sinopse do case de cÁlculo ii

SINOPSE DO CASE: As colunas de Niemeyer.1

Marcia Kerle Garcia Silva ²

Everton Soares Gangussú ³

1 DESCRIÇÃO DO CASO

A engenharia e o estilo marcante estão presentes em todas as obras de Oscar

Niemeyer. Uma característica básica de suas obras é o uso ousado e habilidoso de curvas, fato

que contribui para a sua reputação como criador de formas, explorando muito a plasticidade

do concreto armado, tornando-se um marco no design da construção civil.

Na representação Arquitetônica nada melhor do que Oscar Niemeyer, arquiteto

famoso, principalmente, pelas curvas impostas a edificações de arquitetura singular em

Brasília e pelas formas revolucionárias de seu estilo arquitetônico. Oscar Niemeyer tem um

gênio de artista e vê a arquitetura de forma única: “De um traço nasce à arquitetura. E quando

ele é bonito e cria surpresa, ele pode atingir, sendo bem conduzido, o nível superior de uma

obra de arte.” (Oscar Niemeyer – 1990).

O professor de Cálculo II do curso de Engenharia Civil da Instituição de Ensino

Superior Dom Bosco, propôs aos seus alunos, que avaliassem o consumo de material (volume

e área superficial) de uma das colunas, entre as renomeadas criações de Niemeyer. A

construção escolhida foi a do Palácio do Planalto, localizado em Brasília. O peristilo do

Palácio do Planalto é marcado pela singeleza de suas linhas, com predominância dos traços

horizontais. Curvas e retas combinam-se de forma a conferir ao prédio uma plasticidade

marcante e requintada. As colunas conseguem o efeito desejado por Niemeyer, assim definido

nas palavras do seu arquiteto: “Leves como penas pousando no chão”.

Para propor a devida avaliação requerida pelo professor é necessário que os alunos

tenham conhecimentos matemáticos sobre aplicações de Cálculo Diferencial e Integral nas

soluções de situações técnicas no cotidiano de um profissional da engenharia civil.

1 Case apresentado à disciplina Cálculo II, da Unidade de Ensino Superior Dom Bosco – UNDB.2 Aluna do 3º Período, do Curso de Engenharia Civil, da UNDB.3 Professor Mestre, orientador.

2 INTRODUÇÃO

É comum nos depararmos com situações da vida cotidiana em que necessitamos

calcular a área de alguma figura plana, como por exemplo, o volume de cilindro qualquer, ou

a área de um círculo ou de uma curva sobre uma determinada área.

As aplicações em cálculo numérico são largamente utilizadas em diversos processos

da engenharia, é considerado um dos conhecimentos fundamentais na atuação de um

profissional atuante nessa área, “devido à grande aplicabilidade, desempenhando papel

importante como linguagem na representação dos fenômenos e como instrumento para a

resolução de problemas.” CATAPANI ( 2001, p 102) apud MARCO BARBOSA (2004).

Podemos relatar como exemplo dessas aplicações, as obras criadas pelo arquiteto e

engenheiro Oscar Niemeyer, que soube explorar de forma ousada e habilidosa todos esses

conhecimentos. E foi assim, que pouco a pouco o arquiteto ganhou seu espaço e hoje é um

dos maiores símbolos do segmento Arquitetônico, devido à leveza das formas curvas da

maioria de suas obras. Como as obras de Niemeyer explorava as inúmeras possibilidades de

formas do concreto armado, necessitava contar sempre com a fundamental parceria dos

engenheiros Joaquim Cardoso e José Sussekind, sendo o primeiro responsável pelo cálculo da

maioria das obras da construção de Brasília e o segundo pelas obras da década de 70 até a

atualidade.

Portanto, harmonia, graça e elegância são os adjetivos mais apropriados para o

trabalho de Oscar Niemeyer. Ele foi pioneiro na exploração das possibilidades construtivas e

plásticas do concreto armado.

Assim como foi para Oscar Niemeyer, as técnicas de aplicação do Cálculo se

referência no poder do infinitamente pequeno. Através dele, problemas complexos podem ser

resolvidos de forma simplificada e objetiva, dividindo-o em partes infinitamente pequenas,

cuja resolução é quase sempre direta, onde o Cálculo Diferencial particiona o problema, e por

seguinte, o Cálculo Integral molda todas essas partes infinitas e dá a solução buscada para a

situação-problema.


3 IDENTIFICAÇÃO E ANÁLISE DO CASO

O Brasil conquistou seu lugar na historia da arquitetura mundial graças a Oscar

Ribeiro de Almeida de Niemeyer Soares Filho, cujas obras-construções que exploram as

possibilidades arquitetônicas do concreto armado estão presentes no Brasil e em outros países.

Todas as suas obras são de uma beleza esplêndida, ímpar e complexa. Na maioria de

suas criações demonstra sua admiração pelas curvas: “Não é o ângulo reto que me atrai, nem a

linha reta, dura, inflexível, criada pelo homem. O que me atrai é a curva livre e sensual, a

curva que encontro nas montanhas do meu país, no curso sinuoso dos seus rios, nas ondas do

mar, no corpo da mulher preferida. De curvas é feito todo o universo, o universo curvo de

Einstein.” (Oscar Niemeyer - 1990).

Obras curvilíneas e de tal complexidade, que necessitavam, além de uma mente

criativa, uma gama de conhecimentos sobre a aplicação de Cálculo Diferencial e Integral, para

transformar um simples traçado em uma obra de arte viável e palpável. São inúmeras as obras

onde Oscar Niemeyer, expressa sua paixão pelas curvas, como o Palácio da Alvora, a Catedral

Metropolitana Nossa Senhora da Aparecida, Igreja São Francisco de Assis, o Palácio do

Planalto, entre outras.

Figura 1: Palácio do Planalto em Brasília.

Fonte: http://www2.planalto.gov.br/presidencia/palacios-e-residencias-oficiais/palacio-do-planalto/galeria-de-fotos/palacio-do-planalto-27.jpg/image_view_fullscreen.

É nessa realidade, que a Engenharia Civil faz aplicação de conhecimentos científicos

com certas habilitações específicas para mensurar o consumo de materiais necessários para


criar estruturas e dispositivos que convertem projetos arquitetônicos em formas adequadas

para atender as expectativas e as necessidades do ser humano.

4 HISTORIA DO CÁLCULO

A história das descobertas matemáticas revela que não foi tão simples a formalização

dos conhecimentos acumulados até hoje, necessitou de um longo intervalo de tempo. As

ideias básicas do Cálculo remontam à Grécia antiga. No quarto século antes de Cristo,

Eudoxo inventou o método da exaustão a fim de obter provas para certos teoremas

geométricos evitando argumentos complexos acerca do infinito. Mais ou menos um século

depois, Arquimedes usou o mesmo método para obter a área de um círculo, por meio do

Método de Exaustão, creditado a Eudoxo.

Uma das maiores contribuições deixadas por Arquimedes ao Cálculo, foi o

desenvolvimento inicial de alguns métodos de cálculo integral. Conforme Boyer (1995):

“Para achar áreas e volumes, o versátil Arquimedes usou sua própria versão

primitiva do cálculo integral, que, de alguma maneira, é muito semelhante,

quanto ao espírito, ao cálculo atual. Numa carta a Eratóstenes, Arquimedes

expôs seu “método da alavanca” para descobrir fórmulas de áreas e volumes.

Mas, quando publicava provas para essas fórmulas, ele utilizava o método de exaustão para

se ajustar aos padrões de rigor da época.”.

Esse método persistiu por quase 2000 anos até que Kepler, ao estudar as leis que

regem o movimento dos planetas, percebeu que as áreas das elipses podiam ser calculadas

como a soma de um grande número de triângulos muito estreitos, com um dos vértices

colocado no Sol. Fermat e outros também contribuíram para o surgimento sobre o

particionamento infinito de uma área, para a criação do Cálculo por Isaac Newton. A união

das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das

técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz, que deram origem aos fundamentos mais

importantes do Cálculo: o conhecimento e a formulação da integral definida como uma soma

de infinitésimas partes.


Dessa época até os dias atuais o Cálculo não cessou de se desenvolver teoricamente e

de ser aplicado a novas situações, sendo um instrumento matemático absolutamente

imprescindível para muitas áreas do conhecimento.

5 APLICAÇÃO DO CÁLCULO NA ENGENHARIA

Os primeiros problemas que aparecem na História relacionado com as integrais são os

problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi a

medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras

começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles a relacionavam com a área do quadrado,

por ser esta figura plana mais simples. Assim buscavam encontrar um quadrado que tivesse a

área igual a da figura em questão.

Hoje em dia não é diferente, problemas relacionados à aplicação do cálculo esta

relacionada a tudo que nos cerca e surgem a todo o momento como um desafio aos

profissionais da engenharia, seja para mensurar a quantidade de material necessário para a

construção de um edifício, estradas, pontes, enfim, para propor soluções viáveis, a curto

prazo, que tenham um custo-benefício e que venha atender as necessidades do ser humano de

forma satisfatória.

6 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO NÚMERICA

Do ponto de vista analítico um problema de Matemática pode ser resolvido de diversas

regras, que podem ser utilizadas na prática. Porém, técnicas de integração analítica, como o

Teorema Fundamental do Cálculo Integral, nem sempre resolvem todos os casos. E para que

esse dado problema possa ser resolvido de forma mais simples, podemos fazer uso das

técnicas de integração numérica, que vão desde o método do trapézio, regra do retângulo, o

método de Simpson, entre outros.

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados

para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se

aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto

precisam ser resolvidos numericamente. Esse tipo de Cálculo tem um papel de fundamental


importância na engenharia, na determinação de raízes de equações, cálculo de áreas e volumes

de uma figura qualquer, integração numérica, entre outros, pois busca solucionar problemas

técnicos através de métodos numéricos, ou seja, de um modelo matemático.

7 RESULTADOS E DISCUSSÕES

7.1 Método Numérico de Thomas Simpson

A regra de Simpson recebe este nome devido o seu criador, o matemático inglês

Thomas Simpson, e a mesma se baseia em aproximar cada pedaço da curva por uma parte de

um parábola que "se ajusta" à curva da maneira que iremos veremos a seguir.

Figura 2: Ilustração do Método de Simpson.

Fonte: http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html.

A integração numérica é uma técnica comumente empregada na determinação de uma

integral definida, cuja função ou não é disponível ou não possui uma solução analítica. Ela

consiste na aproximação de uma integral definida do tipo:

I=∫a

b

f ( x ) dx (1)

Por uma soma do tipo:

∫a

b

f ( x )dx ≅∑i=1

n

w1 . f (x1¿¿). ∆ x ¿¿ (2)


http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html

Para que seja possível fazer uso dessa ferramenta, são necessários, no mínimo, três

valores de f(xi) para se calcular a integral pela regra de Simpson. Na expressão usada, x0 = a,

x2 = b e x1 é um ponto equidistante de x0 e x2. Para n intervalos x, a fórmula pode ser escrita

da seguinte maneira:

∫a

b

f ( x )dx ≅ ∆ x3 [ f ( x0 )+4 f ( x1 )+2 f ( x2 )+4 f ( x3 )+…+4 f ( xn−2 )+2 f ( xn−1)+ f ( x f ) ]

(3)

Na qual n é par (correspondendo a um número par de intervalos de integração) ou,

equivalentemente, a regra de Simpson só pode ser aplicada para um número ímpar de pontos

xi, f(xi).

7.2 Aplicação do Método

Para darmos início a solução do caso, primeiramente devemos calcular a área de cada uma das

partes que forma a figura em abaixo:

Figura 3: Demonstração da forma da coluna do caso requerido pelo case.


Fonte: (Proposta de Case (As colunas de Niemeyer) do prof. Everton de Cálculo II-UNDB)

A1=b ×h (4)

A1=0,8× 0,4 → A1=0,32 ×2 → A1=0,64 m2

A valor encontrado para aréa A1foi multiplicado por dois, pelo fato que a coluna em questão é

composta por duas figuras correspondentes a A1.

A2=b ×h

A2=0,4 ×2,5 → A2=1×2 → A2=2m2

De mesmo modo anterior, multiplicou-se o valor de A2 duas vezes, devido a coluna ser

composta por duas figuras iguais a A2.

Para determinarmos a A3vamos utilizar a fórmula da integral definida, visto que é composta

por uma função do tipo y=1x

.

A3=∫0,4

2,51x

dx

Resolvendo temos:

A3=ln ( x )∣0,42,5 → A3=ln (2,5 )−ln (0,4 )→ A3=0,9162−(−0,9162 ) → A3=1,83×2→ A3=3,66 m2

Sendo assim, encontramos a A3e procedemos da mesma forma anteriomente, multiplicamos o

resultado por dois.

- Cálculo do Comprimento do Arco:

Para calcular o comprimento da curva, se utiliza inicialmente a fórmula do comprimento do

arco, e posteriormente aplica-se a Regra de Simpson, onde se particionou em doze vezes o

sólido em questão.

s=∫a

b

√1+ f ' (x )2 dx (5)


Derivando a função temos: f' ( x )=1

x→ f ' ( x )=x−1 → f ' (x )=−1

x2

Encontrado o valor da função eleva-se ao quadradro: [ f ' (x)2 ]= 1

x4

onde substitui na equação os devidos valores:

s=∫0,4

2,5

√1+ 1x 4 dx

Dando continuidade a solução pretendida, encontra-se o espaço que deve exister entre uma

curva e outra, atráves fórmula:

∆ x=b−an (6)

Onde b e a são os intervalos (x0, xf) e no qual n é o número de curvas que foi particionado a

aréa da coluna.

∆ x=2,5−0,412

→ ∆ x=0,112

→ ∆ x=0,175

Tendo agora, conhecimento desses valores pode-se calcular o comprimento da curva, usando

o regra de Simpson, de acordo com a fórmula (3):

0,1753

=[ f (0,4 )+4 f (0,575 )+2 f (0,750 )+4 f (0,925 )+2 f (1,100 )+4 f (1,275 )+2 f (1,450 )+4 f (1,625 )+2 f (1,800 )+4 f (1,975 )+2 f (2,150 )+4 f (2,325 )+ f (2,500)]

Dessa modo, a cada valor encontrado para f ( x), substitui-se na fórmula (5):

√1+ 1(0,4)4 = 6,32 → √1+ 1

(0,575)4 = 3,18× 4=¿12,74

√1+ 1

( 0,750 )4=2,03×2=4,07 →√1+ 1

(0,925 ) 4 =1,53× 4=6,15

√1+ 1(1,100)4 =1,29 ×2=2,59→√1+ 1

(1,275)4 =1,17× 4=4,69


√1+ 1(1,450)4 =1,10 ×2=2,21→ √1+ 1

(1,625)4 =1,06 × 4=4,27

√1+ 1(1,800)4 =1,04 × 2=2,09 → √1+ 1

(1,975)4 =1,03 × 4=4,12

√1+ 1(2,150)4 =1,02 ×2=2,04 → √1+ 1

(2,325)4 =1,01 ×4=4,06

√1+ 1(2,500)4 =1,01

Após encontrar os valores de cada partição, se soma e multiplica-se pelo valor de ∆ x, assim,

encontra-se o valor do comprimento do arco :

0,1753

× 56,36=3,28 m2

-Cálculo daA4 :

A4=b × h

A4=3,28 ×0,8 → A4=2,62 m2

-Cálculo daA5 :

A5=b ×h

A5=0,8 ×2,5 → A5=2m2

Conhecendo-se os valores de cada área que forma o sólido, podemos então, desenvolver o

cálculo da área superficial da coluna.

AS=A1+ A2+ A3+ A4+ A5

AS=0,64+2+3,66+2,62+2

AS=10,92 m2


- Cálculo do Volume da Coluna:

Para se calcular o volume do sólido formado, basta multiplicar a sua base pela altura:

V=b ×h

V=( A2+ A3)×h

V=(1+1,83)× 0,8

V=2,26 m3

7.3 Altura e Área do Sólido em Forma Cilíndrica

Por meio do volume encontrado, pode-se desenvolver um modelo de coluna (curva ou

em forma cilíndrica), de mesmo volume da coluna proposta aos alunos da UNDB do curso de

Engenharia, a partir de uma curva qualquer, descrevendo sua altura e área superficial.

Figura 4: Demonstração de uma coluna em forma cilíndrica.

Cálculo da altura:

V=π × R2× h


2,26=3,14 × R (0,4)2× h

2,26=3,14 × 0,16× h

h=4,52 m

Cálculo da área superficial:

Área da base:

Ab=π × R2

Ab=3,14 ×¿

Ab=0,50 m2

Área lateral:

AL=2× π × R × h

AL=2× 3,14 ×0,4 ×4,52

AL=11,35m2

Área total:

At=Ab × AL

At=0,50 ×11,35

At=12,35m2


8 CONCLUSÃO

A sociedade atual está cada vez mais exigente quanto ao profissional engenheiro,

buscando nesses profissionais soluções práticas e imediatas para os problemas de suas

respectivas áreas. Desta forma, é de extrema importância que os alunos, da disciplina de

Cálculo, aprendam não só a resolver expressões ou equações, mas que compreendam a sua

finalidade aplicada à realidade, resolvendo problemas práticos.

Com a realização desde trabalho pode-se compreender que é possível e viável a

aplicação de conhecimentos de cálculo integral na solução de situações técnicas de um

engenheiro, como determinar o consumo de material que vai desde a construção de um sólido

qualquer até sistemas construtivos mais complexos, utilizado técnicas de derivação e

integração, além de métodos numéricos, estes com resultados mais precisos.

O cálculo, além das utilidades conhecidas como ferramenta necessária a todas as

atividades de engenharia, serve para disciplinar nossas mentes a desenvolver um raciocínio

lógico acentuando sua capacidade para rápida resolução de problemas cotidianos de forma

organizada e objetiva.


REFERÊNCIAS

Oscar Niemeyer: http://www.histeo.dec.ufms.br/trabalhos/teoria3_2007/OscarNiemeyer.pdf. Acesso em 10 abril de 2012.

Curvas na Obra de Oscar Niemeyer: Disponível em: http:// alunos.ufrgs.br/PIZZATO . Acesso em 05 de abril de 2012.

Aprendizagem na Disciplina de Cálculo e Integral:

http://www.biblioteca.pucpr.br/tede/tde_arquivos/Publico/Marcos.pdf. Acesso em 24 março

2012.

BOYER, Carl B. Cálculo - tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. São Paulo: Atual Editora Ltda., 1995. V. 6.

A História de Cálculo: http://www.prof2000.pt/users/4238anibal/tarefa7/ficalu3.htm. Acesso em 12 março de 2012.

BARROSO, L. C., BARROSO, M. A., CAMPOS, F. F., CARVALHO, M. L. B. & MAIA,

M. L. Cálculo Numérico (Com Aplicações), 2.ed. São Paulo, Editora Arbra, 1987.

O Método de Simpson: Disponível em: http:// www.alunos.eel.usp.br/numerico/pdf . Acesso em 10 de abril de 2012.


http://revistaescola.abril.com.br/

http://www.prof2000.pt/users/4238anibal/tarefa7/ficalu3.htm

http://www.biblioteca.pucpr.br/tede/tde_arquivos/Publico/Marcos.pdf

http://revistaescola.abril.com.br/

http://www.histeo.dec.ufms.br/trabalhos/teoria3_2007/OscarNiemeyer.pdf

sinopse do case de cÁlculo ii

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