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Sinais e Sistemas
Conceitos Básicos
Prof.: Fábio de Araújo Leite
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Discussão do Plano do Curso
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As 12 normas de convivência
1. - Recomenda-se chegar à aula no horário estabelecido.
2. – Evitar o uso do celular e colocar obrigatoriamente no silencioso durante as aulas, pois a participação ativa
nas aulas é sempre incentivada.
3. - As provas tem duração de no máximo 100 minutos.
4. - Quem chegar com até 30 minutos de atraso em prova será autorizado a entrar desde que nenhum aluno
tenha saído até aquele momento. Além disso, não ganhará tempo de compensação.
5. - Depois de entregar a prova, o aluno não pode ficar no corredor das salas.
6. - Não é permitida a ida ao banheiro durante a prova.
7. - A prova deverá necessariamente ser preenchida por caneta esferográfica de tinta azul ou preta. Não
serão aceitas reclamações à lápis.
8. - Não é permitido durante a prova pedir qualquer material ao colega.
9. - Não serão permitidas calculadoras gráficas, celulares ou qualquer outro dispositivo que permita
comunicação.
10. - A boa organização da apresentação é responsabilidade do aluno sendo objeto de avaliação, desta forma
caso não seja possível compreender adequadamente as questões, estas serão consideradas sem efeito.
11. - Não haverá atendimento individual durante a prova.
12. - Qualquer violação do comportamento adequado será punida com as medidas administrativas previstas
no regimento da faculdade.
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Os conceitos e a teoria de sinais e sistemas são
necessários em quase todos os campos da engenharia
elétrica e também em muitas disciplinas científicas de
outras engenharia. Eles formam a base para estudos
mais avançados em áreas como comunicação,
processamento de sinais e sistemas de controle.
Introdução
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Definições
Definições de Sinais e Sistemas:
O Que é Um Sinal?
O Que é um Sistema?
Classificação de Sinais.
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Sinais
O que é um Sinal?
“Função de uma ou mais variáveis, o qual
veícula informação sobre a natureza de um
fenômeno físico”;
Dependente de uma variável:
Unidimensional;
Dependente de uma ou mais variáveis:
Multidimensional.
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Sinais
Exemplos de Sinais
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Sinais
Exemplos de Sinais
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Sinais
Exemplos de Sinais: Sinais utilizados no diagnóstico do estado de saúde de pacientes.
Batimentos Cardíacos;
Pressão Sanguínea;
Temperatura;
Nível de Glicose;
Índice de Colesterol.
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Sinais
Exemplos de Sinais: Sinais utilizados no diagnóstico do
estado de saúde de pacientes.
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Sinais
Exemplos de Sinais: Sinais utilizados na
Previsão do Tempo
Variações diárias de temperatura;
Umidade relativa do ar;
Velocidade e direção dos ventos;
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Sinais
Exemplos de Sinais: Sinais utilizados na Engenharia: Corrente;
Tensão elétrica.
Sinais Elementares: Função degrau unitário: u(t);
Função impulso unitário: δ(t);
Função exponencial: est .
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Sistemas
O que é um sistema?
Um sistema é definido como uma entidade que
manipula um ou mais sinais para realizar uma
função, produzindo novos sinais.
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Sistemas
Exemplo de Sistemas: Reconhecimento
automático de voz.
Sinal de entrada: Voz.
Sistema: Computador.
Sinal de saída: Identidade do locutor.
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Sistemas
Exemplo de Sistemas: Sistema de
comunicação.
Sinal de Entrada: Voz ou Dados.
Sistema: Transmissor + Canal + Receptor.
Sinal de Saída: Estimativa da Informação
Original.
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Sistemas
Sistemas de Comunicações
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Sistemas
Sistemas de Comunicações
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Sistemas
Sistemas de Controle
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Sistemas
Sistemas de Controle
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Sistemas
Exemplo: Sistema de Aterrissagem de um Avião:
Sinal de Entrada: Posição desejada da Aeronave.
Sistema: Piloto + Avião.
Sinal de Saída: Posição da Aeronave.
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Sistemas
Outros Exemplos de Sistemas: Motor elétrico;
Tratamento térmico aplicado na produção do Aço;
Telefone, TV e rádios;
Analise de mercados de ações;
Sensoriamento para avaliação de desmatamento.
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Análise Matemática de Sinais e
Sistemas
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Classificação os Sinais
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Classificação dos Sinais
Um sinal é uma função que representa uma quantidade ou variável física e contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno;
Matematicamente, um sinal é representado por uma função de uma variável independente t. Usualmente, t representa o tempo. Assim, um sinal é indicado por x(t).
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Classificação dos Sinais
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Classificação de Sinais Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto
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Classificação de Sinais
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto
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Classificação de Sinais
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto
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Classificação de Sinais
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto
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Classificação de Sinais
Seqüência de números Sinal Discreto
Um sinal de tempo discreto pode
representar um fenômeno para o
qual a variável independente é
inerentemente discreta.
Amostras
Intervalo de Amostragem
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Sinais Analógicos e Digitais:
Se um sinal de tempo contínuo x(t) pode assumir qualquer valor
no intervalo contínuo (a,b), então o sinal é chamado sinal analógico;
Se um sinal de tempo discreto x[n] puder assumir apenas um número finito de valores distintos, então ele é chamado sinal digital.
Sinais e Classificação de Sinais
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Sinais e Classificação de Sinais
tjxtxtx 21
Onde x1(t) e x2(t) são sinais reais
Um sinal x(t) é um sinal real se seu valor for um número real, e é um
sinal complexo se seu valor for um número complexo. Sua forma
geral é:
Representa tanto uma
variável contínua como
uma discreta
Sinais Reais e Complexos
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Sinais Determinísticos e Aleatórios
Sinais determinísticos são aqueles cujos valores estão
completamente especificados em qualquer instante de tempo
dado;
Sinais Aleatórios são aqueles que assumem valores aleatórios
(randômicos) em qualquer tempo dado e devem ser
caracterizados estatisticamente.
Classificação de Sinais
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Exemplos de Sinais Determinísticos e Aleatórios
Classificação de Sinais
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Classificação de Sinais Sinais Pares e Ímpares
txtx
txtx
txtx
txtx
Funções Pares
Funções Ímpares
txtxtx
txtxtx
oe
oe
Qualquer sinal pode ser expresso
como a soma de dois sinais, um par e
outro ímpar:
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Classificação de Sinais Sinais Pares e Ímpares
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Classificação de Sinais Sinais Periódicos e Não-Periódicos
nxmNnx
nxNnx
txmTtx
txTtx
Período
Período
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Classificação de Sinais Sinais Periódicos e Não-Periódicos
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Classificação de Sinais Sinais Periódicos e Não-Periódicos
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Classificação de Sinais Sinais Periódicos e Não-Periódicos
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Classificação de Sinais Sinais Periódicos e Não-Periódicos
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Classificação de Sinais
2
2
22/
2/
2
12
1lim
1lim
N
NnN
n
T
TT
nxN
P
nxE
dttxT
P
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Sinais de Energia e de Potência
Conteúdo de energia
Potência média
Conteúdo de energia
Potência média
Tempo Contínuo
Tempo Discreto
E
P
P
E
0
0
0SINAL DE ENERGIA
SINAL DE POTÊNCIA
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Classificação de Sinais
Sinais de Energia e de Potência
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Transformação da Variável Independente:
Um conceito importante na análise de sinais e sistemas é o da
transformação de um sinal;
Um exemplo simples e muito importante de transformação da variável independente, é um deslocamento no tempo;
Sinais relacionados dessa maneira surgem em aplicações como o radar, sonar e processamento de sinais sísmicos, em que diversos receptores em diferentes lugares observam um sinal transmitido por um meio (água, rocha, ar, etc.);
Nesse caso, a diferença no tempo de propagação do ponto de origem do sinal transmitido para quaisquer dois receptores resulta em um deslocamento do tempo entre os sinais nos dois receptores.
Operações com Sinais
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Transformação da Variável Independente:
Operações com Sinais
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Transformação da Variável Independente:
Operações com Sinais
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Transformação da Variável Independente:
Operações com Sinais
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Transformação da Variável Independente:
Operações com Sinais
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Transformação da Variável Independente:
Operações com Sinais
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Transformação da Variável Independente:
Operações com Sinais
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Transformação da Variável Independente:
Operações com Sinais
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Transformação da Variável Independente:
Operações com Sinais
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Sinais Básicos de Tempo Contínuo
0,0
0,1
t
ttu
u(t)
t 0
1
u(t-t0)
t 0
1
t0
0
0
0,0
,1
tt
ttttu
Função Degrau Unitário
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Sinais Básicos de Tempo Contínuo
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac)
t
δ(t)
0 t
δ(t)
0 t0
Delta de Dirac
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Sinais Básicos de Tempo Contínuo
00
0
0
0
1
0
tdtttt
indefinido
dttt
dttt
dtt
t
b
a
0
0
t
t
0
0
0
a
ba
ba
0
0
b
baou
Função Generalizada
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac)
ou
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Sinais Básicos de Tempo Contínuo
dtxtx
dtut
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac)
Qualquer sinal de tempo contínuo pode ser expresso como:
A função degrau unitário pode ser expressa como:
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Sinais Básicos de Tempo Discreto
Seqüência Degrau Unitário
0,0
0,1
n
nnu
u[n]
n 0
1
u[n-k]
n 0
1
k
kn
knknu
,0
,1
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Sinais Básicos de Tempo Discreto
Seqüência Impulso Unitário
n
δ[n]
0 n
δ[n-k]
0 k
Delta de Dirac
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Sinais Básicos de Tempo Discreto
Manipulações por meio do Impulso Unitário
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Sinais Básicos de Tempo Discreto
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Exponencial
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
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Exponencial
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
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Senoidal
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
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Senoidal
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
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Exponencial
nAnx ][
Senoidal
)cos(][ nAnx o
Sinais Básicos de Tempo Discreto
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Exponencial
Sinais Básicos de Tempo Discreto
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Exponencial
Sinais Básicos de Tempo Discreto
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Senoidal
Sinais Básicos de Tempo Discreto
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Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos
Sinais Básicos
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Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos
Sinais Básicos
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Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos
Sinais Básicos
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Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
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Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos
Sinais Básicos de Tempo Discreto
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Representação de Sistema
Sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal
de entrada (ou excitação) com o sinal de saída (ou resposta). O sistema é visto
como uma transformação de x em y.
xy T
T é um operador que representa uma regra bem definida pela
qual x é transformado em y
Sistema
T
x y
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Sistema
T
x(t) y(t)
Sistema
T
x[n] y[n]
Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas de Tempo Contínuo e Discreto
Contínuo
Discreto
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Sistemas Contínuo no Tempo e
Discreto no Tempo
Sistema Contínuo: É aquele cujos sinais de entrada e
saída são contínuos no tempo (especificados para um
intervalo contínuo de tempo).
Exemplo: O controle de um elevador.
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Sistemas Contínuo no Tempo e
Discreto no Tempo
Sistema Discreto: É aquele cujos sinais de entrada e
saída são discretos no tempo (especificados para
instantes discretos de tempo).
Exemplo: Um computador digital, estudos
populacionais, problemas de amortização, modelos
de renda nacional, rastreamento por radar, etc.
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Interconexões de Sistemas
Interconexão em série
Interconexão em paralelo
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Interconexões de Sistemas
Interconexão Série / paralelo
Interconexão com realimentação
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas com Realimentação
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Sistema Instantâneo: É aquele no qual a saída em um determinado instante de tempo depende apenas da entrada neste mesmo instante de tempo. Este sistema é chamado de sistema sem memória. Sistema sem memória: Condições iniciais sempre nulas.
Sistema Dinâmico: É aquele que a saída depende da entrada atual e da história do sistema (sistema com memória). Sistema com memória: Condições iniciais pode ser diferentes de
zero.
Um sistema cuja saída depende de informações dos últimos T instantes de tempo é chamado sistema de memória finita.
Sistemas e Classificação de Sistemas
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas com Memória e sem Memória
Um sistema é dito sem memória se a saída em qualquer instante de
tempo depende apenas da entrada naquele mesmo instante. Ex: resistor,
a entrada é a corrente e a saída é a tensão.
tRitv
tRxty
Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C
diC
tvt
1
Um exemplo de sistema de tempo discreto com memória é
n
k
kxny
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas com Memória e sem Memória
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Causais e Não Causais
Um sistema é chamado causal se sua saída y(t) em um tempo arbitrário t=t0
depender apenas da entrada x(t) para t ≤ t0. Ou seja, a saída de um sistema
causal não depende de seu valores futuros.
Qualquer sistema do mundo real que opere em tempo real, tem que
ser causal.
Obs: Todos os sistemas sem memória são causais, mas não vice-versa.
Exemplos de sistemas não-causais são:
Obs: não-causais = sistema antecipativo.
nxny
txty
1
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Causais e Não Causais
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Lineares e Não Lineares
Se o operador T satisfizer as duas condições seguintes, antão T é chamado
operador linear e um sistema representado pelo operador T é chamado
sistema linear.
2121
22
11
yyxx
yx
yx
T
T
TAditividade
yx T
Homogeneidade (Escalamento ou Mudança de Escala)
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Lineares e Não Lineares
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Invariantes e Variantes no tempo
Um sistema é chamado invariante no tempo se um deslocamento de tempo
(retardo ou adiantamento) no sinal de entrada causa o mesmo deslocamento
de tempo no sinal de saída.
knyknx
tytx
T
T Tempo Contínuo
Tempo Discreto
“Se o sistema é linear e invariante no tempo ele é um LIT “
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Invariantes e Variantes no tempo
O sistema é invariante no tempo ?
Supondo uma saída x2(t)
A saída correspondente a essa entrada é
Sendo :
A equação de y1(t) deslocada no tempo é:
Como y2(t) = y1(t – t0), podemos concluir que
o sistema é Invariante no tempo!!
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Invertibilidade de Sistemas
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Exemplo: Invertibilidade de Sistemas
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Estáveis
Um sistema é chamado de estável com entrada limitada/saída limitada (BIBO -
Bounded Input Bounded Output) se, para qualquer entrada limitada x ≤ k1 a saída
y correspondente é também limitada e definida por y ≤ k2 . Ou seja, para qualquer
sinal de entrada limitado implica em um sinal de saída também limitado. A
estabilidade em sistemas físicos é geralmente resultante da presença de
mecanímos que dissipam energia.
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Sistemas e Classificação de Sistemas
Exemplos Sistemas Estáveis