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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO
CUADRATICO CON COMPUTACION
EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Carlos Eduardo Betancur P
Leoanrdo Taffurht C
18 de noviembre de 2008
Universidad Tecnologica de Pereira Ingenierıa Electrica
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Modelo Real del Puente Grua a Escala
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Indice
Modelado
Control Optimo LQR
Algoritmos Geneticos
Sintonizacion
Resultados
Conclusiones
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Modelado
Diagrama de cuerpo libre para el puente grua
x
Mc
ml
l
+→∑
Fx = ma (1)
+ ↑∑
Fy = ma (2)∑
M = J θ (3)
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Modelado
Diagrama de cuerpo libre para el carro y el pendulo
U( t )
Mc* g
V H
Fr
N x
Y
X
ml
z
l
H
V
ml* g
Dp
..
z J
U(t) − Fr − H = Mc x (4)
Donde Fr es la friccion rotacional
Fr = fc x
H = ml
d2
dt2(x − lsenθ) (5)
V − mlgFy = ml
d2
dt2(lcosθ) (6)
J θ + Dp − Hlcosθ + Vlsenθ = 0 (7)
Donde Dp es la friccion rotacional
Dp = fp θ
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Modelado
Ecuaciones no lineales y lineales
U(t) − Fr = (Mc + ml )x + ml l(θ2senθ − θcosθ) (8)
J θ + fp θ − ml lcosθ(
x − l θcosθ + θ2lsenθ)
+ lsenθ[
mlg + ml l(
θsenθ + θ2cosθ)]
= 0
(9)
Linealizando alrededor del punto de operacion θ=0 y suponiendo que el angulo θ no esmayor a 15◦, se tiene:
sen2θ ∼= 0, senθ ∼= θ, cosθ ∼= 1 θ2 ∼= 0
U(t) − fc x = (Mc + ml )x − ml l θ (10)
J θ + fp θ − ml l x + ml l2θ + lθmlg = 0 (11)
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Modelado
Ecuaciones no lineales y lineales
Definiendo las variables de estado:
x1 = x
x1 = x = x3
x3 = x
x2 = θ
x2 = θ = x4
x4 = θ
x1
x2
x3
x4
=
x
θ
vpuente
ωpendulo
⇒
Posicion(Carro)Angulo(Pendulo)Velocidad(Carro)
Velocidad(Angular)
(12)
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Modelado
Ecuaciones en el espacio de estado
Datos Manual
x1
x2
x3
x4
=
0 0 1 00 0 0 10 −0,4473 −0,0425 −0,00850 −14,5813 −0,0604 −0,2758
x1
x2
x3
x4
+
00
0,85011,2084
U(t)
(13)
y =
[
1 0 0 00 1 0 0
]
x1
x2
x3
x4
+
[
00
]
U(t) (14)
Datos Medidos
x1
x2
x3
x4
=
0 0 1 00 0 0 10 −0,1501 −0,7939 00 −28,8497 −2,2995 −0,0061
x1
x2
x3
x4
+
00
1,18493,4322
U(t)
(15)
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Modelado
Polos del sistema en lazo abierto
−5 0 5−6
−4
−2
0
2
4
6Polos del sistema en lazo abierto
Real
Imag
inar
io
ManualAjustados
Parametro Valores Manual Valores Medidos
Masa del carro (Mc) 1,12 [Kg ] 0,84385 [Kg ]Masa de la carga (ml ) 0,11 [Kg ] 0,013 [Kg ]
Momento de incercia (J) 0,0136 [Kgm2] 0,00001 [Kgm2]
Coeficiente de friccion de rotacion (fp) 0,007 [Kgm2
rad·s] 0,0000093 [Kgm2
rad·s]
Coeficiente de friccion del carro (fc) 0,05 [Nsm
] 0,67 [Nsm
]
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Modelado
Respuestas en lazo abierto (parametros manual)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Posición del Carro
Tiempo [s]
Pos
ició
n [m
]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2Oscilación del Péndulo
Tiempo [s]
Áng
ulo
[°]
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Modelado
Respuestas en lazo abierto (parametros medidos)
0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16Posición del Carro
Tiempo [s]
Pos
ició
n [m
]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2Posición del Carro
Tiempo [s]
Pos
ició
n [m
]
0 5 10 15 20 25 30−15
−10
−5
0
5
10Oscilación del Péndulo
Tiempo [s]
Áng
ulo
[°]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4Oscilación del Péndulo
Tiempo [s]
Áng
ulo
[°]
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Control optimo LQR
Control Clasico-Control Moderno
Control Clasico.
1. Sistemas monovariables SISO.2. Funcion de transferencia.3. Realimentacion solo de la salida.4. Controles PID.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Control optimo LQR
Control Clasico-Control Moderno
Control Clasico.
1. Sistemas monovariables SISO.2. Funcion de transferencia.3. Realimentacion solo de la salida.4. Controles PID.
Control Moderno.
1. Sistemas multivariables MIMO.2. Ecuaciones en el espacio de estados.3. Realimentacion de todas las variables de estado.4. Ubicacion de polos.5. Regulador optimo cuadratico lineal LQR.6. Observadores de estado.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Control optimo LQR
Realimentacion de estados
B
A
+ -
u( t ) x´( t ) x( t ) y ( t ) C
D
+ +
x(t) = Ax(t) + Bu(t) (16)
y(t) = Cx(t) + Du(t) (17)
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Control optimo LQR
Realimentacion de estados
B
A
+ -
u( t ) x´( t ) x( t ) y ( t ) C
D
+ +
x(t) = Ax(t) + Bu(t) (16)
y(t) = Cx(t) + Du(t) (17)
B + -
A
K
+ -
u(t) x´(t) x(t) y(t) C
Ref=0
u(t) = −Kx(t) (18)
x = Ax(t) − BKx(t) = (A − BK)x(t) (19)
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Control optimo LQR
LQR
Se puede probar que si L(x , u) es una funcion cuadratica, el ındice de desempenoJ=
∫
∞
0 L(x , u)dt puede producir leyes de control del tipo u(t)=−Kx(t).
El problema de regulacion para el puente grua se puede resuelver a partir de laoptimizacion de un ındice de desempeno cuadratico que caracteriza al LQR, el cual es
J =
∫ tf
t0
(
xT Qx + uT Ru)
dt (20)
Este controlador trata de mantener al sistema en un estado lo mas cercano al dereposo x=0, haciendo uso mınimo de la senal de control u.xT Qx : es una medida de la desviacion de los estados respecto los estados deseados.uT Ru: es una medida del esfuerzo del control.Donde:Q y R son matrices definidas positivas (o semidefinidas positivas) y simetricas real.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Control optimo LQR
LQR
Para la matriz Q sus elementos penalizan respectivamente el error del estado x , y parala matriz R sus elementos penalizan el costo energetico de la accion de control.
[Q] =
q11 q12 · · · q1j
q21
. . .
.
... . .
qj1 qij
[R] =[
r11
]
Usando la ecuacion algebraica de Ricatti, la cual es una solucion exacta para este tipode funcion cuadratica, y donde se obtiene el valor de P el cual es una matriz definidapositiva
ATP + PA − PBR−1BTP + Q = 0 (21)
Que lleva al sistema de un estado inicial a un estado fina por la trayectoria optima.Dando asi lugar a una solucion lineal,
uopt(t) = −Koptx(t) = −R−1BTPx(t) (22)
Kopt = −R−1BTP (23)
y sea esta utilizada en ley de realimentacion de variables de estado, como lasganancias que permitiran unas respuestas apropias y optimas para el sistema tratado.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Control optimo LQR
Observador de orden reducido
Por tanto, se puede disenar un observador de estado de orden reducido, donde seestimen unicamente las variables de estado restantes.
x1: vector de estado que se puede medir directamente.
x2: vector de estado que no se puede medir directamente.
se puede dividir el modelo de espacio de estados de las ecuaciones en[
x1
x2
]
=
[
A11 A12
A21 A22
] [
x1
x2
]
+
[
B1
B2
]
u (24)
y con la ecuacion de salida:
y =[
C1 0]
[
x1
x2
]
(25)
Realizando el procedimiento para introducir las variables estimadas al lazo de controlse tiene al final, considerando η = (x2 − Lx1) se tiene
˙η = (A22 − LA12) η + [(A21 − LA11) + (A22 − LA12)L]x1 + (B2 − LB1)u (26)
Si se define el error como
e = x2 − x2 = η − η
se tiene que la dinamica del error esta dada por:
e = (A22 − LA12) e
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Control optimo LQR
Diagrama de bloque del observador reducido
B C
A
Ref=0 u( t ) x( t ) x( t ) y ( t ) +
- +
-
K
B - LB
L +
+
+ +
+
+
+ h ~ ( t )
2 1
A - LA 22 12
A - LA 21 11 h ~
( t )
0
I n - m
I
0
m
Transformación
Observador de Orden Reducido
Sistema o Planta
.
.
x 1
~ x 2
~ x 2
C 1 -1
~ x
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Algoritmos Geneticos
Algoritmo Genetico
Fueron desarrollados por John Holland. Son algoritmos de busqueda y optimizacionusados para resolver problemas matematicos en los cuales no existe tecnicasespecializadas para solucionarlos.
Estos algoritmos imitan la seleccion natural de las especies, adaptando los conceptosde la evolucion natural al desarrollo de programas de optimizacion por medio de uncomputador.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Algoritmos Geneticos
Terminologıa
La terminologıa empleada por los algoritmos geneticos, procede de la genetica y laevolucion natural. Entre los terminos mas empleados se encuentran los siguientes:
Cromosoma o individuo
Gen
Poblacion
Generacion
Aptitud
Funcion de evaluacion o adecuacion
Operadores geneticos
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Algoritmos Geneticos
Pasos de un algoritmo genetico
1. Creacion, de forma aleatoria, de la poblacion inicial de cromosomas.
2. Evaluacion de la aptitud de cada cromosoma de la poblacion.
3. Si se cumplen las condiciones de finalizacion, se detiene el algoritmo y se tomael mejor cromosoma como solucion al problema. Si no, el proceso continua.
4. Seleccion de las parejas de cromosomas que formaran el conjunto de padres dela nueva generacion.
5. Aplicacion de los operadores de cruce y mutacion para obtener una nuevageneracion de cromosomas hijos.
6. Se vuelve al paso 2.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Algoritmos Geneticos
Conceptos de un algoritmo genetico
Representacion o codificacion
Representacion binaria: Cada gen es un valor 1 o 0.1 0 1 1 0 1
Representacion entera: Cada gen es un valor entero.1 0 3 -1 0 4
Representacion real: Cada gen es un valor real.1,78 2,6 7 0 -1,2 6,5
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Algoritmos Geneticos
Conceptos de un algoritmo genetico
Tamano de la poblacion.
Poblacion inicial.
Funcion objetivo o de adaptacion.
Seleccion.
• Metodo de la ruleta.
• Seleccion por torneo.
Operador de cruce.
• Cruce en un punto.
• Cruce en n puntos.
Mutacion.
Criterio de parada.
• Numero determinado de generaciones.
• Valor de aptitud menor a una ya definida.
• Determinada por el disenador.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Criterios de diseno
El objetivo es obtener los valores de los parametros del controlador LQR que cumplancon los criterios de diseno:
tss ≤ 4s
Ess ≤ 10%
θ ≤ 3◦
Mp = 0
Una matriz Q de peso para los estados y una matriz R de peso para la senal decontrol R, hacen parte del ındice de desempeno.
J =
∫ T
0
(
xT Qx + uT Ru)
dt (27)
Las soluciones de optimizacion para esta clase de ındices se desarrolla por medio delsegundo metodo de Lyapunov, convirtiendose la demostracion final del metodo deLyapunov en una ecuacion algebraica, denominada ecuacion algebraica de Ricatti.Resolviendo esta ecuacion teniendo la matriz Q de peso para los estados y la matrizındice de control R. Se determina la matriz de ganancias de realimentacion optima K
K = RTBTP (28)
se puede encontrar un vector de control optimo (u)
u(t) = −Kx(t) (29)
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Determinacion de las matrices Q y R
Para el caso de este trabajo las configuraciones que se implementaran seran:
1. Q teniendo en cuenta solo posicion, angulo y R
[Q] =
q1 0 0 00 q2 0 00 0 0 00 0 0 0
[R] = [r1]
2. Q con los elementos de la diagonal y R
[Q] =
q1 0 0 00 q2 0 00 0 q3 00 0 0 q4
[R] = [r1]
3. Q con todos los elementos y R
[Q] =
q1 q5 q6 q7
q5 q2 q8 q9
q6 q8 q3 q10
q7 q9 q10 q4
[R] = [r1]
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Diagrama de flujo del LQR
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Diagrama de flujo del LQR
INICIO
Identificación, Modelado , variables de estado y de control
Linealización ( punto de operación )
Ley de control por realimetación de variables de estado
Control multivariable " LQR "
Controlabilidad y Observabilidad
Determinacion de [Q] y [R]
Calculo del " LQR "
Población inicial
Evaluación de la aptitud
Selección por torneo
Cruce
Mutación
Nueva generación
Población de la
generación
Evaluación de restricciones
Obtencion de [K] a partir de la ecuacion algebraica de Ricatti
Simulación
Repuesta buena o optima ?
SI
NO
Metodo a Elegir
Prueba y Error
FIN
Algoritmo Genetico
D I S
E Ñ
O D
E L
" L Q
R "
D I S
E Ñ O
D E
L A L G
O R
I T M
O G
E N
E T
I C O
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Sintonizacion por medio del algoritmo genetico
Población inicial
Evaluación de la aptitud
Selección por torneo
Cruce
Mutación
Nueva generación
Población de la generación
Evaluación de restricciones
Número de generaciones
No
Si
Cromosoma óptimo
Configuracion de los cromosomas:
Ind = [q1 q2 r1]
Ind = [q1 q2 q3 q4 r1]
Ind = [q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 r1]
Poblacion inicial:Conformada por 100 individuos, creados demanera aleatoria.
Indn = rand(1, 11) · (1000 − 0,0001) + 0,0001
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Sintonizacion por medio del algoritmo genetico
Población inicial
Evaluación de la aptitud
Selección por torneo
Cruce
Mutación
Nueva generación
Población de la generación
Evaluación de restricciones
Número de generaciones
No
Si
Cromosoma óptimo
Evaluacion de cada individuo:
K =
∫ tf
t0
(
xT Qx + uT Ru)
dt
Salidas:
Posicion.
Angulo.
Senal de control.
Funcion objetivo: ITAE
J =
∫ t
0|e(t)| tdt
JAG = Kp
∫ t
0|ep | tdt + Ka
∫ t
0|eθ| tdt + Ku
∫ t
0
∣
∣eU(t)
∣
∣ tdt
JAG → Valor de aptitud .
Restricciones:
JAGnP = JAG + 250 → Penalizacion
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Sintonizacion por medio del algoritmo genetico
Población inicial
Evaluación de la aptitud
Selección por torneo
Cruce
Mutación
Nueva generación
Población de la generación
Evaluación de restricciones
Número de generaciones
No
Si
Cromosoma óptimo
Seleccion:Se implementa la seleccion por torneo.
C1 → JAG1
C2 → JAG2
Si JAG1 < JAG2, C1 sera seleccionadopara ser cruzado.
Si JAG2 < JAG1, C2 sera seleccionadopara ser cruzado.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Sintonizacion por medio del algoritmo genetico
Población inicial
Evaluación de la aptitud
Selección por torneo
Cruce
Mutación
Nueva generación
Población de la generación
Evaluación de restricciones
Número de generaciones
No
Si
Cromosoma óptimo
Cruce en un punto:Se genera un numero aleatorio N, si N < Pc se efectuael cruce.
[ q p1
q p2
q p3
q p4
q p5
q p6
q p7
q p8
q p9
q p10
r p1
] Cromosoma padre
[ q m 1
q m2
q m3
q m4
q m5
q m6
q m7
q m8
q m9
q m10
r m1
] Cromosoma madre
Se genera un numero aleatorio entre 1 y la longitud delcromosoma menos 1.Suponiendo el cruce a partir del cuarto gen
[ q m 1
q m2
q m3
q m4
q p5
q p6
q p7
q p8
q p9
q p10
r p1
]
[ q p1
q p2
q p3
q p4
q m5
q m6
q m7
q m8
q m9
q m10
r m1
] Cromosomas hijos
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Sintonizacion por medio del algoritmo genetico
Población inicial
Evaluación de la aptitud
Selección por torneo
Cruce
Mutación
Nueva generación
Población de la generación
Evaluación de restricciones
Número de generaciones
No
Si
Cromosoma óptimo
Mutacion:Se genera un numero aleatorio N, si N < Pm se efectuala mutacion.
[ q p1
q p2
q p3
q p4
q p5
q p6
q p7
q p8
q p9
q p10
r p1
] Cromosoma a mutar
C n
Nuevo gen
Se genera un numero aleatorio entre 1 y la longitud delcromosoma.Suponiendo que el cromosoma sufrira una mutacion enel gen 9.
[ q p1
q p2
q p3
q p4
q p5
q p6
q p7
q p8
C n
q p10
r p1
] Cromosoma mutado
Nueva generacion.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Sintonizacion de los parametros del LQR
Sintonizacion por medio del algoritmo genetico
Población inicial
Evaluación de la aptitud
Selección por torneo
Cruce
Mutación
Nueva generación
Población de la generación
Evaluación de restricciones
Número de generaciones
No
Si
Cromosoma óptimo
Criterio de parada:El algoritmo llagara a su fin cuando se hayanevaluado 50 generaciones.
El cromosoma seleccionado sera aquel conmenor valor de aptitud JAG
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Corridas del algoritmo genetico
Tabla para las diferentes penalizaciones de la Matriz Q y R
Estados Penalizados
Q(2) y R(1) 2 estados y 1 Senal de controlQ(4) y R(1) 4 estados y 1 Senal de control
Q(4 con R) y R(1) 4 estados, las relaciones y 1 Senal de control
Q(2) y R(1) Q(4) y R(1) Q(4 y r) y R(1)JAG Cor5 Gene Ind Cor10 Gene Ind Cor7 Gene Ind
J 929 1 1 1619 1 10 947 1 1J 841 1 22 644 1 14 712 1 7J 582 1 65 608 1 36 639 1 53J 513 13 27 573 1 79 544 1 92J 534 1 79 512 4 27J 448 1 97 475 36 57J 457 47 71
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Respuestas penalizando 2 estados
Q =
32,80 0 0 00 939,50 0 00 0 0 00 0 0 0
R=[5.07]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Posicion del Carro
Tiempo [s]
Pos
icio
n [m
]
Polos(s) −1,9335 ± j4,2664 −0,8050 ± j0,8521K(s) [2.5433 9.9635 3.3301 1.9265]
Polos(z) 0,8874 ± j0,1923 0,9597 ± j0,0409K(z) [2.2359 8.0463 2.9791 1.8976]
L
[
19,9788 −0,0302−0,0117 19,6188
]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Posicion del Carro
Tiempo [s]
Pos
icio
n [m
]
![Page 37: SINTONIZACION DE UN CONTROL´ OPTIMO´ CUADRATICO …](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012512/618a97658535d264bd1542cb/html5/thumbnails/37.jpg)
SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Respuestas penalizando 2 estados
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Posicion del Pendulo
Tiempo [s]
Ang
ulo
[°]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Señal de Control
Tiempo [s]
Fue
rza
[N]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−4
−2
0
2
4
6
8Posicion del Pendulo
Tiempo [s]
Ang
ulo
[°]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−5
0
5
10
15
20Señal de Control
Tiempo [s]
Fue
rza
[N]
![Page 38: SINTONIZACION DE UN CONTROL´ OPTIMO´ CUADRATICO …](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012512/618a97658535d264bd1542cb/html5/thumbnails/38.jpg)
SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Respuestas penalizando 4 estados
Q =
462,29 0 0 00 120,90 0 00 0 312,34 00 0 0 928,87
R=[31.48]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Posicion del Carro
Tiempo [s]
Pos
icio
n [m
]
Polos(s) −1,7050 + ±j2,0524 -4.6833 -1.3625K(s) [3.8323 12.4697 5.3440 3.8023]
Polos(z) 0,9133 ± j0,0944 0.7933 0.9341K(z) [3.0531 8.6138 4.3294 3.2601]
L
[
19,9788 −0,0302−0,0117 19,6188
]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Posicion del Carro
Tiempo [s]
Pos
icio
n [m
]
![Page 39: SINTONIZACION DE UN CONTROL´ OPTIMO´ CUADRATICO …](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012512/618a97658535d264bd1542cb/html5/thumbnails/39.jpg)
SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Respuestas penalizando 4 estados
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Posicion del Pendulo
Tiempo [s]
Ang
ulo
[°]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Señal de Control
Tiempo [s]
Fue
rza
[N]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7Posicion del Pendulo
Tiempo [s]
Ang
ulo
[°]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−10
−5
0
5
10
15
20Señal de Control
Tiempo [s]
Fue
rza
[N]
![Page 40: SINTONIZACION DE UN CONTROL´ OPTIMO´ CUADRATICO …](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012512/618a97658535d264bd1542cb/html5/thumbnails/40.jpg)
SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Respuestas penalizando 4 estados y sus relaciones
Q =
509, 50 165, 90 267, 06 253, 23165, 90 987, 85 946, 86 57, 28267, 06 946, 86 425, 47 57, 24253, 23 57, 28 57, 24 984, 40
R=[29,48]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Posicion del Carro
Tiempo [s]
Pos
icio
n [m
]
Polos(s) −1,5517 ± j2,0823 -6.0403 -1.2099K(s) [4.1571 14.1506 5.9087 4.1478]
Polos(z) 0,9202 ± j0,0964 0.7418 0.9413K(z) [3.2397 9.6035 4.6818 3.4927]
L
[
19,9788 −0,0302−0,0117 19,6188
]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Posicion del Carro
Tiempo [s]
Pos
icio
n [m
]
![Page 41: SINTONIZACION DE UN CONTROL´ OPTIMO´ CUADRATICO …](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012512/618a97658535d264bd1542cb/html5/thumbnails/41.jpg)
SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Respuestas penalizando 4 estados y sus relaciones
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Posicion del Pendulo
Tiempo [s]
Ang
ulo
[°]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Señal de Control
Tiempo [s]
Fue
rza
[N]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7Posicion del Pendulo
Tiempo [s]
Ang
ulo
[°]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−10
−5
0
5
10
15
20Señal de Control
Tiempo [s]
Fue
rza
[N]
![Page 42: SINTONIZACION DE UN CONTROL´ OPTIMO´ CUADRATICO …](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012512/618a97658535d264bd1542cb/html5/thumbnails/42.jpg)
SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Evolucion de las respuestas penalizando 4 estados y sus relaciones
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Evolucion de la posicion del carro
Tiempo [s]
Pos
icio
n [m
]
J 1J 2J 3J 4J 5 Optimo
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Posicion del Pendulo
Tiempo [s]
Ang
ulo
[°]
J 1J 2J 3J 4J 5 Optimo
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Evolucion de la señal de control
Tiempo [s]F
uerz
a [N
]
J 1J 2J 3J 4J 5 Optimo
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Comparacion ante las diferentes penalizaciones
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Posicion del Carro
Tiempo [s]
Pos
icio
n [m
]
Q(2) y R(1)Q(4) y R(1)Q(4 con R) R(1)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Posicion del Pendulo
Tiempo [s]
Ang
ulo
[°]
Q(2) y R(1)Q(4) y R(1)Q(4 con R) y R(1)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Señal de Control
Tiempo [s]
Fue
rza
[N]
Q(2) y R(1)Q(4) y R(1)Q(4 con R) y R(1)
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Validacion de los resultados en el modelo real
Penalizando 2 estados Penalizando 4 estados(ver vıdeo)
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Validacion de los resultados en el modelo real
Penalizando 4 estados y sus relaciones
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Resultados
Ante perturbaciones(ver vıdeo)
0 5 10 15 20 25 30−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4Posición del Carro
Tiempo [s]
Pos
ició
n [m
]
0 5 10 15 20 25 30−30
−20
−10
0
10
20
30Oscilación del Péndulo
Tiempo [s]
Áng
ulo
[°]
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
Conclusiones
Conclusiones
El control lineal multivariable LQR presenta una gran libertad de diseno. Es uncontrol muy robusto, propiedad que le otorga gran efectividad en plantas decomportamiento lineal y no lineal.
La determinacion de los pesos de la funcion de coste de la ley de control LQR
requiere realizar una serie de simulaciones. las cuales depende del conocimientoque se disponga sobre la planta.
En la elaboracion de este trabajo se comprobo todas las ventajas que poseen losalgoritmos geneticos, encontrando respuestas optimas y de manera rapida parael problema tratado.
El algoritmo genetico permite que los parametros de penalizacion de los estado ydel esfuerzo de control en el LQR, no se sintonicen empıricamente, sino a partirde la busqueda aleatoria propia del algoritmo, sujeta a las restricciones de disenopresentadas en el sistema, dotando asimismo mayor robustez al controlador.
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SINTONIZACION DE UN CONTROL OPTIMO CUADRATICO CON COMPUTACION EVOLUTIVA PARA UN PUENTE GRUA
GRACIAS