Sistem Dinamiği ve

Modellemesi

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması

Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı

2

Giriş:

Sistem dinamiği çözümlemesinde, farklı fiziksel özellikler taşıyandoğrusal sistemlerin karakteristiklerini belirleyen temel bağıntılararasında benzerlik (anoloji) kurulabilmesi sonucunda sistemlerinbelirli sınıflara ayrılabilmesi mümkün olmaktadır.

Böylelikle doğrusal sistemlerin dinamik davranışları (zaman ve frekansdavranışları), ortak performans özelliklerine bakılarak öncedenöngörülebilmektedir.

Ayrıca bu karakteristik faktörlere göre bir sistemin kontroledilebilirliği hakkında bir karara varılabilir.

3

Zamana bağlı olarak değişimleri xe(t) girdisi ve xa(t) çıktısı ile

belirlenen tek girdili ve ve tek çıktılı bir sistemin dinamiği:

Yukarıdaki denklemde xa(t) çıktısının en yüksek mertebeden türevi

sistemin gecikme mertebesini belirler.

012

012

(t)x(t)+Bx(t)+Bx.......+B(t)+......x =B

(t) x(t)+Ax(t)+Ax.....+A(t)+......xA

eee

(m)

em

aaa

(n)

an

(t) x(t)=K(t)+xxT eaa Birinci mertebeden

gecikmeli sistem

)()()()( txKtxKtxtxT eaaa İkinci mertebeden

gecikmeli sistem

4

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• Oransal (P) Sistemler :

Ideal yükselticiler veya girdi ile çıktısı sabit bir orantıyla biri birine

bağlı değişen sistemler veya elemanlar “Oransal “ dır.

)()( txKtx ea K : Kazanç faktörü

Ksx

sxsG

e

a )(

)()(

5

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• Oransal (P) Sistemler : (örn: redüktör sistemleri)

2211 )()( NtwNtw

iN

N

sw

swsG

NswNsw

2

1

1

2

2211

)(

)()(

)()(

6

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• İntegral (I) Sistemler :

İntegral davranış, darbeli girdileri yumuşatan bir özellik

sergilemektedir. Ağır yükleri hareket ettiren mekanizmalarda

yumuşak kalkışı sağlayan ve sistemin darbelerden hasar görmesini

önleyen integral davranışlı elemanlar kullanılır.

s

sxKsx e

ia

)()(

s

K

sx

sxsG i

e

a )(

)()(

Ki : integral sabiti

dttxKtx eia )()(

7

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• Diferansiyel (D) Sistemler :

Diferansiyel davranış, girdi değişiklerine çok çabuk etki gösteren

bir sistem davranışındır. Diferansiyel etki bir sistemin girdisindeki

değişikliklere göre alacağı tavrın önceden belirlenmesini (ön sezgi)

sağlar.

)()( sxsKsx eDa

sKsx

sxsG D

e

a )(

)()(

KD : diferansiyel sabiti

dt

tdxKtx e

Da

)()(

8

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• Birinci Mertebeden Gecikmeli (BMG) Sistemler:

Zaman davranışı:

Genel olarak enerji depolayan sistemler BMG sistem özelliği

taşırlar (kondansatör, yay, depo, vs.)

)()()1( sxKsxsT ea

1)(

)()(

sT

K

sx

sxsG

e

a K : Kazanç faktörü

T : Zaman sabiti

(t) x(t)=K(t)+xxT eaa

9

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• Birinci Mertebeden Gecikmeli (BMG) Sistemler:

1)(

)()(

sT

K

sx

sxsG

e

a

)1()()()(

1)(

sTs

KsGsxsx

ssx eae

)/1(

/

)1()(

Tss

TK

sTs

Ksxa

T

t

aa eKtxsxL 1)()(1

10

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• Birinci Mertebeden Gecikmeli (BMG) Sistemler:

)1()( T

t

a eKtx

xe(t)

xa(t)

K=2

T=1,5 sn

draadr

draa

draa

draa

xTxTt

xTxTt

xTxTt

xTxTt

982,0)4(4

950,0)3(3

865,0)2(2

632,0)(

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• Birinci Mertebeden Gecikmeli (BMG) Sistemler:

Son değer teoremi :

Düzenli rejim süresi :

11

xe(t)

xa(t))1()(

sTs

Ksxa

)(lim0

sxsx as

dra

Kx

sTs

Ksx

dra

sdra

)1(lim

0

12

Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması:

• Birinci Mertebeden Gecikmeli (BMG) Sistemler:

Uygulama: Direnç Kondansatör (RC) Devresi:

dt)t(iC

1)t(Ri)t(Vi

1

1

)(

)()(

RCssV

sVsG

i

o

)e1(V)t(V RCt

io

RC =T: zaman sabiti

13

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

Hidrolik veya gaz akışkanları ile bunların temel ilkelerini içeren

sistemler akışkan sistemler olarak ele alınırlar.

Akışkanlar ve özellikle gazlar, genel olarak sıkıştırılabilir ortamlardır;

yani bunların yoğunluğu basınçla değişir.

Sıvı akışkanlar ile gazların bazı şartlarla, gerçekten çok az hata ile

sıkıştırılamayan sistemler olarak ele alınması mümkün olmakta, bu

şekilde akışkan sistemlerin basitleştirilmiş modellemeleri

yapılabilmektedir.

14

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Sistemler :

İş yapıcı ortam olarak yağ, su gibi sıkıştırılamayan akışkanların

kullanıldığı sistemlerdir. Örnekler:

- Valf-silindir üniteleri

- Depo seviye kontrol sistemleri

- Boru sistemleri

Hidrolik sistemleri modellerken:

- Kütlenin korunumu ilkesi ve

- Hacmin korunumu ilkesi esas

alınacaktır.

15

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Kapasitans ve Hidrolik Direnç :

HAVm

: akışkan yoğunluğu

hhgP

16

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Kapasitans ve Hidrolik Direnç :

Hidrolik kapasitans, sıvının ağırlığının tabana yaptığı basınca

oranıdır.

HAVm

: akışkan yoğunluğu

hhgP

AHg

HA

P

gmC

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Kapasitans ve Hidrolik Direnç :

Hidrolik kapasitans, sıvının ağırlığının tabana yaptığı basınca

oranıdır.

Hidrolik direnç, boru hattı üzerindeki elemanların (vana, çek valf,

vs. ) akışa karşı gösterdikleri dirençtir.

17

HAVm

: akışkan yoğunluğu

hhgP

AHg

HA

P

gmC

000

00

0

)(

q

P

q

H

q

PHP

q

PR

18

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Laminer ve Türbülanslı akış:

– Borudaki akışta kesit boyunca partikül hızlarının ortalaması

eşitse akış düzgün veya laminerdir. Akış laminer ise doğrusal bir

direnç-debi-basınç ilişkisi görülür.

19

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Laminer ve Türbülanslı akış:

– Borudaki akışta kesit boyunca partikül hızlarının ortalaması

eşitse akış düzgün veya laminerdir. Akış laminer ise doğrusal bir

direnç-debi-basınç ilişkisi görülür.

– Borudaki kesit boyunca akış profili eşit değilse, değişik ve

düzgün olmayan türbulant bir akış hakimdir. Bu durumda

direnç-debi-basınç ilişkisi doğrusal olmayan bir şekildedir.

22

00

2

000

)(

q

P

q

PHP

q

PRT

20

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Depo Sistemleri:

– Süreklilik denkleminden,

Buna göre,

dt

tdHAtqtqi

)()()( 0

R

tH

R

tPtq

)()()(0

21

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Depo Sistemleri:

– Süreklilik denkleminden,

Buna göre,

dt

tdHAtqtqi

)()()( 0

R

tH

R

tPtq

)()()(0

)()()(

)()()(

tHR

tHAtq

dt

tdHA

R

tHtq

i

i

)()()( tHtHRA

tqR

i

Birinci mertebeden

gecikmeli sistem

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Depo Sistemleri:

– Süreklilik denkleminden,

Buna göre,

22

dt

tdHAtqtqi

)()()( 0

R

tH

R

tPtq

)()()(0

)()()(

)()()(

tHR

tHAtq

dt

tdHA

R

tHtq

i

i

)()()( tHtHRA

tqR

i

Birinci mertebeden

gecikmeli sistem

RAT

Zaman sabiti

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Depo Sistemleri:

– giriş-çıkış debisi ilişkisi:

Buna göre,

23

dt

tdHAtqtqi

)()()( 0

)()()()(

)( 00 tqR

tHR

tH

R

tPtq

24

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Depo Sistemleri:

– giriş-çıkış debisi ilişkisi:

Buna göre,

dt

tdHAtqtqi

)()()( 0

)()()()(

)( 00 tqR

tHR

tH

R

tPtq

)()()( 00 tqtqtqRA

i

sTtq

tqsG

i .1

1

)(

)()( 0

RAT

Zaman sabiti

Temel Akışkan Sistemleri ve Analizi:

• Hidrolik Depo Sistemleri:

– Uygulama 1: Ağzı açık bağlantı depoları

– Uygulama 2: Bileşik ağızlı depo bağlantıları

25

Teşekkürler…

26