sinais e sistemas - professorluislolis.weebly.com · sinais determin sticos e aleat orios sinais...
TRANSCRIPT
Sinais e Sistemas
Luis Henrique Assumpcao Lolis
21 de fevereiro de 2014
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 1
Conteudo
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 2
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 3
Sinais Determinısticos
Sinais Aleatorios
Sinais Periodicos
Sinais nao Periodicos
Sinais Analogicos
Sinais Discretos
Sinais de Energia
Sinais de Potencia
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 4
Sinais Determinısticos e Aleatorios
Sinais Determinısticos
Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo.Pode se descrever com uma equacao:
x(t) = 5 cos (2π10t)
Sinais Aleatorios
Nao se pode determinar o valor em um exato instante dotempo, mas se observado por um longo perıodo de tempo,algumas caracterısticas probabilısticas podem se definir:media, variancia, momentos. Ex: Ruıdo termico, sequenciaaleatoria de dados.
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 5
Sinais Periodicos e nao Periodicos
Sinais Periodicos
x(t) = x(t+ T0), −∞ < t <∞Sinais nao Periodicos
Nao satisfazem a condicao acimaEx: pulsos, sinais digitais
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 6
Sinais Analogicos e Discretos
Sinais Analogicos
Uma funcao x(t) contınua no tempo e na amplitude, um sinalque existe para todos os pontos no tempo t.Sinal eletrico: quando uma forma de onda fısica (ex: som) setransforma em onda eletrica atraves de transdutor (ex:microfone)
Sinais Discretos
Um sinal x(kT ) so existe nos instantes kT , T definido comoperıodo de amostragem.Um sinal e Digital e discreto no tempo e na amplitude.
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 7
Sinais de Energia e Sinais de Potencia
Sinal eletrico, x(t): tensao, v(t), ou corrente, i(t), compotencia instantanea p(t) dada por:
p(t) = v2(t)/R = i2(t)R. Supondo R = 1Ω,⇒ p(t) = x2(t)
A energia dissipada durante o intervalo de tempo (−T/2, T/2)por um sinal real com potencia instantanea p(t) e,
ETx =
∫ T2
−T2
x2(t) dt
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 8
Sinais de Energia e Sinais de Potencia
A potencia media dissipada pelo sinal durante esse intervalo e,
P Tx = 1TE
Tx = 1
T
∫ T2
−T2
x2(t) dt
Potencia Media
E a taxa a qual a energia e liberada. → Determina a tensao (oucorrente) que deve ser aplicada a um transmissor, intensidade decampo magnetico, ...
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 9
Sinais de Energia e Sinais de Potencia
Sinais de Energia: 0 < Ex <∞. Onde,
Ex = limT→∞
ETx = limT→∞
∫ T2
−T2
x2(t) dt =
∫ ∞−∞
x2(t) dt
Sinais de Potencia: 0 < Px <∞. Onde,
Px = limT→∞
P Tx = limT→∞
1
T
∫ T2
−T2
x2(t) dt
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 10
Exemplos
Calcular a potencia do seguinte sinal: g(t) = Acos(2πfct)
Determine se os seguintes sinais sao de energia ou depotencia:
(a) x1(t) = e−2tu(t)(b) x2(t) = ej(2t+π/4)
(c) x3(t) = cos(t)
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 11
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 12
Degrau unitario: u(t) =
0, t < 01, t ≥ 0
Funcao Sinal: sgn(t) =
−1, t < 01, t > 00, t = 0
Pulso retangular: rect(t) =
1, −1
2 < t < 12
0, fora
Impulso unitario:
1
∫ ∞−∞
δ(t) dt = 1
2 δ(at) = 1|a|δ(t)
3 x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)
4
∫ ∞−∞
x(t)δ(t− t0) dt = x(t0)
Funcao sinc: sinc(t) = sin(πt)πt
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 13
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 14
Conceitos
Muitas vezes e mais interessante representar o sinal nodomınio da frequencia do que no tempo.
Circuitos sao mais facilmente analisados no domınio dafrequencia (ex: filtro passa-baixa).
A passagem de um sinal por um sistema linear com memoria:convolucao no tempo, e multiplicacao na frequencia.
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 15
Transformada de Fourier
g(t) G(f)
G(f) = F [g(t)] =
∫ ∞−∞
g(t)e−j2πft dt
g(t) = F−1[G(f)] =
∫ ∞−∞
G(f)ej2πft df
G(f) = X(f) + jY (f)
G(f) = |G(f)|ejθ(f)
|G(f)| =√X2(f) + Y 2(f) e θ(f) = tan−1
(Y (f)X(f)
)
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 16
Algumas propriedades da Trasformada de Fourier
1 Se g(t) e real, entao
G(−f) = G∗(f)|G(−f)| = |G(f)|θ(−f) = −θ(f)
2 Teorema de Parseval:∫ ∞−∞
g1(t)g∗2(t) dt =
∫ ∞−∞
G1(f)G∗2(f) df
Se g1(t) = g2(t) = g(t)⇒ Teorema da Energia de Rayleigh:
E =
∫ ∞−∞|g(t)|2 dt =
∫ ∞−∞|G(f)|2 df
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 17
Pares de Transformadas de Fourier
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 18
Propriedades da Transformadas de Fourier
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 19
Transformada - Pulso retangular
rect(t) =
1, −1
2< t <
1
20, |t| ≥ 1
2
g(t) = A rect( tT )
G(f) =
∫ T/2
−T/2Ae−j2πftdt = AT
sin(2πfT )
T
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 20
Transformada - Pulso retangular
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 21
Transformada - Pulso sinc
Dual do pulso retangular.
Filtro ideal
g(t) = sinc(2Wt)
A sinc(2Wt) A
2Wrect
(f
2W
)
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 22
Pulso de Radio Frequencia
Um pulso RF como produto de um cosseno e um pulsoretangular.
O produto no tempo e a convolucao na frequencia. Atransformada do pulso retangular vai se deslocar para asposicoes dos pulsos de Dirac da transformada do cosseno.
g(t) = A rect
(t
T
)cos(2πfct)
G(f) =1
2sinc[T (f − fc)] + sin[T (f + fc)]
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 23
Pulso de Radio Frequencia
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 24
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 25
Definicao
Caracteriza a distribuicao da energia ou potencia de um sinalno domınio da frequencia.
Importante para avaliar o sinal e o ruıdo na saıda de um filtro.
As grandezas sao a Densidade Espectral de Potencia (DEP) eDensidade Espectral de Energia (DEE).
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 26
Densidade Espectral de Energia
Definicao da energia no tempo e na frequencia:
Ex =
∫ ∞−∞
x2(t)dt =
∫ ∞−∞|X(f)|2df
X(f) a transformada de Fourier do sinal nao-periodico x(t).Sendo assim Ψx(f) = |X(f)|2 e definida como a DEE dosinal x(t).
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 27
Densidade Espectral de Potencia
Considerando um sinal periodico em T0, classificado como umsinal de potencia. A potencia desse sinal e dada por:
Px =1
T0
∫ T0/2
−T0/2
x2(t)dt =
∞∑n=−∞
|cn|2
Onde |cn| sao os coeficientes complexos da serie de Fourier dosinal periodico.
Sendo assim, para um sinal de potencia determinıstico a DEPe dada por:
Gx(f) =∑∞n=−∞ |cn|2δ(f − nf0)
Observando uma versao truncada do sinal de potencia, agoracom energia finita, limitado em −T/2, T/2, podemos calculara transformada de Fourier desse sinal, de maneira que a DEPdo sinal x(t) e dada por:
Gx(f) = limT→∞
1
T|XT (f)|2
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 28
Exemplo
Calcular a potencia atraves do metodo temporal e frequencial
x(t)A cos(2πf0t)
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 29
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 30
Autocorrelacao de um sinal de energia
Mede o grau de correlacao do sinal com uma versao atrasada delemesmo:
Rx(τ) =
∫ ∞−∞
x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞
Rx(τ) mostra quao perto esta um sinal de uma copia desse mesmosinal atrasado em τ unidade de tempo.
Rx(τ) = Rx(−τ) Simetrico em τ em torno de zero
Rx(τ) ≤ Rx(0)para todo τ
o valor maximo ocorre na origem
Rx(τ)↔ Ψx(f) a autocorrelacao e a DEE formam um parde transformada de Fourier
Rx(0) =∫ ∞−∞
x2(t)dt
o valor na origem e igual a energia do sinal
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 31
Autocorrelacao de um sinal de potencia
Rx(τ) = limT→∞
1
T
∫ T/2
−T/2x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞
A media no tempo pode ser tomada em um unico perıodo detempo T0
Rx(τ) =1
T0
∫ T0/2
−T0/2x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 32
Autocorrelacao de um sinal de potencia
Para um sinal periodico
Rx(τ) = Rx(−τ) Simetrico em τ em torno de zero
Rx(τ) ≤ Rx(0)para todo τ
o valor maximo ocorre na origem
Rx(τ)↔ Gx(f) a autocorrelacao e a DEP formam um parde transformada de Fourier
Rx(0) =
1
T0
∫ T0/2
−T0/2x2(t)dt
o valor na origem e igual a potencia mediado sinal
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 33
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 34
Exercıcios de aula
1 Determine a densidade espectral de energia de um pulsoretangular x(t) = rect(t/T ), onde x(t) = 1 para−T/2 ≤ t ≤ T/2. Calcule a energia normalizada no pulso.
2 Encontre, atraves de media temporal, a potencia do seguintesinal: x(t) = 10 cos(10t) + 20 cos(20t)
3 Repita o problema anterior aplicando a soma de coeficientesespectrais.
4 Encontre a funcao de autocorrelacao dex(t) = A cos(2πf0t+ φ) em funcao do perıodo T0 = 1/f0.Encontre a potencia media normalizada de x(t) usando afuncao de autocorrelacao.
5 Aplicando o resultado do item anterior, encontre a funcao deautocorrelacao de x(t) = 10 cos(10t) + 20 cos(20t) e a suapotencia atraves da funcao de autocorrelacao.
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 35
Dependencia Tempo-Frequencia
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 36
O Dilema da Largura de Banda
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 37
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 38
Sistemas que respeitam o princıpio da superposicao. Ex: canalde comunicacao e filtros.
δ(t) - Resposta ao impulso
A superposicao para explicar a integral de convolucao
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 39
Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
y(t) =
∫ ∞−∞
x(τ)h(t− τ) dτ
y(t) = x(t) ∗ h(t) - integralde convolucao
Y (f) = X(f)H(f)
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 40
Resposta em frequencia
Transformada de Fourier da resposta ao impulso de umsistema:
H(f) =
∫ ∞−∞
h(t)e−j2πftdt
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 41
Resposta em frequencia
Transformada de Fourier da resposta ao impulso de umsistema:
H(f) =
∫ ∞−∞
h(t)e−j2πftdt
Sinal complexo separavel em reposta em amplitude e fase:
H(f) = |H(f)|ejβ(f)
Se o filtro e consiste de uma entrada e uma saıda ele temresposta ao impulso real, e nesse caso:
|H(f)| = |H(−f)|β(f) = −β(−f)
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 42
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 43
Definicao
Dispositivo seletivo em frequencia para receber o sinal deinteresse e rejeitar o sinal de interferencia.
Definido atraves da banda passante e a banda de rejeicao.
Filtro causal:
A resposta ao impulso e zero para valores negativos de tempo
Tipos de filtros: passa-baixa, passa-alta, passa-faixa,rejeita-faixa.
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 44
Passa-baixa ideal
H(f) =e−j2πft0 , −B ≤ f ≤ B
0, |f | > B
h(t) = 2B sinc[2B(t− t0)]
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 45
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 46
Transformada de Hilbert
E uma outra maneira de analisar os sinais.
Enquanto Fourier separa a base dos sinais pelos conteudos emfrequencia, Hilbert separa os sinais pelos conteudos em fase.
Se a fase e alterada em ±90 graus para todas as componentesde frequencia temos a transformada de Hilbert sinal.
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 47
Hilbert na frequencia e no tempo
Implementa −90o para frequencias positivas e +90o parafrequencias negativas
sgn(f) =
1, f > 00, f = 0−1, f < 0
G(f) = −j sgn(f)G(f)
Entao a transformada de Hilbert e a convolucao do sinal coma transformada inversa de −j sgn(f):
1
πt −j sgn(f)
g(t) =1
π
∫ ∞−∞
g(τ)
t− τdτ
g(t) = − 1
π
∫ ∞−∞
g(τ)
t− τdτ
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 48
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 49
Sumario
1 Classificacao de sinais
2 Algumas funcoes importantes
3 Transformada de Fourier
4 Densidade Espectral
5 Autocorrelacao
6 Exercıcios de aula
7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares
8 Filtros
9 Transformada de Hilbert
10 Sinais passa-baixa e pass-faixa
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 50
Sinal analıtico
Definimos um sinal chamada analıtico a partir de um sinal realg(t)
g+(t) = g(t) + jg(t)
g(t) transformada de Hilbert de g(t).
Analisando da na frequencia:
G+(f) = G(f) + sgn(f)G(f)
G+(f) =
2G(f), f > 0G(0), f = 0
0, f < 0
Pode ser tambem deduzido a partir de transformada inversapara somente frequencias positivas e multiplicado por 2.
Existe tambem o sinal analıtico para frequencias negativas.g−(t) = g∗+(t)
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 51
Representacao Canonica de Sinais Passa Banda
Se um sinal ocupa uma banda de 2W em torno de umafrequencia central ±fc, podemos indicar esse sinal comosendo um sinal complexo em banda base (espectro naosimetrico) que e entao deslocado para +fc onde tomamosposteriormente a parte real.
Essa representacao serve para criar e analisar sinais quetransportam informacao em toda a banda (modulacao emquadratura) e tambem para ambientes de simulacao onde avelocidade de simulacao depende da banda analisada, porexemplo 2W << fc.
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 52
Representacao Canonica de Sinais Passa Banda
fc conhecida como portadora do sinal. O sinal analıtico g(t)pode ser definido da seguinte maneira:
g+(t) = g(t)ej2πfct
g(t) e chamado de envelope complexo do sinal. E um sinalpassa baixa e contem toda a informacao do sinal de origem.
Como g(t) e a parte real de g(t), transformando o espectroem simetrico novamente. Temos:
g(t) = <[g(t)ej2πfct
]E quando g(t) e complexo, podemos separar em:g(t) = gI(t) + jgQ(t)
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 53
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 54
O sinal passa banda na forma canonica
g(t) = gI(t) cos(2πfct)− gQ(t) sen(2πfct)
gI(t) e a componente em fase e gQ(t) a componente emquadratura.
Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 55