sistem persamaan liniear
DESCRIPTION
MTRANSCRIPT
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Dipo Aldila1
1Departemen Matematika FMIPA UIKampus UI Depok, Depok 16424
2013/2014
1/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Persamaan linierSPLSolusi SPLOperasi baris elementer
Contoh persamaan linier dan aspek geometri dari solusinya:
1 2x = 4 (titik di garis x)
2 2x+ 3y = 5 (garis di bidang xy)
3 −2x+ 4y − 3z = 4 (bidang di ruang xyz)
4 0, 1x1 + 2, 3x2 + 3, 45x3 + 2x4 = 27 (hyperplane dihyperspace x1x2x3x4)
Carilah solusinya!
Bentuk umum persamaan linier:
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b
x1, x2, . . . , xn : variabel, a1, a2, . . . , an : koefisien, b : konstanta
2/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Persamaan linierSPLSolusi SPLOperasi baris elementer
Contoh sistem persamaan linier (SPL):
1 x+ 4y = 72x− 6y = 8
2 x+ y = 4x+ y = −6
3 x+ 2y = 42x+ 4y = 8
Carilah solusinya! Bagaimana menguji kebenaran solusi tersebut?Aspek geometri dari solusinya?
Matriks yang diperbesar (augmented matrix) dari SPL.
3/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Persamaan linierSPLSolusi SPLOperasi baris elementer
Secara umum SPL selalu mempunyai:
1 0 solusi (tidak punya solusi) atau
2 1 solusi atau
3 tak hingga banyaknya solusi
SPL yang tidak punya solusi dikatakan tak-konsisten.
SPL yang punya solusi dikatakan konsisten.
4/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Persamaan linierSPLSolusi SPLOperasi baris elementer
Bentuk umum SPL:
a11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · ·+ a2n xn = b2...
am1 x1 + am2 x2 + · · ·+ amn xn = bm
Matriks yang diperbesar dari SPL di atas:a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
......
...am1 am2 . . . amn bm
5/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Persamaan linierSPLSolusi SPLOperasi baris elementer
Operasi baris elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar dariSPL:
1 Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak-nol.
2 Menukar 2 baris
3 Menambahkan perkalian suatu baris ke baris lain.
Jika dilakukan dengan benar, OBE tidak mengubah solusi darisuatu SPL. Aman!
6/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
PendahuluanEselon baris tereduksiContoh matriks eselon barisContoh
Eliminasi Gauss
1 metode sistematis untuk menyelesaikan SPL
2 mengubah matriks yang diperbesar suatu SPL menjadimatriks eselon baris .
Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855, matematikawan Jerman.
7/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
PendahuluanEselon baris tereduksiContoh matriks eselon barisContoh
Eliminasi Gauss-Jordan :
1 metode sistematis untuk menyelesaikan SPL
2 mengubah matriks yang diperbesar suatu SPL menjadimatriks eselon baris tereduksi
Wilhelm Jordan, 1842 - 1899, ahli Geodesi Jerman.
8/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
PendahuluanEselon baris tereduksiContoh matriks eselon barisContoh
Baris-nol : baris yang seluruh angkanya adalah angka 0.
Baris-tak-nol : baris yang mempunyai minimal 1 angka tak-nol.
Matriks eselon baris:
1 Jika suatu baris adalah baris-tak-nol, maka angka tak-nolpertama di baris tersebut harus angka 1. Angka 1 ini disebutsatu-utama (leading 1).
2 Baris-nol harus dikelompokkan di dasar matriks.
3 Dalam 2 baris-tak-nol yang berurutan, satu-utama dalam barisyang lebih bawah harus terletak di sebelah kanan darisatu-utama baris yang lebih atas.
Matriks eselon baris tereduksi: memenuhi sifat 1, 2, 3 ditambah
(4) Masing-masing kolom yang berisi satu-utama mempunyaiangka 0 di baris lainnya dalam kolom tersebut.
9/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
PendahuluanEselon baris tereduksiContoh matriks eselon barisContoh
Contoh matriks eselon baris: 1 0 -5 −30 1 0 50 0 1 7
,
1 -4 00 1 00 0 1
,
1 11 0 −30 1 0 50 0 0 00 0 0 0
.
Contoh matriks eselon baris tereduksi: 1 0 0 −30 1 0 50 0 1 7
,
1 0 00 1 00 0 1
,
1 0 0 −30 1 0 50 0 0 00 0 0 0
,
[0 00 0
].
10/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
PendahuluanEselon baris tereduksiContoh matriks eselon barisContoh
Seimbangkan persamaan kimia berikut
HCl +Na3PO4 → H3PO4 +NaCl (1)
11/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
PendahuluanEselon baris tereduksiContoh matriks eselon barisContoh
Tentukan kuat arus I1, I2, I3 dalam skema rangkaian berikut.
Hukum Ohm: Tegangan yang hilang melalui resistor adalah hasilkali arus dengan hambatannya (E = IR).Hukum arus Kirchhoff: Jumlah arus yang masuk ke suatu titiksama dengan jumlah arus yang keluar dari titik tersebut.Hukum tegangan Kirchoff: dalam jaringan (loop) tertutup, jumlahaljabar tegangan yang hilang adalah nol.
12/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Matriks : susunan yang terdiri atas bilangan-bilangan danberbentuk persegi panjang.Entri : bilangan di dalam matriks.Ukuran matriks: banyak baris x banyak kolom.
Contoh:
[2],
[−2 33 0
],
1 −4 00 1 00 0 1
,
1 −40 10 0
,
534
,[5 12 13
],
13/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Matriks A dan B dikatakan sama (equal) jika keduanyamempunyai ukuran yang sama dan entri yang bersesuaian jugasama.
Contoh:
A =
[4 3 55 12 13
], B =
[4 3 55 12 13
].
Misalkan matriks A = [aij ] dan B = [bij ] berukuran sama.A = B jika dan hanya jika aij = bij untuk setiap i dan j.
14/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Misalkan matriks A dan B berukuran sama.A+B adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkanentri-entri dari A dengan entri-entri yang bersesuaian B.A−B adalah matriks yang didapat dengan mengurangkanentri-entri dari A dengan entri-entri yang bersesuaian B.Contoh:
A =
[4 3 55 12 13
], B =
[1 0 −20 −2 −3
].
A+B =
[5 3 35 10 10
], A−B =
[3 3 75 14 16
].
Misalkan matriks A = [aij ] dan B = [bij ] berukuran sama.(A+B)ij = aij + bij untuk setiap i dan j.(A−B)ij = aij − bij untuk setiap i dan j.
15/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Misalkan A adalah matriks dan c adalah sembarang bilangan.cA adalah matriks yang didapat dengan mengalikan setiap entridari A dengan c.
A =
[4 3 55 12 13
], c = 2.
cA = 2A =
[8 6 1010 24 26
].
Misalkan matriks A = [aij ] dan c adalah sembarang bilangan.(cA)ij = c aij .
16/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Misalkan matriks A berukuran m× r, dan B berukuran r × n.Maka matriks AB berukuran m× n, dengan entri
(AB)ij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + · · ·+ air brj
17/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
18/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Misalkan matriks A berukuran m× n.Transpose dari A (dinotasikan sebagai AT ) adalah matriks n×mdengan cara menukar baris dan kolom matriks A.
A =
[4 3 55 12 13
], AT =
4 53 125 13
.
Sifat:
1 (AT )T = A
2 (A+B)T = AT +BT
3 (A−B)T = AT −BT
4 (kA)T = k AT
5 (AB)T = BT AT
19/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Misalkan matriks A berukuran m×m (matriks persegi).Trace dari A (dinotasikan sebagai tr(A)) adalah jumlah darientri-entri di diagonal utama matriks A.
tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ amm.
A =
[4 35 12
], tr(A) = 4 + 12 = 16.
20/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
1 A+B = B +A (hukum komutatif penjumlahan)
2 A+ (B + C) = (A+B) + C (hukum asosiatif penjumlahan)
3 A(BC) = (AB)C (hukum asosiatif perkalian)
4 A(B + C) = AB +AC (hukum distributif kiri)
5 (B + C)A = BA+ CA (hukum distributif kanan)
6 A(B − C) = AB −AC
7 (B − C)A = BA− CA
8 a(B + C) = aB + aC
9 a(B − C) = aB − aC
10 (a+ b)C = aC + bC
11 (a− b)C = aC − bC
12 a(bC) = (ab)C
13 a(BC) = (aB)C = B(aC)
21/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Penting!!!AB 6= BA (hukum komutatif perkalian matriks tidak berlaku).
22/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Matriks nol (zero matrix) : matriks yang semua entrinya bernilai0. [
0 00 0
],
[0 0 00 0 0
],
0 0 00 0 00 0 0
,
000
.
Sifat matriks nol:Misalkan A adalah sembarang matriks dan 0 adalah matriks nol.
1 A+ 0 = 0 +A = A.
2 A−A = 0.
3 0−A = −A.
4 A0 = 0, 0A = 0
23/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Matriks identitas (identity matrix): matriks persegi dengansemua entri diagonalnya bernilai 1 dan semua entrinon-diagonalnya bernilai 0.
I2 =
[1 00 1
], I3 =
1 0 00 1 00 0 1
.
Sifat matriks identitas:Diberikan matriks Am×n.
AIn = A
ImA = A
24/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas
Dalam matriks, jika AB = AC, maka belum tentu B = C.
A =
[0 10 2
], B =
[1 13 4
], C =
[2 53 4
].
Perhatikan
AB = AC =
[3 46 8
], tapi B 6= C.
Dalam matriks, bisa terjadi AB = 0, tapi A 6= 0 dan B 6= 0.
A =
[0 10 2
], B =
[3 70 0
], AB =
[0 00 0
].
25/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
DefinisiSifatProsedurSifat
Misalkan A adalah matriks persegi.Jika ada matriks persegi B dan AB = BA = I, maka Adikatakan dapat dibalik (invertible) dan B disebut matriksbalikan (inverse) dari A.
Matriks B tersebut biasa ditulis sebagai A−1.
Jika tidak ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I, makaA disebut matriks singular.
26/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
DefinisiSifatProsedurSifat
TheoremMatriks
A =
[a bc d
].
dapat dibalik jika dan hanya jika ad− bc 6= 0.
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
]
27/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
DefinisiSifatProsedurSifat
TheoremJika A dan B adalah matriks yang dapat dibalik dan berukuransama, maka AB juga dapat dibalik dan
(AB)−1 = B−1A−1.
TheoremJika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka AT juga dapatdibalik dan
(AT )−1 = (A−1)T .
28/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
DefinisiSifatProsedurSifat
Diberikan matriks persegi (n× n) A.Apakah ada matriks balikan dari A (A−1)?
Gunakan operasi baris elementer, apakah [A|I] dapat diubahmenjadi [I|A−1]?
29/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
DefinisiSifatProsedurSifat
TheoremMisalkan A adalah matriks persegi.
1 Jika B adalah matriks persegi dan BA = I, maka B = A−1.
2 Jika B adalah matriks persegi dan AB = I, maka B = A−1.
30/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
DefinisiSifatProsedurSifat
TheoremJika A adalah matriks berukuran n× n, maka pernyataan berikutekivalen.
1 A dapat dibalik.
2 Ax = 0 punya solusi trivial (x = 0).
3 Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah matriks identitasI.
4 Ax = b punya tepat 1 penyelesaian untuk setiap vektor b.
31/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
DefinisiSifatProsedurSifat
TheoremMisalkan A dan B adalah matriks persegi yang berukuran sama.Jika AB dapat dibalik, maka masing-masing A dan B juga dapatdibalik.
32/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Matriks diagonalMatriks segitigaMatriks simetrik
Matriks diagonal: matriks persegi yang entri-entri non-diagonalnyabernilai 0. [
1 00 −3
],
−11 0 00 0 00 0 10
.
D =
d1 0 0 . . . 00 d2 0 . . . 0...
......
... 00 0 0 . . . dn
, Dk =
dk1 0 0 . . . 00 dk2 0 . . . 0...
......
... 00 0 0 . . . dkn
.
33/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Matriks diagonalMatriks segitigaMatriks simetrik
Jika
D =
d1 0 0 . . . 00 d2 0 . . . 0...
......
... 00 0 0 . . . dn
,
dan d1, d2, . . . , dn tak-nol , maka
D−1 =
1/d1 0 0 . . . 00 1/d2 0 . . . 0...
......
... 00 0 0 . . . 1/dn
.
34/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Matriks diagonalMatriks segitigaMatriks simetrik
Matriks segitiga bawah (lower triangular): matriks persegi yangsemua entri di atas diagonal utamanya bernilai 0.
Matriks segitiga atas (upper triangular): matriks persegi yangsemua entri di bawah diagonal utamanya bernilai 0.
35/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Matriks diagonalMatriks segitigaMatriks simetrik
Theorem
1 Transpose dari matriks segitiga bawah (atas) adalah matriks
segitiga atas (bawah) .
2 Hasil kali beberapa matriks segitiga bawah (atas) adalah
matriks segitiga bawah (atas) .
3 Matriks segitiga bawah atau atas dapat dibalik jikan danhanya jika semua entri diagonalnya tak nol.
4 Balikan dari matriks segitiga bawah (atas) yang dapat dibalik
adalah matriks segitiga bawah (atas) .
36/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Matriks diagonalMatriks segitigaMatriks simetrik
Matriks persegi A dikatakan simetrik jika A = AT .
[1 88 −3
],
−11 1 31 0 73 7 10
.
TheoremJika A dan B adalah matriks simetrik yang berukuran sama dan kadalah sembarang bilangan, maka
1 AT simetrik.
2 A+B dan A−B simetrik.
3 kA simetrik
37/38 Matematika UI SPL
Pendahuluan SPLEliminasi Gauss
MatriksMatriks balikanMatriks khusus
Matriks diagonalMatriks segitigaMatriks simetrik
TheoremJika A adalah matriks simetrik yang dapat dibalik, maka A−1
simetrik.
TheoremJika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka AAT dan ATAdapat dibalik.
38/38 Matematika UI SPL