65s s
G ss s s
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Estabilidade de sistemas
•
Informa a localização das raízes de uma equação polinomial sem a necessidade de resolvê‐la
•
Procedimento1)
Escrever o polinômio do denominador da forma
2)
Condição necessária à
estabilidade: todos os elementos do polinômio com sinal positivo. Esta não é uma condição suficiente!
Critério de Routh
10 1 1
n nn na s a s a s a
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Estabilidade de sistemas
3)
Se todos os coeficientes forem positivos, rearranjá‐los conforme o seguinte padrão:
1 2 0 3 1 4 0 51 2
1 1, ,
a a a a a a a ab b
a a
0 2 4 61
1 3 5 72
1 2 3 43
1 2 3 44
1 2 3 4
21 2
11
01
n
n
n
n
n
s a a a a
s a a a a
s b b b b
s c c c c
s d d d d
s e e
s f
s g
1 3 1 2 1 5 1 31 2
1 1, ,
b a a b b a a bc c
b b
1 3 1 31 2 1 21 2
1 1, ,
c b b cc b b cd d
c c
•
Repetir processo até
que a n‐ésima
linha tenha sido completada
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Estabilidade de sistemas
4)
Critério de Routh•
O número de raízes no semiplano
direito
(instáveis) é igual ao
número de mudanças de sinal
dos coeficientes da primeira coluna
0 2 4 61
1 3 5 72
1 2 3 43
1 2 3 44
1 2 3 4
21 2
11
01
n
n
n
n
n
s a a a a
s a a a a
s b b b b
s c c c c
s d d d d
s e e
s f
s g
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Estabilidade de sistemas
•
Exercício–
Determinar K
para que o sistema representado por G(s) seja estável
•
Primeiramente, verificar o sinal dos coeficientes do polinômio do denominador
•
Se necessário (todos positivos), aplicar o critério de Routh
–
Resposta:
211 2
G ss s s s K
14 09
K
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19Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª
ed. Rio de Janeiro: Prentice‐ Hall, 2000.
[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011.
Bibliografia