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CORSO DI
MECCANICA DELLAUTOVEICOLO
ANNO ACCADEMICO 2007-2008
Docente: Prof. Ing. Gabriele Fichera
IL COMPORTAMENTO DEL VEICOLO IN CURVA
ANALIZZATO MEDIANTE IL MODELLO
MONOTRACCIA
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1. Introduzione
Qualunque tipo di veicolo dotato di due funzioni fondamentali: la
propulsione e il controllo della traiettoria.
Per ci che concerne il controllo della traiettoria, i veicoli possono essere divisi
in due categorie:
a) Veicoli guidati cinematicamente, la cui traiettoria determinata da appositi
vincoli cinematici.
b) Veicoli non guidati cinematicamente, la cui traiettoria determinata da un
sistema di guida, controllato da un pilota, o da un guidatore, umano
oppure da un dispositivo, generalmente meccanico-elettronico.
La guida o il pilotaggio dei veicoli appartenenti alla seconda categoria
avviene mediante lazione di forze derivanti da variazioni dassetto del veicolo
generate da opportuni dispositivi controllati dal sistema di guida. Tali veicoli possono
definirsi anche veicoli guidati dinamicamente.
E opportuno effettuare una precisazione sui veicoli che appartengono alla
suddetta categoria. In alcuni veicoli guidati dinamicamente, la generazione delle forze
di guida richiede notevoli variazioni dassetto, in altri, invece, le variazioni sono di
piccola entit. Al primo sottogruppo appartengono tutti i veicoli la cui traiettoria
controllata da azioni aero o fluido dinamiche. Il sistema di guida agisce su
apposite superfici di governo, il cui spostamento determina una variazione delle azioni
dinamiche esercitate sul veicolo dal mezzo in cui si trova immerso. In tali veicoli le
variazioni dassetto sono generalmente notevoli e sussiste un certo ritardo tra lazione
sul sistema di guida e le forze che ne conseguono. Pertanto, la percezione che il
controllo viene effettuato in modo dinamico solitamente immediata. Tali veicoli
possono definirsi pilotati e lazione di guida pu essere indicata come pilotaggio.
Nel caso in cui le forze di guida siano dovute prevalentemente alle forze di
contatto ruota-suolo, come avviene negli autoveicoli, la percezione di guida
dinamica meno immediata. Il controllo della traiettoria avviene, anche in questi
veicoli, come in quelli pilotati: il sistema di guida modifica lassetto delle ruote
direttrici, portandole ad un definito angolo di deriva. Tale manovra modifica lassetto
di tutto il veicolo rispetto alla direzione di marcia iniziale, mettendo in deriva anche le
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rimanenti ruote e generando cos le forze di guida necessarie. La linearit, almeno
iniziale, tra la forza laterale e langolo di deriva e lelevato valore della rigidezza di
deriva fanno percepire al guidatore una guida pi di tipo cinematico che dinamico.
Sembra cio che la traiettoria del veicolo sia rigidamente vincolata alle posizioni dei
piani medi delle ruote.
I veicoli caratterizzati da tale comportamento possono definirsi guidati
dinamicamente e lazione di controllo della traiettoria pu definirsi guida. Questa
particolarit ha a lungo influenzato lo studio del comportamento del veicolo, dando
origine al concetto di sterzatura cinematica e, in un certo qual modo, nascondendo
la natura dei fenomeni in gioco.
Nei paragrafi seguenti verr analizzato il comportamento dinamico dei veicoli
guidati dinamicamente e la risposta di tali veicoli allazione del sistema di guida.
Tale analisi verr condotta mediante lo studio di un modello matematico semplificato,
avente validit in campo lineare (piccoli angoli di deriva), ma atto a fornire un
adeguato inquadramento teorico del problema.
Nella realt il comportamento di un veicolo e le capacit del guidatore sono
elementi inseparabili: il guidatore fornisce lintelligenza al sistema guidatore-
veicolo, mentre il veicolo fornisce le forze di manovra necessarie. Le azioni del
guidatore sono determinate da numerose variabili, quali motivazioni dordine mentale,
disturbi ambientali esterni, informazioni ricavate dalla risposta del veicolo (in termini
di riferimento visivo, accelerazione laterale, velocit dimbardata, ecc.) e dal sistema
di sterzo. Sulla base di questi dati dingresso il guidatore controlla il sistema di sterzo e
la risposta del veicolo. Per semplicit nellanalisi che segue non sono stati presi in
considerazione gli organi che controllano la propulsione (acceleratore e freno) e gli
altri dispositivi di controllo che il guidatore comanda.
Il comportamento del sistema guidatore-veicolo (in termini di stabilit, tenuta
di strada, manovrabilit) viene sovente indicato con il termine anglosassone
handling.
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1. Il modello monotraccia
Un modello semplificato assai utile per effettuare unanalisi preliminare del
comportamento di un veicolo in curva e ricavarne limpostazione generale il
cosiddetto modello monotraccia (fig.1).
Fig.1 Modello monotraccia per lanalisi del moto in curva.
Il modello possiede le seguenti caratteristiche:
il veicolo viene condensato lungo la linea di mezzeria (da ci deriva il nome
modello monotraccia) e, pertanto, non si considera il trasferimento di
carico laterale;
non si considera il trasferimento di carico longitudinale;
non sussistono moti di rollio o di beccheggio della massa sospesa;
i pneumatici operano in campo lineare (piccoli angoli di deriva);
si utilizza lapprossimazione dei piccoli spostamenti (sen( ) = tan( ) = ;
cos( ) = 1);
il modulo della velocit davanzamento, V, costante e viene imposto;
non si considerano le azioni aerodinamiche;
non si considerano effetti di deformabilit delle sospensioni o della scocca;
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si opera un controllo di posizione, cio linput fornito al sistema di sterzo in
termini di spostamento e non di forza;
si assume che il veicolo si muove su strada priva di irregolarit.
Considerare lineare il comportamento dei pneumatici corrisponde, generalmente,
ad operare in condizioni in cui laccelerazione laterale non supera il valore indicativo
di 0,4 g. Entro questo limite, i risultati ottenuti dal modello monotraccia possono
ritenersi significativi.
Con il suddetto modello semplificato, si possono analizzare gli effetti sui moti
dimbardata e sugli spostamenti laterali (che determinano entrambi la traiettoria e
lassetto del veicolo) indotti dalla rigidezza di deriva dei pneumatici, dalla posizione
longitudinale del baricentro lungo il passo del veicolo e dallangolo di sterzo.
In questa rappresentazione, il sistema ha due gradi di libert: la velocit laterale,
v, e la velocit dimbardata, r. La variabile imposta langolo di sterzo dellassale
anteriore, . Langolo, , misurato tra lasse longitudinale del veicolo e la tangente alla
traiettoria nel baricentro prende il nome di angolo di deriva del veicolo o angolo
dassetto.
Quando un veicolo effettua una curva, provenendo da un rettilineo, solitamente si
susseguono tre fasi. La prima fase quella dingresso o inserimento in curva, durante
la quale la velocit laterale e la velocit dimbardata crescono da zero e variano con il
tempo. Questa fase anche chiamata transitorio dingresso in curva. In seguito
subentra la seconda fase, detta di moto in curva a regime, in cui la velocit V, la
velocit angolare dimbardata r, langolo dassetto e gli angoli di deriva dei
pneumatici sono costanti. Durante tale fase il veicolo si muove lungo una traiettoria
circolare di raggio costante R (o di curvatura costante 1/R) e laccelerazione laterale
assume valore costante pari a: ay = V/R2. La fase conclusiva quella di uscita dalla
curva, detta transitorio di uscita dalla curva, in cui le variabili suddette ritornano a
zero e il veicolo assume nuovamente una traiettoria rettilinea.
Queste fasi rappresentano una utile idealizzazione dellesecuzione di una curva e
i termini transitorio e a regime compariranno sovente nei prossimi paragrafi.
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Nella realt si incontrano differenti tipi di curve. Vi sono curve lunghe in cui la
fase a regime pu essere molto pi lunga dei transitori, oppure curve strette in cui la
fase a regime molto limitata, oppure rapidi cambiamenti di traiettoria (ad esempio un
sorpasso improvviso) in cui la fase a regime pu scomparire del tutto.
2. Moto in curva a regime a velocit idealmente nulla
Si supponga di percorrere una curva a velocit pressoch nulla, in modo da
potere ritenere nulle le accelerazioni longitudinali e laterali e di conseguenza i
trasferimenti di carico e i moti di rollio e di beccheggio. In queste condizioni, gli
angoli di deriva possono ritenersi nulli e il comportamento del veicolo molto
prossimo al comportamento del modello monotraccia. In queste condizioni, la
traiettoria percorsa dal veicolo cinematicamente determinata e, facendo riferimento
al modello monotraccia, la ruota anteriore e quella posteriore percorrono due cerchi
concentrici (fig.2).
Fig.2 Sterzatura cinematica a deriva nulla.
Il raggio della curva generalmente definito come la distanza tra il centro di
curvatura e il baricentro del veicolo. Effettuando delle piccole approssimazioni (del
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tutto lecite data la piccola entit degli angoli), langolo di sterzo necessario ad
effettuare una curva di raggio R costante vale (fig.2):
R
l
Questo valore viene solitamente indicato come angolo di sterzatura cinematica
o angolo di Ackermann e dipende unicamente dal raggio della curva e dal passo del
veicolo (in fig.2 mostrato leffetto della variazione del passo sullangolo di
Ackermann).
3. Moto in curva del veicolo neutro
Nellanalisi del moto in curva di un veicolo si utilizzano solitamente le
definizioni di veicolo neutro, sottosterzante o sovrasterzante per indicare determinati
tipi di comportamento. Tali definizioni possono essere facilmente spiegate mediante il
modello monotraccia.
In primo luogo, verr spiegata la definizione di veicolo neutro.
Si supponga di effettuare a regime una curva di raggio costante R, a velocit
costante V. Per potere percorrere la curva, la forza centrifuga, FC = m ay = m V2/R, deve
essere bilanciata dalle forze laterali dei pneumatici. Per fissare le idee, si ritenga che il
baricentro del veicolo lungo lasse longitudinale sia equidistante dai centri ruota
anteriore e posteriore (a = b = l/2) e che siano uguali le rigidezze di deriva dei
pneumatici anteriore e posteriore (C A = C P, espresse in N/rad).
Lequilibrio alle forze laterali e ai momenti, con riferimento alla figura 3,
fornisce:
bCaC
CCYYF
PPAA
PPAAPAC
Sotto le ipotesi adottate (a = b e C A = C P = C ) risulta: A = P = .
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Fig.3 Moto in curva del veicolo neutro.
Alcune interessanti osservazioni possono essere fatte confrontando la figura 3
con la figura 2.
In entrambi i casi, langolo di sterzo richiesto per effettuare una curva di dato
raggio indipendente dalla velocit.
Langolo di assetto si ottiene graficamente ruotando lintero veicolo di un
angolo pari ad P rispetto allassale posteriore e tracciando la normale alla
retta congiungente il baricentro con il centro di curvatura. Il valore di
dipende, dunque, dai valori di P e di b.
Nel caso mostrato in fig.3 le ruote posteriori viaggiano su un raggio pi
piccolo rispetto alle ruote anteriori.
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La rotazione che d origine alla deriva del posteriore sterza altres le ruote
anteriori: nel caso in questione langolo di deriva allanteriore uguale a
quello del posteriore.
In particolare per la configurazione presa in esame (baricentro in mezzeria e
uguali rigidezze di deriva anteriormente e posteriormente), langolo di deriva richiesto
allanteriore per produrre le forze e i momenti necessari allequilibrio ottenuto
interamente dalla rotazione del veicolo durante lo sviluppo dellangolo di deriva
posteriore. In questa configurazione, langolo di sterzo completamente determinato
dal raggio di curvatura R, indipendentemente dalla velocit e dallaccelerazione
laterale, e il suo valore uguale allangolo di Ackermann corrispondente.
Il comportamento del veicolo analizzato si definisce neutro perch allaumentare
dellaccelerazione laterale (ovvero della velocit) in una curva di dato raggio R, il
valore dellangolo di sterzo necessario ad effettuare la curva rimane costante ed
cinematicamente determinato ( = l/R). Ovvero impostando un dato angolo di sterzo
il veicolo segue la traiettoria corrispondente allangolo di Ackermann (R = l/ ),
qualunque sia la velocit.
Nella seguente figura 4 mostrato landamento dellangolo fornito al volante per
effettuare una curva di raggio costante al variare dellaccelerazione laterale, per un
veicolo a comportamento praticamente neutro. Il diagramma in questione stato
ricavato da una vettura che utilizza un rapporto di sterzo di 14 a 1 (14 di rotazione al
volante per 1 di rotazione alle ruote). Di conseguenza, la variazione di circa 5
dellangolo volante che si osserva in figura corrisponde ad una variazione rispetto
allangolo di Ackermann di soli 0,35.
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Fig.4 Angolo di sterzo al variare di Ay per il veicolo neutro.
In un qualsiasi veicolo, allaumentare dellaccelerazione laterale sono richieste
forze laterali ai pneumatici sempre maggiori e devono, pertanto, aumentare gli angoli
di deriva dei pneumatici. In particolare, in campo lineare, se si assumono costanti le
rigidezze di deriva, gli angoli di deriva devono crescere proporzionalmente con
laccelerazione laterale.
E facile verificare dalle equazioni di equilibrio che per il veicolo neutro risulta:
Y
P
Y
A
aa
ovvero:
0Y
PA
Y
P
Y
A
aaa
Pertanto, per il veicolo neutro le variazioni degli angoli di deriva anteriore e
posteriore con laccelerazione laterale devono risultano uguali.
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4. Moto in curva del veicolo sottosterzante
Si supponga adesso che il baricentro sia pi vicino allasse anteriore (fig.5), per
esempio si consideri a = 1/3 l e b = 2/3 l. In questo caso, considerando ancora uguali
le rigidezze di deriva dei due assali, dallequazione di equilibrio ai momenti si ottiene:
A/ P = 2.
Fig.5 Moto in curva del veicolo sottosterzante.
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Per il veicolo neutro trattato nel paragrafo precedente, detta m la massa,
dallequazione di equilibrio alle forze risultava:
CCam PAy 2
Per il veicolo analizzato in questo paragrafo risulta:
PPPPAy CCCam 32
Uguagliando le due espressioni, cio a parit di accelerazione laterale e quindi di
raggio di curvatura, si ottiene:
3
4
3
2
A
P
La diminuzione dellangolo di deriva al posteriore, rispetto al caso del veicolo
neutro con pari raggio di curvatura, obbliga ad aumentare langolo di sterzo per avere
un maggiore angolo di deriva allanteriore (fig.5).
Si pu dimostrare che langolo di sterzo necessario per effettuare una curva di
raggio R fornito dalla seguente relazione:
)( PAR
l
assumendo la convenzione di segno ISO per la quale:
R>0 per curva a sinistra;
R
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segue una traiettoria a raggio maggiore rispetto a quella individuata dal corrispondente
angolo di Ackermann (R = l/ ).
La figura 6 mostra landamento dellangolo di sterzo al variare dellaccelerazione
laterale in una curva a raggio costante. La curva limitata al valore di 0,5 g, al di sopra
del quale cominciano a manifestarsi le non-linearit dovute ai pneumatici e alle
sospensioni.
Fig.6 - Angolo di sterzo al variare di Ay per il veicolo sottosterzante.
In una vettura sottosterzante, inoltre, la crescita degli angoli di deriva anteriore e
posteriore con laccelerazione laterale non uguale (fig.6), di conseguenza risulta:
0y
PA
y
P
y
A
aaa
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Nel presente esempio, per rendere la vettura sottosterzante stata effettuata una
traslazione longitudinale del baricentro. Altrimenti, mantenendo a = b, si pu
analogamente rendere la vettura sottosterzante rendendo C A>C P, in quanto
dallequazione di equilibrio al momento risulta:
1P
A
P
A
Ca
Cb
Il suddetto rapporto determina in campo lineare il sottosterzo dimpostazione
della vettura.
E da notare come la maggior parte delle vetture di normale produzione vengano
progettate con un certo sottosterzo dimpostazione, in quanto le vetture sottosterzanti
hanno un comportamento pi facilmente controllabile in situazioni di pericolo. Ci
dovuto al fatto che il guidatore costretto ad aumentare langolo di sterzo
allaumentare dellaccelerazione laterale.
5. Moto in curva del veicolo sovrasterzante
In conseguenza di quanto detto finora, risulter ovvia la definizione di vettura
sovrasterzante. Il comportamento di un veicolo sovrasterzante se, fornendo un certo
angolo di sterzo, il veicolo segue una traiettoria a raggio inferiore rispetto a quello
corrispondente allangolo di Ackermann. Ovvero, per effettuare una curva a raggio
costante bisogna fornire un angolo di sterzo minore del corrispondente angolo di
Ackermann.
Il comportamento sovrasterzante si realizza quando:
1P
P
P
A
Ca
Cb
Nellipotesi che tale configurazione si ottenga realizzando a > b e C A = C P si
faccia riferimento alla figura 7.
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Fig.7 Moto in curva del veicolo sovrasterzante.
Per definire lattitudine di una vettura si utilizza un indice detto gradiente di
sottosterzo/sovrasterzo, definito nel modo seguente:
go
smin
aaUG
y
PA
y
deg
/
deg2
Se tale indice ha segno positivo il veicolo sottosterzante, se negativo
sovrasterzante, se lindice nullo il veicolo neutro.
Nella definizione del suddetto indice pu essere utilizzato langolo di sterzo alle
ruote o langolo di sterzo al volante. Nel primo caso si parla di gradiente di
sottosterzo/sovrasterzo alle ruote, nel secondo di gradiente di sottosterzo/sovrasterzo al
volante.
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6. La trattazione matematica del modello monotraccia
Nei precedenti paragrafi si voluto fornire una visione dinsieme del
comportamento del veicolo in curva e delle definizioni maggiormente utilizzate. Nel
presente paragrafo verr affrontata la trattazione matematica del modello
monotraccia riscontrando dal punto di vista matematico le definizioni di cui si
trattato.
6.1 Equazioni del moto
Facendo riferimento alla figura 8, xOy il sistema di riferimento inerziale, fisso
rispetto alla superficie della strada, con gli assi x e y giacenti su di essa; xGy il
sistema di riferimento mobile (fisso rispetto al veicolo) avente origine nel baricentro.
Fig.8 Sistemi di riferimento.
Le variabili di moto dinteresse sono la velocit longitudinale, u, la velocit
laterale, v, e la velocit dimbardata, r = d /dt. La velocit dimbardata la velocit
angolare del veicolo attorno allasse verticale passante per il baricentro. La somma
vettoriale di u e v fornisce la velocit di percorrenza della traiettoria, V, che
perpendicolare al raggio di curvatura, R.
Langolo tra lasse x e il vettore V langolo dassetto o di deriva del veicolo, .
Nel moto rettilineo = 0 e R infinito.
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Le componenti di forza e di momento nel sistema di riferimento mobile sono X,
Y e N: X la risultante delle forze longitudinali; Y la risultante delle forze laterali; N
il momento dimbardata risultante.
Dato un qualsiasi vettore A , la sua derivata eseguita nel sistema inerziale
legata alla derivata eseguita nel sistema mobile dalla relazione:
Adt
Ad
dt
Ad
mi
Essendo il vettore velocit angolare del sistema di riferimento mobile rispetto
a quello inerziale. Entrambi i vettori a secondo membro possono essere scomposti
secondo gli assi xyz del sistema mobile. Nel caso in esame il termine )A( risulta:
)jAiA(r
AAA
r00
kji
AAA
kji
Axy
zyxzyx
zyx
Ponendo VA , dalle suddette relazioni si ottengono le componenti del vettore
accelerazione nel sistema di riferimento mobile:
urvVrdt
dVa
vruVrdt
dVa
x
y
y
y
x
x
Pertanto, le equazioni di moto scritte nel sistema di riferimento mobile
divengono:
rJN
)urv(mY
)vru(mX
z
Le equazioni di moto sono equazioni non-lineari nelle velocit u, v ed r. E per
possibile procedere ad una loro linearizzazione al fine di ottenere un modello che
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permetta di ricavare soluzioni in forma chiusa che, seppure approssimate, abbiano
validit generale.
Si consideri langolo di deriva del veicolo; in condizioni di marcia normale tale
angolo piccolo e la linearizzazione delle sue funzioni trigonometriche sicuramente
accettabile. Pertanto, si ricava:
V)(sinVv
V)cos(Vu
Di conseguenza, le equazioni di moto possono essere scritte nella seguente
forma:
rJN
Vm)r(VmY
)VrV(mX
z
La velocit V pu essere considerata come una funzione nota. Ci corrisponde a
studiare il moto del veicolo a velocit imposta, assumendo la trazione necessaria ad
ottenere la velocit desiderata come incognita relativa al grado di libert x.
Se si trascura linterazione tra le forze longitudinali e trasversali sviluppate dai
pneumatici, la prima equazione risulta disaccoppiata dalle altre e le restanti equazioni
risultano lineari nelle velocit v ed r (o in ed r).
In particolare se la velocit V si assume costante (come stato detto al par.1 in
base alla definizione del modello monotraccia), le equazioni del moto risultano:
rJN
)r(VmY
rVmX
z
In questo modo il modello ha effettivamente due gradi di libert, che sono le
leggi temporali incognite di (t) ed r(t) (o di v(t) ed r(t)).
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6.2 Angoli di deriva delle ruote
Gli angoli di deriva delle ruote possono essere espressi in modo semplice in
funzione delle variabili del moto. Facendo riferimento alla figura 9, detto Pi il centro
dellorma di contatto della ruota i-esima (per i=A ruota anteriore, per i=P ruota
posteriore) la velocit VPi di tale punto data dalla relazione:
rxv
u)GP(rVV
i
iPi
Langolo i vale pertanto:
V
rxv
u
vtanarc i
i
i
i
Fig.9 Sistema di riferimento per il calcolo degli angoli di deriva.
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Detto i langolo di sterzo della ruota i-esima, langolo di deriva i risulta:
i
i
iiir
V
x
V
v
In definitiva, considerando nullo langolo di sterzo della ruota posteriore, si
ottiene:
V
rb
V
ra
P
A
Sottraendo membro a membro le suddette relazioni e ricordando che il rapporto
V/r = R si ottiene il legame introdotto nel par.4 tra angoli di sterzo e angoli di deriva:
)( PAR
l
con:
R>0 per curva a sinistra;
R
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Il momento risultante, N, attorno allasse verticale passante per il baricentro vale:
APAPA
PAPPAAPA
CarCbCaV
CbCaN
bV
rbCa
V
raCbCaCbYaYN
221
La forza laterale Y e il momento N sono funzioni lineari di , r e , pertanto,
possono essere poste nella seguente forma:
NrNNN
rr
NNN
YrYYY
rr
YYY
r
r
I termini Y , Yr, Y , N , Nr e N prendono il nome di derivate di stabilit e
assumono le seguenti espressioni:
A
PAr
PA
A
PAr
PA
CaN
CbCaV
N
CbaCN
CY
CbCaV
Y
CCY
221
1
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6.4 Espressione finale delle equazioni del moto
In definitiva, le equazioni del moto relative alle traslazioni lungo lasse y e alle
rotazioni attorno allasse z risultano:
rJNrNN
Vm)r(VmYrYY
zr
r
Le due variabili che sono state scelte per descrivere il moto, langolo di deriva
e la velocit dimbardata r, compaiono nelle equazioni del moto insieme alle loro
derivate prime. Langolo di sterzo la variabile imposta.
6.5 Risposta a regime allazione dello sterzo
Nel moto a regime le derivate che compaiono nelle equazioni del moto sono
nulle, il raggio di curvatura R costante e la velocit angolare dimbardata fornita
dallovvia relazione:
R
Vr
Le equazioni del moto risultano pertanto:
0NR
VNN
R
VmY
R
VYY
r
2
r
Nellanalisi del moto a regime vengono prese in considerazione le seguenti
risposte caratteristiche:
Risposta di curvatura, definita come (1/R)/
Risposta di velocit dimbardata, definita come r/
Risposta di accelerazione laterale, definita come ay/ = (V2/R)/
Risposta di angolo dassetto, definita come /
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Per ricavare le suddette risposte sufficiente ricavare langolo da una delle due
equazioni e sostituirlo nellaltra. Di seguito vengono riportati i risultati di tale
operazione, omettendo per brevit i passaggi:
Q
VmYNNY
Q
YNNYVRV
Q
YNNYr
QV
YNNYR
rr
2
1
essendo:
rr NYVmNYNQ
Per evidenziare i differenti comportamenti di cui si discusso nei precedenti
paragrafi (neutro, sottosterzante, sovrasterzante), le risposte vengono riscritte nella
seguente forma:
YNNY
VmN
YNNY
NYYNV
1
NYVmNYNV
YNNYR12
rrrr
Sostituendo i valori delle derivate di stabilit nel primo dei due termini a
denominatore risulta:
lbaYNNY
NYYNVrr
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24
Pertanto la risposta di curvatura a regime diventa:
2
2
VNYYNl
Nm1
l1
YNNY
VmNl
1R1
Il termine:
NYYNl
NmK
prende il nome di fattore di stabilit.
Le risposte possono pertanto essere riscritte in funzione del fattore di stabilit K:
2
2y
2
2
VK1
lVa
VK1
lVr
VK1
l1R1
Il fattore di stabilit dipende dalle derivate di stabilit, che in questo modello
semplificato sono indipendenti dalla velocit (K = cost.). In modelli matematici pi
complessi il fattore K pu risultare dipendente dalla velocit (per esempio, quando
vengono considerate le forze aerodinamiche).
Nel caso di K costante, esso pu risultare positivo, negativo o nullo. Il segno di K
determina il comportamento del veicolo in campo lineare:
K < 0 Veicolo sovrasterzante
K = 0 Veicolo neutro
K > 0 Veicolo sottosterzante
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Per esempio, se il fattore K risulta nullo le risposte divengono:
l
Vr
l
1R1
Nel caso in cui K = 0 il comportamento del veicolo neutro, in quanto, per un
dato angolo di sterzo la traiettoria percorsa dal veicolo a regime quella
corrispondente allangolo di Ackermann (R = l/ ).
Esplicitando le derivate di stabilit il fattore K, per il modello semplificato in
esame risulta:
AP
PAPAAPAA
PACaCb
CCl
m
CCCalCbCaCl
CbCam
NYYNl
NmK
2
e quindi:
12
A
P
P Ca
Cb
Cl
amK
Il segno di K dipende dal rapporto A
P
Ca
Cb:
Per 1Ca
Cb
A
P K > 0 veicolo sottosterzante
Per 1Ca
Cb
A
P K = 0 veicolo neutro
Per 1Ca
Cb
A
P K < 0 veicolo sovrasterzante
Si fa notare che si ritrovano le stesse relazioni discusse nei precedenti paragrafi.
Nella seguente figura riportato landamento della risposta di curvatura, 1/R , al
variare della velocit, per K positivo, nullo e negativo.
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Fig.10 Andamento della risposta di curvatura al variare
della velocit e del fattore di stabilit.
Nel paragrafo 6.2 sono state ricavate le relazioni che esprimono gli angoli di
deriva anteriore e posteriore:
V
rb
V
ra
P
A
Valutiamo adesso la loro differenza:
V
rlPA
Esplicitando in si ottiene:
PAR
l
Uguagliando tale espressione con quella ottenuta dalla risposta di curvatura in
funzione del fattore di stabilit K, si ricava:
R
VKl
R
l
R
l 2
PA
E in definitiva:
R
VKl
2
PA
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Si pu, pertanto, esprimere il gradiente di sottosterzo/sovrasterzo, UG, (definito
nel par.5) in funzione del fattore di stabilit:
2msradlKda
dUG
y
PA
Ovvero nella pi consueta unit di misura:
gdegglK180
UG
7. Lanalisi sperimentale del moto in curva a regime
Lanalisi sperimentale del moto in curva a regime viene effettuata secondo le
normative ISO vigenti, che fissano le modalit delle prove. I due test di prova utilizzati
sono: il test a raggio costante e velocit variabile e il test a velocit costante (in pratica
ad apertura di farfalla costante) e a raggio variabile.
La prova a raggio costante, detta anche steering-pad, viene effettuata nel
seguente modo:
si traccia sullasfalto del piazzale di prova un cerchio di dato raggio
(solitamente 40 m o 100 m);
scelto il raggio di riferimento si inserisce il veicolo sulla traiettoria voluta a
bassa velocit;
si aumenta la velocit gradualmente in modo da passare per successive
condizioni di moto a regime, agendo contemporaneamente sul volante per
mantenere il veicolo sulla traiettoria voluta;
si prosegue fino al raggiungimento del limite di aderenza, quando il veicolo
non pi controllabile ed esce fuori dalla traiettoria per lo slittamento dei
pneumatici.
La manovra descritta viene ripetuta un certo numero di volte, percorrendo il
cerchio in entrambi i sensi di marcia (almeno tre volte per ciascuna direzione di
marcia). I risultati della prova vengono ottenuti mediando i risultati delle varie
esecuzioni.
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Nella prova a raggio costante, una delle principali grandezze da misurare
langolo di sterzo richiesto, al variare della velocit, per mantenere il veicolo sulla
traiettoria a raggio costante. Il gradiente di sottosterzo/sovrasterzo fornito dalla
variazione dellangolo di sterzo alle ruote anteriori con laccelerazione laterale, in
quanto in una curva a raggio costante non vi variazione dellangolo di Ackermann.
Infatti, facendo riferimento alle formule dellangolo di sterzo e del gradiente di
sottosterzo/sovrasterzo riportate nei precedenti paragrafi, si ottiene:
y
Ack
yyyy
PA
da
d
da
d
R
l
da
d
da
d
da
dUG
Se il raggio della curva costante, la variazione dellangolo di Ackermann
nulla e, di conseguenza, si ricava:
gda
dUG
y
deg
La precedente formula viene anche espressa utilizzando langolo di sterzo del
volante in luogo dellangolo di sterzo delle ruote. Per passare dallangolo di sterzo alle
ruote allangolo di sterzo al volante sufficiente moltiplicare UG per il rapporto di
sterzo:
gda
dUG
y
steersterwheel deg
In questo tipo di prova, come si detto, la velocit variabile e, di conseguenza,
deve necessariamente variare la trazione per contrastare le resistenze dipendenti dalla
velocit (resistenza al rotolamento e resistenza aerodinamica). La variazione di forza
traente influenza i risultati della prova, modificandoli rispetto a quelli ottenibili in un
test a velocit (trazione) costante.
Altre allangolo di sterzo vengono ricavate numerose altre grandezze dinteresse,
quali: la velocit, laccelerazione laterale, la velocit dimbardata, langolo di assetto,
langolo di rollio.
-
29
La prova a velocit costante (apertura di farfalla costante) e raggio di curvatura
variabile, detta anche colpo di sterzo, viene effettuata nel seguente modo:
si lancia il veicolo in rettilineo a velocit costante (solitamente 100 km/h);
senza modificare la posizione dellacceleratore, si effettua un colpo di sterzo
di una certa entit con velocit angolare di azionamento del volante non
inferiore a 200 deg/s;
si mantiene lo sterzo ruotato per il tempo necessario al raggiungimento delle
condizioni di regime (circa 3 s), quindi si rilascia il volante valutando il
riallineamento spontaneo del veicolo;
si arresta il veicolo dopo il ritorno in rettilineo.
La manovra descritta viene eseguita a diversi valori dellangolo di volante,
partendo dai valori pi piccoli e crescendo gradualmente fino al valore limite, per il
quali si ha lo slittamento dei pneumatici e la vettura non in grado di riallinearsi al
termine della manovra. La manovra deve essere ripetuta un certo numero di volte per
ogni valore dellangolo di volante e in entrambe le direzioni.
Durante la prova a velocit costante, il raggio di curvatura varia al variare
dellangolo di volante e il gradiente di sottosterzo/sovrasterzo si ottiene sottraendo alla
variazione dellangolo di sterzo con laccelerazione laterale, la variazione dellangolo
di Ackermann con essa:
gV
gl
da
dUG
V
gl
V
gal
da
d
R
l
da
d
da
d
da
d
da
d
R
l
da
d
da
d
da
dUG
y
y
yyy
Ack
y
Ack
yyyy
PA
deg2
22
Nelle seguenti figure vengono riportati alcuni dei risultati ottenibili dalle suddette
prove.
-
30
Fig.11 Prove di risposta a regime.
Fig.12 Risultati di una prova a velocit costante.
-
31
Altri risultati tipici che vengono solitamente ottenuti dalle prove a regime sono:
il gradiente di rollio, che esprime la variazione dellangolo di rollio con
laccelerazione laterale, in deg/g;
il gradiente di assetto, che esprime la variazione dellangolo dassetto con
laccelerazione laterale, in deg/g;
la sensibilit del volante, che esprime la variazione dellaccelerazione laterale
con la variazione dellangolo volante:
gdeg/
V
glUG
1
d
dA
2volvol
y
Allapprossimarsi al limite di tenuta laterale del veicolo la sensibilit del volante
decresce fino ad annullarsi, come mostrato nella seguente figura.
Fig.13 Variazione della sensibilit del volante con
laccelerazione laterale.
-
32
6.6 Risposta in transitorio allazione dello sterzo
Per il calcolo della risposta durante il transitorio occorre integrare le equazioni
differenziali del moto:
rJNrNN
Vm)r(VmYrYY
zr
r
Ritenendo costante la velocit V le equazioni diventano:
rJNrNN
VrmVmYrYY
zr
r
Una semplificazione del problema pu essere effettuata osservando che il
termine compare non derivato nella seconda espressione e pu, pertanto, essere
ricavato in funzione di r e :
N
NrNrJ rz
Sostituendo nella prima espressione il sistema pu essere riscritto nel seguente
modo:
TSrUrQrP
TSUQP
essendo:
mV
NYNYNU
mV
YJNQ
JP
rr
z
r
z
NT
mV
YJT
mV
NYNYS
mV
NYNYNS
z
rr
Per il modello semplificato risulta:
2
2
22
mV
CClbCaCU
mV
CCJCbCaQ
JP
PAPA
PAzPA
z
-
33
Le equazioni differenziali che descrivono il moto in b o r sono analoghe a quelle
di un sistema massa-molla-smorzatore ad un grado di libert in cui:
P analogo alla massa;
Q analogo allo smorzamento;
U analogo alla rigidezza.
E pertanto possibile definire:
la pulsazione naturale del sistema:
z
rr
nJ
mV
NYNYN
P
U
lo smorzamento adimensionale:
P
Q
Q
Q
c 02
la pulsazione propria:
21 hn
La risposta dinamica del veicolo ad un input di sterzo impulsivo (come un colpo
di sterzo) sar dunque determinata dai valori che assumono la pulsazione naturale e lo
smorzamento adimensionale. Nel seguente diagramma si riportano le risposte
adimensionalizzate ad un input di sterzo impulsivo al variare dello smorzamento
adimensionale.
Al crescere della pulsazione naturale e dello smorzamento adimensionale
aumenta la rapidit di risposta del veicolo, ovvero si riduce il tempo necessario a
giungere alla condizione di regime ed il picco di minore entit.
-
34
Fig.14 Risposta adimensionalizzata ad un input di sterzo impulsivo.
Ponendo 2kmJ z per il modello semplificato si ottiene:
2222
2
km
CbCa
Vkm
lCC PAPAn
Ovvero, in funzione del fattore di stabilit K:
2
2
22
21
V
VK
km
lCC PAn
Al crescere del rapporto 2m
CC PA aumenta la rapidit di risposta:
Tipo di veicolo 2m
CC PA [m2/sec
4]
Berlina station-wagon 1.44 103
Piccola vettura sportiva 4.13 103
Grande vettura sportiva 9 103
Vettura F1 (9 19) 104
-
35
Al crescere del rapporto 2
2
k
l che indica la distribuzione della massa lungo il
passo cresce la rapidit di risposta
Tipo di veicolo
2
2
k
l
Berlina station-wagon 3
Piccola vettura sportiva 5
Vettura F1 7.5
Il termine 2
21
V
VKdetermina linfluenza del comportamento del veicolo
(neutro, sovrasterzante, sottosterzante) sulla risposta dinamica in transitorio.
Inoltre, allaumentare della velocit la pulsazione decresce.
Dallespressione dello smorzamento adimensionale:
Vkm
CCkmCbCam PAPAn 22
222
2
si pu osservare che un veicolo neutro perfettamente bilanciato
PA
2
CC
ba
k
ba
1
presenta =1 qualunque sia velocit.
Il moto sempre criticamente smorzato ed il tempo per raggiungere la
condizione di regime il minore possibile.
Un veicolo sottosterzante caratterizzato da < 1 e la risposta sempre
oscillante; mentre un veicolo sovrasterzante ha > 1 e la risposta non oscillante
(sistema ipercritico) ma meno rapida rispetto al veicolo neutro.
-
36
6.7 Risposta ad una manovra di colpo sterzo
Si riporta di seguito il diagramma caratteristico di una risposta ad una manovra di
colpo di sterzo.
Fig.15 Risposta tipica in una manovra di colpo di sterzo (veicolo sottosterzante).
Per ciascuna delle risposte analizzate, quali velocit di imbardata, accelerazione
laterale, angolo di assetto e angolo di rollio, gli output caratteristici sono:
il tempo di risposta al 50 % di livello dellinput;
il valore della grandezza a T50%;
il tempo per il raggiungimento del picco Tmax;
il valore della grandezza a Tmax;
il tempo per il raggiungimento del 90% del valore di regime;
il valore della grandezza a T90%;
il valore della grandezza a regime.
-
37
Fig.15 Risposte reali a differenti colpi di sterzo (veicolo sottosterzante).